平面解析几何知识点

（1）直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如果把x轴绕着

交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为叫做直线的倾斜角.

倾斜角[0,180),90斜率不存在. （2）直线的斜率：ky2y1（P(x1x2),ktan．1(x1,y1)、P2(x2,y2)）.

x2x12．直线方程的五种形式：

（1）点斜式：yy1k(xx1) (直线l过点P1(x1,y1)，且斜率为k)．

注：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为xx0． （2）斜截式：ykxb (b为直线l在y轴上的截距). （3）两点式：

yy1xx1 (y1y2，x1x2). y2y1x2x1注：① 不能表示与x轴和y轴垂直的直线；

② 方程形式为：(x2x1)(yy1)(y2y1)(xx1)0时，方程可以表示xy1 （a,b分别为x轴y轴上的截距，且a0,b0）． ab注：不能表示与x轴垂直的直线，也不能表示与y轴垂直的直线，特别是不能表示

任意直线． （4）截距式：

过原点的直线．

（5）一般式：AxByC0 (其中A、B不同时为0)．

一般式化为斜截式：yACAx，即，直线的斜率：k． BBB注：（1）已知直线纵截距b，常设其方程为ykxb或x0．

已知直线横截距x0，常设其方程为xmyx0(直线斜率k存在时，m为k的

倒数)或y0．

已知直线过点(x0,y0)，常设其方程为yk(xx0)y0或xx0．

（2）解析几何中研究两条直线位置关系时，两条直线有可能重合；立体几何中两条

直线一般不重合．

3．直线在坐标轴上的截矩可正，可负，也可为0. （1）直线在两坐标轴上的截距相等．．．．直线的斜率为1或直线过原点． （2）直线两截距互为相反数．．．．．．．直线的斜率为1或直线过原点． （3）直线两截距绝对值相等．．．．．．．直线的斜率为1或直线过原点． 4．两条直线的平行和垂直：

（1）若l1:yk1xb1，l2:yk2xb2

① l1//l2k1k2,b1b2； ② l1l2k1k21. （2）若l1:A1xB1yC10，l2:A2xB2yC20，有

① l1//l2A1B2A2B1且A1C2A2C1．② l1l2A1A2B1B20．

5．平面两点距离公式：

PP(P1(x1,y1)、P2(x2,y2))，12(x1x2)2(y1y2)2．x轴上两点间距离：

ABxBxA．

x1x2x02线段P的中点是，则 ． PM(x,y)1200yy2y1026．点到直线的距离公式：

点P(x0,y0)到直线l：AxByC0的距离：d7．两平行直线间的距离：

两条平行直线l1：AxByC10，l2：AxByC20距离：d8．直线系方程：

（1）平行直线系方程：

① 直线ykxb中当斜率k一定而b变动时，表示平行直线系方程．． ② 与直线l:AxByC0平行的直线可表示为AxByC10． ③ 过点P(x0,y0)与直线l:AxByC0平行的直线可表示为：

Ax0By0CAB22．

C1C2AB22．

A(xx0)B(yy0)0．

（2）垂直直线系方程：

① 与直线l:AxByC0垂直的直线可表示为BxAyC10． ② 过点P(x0,y0)与直线l:AxByC0垂直的直线可表示为：

B(xx0)A(yy0)0．

（3）定点直线系方程：

① 经过定点P0(x0,y0)的直线系方程为yy0k(xx0)(除直线xx0),其中k是待定的系数．

② 经过定点P0(x0,y0)的直线系方程为A(xx0)B(yy0)0,其中A,B是待

定的系数．

（4）共点直线系方程：经过两直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20交

点的直线系方程为A1xB1yC1(A2xB2yC2)0 (除

l2)，其中λ是待定的系数．

9．曲线C1:f(x,y)0与C2:g(x,y)0的交点坐标方程组10．圆的方程：

（1）圆的标准方程：(xa)2(yb)2r2（r0）．

（2）圆的一般方程：x2y2DxEyF0(D2E24F0)． （3）圆的直径式方程：

若A(x1,y1)，B(x2,y2)，以线段AB为直径的圆的方程是：

f(x,y)0g(x,y)0的解．

(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0．

注：(1)在圆的一般方程中，圆心坐标和半径分别是(（2）一般方程的特点：

① x和y2的系数相同且不为零；② 没有xy项； ③ DE4F0 （3）二元二次方程Ax2BxyCy2DxEyF0表示圆的等价条件是：

22① AC0； ② B0； ③ DE4AF0．

222DE1,)，rD2E24F． 22211．圆的弦长的求法：

（1）几何法：当直线和圆相交时，设弦长为l，弦心距为d，半径为r，

l222则：“半弦长+弦心距=半径”——()2d2r2；

2（2）代数法：设l的斜率为k，l与圆交点分别为A(x1,y1)，B(x2,y2)，则

|AB|1k2|xAxB|11|yAyB| 2k（其中|x1x2|,|y1y2|的求法是将直线和圆的方程联立消去y或x，利用韦达定理求解）

12．点与圆的位置关系：点P(x0,y0)与圆(xa)(yb)r的位置关系有三种

①P在在圆外dr(x0a)2(y0b)2r2． ②P在在圆内dr(x0a)2(y0b)2r2．

③P在在圆上dr(x0a)2(y0b)2r2． 【P到圆心距离

222d(ax0)2(by0)2】

13．直线与圆的位置关系：

直线AxByC0与圆(xa)2(yb)2r2的位置关系有三种(dAaBbCAB22):

圆心到直线距离为d，由直线和圆联立方程组消去x（或y）后，所得一元二次方程的判别式为．

dr相离0；dr相切0；dr相交0．

14．两圆位置关系:设两圆圆心分别为O1,O2，半径分别为r1,r2，O1O2d

dr1r2外离4条公切线； dr1r2内含无公切线； dr1r2外切3条公切线；dr1r2内切1条公切线；

r1r2dr1r2相交2条公切线．

15．圆系方程：x2y2DxEyF0(D2E24F0) （1）过点A(x1,y1),B(x2,y2)的圆系方程：

(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)[(xx1)(y1y2)(yy1)(x1x2)]0 (xx1)(xx2)(yy1)(yy2)(axbyc)0,其中axbyc0是直

线AB的方程．

22（2）过直线l：AxByC0与圆C:xyDxEyF0的交点的圆系方程：

x2y2DxEyF(AxByC)0,λ是待定的系数．

（3）过圆C1:xyD1xE1yF10与圆C2:xyD2xE2yF20的交

点的圆系方程：xyD1xE1yF1(xyD2xE2yF2)0,λ是待定的系数．特别地，当1时，

22222222x2y2D1xE1yF1(x2y2D2xE2yF2)0就是

(D1D2)x(E1E2)y(F1F2)0表示两圆的公共弦所在的直线方程，即过两圆

交点的直线． 16．圆的切线方程：

（1）过圆x2y2r2上的点P(x0,y0)的切线方程为:x0xy0yr2． （2）过圆(xa)2(yb)2r2上的点P(x0,y0)的切线方程为:(xa)(x0a)(yb)(y0b)r2 ．

（3）过圆x2y2DxEyF0上的点P(x0,y0)的切线方程为:

D(x0x)E(y0y)F0． 22(4) 若P(x0,y0)是圆x2y2r2外一点,由P(x0,y0)向圆引两条切线, 切点分别为A,B

x0xy0y则直线AB的方程为xx0yy0r2

(5) 若P(x0,y0)是圆(xa)2(yb)2r2外一点, 由P(x0,y0)向圆引两条切线, 切点分别为A,B则直线AB的方程为(x0a)(xa)(y0b)(yb)r2

（6）当点P(x0,y0)在圆外时，可设切方程为yy0k(xx0)，利用圆心到直线距离等于半径，

即dr，求出k；或利用0，求出k．若求得k只有一值，则还有一条斜率不存在的直线xx0．

17．把两圆x2y2D1xE1yF10与x2y2D2xE2yF20方程相减

即得相交弦所在直线方程:(D1D2)x(E1E2)y(F1F2)0 ． 18．空间两点间的距离公式:

若A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，则AB(x2x1)(y2y1)(z2z1) 19、简单线性规划（确定可行域，求最优解，建立数学模型）

⑴、目标函数：要求在一定条件下求极大值或极小值问题的函数。用关于变量是一次不

等式（等式）表示的条件较线性约束条件。

⑵、线性规划：求线性目标函数在线性的约束条件下的最值问题 二、轨迹问题

(一)求轨迹的步骤

1、建模：设点建立适当的坐标系，设曲线上任一点p（x，y） 2、立式：写出适条件的p点的集合

3、代换：用坐标表示集合列出方程式f（x，y）=0 4、化简：化成简单形式，并找出条件 5、证明：以方程的解为坐标的点在曲线上 （二）求轨迹的方法

1、直接法：求谁设谁，按五步去直接求出轨迹

2222、定义法：利用已知或几何图形关系找到符合圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义 3、转移代入法：适用于一个动点随另一曲线上的动点变化问题

4、交轨法：适用于求两条动直线交点的轨迹问题。用一个变量分别表示两条动直线，然后联立，消去变量即可。

5、参数法：用一个变量分别表示所求轨迹上任一点的横坐标和纵坐标，联立消参。 6、同一法：利用两种思维分别求出同一条直线，再参考参数法，找到轨迹方程。 三、椭圆

椭圆：平面内到两定点距离之和等于定长（定长大于两定点间距离）的点的集合

PFce(0e1) 1、定义：PF1PF22a(2aF1F2) 第二定义：dax2y2y2x22、标准方程：221(ab0) 或 221(ab0)；

abab3、参数方程xacos （为参数）几何意义：离心角

ybsin4、几何性质：（只给出焦点在x轴上的的椭圆的几何性质） ①、顶点(a,0),(0,b) ②、焦点(c,0) ③、离心率ec(0e1) aa2④准线：x（课改后对准线不再要求，但题目中偶尔给出）

c5、焦点三角形面积：SPF1F2btan22（设F1PF2）

6、椭圆面积：S椭ab（了解即可）

7、直线与椭圆位置关系：相离（0）；相交（0）；相切（0）

判定方法：直线方程与椭圆方程联立，利用判别式判断根的个数 8、椭圆切线的求法

xxyyx2y21）切点（x0y0）已知时，221(ab0) 切线02021

ababyyxxy2x2 221(ab0) 切线02021

ababx2y22）切线斜率k已知时， 221(ab0) 切线ykxa2k2b2 aby2x2 221(ab0) 切线ykxb2k2a2 ab9、焦半径：椭圆上点到焦点的距离

x2y2 221(ab0) raex0（左加右减）

aby2a2 221(ab0) raey0（下加上减）

ab四、双曲线

1、定义：PF1PF22a 第二定义：

PFce(e1) dax2y22、标准方程：221(a0,b0)（焦点在x轴）

aby2x221(a0,b0)（焦点在y轴） 2ab 参数方程：3、几何性质 ① 顶点(a,0)

② 焦点(c,0) cab ③ 离心率e222xasec （为参数） 用法：可设曲线上任一点P(asec,btan)

ybtanc e1 aa2④ 准线x

cbx2y2x2y2⑤ 渐近线 221(a0,b0) yx或220

aababby2x2y2x221(a0,b0) yx或220 2aabab4、特殊双曲线

x2y2 ①、等轴双曲线221 e2 渐近线yx

aax2y2x2y2 ②、双曲线221的共轭双曲线221

abab 性质1：双曲线与其共轭双曲线有共同渐近线

性质2：双曲线与其共轭双曲线的四个焦点在同一圆上 5、直线与双曲线的位置关系 ① 相离（0）；② 相切（0）； ③ 相交（0） 判定直线与双曲线位置关系需要与渐近线联系一起 0时可以是相交也可以是相切 6、焦半径公式

x2y221(a0,b0) 点P在右支上 rex0a（左加右减） 2ab 点P在左支上 r(ex0a)（左加右减）

y2x21(a0,b0) 点P在上支上 rey0a（下加上减） a2b2 点P在上支上 r(ey0a)（下加上减） 7、双曲线切线的求法

xxyyx2y2 ① 切点P(x0,y0)已知 221(a0,b0) 切线02021

ababyyxxy2x2 221(a0,b0) 切线02021

ababbx2y2222② 切线斜率K已知 221 ykxakb(k)

aabby2x2222 221 ykxabk(k)

aab8、焦点三角形面积：SPF1F2bcot22（为F1PF2）

（重要）弦长公式：ykxb与曲线交与两点A、B则

1dABx2x11k2y2y112 k