代数方程知识点及经典习题

一.一元二次方程

1、一元二次方程的一般形式[ax+bx+c=0（a0）]

2、一元二次方程的判定方法

（1）根据定义判定 。[即 ①是整式方程②只有一个未知数③未知数的最高次数是2 ] （2）根据一般形式判定 。[即将整式方程进行去分母、去括号、移项、合并同类项等变形后，如果能化为一元二次方程的一般形式ax+bx+c=0（a0）,那么它就是一元二次方程。] 二.因式分解

1、因式分解法的一般步骤：（1）将方程的右边化为零 （2）将方程的左边分解为两个一次因式的乘积 （3）令每个因式等于零，得到两个一元一次方程 （4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。

2、一元二次方程解法的选择顺序：先考虑能否用直接开平方法和因式分解法，不能用这两种特殊方法时，再用公式法。

三．一元二次方程的根的判别式 1.一元二次方程的根的判别式的概念

2.一元二次方程的根的情况与判别式的关系

判别式定理和逆定理

22>0  方程有两个不相等的实数根

=0  方程有两个相等的实数根 <0  方程没有实数根 0  方程有两个实数根

3.一元二次方程根的判别式的应用 1）不解方程，判定方程根的情况

2）根据方程根的情况，确定方程系数中字母的取值范围。

3）应用判别式证明方程根的情况（无实根、有实根、有不相等实根、有相等实根） 4）利用判别式解决一元二次方程的有关证明题。

四.根与系数的关系

1 一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）

如果方程ax+bx+c=0（a0）的两个实数根是x1, x2,那么x1+ x2=＿＿, x1x2＝＿＿, 2韦达定理的逆定理

如果实数x1, x2满足x1+ x2=＿＿, x1x2＝＿＿, 那么x1, x2是一元二次方程ax+bx+c=0的两个根．

3韦达定理的两个重要推论

推论1：如果方程x+px+q=0的两个根是x1, x2， 那么x1+ x2=＿＿, x1x2＝＿＿,

222推论2：以两个数x1, x2为根的一元二次方程（二次项系数为１）是＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 4根与系数的关系的应用 （1）验根

（2）由已知方程的一个根，求另一个根及未知系数． （3）不解方程，求关于x1, x2的对称式的值．

如：x12＋ x22，x12x2＋x1 x22 ，

11＋， ︳x1－x2︳ x1x2（4）已知方程的两根，求作这个一元二次方程．

（5）已知两数的和与积，求这两个数

（6）已知方程两个根满足某种关系，确定方程中字母的取值范围 （7）证明方程系数之间的特殊关系

（8）解决其它问题，如讨论根的范围，判定三角形的形状等． （9）根的符号的讨论

五． 二次三项式的因式分解（用公式法）

1． 二次三项式的因式分解公式ax2+bx+c=＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

2．因式分解的一般步骤：（1）用求根公式求出二次三项式ax2+bx+c对应的方程ax2+bx+c=０的两个实数根x1, x2；（２）将a、x1, x2的值代入二次三项式的因式分解公式，写出分解式。

3．如何判定二次三项式在实数范围内能否因式分解：即 当0时，能在实数范围内分解因式；当<0时，不能在实数范围内分解因式

4.解分式方程的基本方法：去分母法；换元法；列分式方程解应用题 六．二元二次方程组的解法

解二元二次方程组的基本思想、方法。思想是“转化”即二元转化为一元，将二次转化为一次。方法是先降次，再消元。

由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组的解法：代入消元法；逆用韦达定理。

同步练习

一、一元二次方程

1．关于x的方程(a －5)x2－4x－1＝0有实数根，则a满足（）

A．a≥1 B．a＞1且a≠5 C．a≥1且a≠5 D．a≠5

2．如果关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为x1=2，x2=1，那么p，q的值分别是 （A）－3，2 （B）3，-2 （C）2，－3 （D）2，3

3．已知m,n是方程x2x10的两根，且(7m14ma)(3n6n7)8，则a的值等于 （ ）

A．－5 B.5 C.-9 D.9

4．已知方程xbxa0有一个根是a(a0)，则下列代数式的值恒为常数的是（ ） A．ab B．

2222a C．ab D．ab b2225．关于x的一元二次方程xmx2m10的两个实数根分别是x1、x2，且x1x27，

则(x1x2)的值是（ ） A．1

B．12

C．13

D．25

二、填空题

1．已知x1、x2为方程x2＋3x＋1＝0的两实根，则x12＋8x2＋20＝__________．

2．设x1、x2 是一元二次方程x2+4x－3=0的两个根，

2x1(x22+5x2－3)+a =2，则a= ▲ ．

3．已知x = 1是一元二次方程x2mxn0的一个根，则 m22mnn2的值为 ．

24．设x1，x2是一元二次方程x3x20的两个实数根，则x13x1x2x2的值为

222__________________．

5．若实数m满足m2－10m + 1 = 0，则 m4 + m6．已知一元二次方程x_____________.

2－4

= ．

31x310的两根为x1、x2,则

11x1x2二、因式分解

1．

3x20 x1x(x1)

2．

x14x2xa2 3．1a0xaxbx1x1x1

2x3x29xx29x124.2; 5.x1x1 x3xx6x9 6.

7.若关于x的方程 8.已知

2x6x2x6(x3)44xx23xx11xk 有增根,求增根和k的值. 2xx3x3x3112a3ab2b3,求 的值 aba2abb9.若0116,求x 的值 xxm2n2mn2mn10.化简代数式m2n2mnmn2mn，将m,n值代入求值



三、解答题

1．已知关于x的一元二次方程axbx10(a0)有两个相等的实数根，求

2ab2的值。 22(a2)b4

2．已知关于x的一元二次方程x(2m1)xm0有两个实数根x1和x2．

（1）求实数m的取值范围； （2）当x1x20时，求m的值．

3．题甲：若关于x的一元二次方程x2(2k)xk120有实数根、．

（1） 求实数k的取值范围； （2） 设t

4．已知关于x的一元二次方程x2 = 2（1－m）x－m2 的两实数根为x1，x2．

（1）求m的取值范围；

（2）设y = x1 + x2，当y取得最小值时，求相应m的值，并求出最小值．

222222

k，求t的最小值．

5．关于x的一元二次方程xxp10有两实数根x1、x2. （1）求p的取值范围；（4分）

（2）若[2x1(1x1)][2x2(1x2)]9,求p的值.（6分）

6．已知关于x的方程x2(k3)xk4k10．

（1）若这个方程有实数根，求k的取值范围； （2）若这个方程有一个根为1，求k的值；

（3）若以方程x2(k3)xk4k10的两个根为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数y

7．在等腰△ABC中，三边分别为a、b、c，其中a5，若关于x的方程

22222m的图象上，求满足条件的m的最小值． xx2b2x6b0有两个相等的实数根，求△ABC的周长．

三、二元二次方程组

1.解方程组

2.解方程组

2xy0 (1)22xy30 (2)

xy11 (1)xy28 (2)

y24x2y103.已知方程组有两个不相等的实数解，求k的取值范围。

ykx2

3x2y29x11x224.方程组的两组解是，不解方程组，求1221的值。

yyxy51212

5.解方程组x2y25(xy) (1)x2xyy243 (2)

26.解方程组xxy12 (1)xyy24 (2)

7.解方程组x2y226 (1)xy5 (2)

解方程组xyx3 (1)3xyy8 (2)

8.