2022-2023学年北京通州区高二下学期期末数学试题及答案

数 学 试 卷 2023年7月

本试卷共4页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，请将答题卡交回。

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）二项式(x2)5的展开式的第3项为

（A）40x2 （B）80x2 （C）40x3 （D）80x3 （2）4名学生与1名老师站成一排照相，学生请老师站在正中间，则不同的站法种数为

（A）12

（B）18 （C）24 （D）48

（3）已知函数f(x)ex，则f(x)的导函数f(x)

（A）e （B）ex （C）ex （D）e （4）已知函数f(x)xlnx，则f(x)的单调递减区间为

（A）(,)

xx1e （B）(0,) （C）(0,) （D）(,)

1e1e（5）已知离散型随机变量X的分布列为P(Xi)1（i1，2，3，4），则P(X≤2) 4（A）

113 （B） （C） （D）1 4241111 （B） （C） （D） 1612842（6）将一枚质地均匀的硬币重复抛掷4次，恰好出现3次正面朝上的概率为

（A）

（7）已知随机变量X服从正态分布N2,，且P0X20.2，则PX4

（A）0.3 （B）0.4 （C）0.6 （D）0.8

高二数学试卷 第1页（共4页）

（8）篮球运动员在比赛中每次罚球得分的规则是：命中得1分，不命中得0分．已知某篮球运动员罚

球命中的概率为0.8，设其罚球一次的得分为X，则

（A）E(X)0.5，D(X)0.20 （B）E(X)0.5，D(X)0.25 （C）E(X)0.8，D(X)0.12 （D）E(X)0.8，D(X)0.16 （9）已知函数f(x)的导函数f(x)图象如图所示， 给出下列四个结论：

①f(x)在区间(,3)上单调递增； ②f(x)在区间(0,2)上单调递减； ③f(x)在x0处取得最大值； ④f(x)在x2处取得极小值. 则其中结论一定正确的个数是

（A）1 （B）2 （C）3 （D） 4 （10）已知函数f(x)x2xalnx为其定义域上的单调函数，则实数a的取值范围为 （A）[,)

18 （B）[,) （C）[,) （D）[,) 143812第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

（11）在2道代数题和3道几何题中，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回，设A“第一

次抽到代数题”，B“第二次抽到几何题”，则P(AB) ；P(B|A) ．

8（12）二项式(x)的展开式中常数项为 ．

1x（13）已知函数fxx1，则x2f(x)的零点是 ；极值点是 ．

（14）已知一个三位数，如果满足个位上的数字和百位上的数字都大于十位上的数字，那么我们称该

三位数为“凹数”，则没有重复数字的三位“凹数”的个数为 ．（用数字作答）

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x2ex,x<1（15）已知函数fxex，给出下列四个结论： x,12x①函数

f(x)存在4个极值点；

②

513f()f()f()； 2221)为函数③若点P(x1,y1)(x11)，Q(x2,y2)(x2≥f(x)图象上的两点，则

4ee2； f(x1)f(x2)4④若关于x的方程[f(x)]22af(x)0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是

2e2e2,,.

e82其中所有正确结论的序号是 ．

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （16）（本小题12分）

已知函数fx1312xx2x1. 32（Ⅰ）求f(x)的单调区间及极值；

（Ⅱ）求f(x)在区间[3,0]上的最大值和最小值.

（本小题12分） （17）

袋中有4个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球． （Ⅰ）若每次抽取后不放回，求连续抽取3次至少取到1个黑球的概率； （Ⅱ）若每次抽取后放回，求连续抽取3次恰好取到1个黑球的概率.

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（18）（本小题14分）

某学校为了解高一新生的体质健康状况，对学生的体质进行了测试，现从男､女生中各随机抽取20人作为样本，把他们的测试数据整理如下表，规定：数据60，体质健康为合格.

等级 优秀 良好 及格 不及格 数据范围 男生人数 4 6 7 3 女生人数 6 6 6 2 [90,100] [80,90) [60,80) 60以下 （Ⅰ）估计该校高一年级学生体质健康等级为合格的概率；

（Ⅱ）从样本等级为优秀的学生中随机抽取3人进行再测试，设抽到的女生数为X，求X的分布列和

数学期望；

（Ⅲ）从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人健康等级

是优秀的概率.

（19）（本小题15分）

已知函数f(x)x2mx1，g(x)xlnx1． （Ⅰ）若

f(x)在区间(2,1)上恰有一个极值点，求实数m的取值范围；

（Ⅱ）求g(x)的零点个数；

（Ⅲ）若m1，求证：对于任意x(0,)，恒有

（20）（本小题16分）

已知函数f(x)alnxbx，a,bR. （Ⅰ）当a1，b1时，求曲线yf(x)在点(1,f(x)≥g(x).

f(1))处的切线方程；

（Ⅱ）当a0，b2时，求f(x)在区间1,2上的最大值；

（Ⅲ）当a1时，设g(x)f(x)sinx，判断g(x)在x(0,π]上是否存在极值. 若存在，指出是

极大值还是极小值；若不存在，说明理由.

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（21）（本小题16分）

为了拓展学生的知识面，提高学生对航空航天科技的兴趣，培养学生良好的科学素养，某校组织学生参加航空航天科普知识答题竞赛，每位参赛学生可答题若干次，答题赋分方法如下：第一次答题，答对得2分，答错得1分；从第二次答题开始，答对则获得上一次答题得分的两倍，答错得1分.学生3甲参加这次答题竞赛，每次答对的概率为，且每次答题结果互不影响. 4（Ⅰ）求学生甲前三次答题得分之和为4分的概率；

（Ⅱ）设学生甲第i次答题所得分数Xi(iN)的数学期望为E(Xi).

（i）求E(X1)，E(X2)，E(X3)；

（ii）写出E(Xi1)与E(Xi)(i≥2)满足的等量关系式（直接写出结果，不必证明）； （iii）若E(Xi)10，求i的最小值.

高二数学试卷 第5页（共4页）

通州区2022-2023学年第二学期高二年级期末质量检测 数学参及评分标准 2023年7月

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）

题号 答案 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） C C A B B

第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分） （11）

33；（12）70（13）x1；x2 （14）240 （15）①③④ 104D A D B A 三、解答题（共6小题，共85分） （16）（本小题12分） 解：（Ⅰ）因为fx1312xx2x1，定义域为(,)， 32所以f(x)x2x2.

令f(x)0，解得x2，或x1.

当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表所示.

x (,2) 2 (2,1) 1 (1,) f(x) fx 单调递增 0 13 3 单调递减 0 13； 31 6 单调递增 所以，当x2时，f(x)有极大值，且极大值为f(2)当x1时，f(x)有极小值，且极小值为f(1)1. ……………………8分 613. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，f(x)在区间[3,0]上有极大值为f(2)35因为f(3)，f(0)1.

2

高二数学参及评分标准 第1页（共6页）

所以f(x)在区间[3,0]上的最大值为（17）（本小题12分）

13，最小值为1. ……………………12分 3解：（Ⅰ）设抽取3次，黑球的个数为X，

因为每次抽取后不放回，结果不，所以X服从超几何分布. 所以连续抽取3次至少取到1个黑球的概率为

P(X≥1)P(X1)P(X2)

12C2C13144C24C233. ……………………6分

C6C6555（Ⅱ）设抽取3次，黑球的个数为Y，

因为每次抽取后放回，结果，所以Y服从二项分布. 因为袋中有4个白球、2个黑球，

所以每次抽取后放回，连续抽取3次每次抽取黑球的概率为所以连续抽取3次恰好取到1个黑球的概率为

21=. 631124P(Y1)C1()(1). ……………………12分 3339（18）（本小题14分）

解：（Ⅰ）由表可知，样本中合格的学生数为：46766635，样本总数为：202040， 所以估计该校高一年级学生体质健康等级为合格的概率P（Ⅱ）依题意X的可能取值为0，1，2，3.

1C2C3134C所以PX03，PX1， 3C1030C10102C1C3114C6PX23，PX336.

C102C106357. ……………………3分 408所以X的分布列为：

所以E(X)0X 0 1 2 3 1 6P 1 303 101 213119123. ……………………9分 3010265高二数学参及评分标准 第2页（共6页）

（Ⅲ）设“该校高一年级男生体质健康等级是优秀”为事件A，“该校高一年级女生体质健康等级是优秀”为事件B， 所以P(A)4163，P(B). 2052010115537)； 10250所以随机抽取的3人中，2人健康等级是优秀的为男生的概率为(1随机抽取的3人中，2人健康等级是优秀的为1个男生1个女生的概率为

11311312(1)(1). 55105510125所以估计这3人中恰有2人健康等级是优秀的概率为P（19）（本小题15分）

解：（Ⅰ）因为函数f(x)x2mx1， 所以f(x)的对称轴为x71231. ……………………14分 250125250m. 2因为f(x)在区间(2,1)上恰有一个极值点， 所以2m1. 所以4m2. 2所以实数m的取值范围是(4,2). ……………………4分 （Ⅱ）因为g(x)xlnx1，定义域为(0,)， 所以g(x)lnx1.

令g(x)0，即lnx10，解得x11；令g(x)0，即lnx10，解得x. ee1e所以g(x)在区间(0,)上单调递减，在区间(,)上单调递增.

1e当0x1时，lnx1，所以xlnx10. e1e所以g(x)在(0,)上没有零点.

因为g()10，g(e)e10. 所以g(x)在区间(,)上存在1个零点.

高二数学参及评分标准 第3页（共6页）

1e1e1e所以g(x)的零点个数为1． ……………………10分 （Ⅲ）因为m1，所以f(x)x2x1

所以要证f(x)≥g(x)，即证x2x1≥lnx. ≥xlnx1，只需证x1设g(x)x1lnx，x(0,)， 所以g(x)11x1. xx令g(x)0，得x1；令g(x)0，得x1.

所以g(x)在区间(0,1)上单调递减，在区间(1,)上单调递增. 所以g(x)在区间上的最小值为g(1)0. 所以g(x)≥0，即x1≥lnx.

所以对于任意x(0,)，恒有f(x)≥g(x). ……………………15分 （20）（本小题16分）

解：（Ⅰ）因为a1，b1，所以f(x)lnxx. 所以f(x)11. x所以f(1)1，f(1)2.

所以曲线yf(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y12(x1)，即2xy10.

……………………3分 （Ⅱ）因为b2，所以f(x)alnx2x，定义域为(0,). 所以f(x)a2xa. 2xx令f(x)0，即2xa0，得x因为a0，

aa；令f(x)0，即2xa0，得x. 22a2所以f(x)在区间(0,)上单调递增，在区间(,)上单调递减. ①当≤1，即a≤2时，f(x)在区间1,2上单调递减.

a2a2高二数学参及评分标准 第4页（共6页）

所以fx在区间1,2上的最大值f(1)2. ②当1aaa2，即2a4时，f(x)在区间(1,)上单调递增，在区间(,2)上单调递减.

222a2aa. 2所以fx在区间1,2上的最大值f()aln③当≥2，即a≥4时，f(x)在区间1,2上单调递增.

所以fx在区间1,2上的最大值f(2)aln24. ……………………9分 （Ⅲ）因为a1，g(x)f(x)sinx， 所以g(x)lnxbxsinx，x(0,π] 所以g(x)令hxa21bcosx. x11bcosx，所以hx2sinx. xx1因为x(0,π]，所以h(x)2sinx0. x所以g(x)在区间(0,π]上单调递减. 当x0时，g(x)，又g(π)a①当g(π)a11. π111≥0，即a≥1时，g(x)≥0， ππ所以g(x)在x(0,π]上单调递增， 所以g(x)在x(0,π]上无极值. ②当g(π)a1110，即a1时，g(x)在x(0,π)上有唯一零点x0. ππ所以当x(0,x0)时，g(x)0；当x(x0,π)时，g(x)0. g(x)在(0,x0)上单调递增；在(x0,π)上单调递减. 所以xx0是函数g(x)的一个极大值点，且无极小值. 综上所述，当a≥1当a11时，函数g(x)无极值； π1时，函数g(x)有极大值，但无极小值. ……………………16分 π（21）（本小题16分）

解：（Ⅰ）学生甲前三次答题得分之和为4分的概率，即为学生甲前三次答题中仅只答对一次的概率.

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设“学生甲前三次答题得分之和为4分”为事件A， 33291. ……………………3分 所以P(A)C3(1)44（Ⅱ）（i）学生甲第1次答题得2分、1分的概率分别为所以E(X1)231，， 443171. 44433131，，. 44444甲第2次答题得4分、2分、1分的概率分别为所以E(X2)4331312321. 444448333133131，，，. 44444444433313313173. ……………………7分 所以E(X3)84214444444441631（ii）所以E(Xi1)与E(Xi)满足的等量关系式是：E(Xi)E(Xi1)，iN，i≥2. 24甲第3次答题得8分，4分、2分、1分的概率分别为……………………10分 731，由（ii）知E(Xi)E(Xi1)，iN，i≥2. 424131所以E(Xi)(E(Xi1)) 222193所以数列{E(Xi)}以为首项，公比为的等比数列. 224193i13i11所以E(Xi)()，即E(Xi)(). 242223i11由E(Xi)10，得()10. 223i所以()7. 2348132437， 7，()5因为()216232（iii）由（i）知E(X1)所以i的最小值是5. ……………………16分

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