松北区高中2018-2019学年高二下学期第一次月考试卷数学
一、选择题
1． 若一个球的表面积为12π，则它的体积为（ ） A．
班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数_______________ ___________________________________________________________________________________________________ B．
C．
D．
2． 设x，y∈R，且满足A．1
3． 已知双曲线A．
B．
﹣ C．
B．2
C．3
，则x+y=（ ）
D．4
=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=1相切，则双曲线的离心率为（ ） D．
4． 已知平面α∩β=l，m是α内不同于l的直线，那么下列命题中错误 的是（ ）
A．若m∥β，则m∥l B．若m∥l，则m∥β C．若m⊥β，则m⊥l D．若m⊥l，则m⊥β
5． 设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的（ ） A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6． 函数f（x）=xsinx的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
7． 在复平面内，复数（﹣4+5i）i（i为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8． 已知四个函数f（x）=sin（sinx），g（x）=sin（cosx），h（x）=cos（sinx），φ（x）=cos（cosx）在x∈[﹣π，π]上的图象如图，则函数与序号匹配正确的是（ ）
A．f（x）﹣①，g（x）﹣②，h（x）﹣③，φ（x）﹣④ h（x）﹣④
B．f（x）﹣①，φ（x）﹣②，g（x）﹣③，
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C．g（x）﹣①，h（x）﹣②，f（x）﹣③，φ（x）﹣④ D．f（x）﹣①，h（x）﹣②，g（x）﹣③，φ（x）﹣④ 9． 袋中装有红、黄、蓝三种颜色的球各2个，无放回的从中任取3个球，则恰有两个球同色的概率为（ ） A．
B．
C．
D．
10．过点P（﹣2，2）作直线l，使直线l与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积为8，这样的直线l一共有（ ）
A．3条 B．2条 C．1条 D．0条
11．下面茎叶图表示的是甲、乙两个篮球队在3次不同比赛中的得分情况，其中有一个数字模糊不清，在图中以m表示．若甲队的平均得分不低于乙队的平均得分，那么m的可能取值集合为（ ）
A．
B．
C．
D．
被称为狄利克雷
12．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数f（x）=
函数，其中R为实数集，Q为有理数集，则关于函数f（x）有如下四个命题：①f（f（x））=1；②函数f（x）是偶函数；③任取一个不为零的有理数T，f（x+T）=f（x）对任意的x=R恒成立；④存在三个点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3）），使得△ABC为等边三角形．其中真命题的个数有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
13．在空间直角坐标系中，设A(m，1,3)，B(1,1,1)，且|AB|22，则m . 14．已知x，y为实数，代数式1(y2)29(3x)2x2y2的最小值是 . 【命题意图】本题考查两点之间距离公式的运用基础知识，意在考查构造的数学思想与运算求解能力. 15．已知圆C的方程为xy2y30，过点P1,2的直线与圆C交于A,B两点，若使AB
22最小则直线的方程是 ． 16．设函数
，若用表示不超过实数m的最大整数，则函数的值域为 ．
17．曲线y=x+ex在点A（0，1）处的切线方程是 ． 18．函数
的单调递增区间是 ．
三、解答题
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19．如图所示，在边长为的正方形ABCD中，以A为圆心画一个扇形，以O为圆心画一个圆，M，N，
K为切点，以扇形为圆锥的侧面，以圆O为圆锥底面，围成一个圆锥，求圆锥的全面积与体积．
20．求下列曲线的标准方程： （1）与椭圆
+
=1有相同的焦点，直线y=x为一条渐近线．求双曲线C的方程．
（2）焦点在直线3x﹣4y﹣12=0 的抛物线的标准方程．
21．AA1C1C是边长为4的正方形．AB=3，BC=5．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面ABC⊥平面AA1C1C，
（Ⅰ）求证：AA1⊥平面ABC；
（Ⅱ）求证二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值；
（Ⅲ）证明：在线段BC1上存在点D，使得AD⊥A1B，并求
的值．
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22．（本小题满分10分）选修41：几何证明选讲
如图所示，已知PA与⊙O相切，A为切点，过点P的割线交圆于B,C两点，弦CD//AP，AD,BC相 交于点E，F为CE上一点，且DE2EFEC． （Ⅰ）求证：EDFP；
（Ⅱ）若CE:BE3:2,DE3,EF2，求PA的长．
23．某城市决定对城区住房进行改造，在建新住房的同时拆除部分旧住房．第一年建新住房am2，第二年到第四年，每年建设的新住房比前一年增长100%，从第五年起，每年建设的新住房都比前一年减少 am；已知旧
2
2
住房总面积为32am，每年拆除的数量相同．
2
（Ⅰ）若10年后该城市住房总面积正好比改造前的住房总面积翻一番，则每年拆除的旧住房面积是多少m？
（Ⅱ），求前n（1≤n≤10且n∈N）年新建住房总面积Sn
24．设函数f（x）=1+（1+a）x﹣x2﹣x3，其中a＞0． （Ⅰ）讨论f（x）在其定义域上的单调性；
（Ⅱ）当x∈时，求f（x）取得最大值和最小值时的x的值．
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松北区高中2018-2019学年高二下学期第一次月考试卷数学（参）
一、选择题
1． 【答案】A
【解析】解：设球的半径为r， 因为球的表面积为12π，
2
所以4πr=12π，所以r=
，
=4
π．
所以球的体积V=故选：A．
【点评】本题考查球的表面积、体积公式的应用，考查计算能力．
2． 【答案】D
3
【解析】解：∵（x﹣2）+2x+sin（x﹣2）=2， 3
∴（x﹣2）+2（x﹣2）+sin（x﹣2）=2﹣4=﹣2， 3
∵（y﹣2）+2y+sin（y﹣2）=6，
3
∴（y﹣2）+2（y﹣2）+sin（y﹣2）=6﹣4=2， 3
设f（t）=t+2t+sint，
2
则f（t）为奇函数，且f'（t）=3t+2+cost＞0，
即函数f（t）单调递增．
即f（x﹣2）+f（y﹣2）=2﹣2=0， 即f（x﹣2）=﹣f（y﹣2）=f（2﹣y）， ∵函数f（t）单调递增 ∴x﹣2=2﹣y， 即x+y=4， 故选：D． 质．
3． 【答案】D 【解析】解：双曲线
由题意可知f（x﹣2）=﹣2，f（y﹣2）=2，
【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用，利用条件构造函数f（t）是解决本题的关键，综合考查了函数的性
﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为 y=±x，即x±y=0．
22
根据圆（x﹣2）+y=1的圆心（2，0）到切线的距离等于半径1，
可得，1=，∴ =，
，可得e=．
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故此双曲线的离心率为：故选D．
．
【点评】本题考查点到直线的距离公式，双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求出的值，是解题的关键．
4． 【答案】D
【解析】【分析】由题设条件，平面α∩β=l，m是α内不同于l的直线，结合四个选项中的条件，对结论进行证明，找出不能推出结论的即可
【解答】解：A选项是正确命题，由线面平行的性质定理知，可以证出线线平行；
B选项是正确命题，因为两个平面相交，一个面中平行于它们交线的直线必平行于另一个平面； C选项是正确命题，因为一个线垂直于一个面，则必垂直于这个面中的直线；
D选项是错误命题，因为一条直线垂直于一个平面中的一条直线，不能推出它垂直于这个平面； 综上D选项中的命题是错误的 故选D
5． 【答案】B
【解析】解：∵b⊥m，∴当α⊥β，则由面面垂直的性质可得a⊥b成立， 若a⊥b，则α⊥β不一定成立， 故“α⊥β”是“a⊥b”的充分不必要条件， 故选：B．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用线面垂直的性质是解决本题的关键．
6． 【答案】A
【解析】解：函数f（x）=xsinx满足f（﹣x）=﹣xsin（﹣x）=xsinx=f（x），函数的偶函数，排除B、C， 因为x∈（π，2π）时，sinx＜0，此时f（x）＜0，所以排除D， 故选：A．
【点评】本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及函数值的应用，考查分析问题解决问题的能力．
7． 【答案】B
【解析】解：∵（﹣4+5i）i=﹣5﹣4i， ∴复数（﹣4+5i）i的共轭复数为：﹣5+4i，
∴在复平面内，复数（﹣4+5i）i的共轭复数对应的点的坐标为：（﹣5，4），位于第二象限． 故选：B．
8． 【答案】 D
【解析】解：图象①是关于原点对称的，即所对应函数为奇函数，只有f（x）；
图象②④恒在x轴上方，即在[﹣π，π]上函数值恒大于0，符合的函数有h（x）和Φ（x）， 又图象②过定点（0，1），其对应函数只能是h（x）， 那图象④对应Φ（x），图象③对应函数g（x）． 故选：D．
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【点评】本题主要考查学生的识图、用图能力，从函数的性质入手结合特殊值是解这一类选择题的关键，属于基础题．
9． 【答案】B
3
【解析】解：从红、黄、蓝三种颜色的球各2个，无放回的从中任取3个球，共有C6=20种， 11
其中恰有两个球同色C3C4=12种，
故恰有两个球同色的概率为P=故选：B． 础题．
10．【答案】C 设直线l的方程为：则
．
=，
【点评】本题考查了排列组合和古典概率的问题，关键是求出基本事件和满足条件的基本事件的种数，属于基
【解析】解：假设存在过点P（﹣2，2）的直线l，使它与两坐标轴围成的三角形的面积为8，
，
即2a﹣2b=ab
直线l与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积S=﹣ab=8， 即ab=﹣16， 联立
，
，
解得：a=﹣4，b=4． ∴直线l的方程为：即x﹣y+4=0， 故选：C
即这样的直线有且只有一条，
【点评】本题考查了直线的截距式、三角形的面积计算公式，属于基础题．
11．【答案】C
【解析】【知识点】样本的数据特征茎叶图 【试题解析】由题知：
所以m可以取：0，1，2． 故答案为：C 12．【答案】 D
【解析】解：①∵当x为有理数时，f（x）=1；当x为无理数时，f（x）=0 ∴当x为有理数时，f（f（x））=f（1）=1；
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当x为无理数时，f（f（x））=f（0）=1
即不管x是有理数还是无理数，均有f（f（x））=1，故①正确； ②∵有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数， ∴对任意x∈R，都有f（﹣x）=f（x），故②正确；
③若x是有理数，则x+T也是有理数； 若x是无理数，则x+T也是无理数
∴根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数T，f（x+T）=f（x）对x∈R恒成立，故③正确； ④取x1=﹣∴A（
，x2=0，x3=
，可得f（x1）=0，f（x2）=1，f（x3）=0
，0），B（0，1），C（﹣
，0），恰好△ABC为等边三角形，故④正确．
故选：D．
【点评】本题给出特殊函数表达式，求函数的值并讨论它的奇偶性，着重考查了有理数、无理数的性质和函数的奇偶性等知识，属于中档题．
二、填空题
13．【答案】1 【解析】 试题分析：ABm1211231222，解得：m1，故填：1.
考点：空间向量的坐标运算 14．【答案】41. 【
解
析
】
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15．【答案】xy30 【解析】
试题分析：由圆C的方程为xy2y30，表示圆心在C(0,1)，半径为的圆，点P1,2到圆心的距
22离等于2，小于圆的半径，所以点P1,2在圆内，所以当ABCP时，AB最小，此时
kCP1,k11，由点斜式方程可得，直线的方程为y2x1，即xy30.
考点：直线与圆的位置关系的应用. 16．【答案】 {0，1} ． 【解析】解：=[=[﹣∵0＜
﹣]+[
]+[＜1，
+] +]， ＜，＜＜时， ＜，＜
=时， =0，
+=1，
+＜1，
+＜，
∴﹣＜﹣①当0＜0＜﹣故y=0； ②当﹣
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故y=1； ③＜﹣＜﹣
＜1时，
＜0，1＜
+＜，
的值域为{0，1}．
故y=﹣1+1=0； 故函数
故答案为：{0，1}．
【点评】本题考查了学生的化简运算能力及分类讨论的思想应用．
17．【答案】 2x﹣y+1=0 ．
xx
【解析】解：由题意得，y′=（x+e）′=1+e，
0
∴点A（0，1）处的切线斜率k=1+e=2，
则点A（0，1）处的切线方程是y﹣1=2x，即2x﹣y+1=0， 故答案为：2x﹣y+1=0． 基础题．
18．【答案】 [2，3） ．
2
【点评】本题考查导数的几何意义，以及利用点斜式方程求切线方程，注意最后要用一般式方程来表示，属于
【解析】解：令t=﹣3+4x﹣x＞0，求得1＜x＜3，则y=本题即求函数t在（1，3）上的减区间．
，
利用二次函数的性质可得函数t在（1，3）上的减区间为[2，3）， 故答案为：[2，3）．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：设圆锥的母线长为l，底面半径为r，高为h， 由已知条件解得
，
，
， ，
2
∴S=πrl+πr=10π，
∴
20．【答案】
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【解析】解：（1）由椭圆+=1，得a2=8，b2=4，
，
222
∴c=a﹣b=4，则焦点坐标为F（2，0），
∵直线y=x为双曲线的一条渐近线，
（λ＞0），
∴设双曲线方程为即
，则λ+3λ=4，λ=1．
；
∴双曲线方程为：（2）由3x﹣4y﹣12=0，得
∴直线在两坐标轴上的截距分别为（4，0），（0，﹣3）， ∴分别以（4，0），（0，﹣3）为焦点的抛物线方程为： y2=16x或x2=﹣12y．
【点评】本题考查椭圆方程和抛物线方程的求法，对于（1）的求解，设出以直线曲线方程是关键，是中档题．
21．【答案】
为一条渐近线的双
【解析】（I）证明：∵AA1C1C是正方形，∴AA1⊥AC． 又∵平面ABC⊥平面AA1C1C，平面ABC∩平面AA1C1C=AC， ∴AA1⊥平面ABC．
（II）解：由AC=4，BC=5，AB=3．
222
∴AC+AB=BC，∴AB⊥AC．
建立如图所示的空间直角坐标系，则A1（0，0，4），B（0，3，0），B1（0，3，4），C1（4，0，4）， ∴
设平面A1BC1的法向量为 则
，
，
．
，平面B1BC1的法向量为
=（x2，y2，z2）．
，令y1=4，解得x1=0，z1=3，∴
．
，令x2=3，解得y2=4，z2=0，∴
．
==
．
=
．
∴二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值为
（III）设点D的竖坐标为t，（0＜t＜4），在平面BCC1B1中作DE⊥BC于E，可得D
，
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∴∵∴∴
=
，∴
，， ，解得t=
．
=（0，3，﹣4），
．
【点评】本题综合考查了线面垂直的判定与性质定理、面面垂直的性质定理、通过建立空间直角坐标系利用法向量求二面角的方法、向量垂直与数量积得关系等基础知识与基本方法，考查了空间想象能力、推理能力和计算能力．
22．【答案】
【解析】【命题意图】本题考查相交弦定理、三角形相似、切割线定理等基础知识，意在考查逻辑推理能力．
23．【答案】
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【解析】解：（I）10年后新建住房总面积为a+2a+4a+8a+7a+6a+5a+4a+3a+2a=42a． 设每年拆除的旧住房为xm，则42a+（32a﹣10x）=2×32a，
2
2
解得x=a，即每年拆除的旧住房面积是am
（Ⅱ）设第n年新建住房面积为a，则an=
n
所以当1≤n≤4时，Sn=（2﹣1）a；
当5≤n≤10时，Sn=a+2a+4a+8a+7a+6a+（12﹣n）a=
故
【点评】本小题主要考查函数模型的选择与应用，属于基础题．解决实际问题通常有四个步骤：（1）阅读理解，认真审题；（2）引进数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的方法，得到数学结果；（4）转译成具体问题作出解答，其中关键是建立数学模型．
24．【答案】
2
【解析】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（﹣∞，+∞），f′（x）=1+a﹣2x﹣3x，
由f′（x）=0，得x1=∴由f′（x）＜0得x＜由f′（x）＞0得故f（x）在（﹣∞，在（
（Ⅱ）∵a＞0，∴x1＜0，x2＞0，∵x∈，当
，
，x2=，x＞＜x＜）和（
）上单调递增；
；
，x1＜x2， ；
，+∞）单调递减，
时，即a≥4
①当a≥4时，x2≥1，由（Ⅰ）知，f（x）在上单调递增，∴f（x）在x=0和x=1处分别取得最小值和最大值．②当0＜a＜4时，x2＜1，由（Ⅰ）知，f（x）在单调递增，在上单调递减， 因此f（x）在x=x2=
处取得最大值，又f（0）=1，f（1）=a，
∴当0＜a＜1时，f（x）在x=1处取得最小值； 当a=1时，f（x）在x=0和x=1处取得最小值； 当1＜a＜4时，f（x）在x=0处取得最小值．
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