第３期 机械设计与制造 ２０１２年３月 Ｍａｃｈｉｎｅｒｙ Ｄｅｓｉｇｎ＆Ｍａｎｕｆａｃｔｕｒｅ ５７ 文章编号：１００１—３９９７（２０１２）０３—００５７—０３ 螺旋锥齿轮传动强度的计算 术 李晋刘晓青王云华 （周口师范学院物理与电子工程系，周口４６６００１） Ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ ｏｆ ｄｒｉｖｅ ｓｔｒｅｎｇｔｈ ｏｆ ｓｐｉｒａｌ ｂｅｖｅｌ ｇｅａｒ ＬＩ Ｊｉｎ，ＬＩＵ Ｘｉａｏ—ｑｉｎｇ，ＷＡＮＧ Ｙｕｎ－ｈｕａ （Ｐｈｙｓｉｃａｌ ａｎｄ Ｅｌｅｃｔｒｏｎｉｃ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ，Ｚｈｏｕｋｏｕ Ｎｏｒｍａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｚｈｏｕｋｏｕ ４６６００ １，Ｃｈｉｎａ） 【摘要】为了使高强度齿轮的齿面在传动过程中具有更高的可靠性，论述了孤齿锥齿轮传动预 强度的计算方法，这种方法是基于两个椭圆双曲体接触问题赫兹解提出的，并且在设计中充分考虑了齿 轮接触面＂３－量曲率大小和齿面廓形局部接触及纵向局部接触等多个系数。通过计算表明，无论是在较 好的磨合性表面或较差的磨合性表面条件下，计算的结果都能很好地贴近实际。该计算方法避免了传 统计算方法中仅考虑齿面廓形接触的局限性，能广泛应用于航空工业中，即应用于高硬度表面齿轮传动 中。 关键词：螺旋锥齿轮；高硬度齿面；传动强度；计算方法 【Ａｂｓｔｒａｃｔ】／ｎ ｏｒｄｅｒ ｔｏ ｍａｋｅ ｈｉｇｈ－ｓｔｒｅｎｇｔｈ ｇｅａｒ ｔｏｏｔｈ ｓｕｒｆｃａｅ ｗｉｔｈ ｈｉｇｈｅｒ ｒｅｌｉａｂｉｌｉｔｙ ｉｎ ｔｈｅ ｃｏｕｒｓｅ ｏｆ ｔｒａｎｓｍｉｓｓｉｏｎ，ｔｈｅ ｃａｌｃｕｌｔａｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ ｏｆ ｓｐｉｒａｌ ｂｅｖｅｌ ｇｅａｒ ｓｔｒｅｎｅｔｈ Ｗ（ＩＳ ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ，ｉｎ ｗｈｉｃｈ ａ ｍｅｔｈｏｄ ｉｓ ｐｕｔ ｆｏｒｗａｒｄ ｂａｓｅｄ ｏｎ Ｈｅｒｔｚ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｏｆ ｃｏｎｔａｃｔ ｐｒｏｂｌｅｍ ｂｅｔｗｅｅｎ ｅｌｌｉｐｓｏｉｄ ａｎｄ ｈｙｐｅｒｂｏｌｏｉｄ．Ａ ｎｄ ｅｑｕｉｖａｌｅｎｔ ｃｕｒ—— ｖａｔｕｒｅ ｓｉｚｅ ｏｎ ｃｏｎｔｃａｔ ｓｕｒｆａｃｅｓ ｏｆｇｅａｒ，ｐｒｏｉｆｌｅ ｌｏｃａｌ ｃｏｎｔａｃｔ ａｎｄ ｌｏｎｇｉｔｕｄｉｎａｌ ｌｏｃａｌ ｃｏｎｔｃａｔ ｏｆｇｅａｒ ｔｏｏｔｈ ｓｕｒ— ｆａｃｅ，ａｎｄ ｏｔｈｅｒ ｃｏｅｆｉｆｃｉｅｎｔｓ ａｒｅ ｌｌｙ ｃｏｎｓｉｄｅｒｅｄ ｉｎ ｔｈｅ ｄｅｓｉｇｎ ｐｒｏｃｅｓｓ．Ｃａｌｃｕｌｔａｉｏｎ ｓｈｏｗｓ ｔｈａｔ，ｗｈｅｔｈｅｒ ｕｎｄｅｒ ｔｈｅ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ ｆｏｓｕｒｆａｃｅ ｗｉｔｈ ｂｅｔｔｅｒ ｒｕｎｎｉｎｇ－ｉｎ ｂａｉｌｉｔｙ ｏｒ ｓｕｒｆｃａｅ ｗｉｔｈ ｐｏｏｒ ｒｕｎｎｉｎｇ－ｉｎ ａｂｉｌｉｔｙ，ｔｈｅ ｃａｌｃｕｌｔａｅｄ ｒｅｓｕｌｔ ｉｓ ｃｌｏｓｅｒ ｔｏ ｔｈｅ ａｃｔｕａｌ ｒｅｓｕｌｔ．Ｔｈｉｓ ｍｅｔｈｏｄ Ｃ０１ｔ ａｖｏｉｄ ｌｉｍｉｔｔａｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅ ｔｒａｄｉｔｉｏｎａｌ ｃａｌｃｕｌｔａｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ， ｗｈｉｃｈ ｏｎｌｙ ｃｏｎｓｉｄｅｒｅｄ ｔｈｅ ｐｒｏｉｆｌｅ ｃｏｎｔａｃｔ ｏｆｇｅａｒ ｔｏｏｔｈ ＳＵｒｆｃａｅ．Ｔｈｕｓ ｉｔ ｃａｎ ｂｅ ｗｉｄｅｌｙ ｕｓｅｄ ｉｎ ａｖｉｔａｉｏｎ ｉｎ— ｄｕｓｔｒｙ，ｍｏｒｅ ｓｐｅｃｉｉｆｃａｌｉｙ ｉｎ ｅｇａｒ ｄｒｉｖｅ ｗｉｔｈ 动ｈａｒｄｎｅｓｓ． Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：Ｓｐｉｒａｌｂｅｖｅｌｇｅａｒ；Ｔｏｏｔｈｓｕｒｆａｃｅｗｉｔｈｈｉｇｈｈａｒｄｎｅｓｓ；Ｄｒｉｖｅｓｔｒｅｎｇｔｈ；Ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄ 中图分类号：ＴＨ１２，ＴＨ１３２．４１文献标识码：Ａ １引言 式中： 压缩体名义压力；卜一接触线长度；６ 一在垂直母线的截 传统｛寸算弧齿锥齿轮的方法在几十年前就详细研究过 ，直 面上接触圆柱体表面主法向当量曲率； ：和Ｅ。、Ｅ厂泊 到现在还没有改变过，即锥齿轮预强度计算采用当量圆柱来代 松系数和接触体弹性模量。 替，它是应用沿圆柱体母线压缩两个圆柱体赫兹解进行的。 解方程（１）仅考虑了廓形局部接触。事实上，在弧齿锥齿轮， 计算公式如下： 甚至在园柱齿轮传动强度计算中必须考虑两者（廓形和纵向）局 部接触，廓形和纵向局部要求之值决定于切齿机床调整值，但在 菰 传统计算方法中不考虑这个值。因此，在锥齿轮传动中计算接触 压力时必须引入多个系数，系数之值根据经验选择。对弧齿锥齿 ★来稿Ｅｔ期：２０１１－０５—２４★基金项目：河南省教育厅自然科学基金资助项目（２００９Ｂ４６００１３） 在前几个影响比较大的因素下，轮罐距、转速、上叶轮形式、 ［２］王福军．计算流体动力学分析—ｃＦＤ软件原理与应用［Ｍ］．北京：清华 轮间距都有一个最优值，上叶轮罐径比取０．４４７、下叶轮罐径比取 大学出版社，２００４． ０．４７３、上下叶轮间距与罐体高度比取０．２６７、下叶轮与罐底距离与 ［３］袁恩熙．工程流体力学［Ｍ］．北京：石油工业出版社，２００５． ［４］费祥麟．高等流体力学［Ｍ］．西安：西安交通大学出版社，１９８９． 罐体高度取０．０７３、叶片数取四片、上叶片倾角取４５。、下叶片倾角 ［５］陶文铨．数值传热学［Ｍ］．西安：西安交通大学出版社，１９８８． 取４５ｏ、挡板宽度与罐体高度比取Ｏ．１、挡板高度与罐体高度比取 ［６］王凯，冯连芳．混合设备设计［Ｍ］．北京：机械工业出版社，２０００． ０．１７８，对于大排量在（１２￣１６）ｍ３／ｍｉｎ，转速取２５０ｄｍ，最为合适。 【７］于勇．ＦＬｕＥＮＴ入门与进阶教程［Ｍ］ Ｅ京：北京理工大学出版社，２００８． ［８］韩占忠，王敬，兰小平．ＦＬＵＥＮＴ流体仿真计算实例与应用［Ｍ］．北京： 参考文献 北京理工大学出版社，２００６． ［１］刘振学，黄仁和，田爱民，等．实验设计与数据处理［Ｍ］．北京：化学工 ［９］江帆，黄鹏．ＦＬＵＥＮＴ高级应用与实例分析［Ｍ］．北京：清华大学出版 、 出版社．２００５． 社．２ｏｏ８． ５８ 李晋等：螺旋锥齿轮传动强度的计算 Ｍ３＝２．２５ｍ￣Ｆ 第３期 （５） 轮更适合赫兹解——两个椭圆双曲体接触问题赫兹解，这些解考 虑主法向当量曲率 。和 。在螺旋锥齿轮传动中不是零，最大 接触压力按下述公式ｐ确定。即： ｏ－．＝３Ｐ／２＂ｒｒａｂ （２） 按照假定梁上法向应力沿厚度按线性规律分布： ＝丁２Ｘ Ｆ （６） 式中：ｎ，６一接触椭圆半轴（点接触，由于齿变形转变为椭圆面 积），。，ｂ的大小与接触面当量曲率 。和占 有关。 计算约束处应力弯矩后，使它等于外力弯矩，考虑公式（５） 和（６）有： Ｍ３＝ｂ ｔｒｘｄｘ ６ｓ２＝２・２ ， （７） 应用基于公式（１）的传统计算方法提供了较好的结果，如果 基于公式（１）与原始强度计算很好地吻合，但在较好的磨合性表 面条件时这些结果却与实验结果不能很好地吻合。 航空齿轮传动中有很高的表面硬度，并且表面不能很好的 采用： Ｓ＝Ｓｍ＝．．（ａｘｌ２＋ｘ ）ｍ ，Ｓｍ（ｗ／２－ｘ ） ＝￣２（８） 磨合。因此在航空传动表面强度计算中应当基于两个椭圆双曲体 赫兹解的算法 ，或者应用非赫兹解接触问题的算法 。文献 表 明，按彼此近似算法得到的结果与按传统方法［２１得到的结果有相 当大的差别。因此问题变为基于公式（２）研究预强度计算方法。 ２基本计算阶段 在解问题时，已知传动比 ，大小齿轮允许的弯曲应力为 ［ ］ 和［ ］ ，计算寿命时允许的接触应力为［ ］Ｈ，计算峰值载 荷时允许最大接触应力为［ ］Ｈ一允许最大弯曲应力为［盯］ ， 如果已知Ｂｅｎｅｐａ曲线图、传动寿命、接触疲劳强度和弯曲疲劳强 度极限，计算允许应力可以按传统方法进行。 计算锥齿轮传动的基本尺寸由三个阶段组成，第一阶段预 先计算应用于精加工齿时的刀具和传动参数。应用的附加原始数 据有：峰值载荷（例如齿轮轴上峰值力矩 ）、杨氏模量、泊松系 数、期望螺旋角 和廓形角ＯＺ。计算结果是：小齿轮和大齿轮齿数 ｚ２；分锥角６ 、 ；中点法向模数ｍ 和外切向模数ｍ ，齿圈宽ｂ， 高度修正系数 。和 切向修正系数 和Ｘｔ２；小齿轮和大齿轮齿 跟角 、 ，齿轮其余几何参数按公式Ｉ１计算。第二个阶段是满足 寿命条件、切齿机床通用调整，目的得到齿侧面的综合计算要求。 第三阶段是大量的原始计算（传动分析）；在满足分析结果的情况 下进行修正参数的综合计算或传动的设计计算。 ３确定齿轮的尺寸 齿轮的传动空间基本上决定于模数、齿数和齿圈宽度。齿圈 宽度可以认为等于中间锥距Ｒ的１／４。 ｂ＝０．２５Ｒ＝ｚ２ｍ ／８ｃｏｓｆｓｉｎｔ￣２ （３） 这种情况下，确定传动尺寸问题归结为确定最小齿数 的 问题：（１）确定大齿轮齿数ｚ２（取整数），且保证得到的传动比 ＝ ｚ ．与理论值“相当接近，即要求的传动比 达到Ｉ ｕ一 Ｉｌｕ＜．Ｏ．０４； （２）满足弯曲强度条件 ≤［ ］ 和疲劳条件ｏｒ，≤［ ］Ｆ，根据 条件确定齿数一定时最小模数值 ；（３）满足接触强度条件 ≤［ ］ 和疲劳条件 ≤［ 。 为了满足弯曲强度和疲劳强度条件，在粗略评价弯曲应力 时，计算模型图可作为一个悬梁来研究，其长度ｈ＝２．２５ｍ ，矩形截 面不变，宽度为ｂ，厚度为Ｓ，可以认为载荷： — Ｌ 一：— Ｌ （４） Ｒ帕ｃｏｓ ｃｏ ， ２ｃ０ｓ … 施加在梁的自由端，并垂直它的中性线。公式（４）中 为齿 轮轴上扭矩， 为齿轮平均分度网半径，约束处弯矩 切向修正系数 由大小齿轮轮齿等强度条件确定。 由公式（７）得出，在小齿轮、大齿轮轮齿应力盯 、ｏｒ 反比于 齿厚Ｓ ，和Ｓ 的平方，因此考虑公式（８）得到确定 的方程： （Ｉｒ／２＋ｘ ） ／（￣／２－ｘ ）一＝Ｅｏ－￣ ／Ｅｏ－￣Ｆ 忽略 有‘一 ． ， ．、『（ ‘一［ ］‘）／＿ ］ ］ 将公式（８）代如公式（７），考虑公式（３）和（４），得： Ｋ 一Ｍ２ （９） ； （＂ｒｒ／２＋ｘ￣＿）ｃｏｓ 在公式（９）中引入与大齿轮圆周速度有关的动载荷系数Ｋ 对Ｋ 不研究，在近似计算时采用Ｋ ＝１．２，相对ｍ 展开公式（９） 得到保证强度和弯曲疲劳强度的最小模数ｍ 。即： …（ ，慧） ４估算最大接触应力 为了检验接触强度和弯曲强度，在选择齿数过程中必须估 算在力矩作用下最大接触应力，具体方法如下： 假定轮齿接触状态仅两个齿，齿的接触点分布在齿圈 分度圆锥上，在这种情况下，轮齿相互接触作用力可以利用关系 式（４）计算。可以认为附加锥齿侧截面是渐开线。小齿轮和大齿轮 在接触点廓形曲率半径ｐ 、Ｐ 确定为Ｐ ＝Ｒｍ．ｓｉｎａ，ｐ Ｒｍ２ｓｉｎａ。建 立原点在表面接触点Ｋ的坐标系为Ｋｕｖｔ，坐标平面 是与Ｋ点 齿表面的切平面，轴 指向齿切线，轴ｔ指向大齿轮齿内。在该坐 标系中齿的侧面由下列函数确定。ｔｌ＝４。（ ， ）、 Ｆ （“， ）及： Ａｔ＝ｔ２－ｔ ．（ｕ ／２） （ ‘／２） （１０） 式中：△ｒ表面间的间隙。 如果 、 ，很小，则它们可以作为表面当量曲率。在这些假 定下，赫兹解是正确的，按照这个解接触面积是半轴ｎ。、啦的椭 圆，接触压力图是半椭圆体。 ０，其它 式中： —最大接触压力。 丢去 在公式（１１）中引入动载荷系数Ｋ ， 与传动旋转速度有 Ｎｏ．３ Ｍａｒ．２０１２ 关，取Ｋ，ｗ＝１．２。 机械设计与制造 表１机床调整值 ５９ 接触椭圆半轴 定。 有关系。２：７７ 而系数叩由下列方程确 寿 ｚ 惹 样），当量曲率等于表面绝对曲率之和， ＝Ｊ＿＋ 。 ） 最大接触压力与小齿轮转角关系曲线，如图２（ａ）所示；法 式中：ｃ＝ （１一 ）一轮齿材料刚度（为简单起见大小齿轮材料一 要求接触椭圆长半轴为齿圈宽度５０％，即 ＝０．５ｂ，这个条 件能保证接触点局部化。用步距法解方程式第一式，应用辛普 如图２（ｂ）所示。图２描述了 森法计算积分Ｊ（ｒｊ）。接触椭圆半轴比 与载荷和材料的机械性 向力（Ｎ）与小齿轮转角关系曲线图，能无关。它仅决定于接触表面形状，利用公式（４）和（１Ｏ）计算半 齿轮啮合时接触副得到的结果，最大接触压力在接触时试验压力 ０１ｋｇ／ｍｍ 。 轴ａ 和ｃｈ后确定值 ，考虑到接触应力与力矩立方根成比例， 等于１求出ｏ－， ＶＭ２．￣，／Ｍ２一，应用此式检查峰值载荷。 设计传动的检查结果计算利用文献【７算法进行，提供的结 Ｉ果，如表２所示。在扭矩 作用时，小齿轮计算结果，如图３所 ５应用实例 要求确定弧齿锥齿轮正交传动的尺寸及在下列原始数据时 轮齿精加工调整、传动尺寸和轮齿加工过程参数均不受。非 逆转传动６级精度按３ｘ１０ 循环计算。工作面为小齿轮凹面。小 齿轮螺旋方向为左旋。展成副及大小齿轮材料相同，并进行磨削 （ＺＲ＝Ｉ），轮齿形状为渐开线齿廓。扭矩单位用ｋｇ．ｍｍ，允许应力单 位用ｋｇ．／￣ｍ２其余数据：Ⅱ＝１．４８，ａ＝２０￣，，８＝３５。，Ｍ２＝３９６００， ：４７０ｏ０，Ｅ＝２００００，ｖ＝０．３，ＨＲｃ一６０， 示。小齿轮外形和转角妒…＝０．１ １弧度得到凹面瞬时接触斑点，如 图３（ａ）所示。 表２传动强度 ［ ］ ２７Ｏ，［ ］‰＝ｌ（）ｏ，［ｏ＇］￣１２５，［ｏ－］ｎ－－４７， ｌｏ－］，２＝４９。 ２８ ｏ １４ ／’ Ｉ （ａ）小齿轮凹面瞬时接触斑点 （ｂ）不同齿圈截面最大应力曲线图 图３接触斑点与拉应力曲线图 在不同齿圈截面最大拉应力的曲线图，如图３（ｂ）所示。按照 相对坐标 确定齿圈截面，可以看出在离外端约０．６５ｂ处截面上 达至ｑ最大应力值２８ｋｇ／ｍｍ。，这大约相应于瞬时接触面积处 的接触应力值。这种强度计算的描述方法主要用于高硬度齿面， ６ 在航空工业中非常有效。 （ａ）接触应力与小齿轮转角关系曲线（ｂ）法向力与小齿轮转角关系曲线 图２接触压力、法向力与小齿轮转角关系曲线图 参考文献 ［１］列舍托夫．螺旋齿轮设计［Ｊｊ＿机械，２００５（４）：８６４． ［２］皮帕洛夫．机械传动分析［Ｊ］．机械，２００３（３）：４９６． 第一阶段计算给出结果（线性尺寸ｍｍ、线速度 ，ｍ／ｓ）： ＝ ２６，ｚｚ＝３８，，ｎ ３．６２，ｂ＝２５．４，ｄ 】＝１３７．６，ｄ￣２＝１９２．７，Ｒ＝１０１．７４，ｖ＝１５。 第二阶段按文献嗍描述的计算进行调整切齿机床，调整值， 如表１所示。 ［３］戈尔芭夫．齿轮齿面弹性分析［Ｊ］．科学，２００１（２９）：５６０． ［４］梅德韦杰夫确定螺旋锥齿轮齿面形状和接触强度条件的调整参数 ［Ｊ］．机械工程，２００７（４）：７５—８２． 为小齿轮图１（ａ）、大齿轮图１（ｂ）齿面接触斑点，如图１所 ［５］马特赫夫．物体接触形态与移动理论分析［Ｊ］＿工程技术，２００４（２８）：４９４． 示。后者是被动大齿轮轴上表征扭矩 疲劳载荷作用时解接触 ［６］梅德韦杰夫．圆锥齿轮压力计算方法ＩＪ］．压力机械，２００８（６）：９—１２ 问题（第三阶段）得到的结果。工作齿面中心部分局部接触斑点十 ［７］梅德韦杰夫．圆锥齿轮弯曲应力计算方法［Ｊ］．机械工程与可靠性，２００９ 分密集。 （４）：３６．
