2018年高考数学 常见题型解法归纳反馈训练 第32讲 不等式的解法

【知识要点】

一、一元一次不等式的解法

任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为axb(a0)的形式.

当a0时，不等式的解集为xx2b；当时，不等式的解集为a0xxab. a二、一元二次不等式axbxc0(a0)的解法

1、二次不等式f(x)axbxc0（a0）的解法：最好的方法是图像法，充分体现了数形结合的思想.也可以利用口诀（大于取两边，小于取中间）解答.

2、当二次不等式f(x)axbxc0(a0)时，可以画图，解不等式，也可以把二次项的系数a变成正数，再利用上面的方法解答. 3、温馨提示

（1）不要把不等式ax2bxc0看成了一元二次不等式，一定邀注意观察分析x2的系数. （2）对于含有参数的不等式注意考虑是否要分类讨论.

（3）如果运用口诀解一元二次不等式，一定要注意使用口诀必须满足的前提条件. （4）不等式的解集必须用集合或区间，不能用不等式，注意结果的规范性. 三、指数不等式和对数不等式的解法

解指数不等式和对数不等式一般有以下两种方法

(1)同底法：如果两边能化为同底的指数或对数，先化为同底，再根据指数、对数的单调性转化为代数不等式，底数是参数时要注意观察分析是否要对其进行讨论，并注意到对数真数大于零的条件.

①当a1时,

22af(x)ag(x)f(x)0f(x)g(x); logaf(x)logag(x)g(x)0

f(x)g(x)②当0a1时,

af(x)ag(x)f(x)0f(x)g(x); logaf(x)logag(x)g(x)0

f(x)g(x)(2)对指互化法：

如果两边不能化成同底的指数或对数时，一般用对指互化法.

对数不等式两边取指数，转化成整式不等式来解；指数不等式两边取对数，转化成整式不等式来解.

axb(a1)loga(ax)logabxlogab axb(0a1)loga(ax)logabxlogab

x0x0 logaxblogxbaaxbax0x0logaxblogxbaaaxb四、分式不等式的解法

(其中a1)

(其中0a1)

g(x)0f(x)0的形式→化成不等式组把分式不等式通过移项、通分、因式分解等化成→解g(x)f(x)g(x)0不等式组得解集.

温馨提示：解分式不等式一定要考虑定义域. 五、高次不等式的解法

先把高次不等式分解因式化成(xa1)(xa2)(xa3)(xan)0的形式（x的系数必须为正）→标

记方程的实根（注意空心和实心之分）→穿针引线，从右往左，从上往下穿（奇穿偶不穿）→写出不等式的解集.

实际上，序轴标根法适用于所有的整式不等式，根据它可以很快地写出整式不等式的解集. 六、绝对值不等式的解法

方法一：公式法 解只含有一个绝对值形如axb()c的不等式，一般直接用公式

xaxa或xa xaaxa，注意集合的关系和集合的运算，集合的运算主要利用数

轴.

方法二：零点讨论法 解含有两个绝对值形如xaxb()c的不等式，常用零点讨论法和数形结合法.注意小分类求交大综合求并.

方法三：平方法 如果绝对值的不等式的两边都是非负数，如：x3，可以使用平方法. 七、无理不等式的解法

无理不等式一般利用平方法和分类讨论解答.

无理不等式转化为有理不等式，要注意平方的条件和根式有意义的条件，一般情况下，f(x)g(x)可

转化为f(x)g(x)或f(x)g(x)，而

f(x)0f(x)g(x)等价于：或g(x)0g(x)0f(x)0．

f(x)[g(x)]2八、抽象的函数不等式的解法

一般利用函数的单调性解答，先研究函数的单调性，再利用函数的单调性把抽象的函数不等式转化成具体的函数不等式解答. 【方法讲评】

不等式一 2一元二次不等式 1、二次不等式f(x)axbxc0（a0）的解法：最好的方法是图像法，充分体现了数形结合的思想.也可以利用口诀（大于取两边，小于取中间）解答. 解题方法 2、当二次不等式f(x)axbxc0(a0)时，可以画图，解不等式，也可以把二次项的系数a变成正数，再利用上面的方法解答.

【例1】 解关于x的不等式ax2(a1)x10．

2

②当a0时，①式变为(x)(x1)0． ② ∵

1a11a111，∴当0a1时，1，此时②的解为1x．当a1时，1，此时②的解为1aaaaa1x1． a【点评】解本题要注意分类讨论思想的运用，关键是要找到分类的标准，就本题来说有三级分类：

a0a0aR0a1 a0a0a1a1分类应做到使所给参数a的集合的并集为全集，交集为空集，要做到不重不漏．另外，解本题还要注意在讨论a0时，解一元二次不等式ax2(a1)x10应首选做到将二次项系数变为正数再求解．

【反馈检测1】 解关于x的不等式x2(aa2)xa30． 不等式二 指数不等式 (1)同底法：如果两边能化为同底的指数或对数，先化为同底，再根据指数、对数的单调性转化为代数不等式，底数是参数时要注意观察分析是否要对其进行讨论，并注意到对数真数大于零的条件. 解题方法 (2)对指互化法：如果两边不能化成同底的指数或对数时，一般用对指互化法.对数不等式两边取指数，转化成整式不等式来解；指数不等式两边取对数，转化成整式不等式来解. 【例2】解不等式22x16()1x8

12

【点评】解这类指数不等式，常常需要通过变量代换把它变为整式不等式来解.

【反馈检测2】解关于x的不等式：2

不等式三 3x2xa(2x2x)（其中a0）

对数不等式 (1)同底法：如果两边能化为同底的指数或对数，先化为同底，再根据指数、对数的单调性转化为代数不等式，底数是参数时要注意观察分析是否要对其进行讨论，并注意到对数真数大于零的条件. 解题方法 (2)对指互化法：如果两边不能化成同底的指数或对数时，一般用对指互化法.对数不等式两边取指数，转化成整式不等式来解；指数不等式两边取对数，转化成整式不等式来解.

【例3】已知a0且a1，关于x的不等式ax1的解集是xx0，解关于x的不等式

1loga(x)0的解集.

x

【点评】本题选同底法解答，把0写成loga1，再利用对数函数的图像和性质将不等式变成分式不等式 组解答.

2【反馈检测3】解不等式logx1(xx2)1.

不等式四 分式不等式 把分式不等式通过移项、通分、因式分解等化成f(x)0的形式→化成不等式组g(x)解题方法 g(x)0→解不等式组得解集.把分式不等式通过移项、通分、因式分解等化成f(x)g(x)0g(x)0f(x)0的形式→化成不等式组→解不等式组得解集. g(x)f(x)g(x)0【例4】 解关于x的不等式

a(x1)1

x2

【点评】分析：若将原不等式移项、通分整理可得：显然，现在有两个问题：（1）a1的符号怎样？（2）准所在.

(a1)x(a2)0x2[(a1)x(a2)](x2)0

a2与2的大小关系怎样？这也就是本题的分类标a1x22x2x． 【反馈检测4】 解不等式

32xx2

不等式五 高次不等式 先把高次不等式分解因式化成(xa1)(xa2)(xa3)解题方法 (xan)0的形式（x的系数必须为正）→标记方程的实根（注意空心和实心之分）→穿针引线，从右往左，从上往下穿（奇穿偶不穿）→写出不等式的解集. 【例5】解不等式： 2x3x215x0

【点评】如果多项式f(x)可分解为n个一次式的积，则一元高次不等式f(x)0（或f(x)0）可用“穿根法”求解，但要注意处理好有重根的情况．

【反馈检测5】(x4)(x5)(2x)0

不等式六 绝对值不等式 方法一：公式法 解只含有一个绝对值形如axb()c的不等式，一般直接用公式23xaxa或xa xaaxa，注意集合的关系和集合的运算，集合的运算主要利用数轴. 解题方法 方法二：零点讨论法 解含有两个绝对值形如xaxb()c的不等式，常用零点讨论法和数形结合法.注意小分类求交大综合求并. 方法三：平方法 如果绝对值的不等式的两边都是非负数，如：x3，可以使用平方法. 【例6】|x5||2x3|1

【点评】该题由于有两个不等式，所以一般利用零点讨论法.对于含有两个和两个以上的不等式，一般利用零点讨论法.

【反馈检测6】解不等式x24x2

不等式七 解题方法 无理不等式 无理不等式一般利用平方法和分类讨论解答. 【例7】 解关于x的不等式2axa21x(a0)．

2axa20,2xa20,【解析】原不等式(1)1x0,或(2)

1x0.222axa(1x);ax,a2x,由a0，得：(1)x1, (2)2

22x1.x2(a1)xa10;由判别式4(a1)24(a21)8a0，故不等式x22(a1)xa210的解是

a12axa12a．

当0a2时，组(2)的解是x1．

当a2时，不等式组(1)无解，(2)的解是xaa12a1，a12a1，不等式组(1)的解是a12ax1，不等式2a． 2综上可知，当0a2时，原不等式的解集是a12a,；当a2时，原不等式的解集是

a,． 2【点评】本题分类讨论标准“0a2，a2”是依据“已知a0及(1)中‘x‘xa，x1’，(2)中2a，x1’”确定的．解含有参数的不等式是不等式问题中的难点，也是近几年高考的热点．一般地，2分类讨论标准（解不等式）大多数情况下依“不等式组中的各不等式的解所对应的区间的端点”去确定．本题易误把原不等式等价于不等式2axa2(1x)．纠正错误的办法是熟练掌握无理不等式基本类型的解法．

【反馈检测7】解不等式x23x108x．

不等式八 解题方法 不等式转化成具体的函数不等式解答. 【例8】若非零函数f(x)对任意实数a,b均有f(ab)f(a)f(b)，且当x0时，f(x)1. （1）求证：f(x)0；（2）求证：f(x)为减函数； （3）当f(4)抽象函数不等式 一般利用函数的单调性解答，先研究函数的单调性，再利用函数的单调性把抽象的函数11时，解不等式f(x3)f(5x2). 1

（3）由f(4)f2(2)11，由（1）f(2) 122原不等式转化为f(x35x)f(2)，结合（2）得：x2x20x1

故不等式的解集为x|0x1

【点评】（1）第（3）问的关键是找到f(?)体函数不等式.

【反馈检测8】函数f(x)对任意x，y(0，)满足f(xy)f(x)f(y)且当x1时，f(x)0. （l）判断函数f(x)的单调性并证明相关结论；

（2） 若f(2)1，试求解关于x的不等式f(x)f(x3)2.

【反馈检测9】【2017江苏，11】已知函数f(x)x32xex1, 其中e是自然对数的底数. 若 ex1，再利用函数的单调性把抽象的函数不等式转化成具4f(a1)f(2a2)≤0,则实数a的取值范围是 .

高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第32讲：

不等式的解法参

【反馈检测1答案】见解析

【反馈检测2答案】见解析

【反馈检测2详细解析】解原不等式得：2(22x2x1)a(22x1),即

4x(4x1)a(4x1),(4xa)(4x1)0

当0a1时,a4x1,此时不等式的解集为(log4a,0)

当a1时,(4x1)20,此时不等式无解当a1时,14xa,此时不等式的解集为(0,log4a)

【反馈检测3答案】x3

【反馈检测3详细解析】[法一]原不等式同解于

所以原不等式的解为x3. [法二]原不等式同解于

logx1(x2x2)logx1(x1)

所以原不等式的解为x3.

【反馈检测4答案】{x1x2或x3}

【反馈检测5答案】xx5或5x4或x2 【反馈检测5详细解析】原不等式等价于

(x4)(x5)2(x2)30 x5x50(x4)(x2)0x4或x2∴原不等式解集为xx5或5x4或x2 【反馈检测6答案】x1x3

22x40x40【反馈检测6详细解析】解法一：原不等式 或22x4x24xx2x2或x22x2或即 ∴2x3或1x2

2xxx2或x1故原不等式的解集为x1x3．

解法二：原不等式等价于 (x2)x4x2

22x3x4x2故1x3． 即 ∴2x1或x2x4(x2)274【反馈检测7答案】xx

13

【反馈检测8答案】（1）f(x)在(0,)上单调递减；（2）x3x4}. 【反馈检测8详细解析】（1）f(x)在(0,)上单调递减

任取x1x2,且x1,x2(0,) 则f(x2)f(x1x2x)f(x1)f(2) x1x1f(x2)f(x1)f(x2x) 0x1x2 f(2)0 x1x1f(x2)f(x1)0即f(x1)f(x2) f(x)在(0,)单调递减

（2）f(4)f(2)f(2)2 原不等式可化为f(x(x3))f(4)

又f(x)在（0，）上单调递增

x0x30 解得3x4 原不等式解集为x3x4}. x(x3)4【反馈检测9答案】[1,]

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