第十一讲 动能 动能定理
考纲解读1.掌握动能的概念，知道动能是标量，会求动能的变化量.2.掌握动能定理，能运用动能定理解答实际问题．
1．[对动能定理的理解]关于动能定理的表达式W＝Ek2－Ek1，下列说法正确的是( )
A．公式中的W为不包含重力的其他力做的总功
B．公式中的W为包含重力在内的所有力做的功，也可通过以下两种方式计算：先求每个力的功再求功的代数和或先求合外力再求合外力的功
C．公式中的Ek2－Ek1为动能的增量，当W>0时动能增加，当W<0时，动能减少 D．动能定理适用于直线运动，但不适用于曲线运动，适用于恒力做功，但不适用于变力做功 答案 BC
2．[动能定理的应用]甲、乙两物体质量之比m1∶m2＝1∶2，它们与水平桌面间的动摩擦因
数相同，在水平桌面上运动时，因受摩擦力作用而停止． (1)若它们的初速度相同，则运动位移之比为________； (2)若它们的初动能相同，则运动位移之比为________． 答案 (1)1∶1 (2)2∶1
动能定理
1．内容：力在一个过程中对物体所做的功，等于物体在这个过程中动能的变化． 112
2．表达式：W＝mv22－mv1＝Ek2－Ek1. 22
3．物理意义：合外力的功是物体动能变化的量度． 4．适用条件
(1)动能定理既适用于直线运动，也适用于曲线运动． (2)既适用于恒力做功，也适用于变力做功．
(3)力可以是各种性质的力，既可以同时作用，也可以分阶段作用.
考点一 动能定理及其应用
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1．动能定理公式中等号表明了合外力做功与物体动能的变化具有等量代换关系．合外力的功是引起物体动能变化的原因．
2．动能定理中涉及的物理量有F、l、m、v、W、Ek等，在处理含有上述物理量的问题时，优先考虑使用动能定理．
3．若过程包含了几个运动性质不同的分过程，既可以分段考虑，也可以整个过程考虑．但求功时，有些力不是全过程都作用的，必须根据不同的情况分别对待求出总功，计算时要把各力的功连同正负号一同代入公式．
例1 小孩玩冰壶游戏，如图1所示，将静止于O点的冰壶(视为质点)沿直线OB用水平恒
力推到A点放手，此后冰壶沿直线滑行，最后停在B点．已知冰面与冰壶的动摩擦因数为μ，冰壶质量为m，OA＝x，AB＝L.重力加速度为g.求：
图1
(1)冰壶在A点的速率vA；
(2)冰壶从O点运动到A点的过程中受到小孩施加的水平推力F. μmgx＋L
答案 (1)2μgL (2) x
应用动能定理解题的基本思路 (1)选取研究对象，明确它的运动过程； (2)分析研究对象的受力情况和各力的做功情况：
(3)明确研究对象在过程的初末状态的动能Ek1和Ek2；
(4)列动能定理的方程W合＝Ek2－Ek1及其他必要的解题方程，进行求解．
突破训练1 如图2所示，一块长木板B放在光滑的水平面上，在B上放一物体A，现以恒
定的外力F拉B，由于A、B间摩擦力的作用，A将在B上滑动，以地面为参考系，A、B都向前移动一段距离．在此过程中( )
图2
A．外力F做的功等于A和B动能的增量 B．B对A的摩擦力所做的功等于A的动能增量
C．A对B的摩擦力所做的功等于B对A的摩擦力所做的功
D．外力F对B做的功等于B的动能的增量与B克服摩擦力所做的功之和 答案 BD
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考点二 利用动能定理求变力的功
例2 如图3所示，质量为m的小球用长为L的轻质细线悬于O点，与O点处于同一水平
L
线上的P点处有一个光滑的细钉，已知OP＝，在A点给小球一个水平向左的初速度
2v0，发现小球恰能到达跟P点在同一竖直线上的最高点B.求：
图3
(1)小球到达B点时的速率；
(2)若不计空气阻力，则初速度v0为多少；
(3)若初速度v0＝3gL，则小球在从A到B的过程中克服空气阻力做了多少功． 答案 (1)
gL
(2) 2
7gL11
(3)mgL 24
应用动能定理求变力做功时应注意的问题 (1)所求的变力的功不一定为总功，故所求的变力的功不一定等于ΔEk.
(2)若有多个力做功时，必须明确各力做功的正负，待求的变力的功若为负功，可以设克服该力做功为W，则表达式中应用－W；也可以设变力的功为W，则字母W本身含有负号．
突破训练2 如图4所示，在竖直平面内有一半径为R的圆弧轨道，半径OA水平、OB竖
直，一个质量为m的小球自A的正上方P点由静止开始自由下落，小球沿轨道到达最高点B时恰好对轨道没有压力．已知AP＝2R，重力加速度为g，则小球从P到B的运动过程中( )
图4
A．重力做功2mgR B．机械能减少mgR C．合外力做功mgR
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1
D．克服摩擦力做功mgR
2答案 D
考点三 动能定理与图象结合的问题
22.利用动能定理分析多过程问题
例4 如图7所示，倾角为37°的粗糙斜面AB底端与半径R＝0.4 m的光滑半圆轨道BC平
滑相连，O点为轨道圆心，BC为圆轨道直径且处于竖直方向，A、C两点等高．质量m＝1 kg的滑块从A点由静止开始下滑，恰能滑到与O点等高的D点，g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8.
图7
(1)求滑块与斜面间的动摩擦因数μ；
(2)若使滑块能到达C点，求滑块从A点沿斜面滑下时的初速度v0的最小值； (3)若滑块离开C点的速度大小为4 m/s，求滑块从C点飞出至落到斜面上所经历的时间t.
审题与关联
2R
解析 (1)滑块从A点到D点的过程中，根据动能定理有mg(2R－R)－μmgcos 37°·sin 37°＝0－0
1
解得：μ＝tan 37°＝0.375
2
2mvC
(2)若使滑块能到达C点，根据牛顿第二定律有mg＋FN＝ R
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由FN≥0得vC≥Rg＝2 m/s
滑块从A点到C点的过程中，根据动能定理有 2R112
－μmgcos 37°·＝mv2C－mv0 sin 37°22
则v0＝v2≥23 m/s，故v0的最小值为23 m/s C＋4μgRcot 37°1(3)滑块离开C点后做平抛运动，有x＝vC′t，y＝gt2
2由几何知识得tan 37°＝
2R－y
，整理得：5t2＋3t－0.8＝0，解得t＝0.2 s(t＝－0.8 s舍去) x
答案 (1)0.375 (2)23 m/s (3)0.2 s
1．运用动能定理解决问题时，选择合适的研究过程能使问题得以简化．当物体的运动过程
包含几个运动性质不同的子过程时，可以选择一个、几个或全部子过程作为研究过程． 2．当选择全部子过程作为研究过程，涉及重力、大小恒定的阻力或摩擦力做功时，要注意
运用它们的功能特点：(1)重力的功取决于物体的初、末位置，与路径无关；(2)大小恒定的阻力或摩擦力的功等于力的大小与路程的乘积．
1
突破训练4 如图8所示，让小球从半径R＝1 m的光滑圆弧PA的最高点P由静止开始滑
4
下(圆心O在A点的正上方)自A点进入粗糙的水平面做匀减速运动，到达小孔B进入半径r＝0.3 m的竖直放置的光滑竖直圆轨道，当小球进入圆轨道立即关闭B孔，小球恰好能做圆周运动．已知小球质量m＝0.5 kg，A点与小孔B的水平距离x＝2 m，取g＝10 m/s2(最后结果可用根式表示)．求：
图8
(1)小球到达最低点A时的速度以及小球在最低点A时对轨道的压力大小； (2)小球运动到光滑竖直圆轨道最低点B时的速度大小； (3)求粗糙水平面的动摩擦因数μ. 答案 (1)15 N (2)15 m/s (3)0.125
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