第4节 数列Sn、an的求法--学生版A4

数列Sn、an的求法

一、Sn的求法 类型一 分组转化法

.

1.(教材P61.4)求和 (1)(a1)(a22)(ann)；

(2)(2351)(4352)(2n35n).

2.(2010重庆文)已知an是首项为19，公差为2的等差数

列，Sn为

an的前n项和.

(Ⅰ)求通项an及Sn； (Ⅱ)设bnan是首项为1，公比为3的等比数列，求数列bn的通项公式及其前n项和Tn.

类型二 裂项相消法

题型： . 方法： . 裂项规则(1): .

1.(教材P47.4)求数列1n(n1)的前n项和Sn.

2.(2010山东文理)已知等差数列

an满足：a37，

a5a726.an的前n项和为Sn.

(Ⅰ)求

an 及Sn；(Ⅱ)令b1na2n1,(nN*), 求数列

bn的前n项和Tn.

数列Sn、an的求法 Учитель Цзи 3.(2010安徽理数)设数列a1,a2,,an,中的每一 项都不为0。 证明：an为等差数列的充分必要条件是：对任何 nN*，都有111na1a2a2a3anan1a1an1. 4. 求数列1(2n1)(2n1)的前n项和Sn. 裂项规则(2)： . 5. 求数列1n(n1)(n2)的前n项和Sn.

裂项规则(3)： . 6. 求数列1n(n1)(n2)(n3)的前n项和Sn. 裂项规则(4)： . 7. 求数列1nn1的前n项和Sn. 题型三 错位相减法 题型： . . 步骤：1.写出： ①； 2.写出： ②； （q为等比数列的公比）； 注意：1) 2) 3.作差： ①-②得， 4.化简求Sn. 注意：若q为字母时，需要讨论 q1和q0,1的情况. 1.(教材P61.4)求和 12x3x2nxn1. 2 数列Sn、an的求法 Учитель Цзи 2.(2010新课标卷理)设数列an满足a12， 4.(2010四川文数)已知等差数列{an}的前3项和为6， 前和为4。 （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）设bnan1an322n1.(作第二问) 2n1 (Ⅰ) 求数列an的通项公式an2； (Ⅱ) 令bnnan，求数列bn的前n项和Sn. 3.(2010安徽文)设C1,C2,,Cn,是坐标平面上的一列圆 (4an)qn1(q0,nN*)，求数列 {bn}的前n项和Sn 二、an的求法 类型一 已知Sn或an与Sn的关系，求an. 方法： . 注意： . 1.(2010江苏卷)设各项均为正数的数列x相 切，对每一个正整数n,圆Cn都与圆Cn1相互外切，以rn表 示Cn的半径，已知{rn}为递增数列. (Ⅰ)证明：{rn}为等比数列； n（Ⅱ）设r11，求数列{rn} 的前n项和.

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它们的圆心都在x轴的正半轴上，且都与直线y33Sn，已知2a2a1a3，数列数列. (Ⅰ)求数列S是公差为d的等差nan的前n项和为an的通项公式（用n,d表示）； 3k且mn的任 (Ⅱ)设c为实数，对满足mn意正整数m,n,k，不等式Sm求证：c的最大值为 92SncSk都成立. . (只做(Ⅰ)) 数列Sn、an的求法 Учитель Цзи 2.(2009年广东卷文) 已知点(1,1是函数3)f(x)ax(a0,且 4.(2009浙江文)设Sn为数列{an}的前n项和，Snkn2n, , a1）的图象上一点,等比数列{an}的前n项和为 nN*，其中k是常数. (Ⅰ) 求a1及an； (Ⅱ) 若对于任意的mN*f(n)c,数列{bn}(bn0)的首项为c,且前n项和 Sn满足Sn－Sn1=Sn+Sn1（n2）. (Ⅰ)求数列{an}和{bn}的通项公式； 1(Ⅱ)若数列{bbam,a2m,a4m成等比数列，求k的值. 5.(2009安徽文)已知数列{an}的前n项和Sn数列{bn}的前n项和Tn 2n22n，前n项和为Tn，问Tn>1000的最小 }2009nn1正整数n是多少? 3.(2009山东卷理)等比数列{an}的前n项和为Sn,已知对任意的nN,点(n,Sn),均在函数ybxr(b0且b1,b,r均为常数)的图像上. (Ⅰ)求r的值； (Ⅱ)当b2时，bn2(log2an1)(nN)证明：对任意的nN ，不等式 2bn. (Ⅰ) 求数列{an}与{bn}的通项公式； 2(Ⅱ) 设cnanbn，证明：当且仅当n3时，cn1cn. b1b11b21·······nn1成立. b1b2bn

4 数列Sn、an的求法 Учитель Цзи 类型二 已知an1anf(n)，a1，求an. 3.(2009山东英雄山)已知数列{an}中，a1 (Ⅰ)令bn (累加法-等差数列通项公式推到方法) 特点：(1) ； (2) ； (3) . 方法：累加法an 1，点 2(n,2an1an)在直线yx上，其中n1,2,3. an1an1，求证数列{bn} 是等比数列；(Ⅱ)求数列{an}的通项公式. (5.3P121A组7)  . 1.(2010新课标卷理)设数列an满足a12，an1an322n1. (Ⅰ) 求数列an的通项公式； (Ⅱ) 令bnnan，求数列bn的前n项和Sn. 2.(2009杭州)数列{an}中，a1t,a2t2，其中t0,1，xt是函数f(x)an1x33[(t1)anan1]x1 (n2)的一个极点. (Ⅰ)证明：数列{an1an}是等比数列； (Ⅱ)求an.(5.3P121A组6)

类型三 已知an1anf(n)，a1，求an. (累乘法-等比数列通项公式推到方法) 方法：累乘法an . 1.已知数列{an1n}满足：a11，2anan1(n2)， 求数列{an}的通项公式. 5

数列Sn、an的求法 Учитель Цзи 类型四 已知an1qanb，a1，求an.(差比数列型) an1qanb； 类型五 已知an1qanbnc，a1，求an. bnc 方法：待定系数法 步骤：(1)数列方程 方法：待定系数法，两边同时加上 ，则有[an1 ]qan (2)待定系数 ； (3)求. ； (4) an1 q(an )； (5){an}为等比数列. 1.已知数列{an}满足：a11，an13an1，求数列 {an}的通项公式. q[an n ] x ; x ; 令  y . y .  n }是等比数列，公比为q. 1.(2008东北三校) 已知数列{an}满足：a11， fn(x)an1x2(2ann)x对一切nN*都有 于是{anfn(1)0，求an. 2.类型二 3 直接做第(Ⅱ)问. 6

f(x)(x1)2， g(x)10(x1)，数列{an}满足对任意nN*有an1且 a12，(an1an)g(an)f(an)0. 9(n2)(an1)， (Ⅰ)求an； (Ⅱ)若bn10当n取何值时，数列bn取最大值，并求出最大值. 2.(2008江苏盐城六校)已知

数列Sn、an的求法 Учитель Цзи 类型六 已知an1bancan，a1，求an. 类型八 已知an1qanbpn，a1，求an. 方法： ，则有 方法：取倒数，有 ，再接 . ，再接 . 1.已知数列{a2，a2ann}满足：a1n13an，求an. 类型七 已知an1paqn(an0)，a1，求an. 特点： . 方法：取对数，则有 ，再接 . 特别地，若p1，则 . 1.已知数列{a2n}满足：a12，an110an，求数列an.

1.已知数列{an}满足:a16,an12an3n,求数列an. 类型九 已知an2pan1qan0，a1，a2，求an. 特点：(1) ； (2) ； (3) . 方法：令pq ，解出x1,x2. 则有 an2( )an1( )an0 an2 an1 [an1 an] 从而 { }是等比数列，公比为 . 于是an2x1an1(a2x1a1)(x12)n，再接类型八. 1.已知数列{an}满足：a112,a21， an25an16an0，求数列{an}的通项公式. 7