大纲理数3.E1[2011·全国卷] 下面四个条件中，使a>b成立的充分而不必要的条件是( ) A．a>b＋1 B．a>b－1 C．a2>b2 D．a3>b3 大纲理数3.E1[2011·全国卷] A 【解析】 对A项，若a>b＋1，则a－b>1，则a>b；若a>b，不能得到a>b＋1.
对B项，若a>b－1，不能得到a>b；对C项，若a2>b2，可得(a＋b)(a－b)>0，不能得到a>b；对D项，若a3>b3，则a>b，反之，若a>b，则a3>b3，a3>b3是a>b成立的充分必要条件，故选A.
大纲文数5.E1[2011·全国卷] 下面四个条件中，使a>b成立的充分而不必要的条件是( ) A．a>b＋1 B．a>b－1 C．a2>b2 D．a3>b3 大纲文数5.E1[2011·全国卷] A 【解析】 对A项，若a>b＋1，则a－b>1，则a>b；若a>b，不能得到a>b＋1.
对B项，若a>b－1，不能得到a>b；对C项，若a2>b2，可得(a＋b)(a－b)>0，不能得到a>b；对D项，若a3>b3，则a>b，反之，若a>b，则a3>b3，a3>b3是a>b成立的充分必要条件，故选A.
1
课标文数6.E1[2011·浙江卷] 若a，b为实数，则“0 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 11 课标文数6.E1[2011·浙江卷] D 【解析】 当0 1 当a<0时，则有ab>1，∴“0 课标理数9.E2[2011·广东卷] 不等式|x＋1|－|x－3|≥0的解集是________． 课标理数9.E2[2011·广东卷] {x|x≥1} 【解析】 由|x＋1|≥|x－3|两边平方得x2＋2x＋1≥x2 －6x＋9，即8x≥8，解得x≥1. 课标理数4.E2[2011·山东卷] 不等式|x－5|＋|x＋3|≥10的解集是( ) A．[－5,7] B．[－4,6] C．(－∞，－5]∪[7，＋∞) D．(－∞，－4]∪[6，＋∞) 课标理数4.E2[2011·山东卷] D 【解析】 当|x－5|＋|x＋3|＝10时，求出x1＝6，x2＝－4，画出数轴，显然当x≥6或x≤－4时，满足|x－5|＋|x＋3|≥10. 课标理数1.A1，E3[2011·北京卷] 已知集合P＝{x|x2≤1}，M＝{a}．若P∪M＝P，则a的取值范围是( ) A．(－∞，－1] B．[1，＋∞) C．[－1,1] D．(－∞，－1]∪[1，＋∞) 课标理数1.A1，E3[2011·北京卷] C 【解析】 由P∪M＝P，可知M⊆P，而集合P＝{x|－1≤x≤1}，所以－1≤a≤1，故选C. 课标文数1.A1，E3[2011·北京卷] 已知全集U＝R，集合P＝{x|x2≤1}，那么∁UP＝( ) A．(－∞，－1) B．(1，＋∞) C．(－1,1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 课标文数1.A1，E3[2011·北京卷] D 【解析】 因为集合P＝{x|－1≤x≤1}，所以∁UP＝{x|x<－1或x>1}，故选D. 课标文数6.E3[2011·福建卷] 若关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是( ) A．(－1,1) B．(－2,2) C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 课标文数6.E3[2011·福建卷] C 【解析】 由方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的实数根，得 Δ＝m2－4>0，解得m<－2或m>2，故选C. 课标文数5.E3[2011·广东卷] 不等式2x2－x－1＞0的解集是( ) 1 －，1 A.2B．(1，＋∞) C．(－∞，1)∪(2，＋∞) 1 －∞，－∪(1，＋∞) D.2 课标文数5.E3[2011·广东卷] D 【解析】 不等式2x2－x－1>0化为(x－1)(2x＋1)>0，解1 得x<－或x>1，故选D. 2 课标文数1.E3[2011·山东卷] 设集合M＝{x|(x＋3)(x－2)<0}，N＝{x|1≤x≤3}，则M∩N＝( ) A．[1,2) B．[1,2] C．(2,3] D．[2,3] 课标文数1.E3[2011·山东卷] A 【解析】 由解不等式知识知M＝{x|－3＜x＜2}，又N＝{x|1≤x≤3}， 所以M∩N＝{x|1≤x＜2}． x＋y≤1， 课标文数6.E5[2011·安徽卷] 设变量x，y满足x－y≤1， x≥0， 则x＋2y的最大值和最小值 分别为( ) A．1，－1 B．2，－2 C．1，－2 D．2，－1 课标文数6.E5[2011·安徽卷] B 【解析】 画出可行域(如图所示阴影部分)．可知当直线u＝x＋2y经过A(0,1)，C(0，－1)时分别对应u的最大值和最小值．故umax＝2，umin＝－2. x＋y≤6， 大纲文数4.E5[2011·全国卷] 若变量x，y满足约束条件x－3y≤－2， x≥1， 则z＝2x＋3y的 最小值为( ) A．17 B．14 C．5 D．3 大纲文数4.E5[2011·全国卷] C 【解析】 通过约束条件画出可行域，可知z的最小值为5，故选C. 课标理数8.E5，F3[2011·福建卷] 已知O是坐标原点，点A(－1,1)，若点M(x，y)为平面x＋y≥2， 区域x≤1， y≤2 →→ 上的一个动点，则OA·OM的取值范围是( ) A．[－1,0] B．[0,1] C．[0,2] D．[－1,2] 课标理数8.E5，F3[2011·福建卷] C 【解析】 画出不等式组表示的平面区域(如图1－2)， →→又OA·OM＝－x＋y，取目标函数z＝－x＋y，即y＝x＋z，作斜率为1的一组平行线， 图1－2 当它经过点C(1,1)时，z有最小值，即zmin＝－1＋1＝0； 当它经过点B(0,2)时，z有最大值，即zmax＝－0＋2＝2. →→ ∴ z的取值范围是[0,2]，即OA·OM的取值范围是[0,2]，故选C. 课标文数21.E5，C9[2011·福建卷] 设函数f(θ)＝3sinθ＋cosθ，其中，角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P(x，y)，且0≤θ≤π. 13 (1)若点P的坐标为，，求f(θ)的值； 22 x＋y≥1， (2)若点P(x，y)为平面区域Ω：x≤1， y≤1 上的一个动点，试确定角θ的取值范围，并 求函数f(θ)的最小值和最大值． 课标文数21.E5，C9[2011·福建卷] 【解答】 (1)由点P的坐标和三角函数的定义可得 sinθ＝23，1cosθ＝.2 31 ＋＝2. 22 (2)作出平面区域Ω(即三角形区域ABC)如图1－7所示，其中A(1,0)，B(1,1)，C(0,1)． 于是f(θ)＝3sinθ＋cosθ＝3× 图1－7 π 于是0≤θ≤. 2 πθ＋， 又f(θ)＝3sinθ＋cosθ＝2sin6 ππ2π 且≤θ＋≤， 663 πππ 故当θ＋＝，即θ＝时，f(θ)取得最大值，且最大值等于2； 623ππ 当θ＋＝，即θ＝0时，f(θ)取得最小值，且最小值等于1. 66 课标理数5.E5[2011·广东卷] 已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组 0≤x≤y≤2，x≤2y 2， →→ 给定．若M(x，y)为D上的动点，点A的坐标为(2，1)，则z＝OM·OA的最 大值为( ) A．42 B．32 C．4 D．3 课标理数5.E5 图1－1 →→ [2011·广东卷] C 【解析】 z＝OM·OA＝(x，y)·(2，1)＝2x＋y，画出不等式组表示的区域(如图1－1)，显然当z＝2x＋y经过B(2，2)时，z取最大值， 即zmax＝2＋2＝4. 课标文数6.E5[2011·广东卷] 已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组 0≤x≤y≤2，x≤2y 2， →→ 给定．若M(x，y)为D上的动点，点A的坐标为(2，1)，则z＝OM·OA的最 大值为( ) A．3 B．4 C．32 D．42 课标文数6.E5 图1－1 →→ [2011·广东卷] B 【解析】 z＝OM·OA＝(x，y)·(2，1)＝2x＋y，画出不等式组表示的区域(如图1－1)，显然当z＝2x＋y经过B(2，2)时，z取最大值， 即zmax＝2＋2＝4. 课标理数8.E5[2011·湖北卷] 已知向量a＝(x＋z,3)，b＝(2，y－z)，且a⊥b.若x，y满足不等式|x|＋|y|≤1，则z的取值范围为( ) A．[－2,2] B．[－2,3] C．[－3,2] D．[－3,3] 课标理数8.E5[2011·湖北卷] D 【解析】 因为a＝(x＋z，3)，b＝(2，y－z)，且a⊥b，所以a·b＝2(x＋z)＋3(y－z)＝0，即2x＋3y－z＝0.又|x|＋|y|≤1表示的可行域如图中阴影部分所示(包含边界)． 图1－1 所以当2x＋3y－z＝0过点B(0，－1)时，zmin＝－3；当2x＋3y－z＝0过点A(0，1)时，zmax ＝3.所以z∈[－3，3]. x≥0，y≥0， 课标文数8.E5[2011·湖北卷] 直线2x＋y－10＝0与不等式组x－y≥－2， 4x＋3y≤20区域的公共点有( ) A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 x≥0，y≥0， 课标文数8.E5[2011·湖北卷] B 【解析】 画出不等式组x－y≥－2， 4x＋3y≤20如图阴影部分所示(含边界)． 表示的平面 表示的可行域， 图1－1 4 因为直线2x＋y－10＝0过点A(5，0)，且其斜率为－2，小于直线4x＋3y＝20的斜率－，3 故只有一个公共点(5，0). y≥x， 课标理数7.E5[2011·湖南卷] 设m>1，在约束条件y≤mx，下，目标函数z＝x＋my的 x＋y≤1最大值小于2，则m的取值范围为( ) A．(1,1＋2) B．(1＋2，＋∞) C．(1,3) D．(3，＋∞) y≥x， 课标理数7.E5[2011·湖南卷] A 【解析】 先画出约束条件y≤mx， x＋y≤1.图1－1. 表示的可行域，如 图1－1 1m1m 直线x＋y＝1与y＝mx的交点为m＋1，m＋1.由图可知，当x＝，y＝时，目 m＋1m＋1 1m 标函数z＝x＋my有最大值小于2，则有＋m×<2，得1－2 又因为m>1，故m的取值范围为1 课标文数14.E5[2011·湖南卷] 设m>1，在约束条件y≤mx， x＋y≤1最大值为4，则m的值为________． y≥x， 课标文数14.E5[2011·湖南卷] 3 【解析】 先画出约束条件y≤mx， x＋y≤1如右图1－3： 下，目标函数z＝x＋5y的 表示的可行域： 图1－3 1m1m 直线x＋y＝1与y＝mx的交点为m＋1，m＋1，得到当x＝，y＝时目标函数z m＋1m＋1 1m ＝x＋5y有最大值4，则有＋5×＝4，得m＝3. m＋1m＋1 3≤2x＋y≤9， 课标理数13.E5[2011·课标全国卷] 若变量x，y满足约束条件则z＝x＋ 6≤x－y≤9， 2y的最小值为________． 课标理数13.E5[2011·课标全国卷] －6 【解析】 作出可行域如图阴影部分所示， y＝－2x＋3，由 解得A(4，－5)． y＝x－9 当直线z＝x＋2y过A点时z取最小值，将A(4，－5)代入， 得z＝4＋2×(－5)＝－6. 图1－6 3≤2x＋y≤9， 课标文数14.E5[2011·课标全国卷] 若变量x，y满足约束条件则z＝x＋ 6≤x－y≤9， 2y的最小值为_________________________________________________________________．课标文数14.E5[2011·课标全国卷] －6 【解析】 作出可行域如图阴影部分所示， y＝－2x＋3，由 解得A(4，－5)． y＝x－9 当直线z＝x＋2y过A点时z取最小值，将A(4，－5)代入， 得z＝4＋2×(－5)＝－6. 图1－6 x＋2y－5≤0， 课标文数7.E5[2011·山东卷] 设变量x，y满足约束条件x－y－2≤0， x≥0，＝2x＋3y＋1的最大值为( ) 则目标函数z A．11 B．10 C．9 D．8.5 图1－1 图1－6 课标文数12.E5[2011·陕西卷] 如图1－6所示，点(x，y)在四边形ABCD内部和边界上运动，那么2x－y的最小值为________． 课标文数12.E5[2011·陕西卷] 1 【解析】 由图象知 函数在点A(1,1)时，2x－y＝1；在点B(3，2)时，2x－y＝23－2>1；在点C(5，1)时，2x－y＝25－1＞1；在点D(1,0)时，2x－y＝2－0＝2>1，故最小值为1. 大纲文数10.E5[2011·四川卷] 某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需送往A地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元，派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元，该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z＝( ) A．4650元 B．4700元 C．4900元 D．5000元 大纲文数10.E5[2011·四川卷] C 【解析】 设该公司合理计划当天派用甲、乙卡车的车 2x＋y≤19，辆数分别为x，y，则根据条件得x，y满足的约束条件为10x＋6y≥72， x≤8，y≤7，x∈N，y∈N， * * x＋y≤12， 目标函数z＝ 450x＋350y－z.作出约束条件所表示的平面区域，然后平移目标函数对应的直线450x＋350y－ z＝0知，当直线经过直线x＋y＝12与2x＋y＝19的交点(7,5)时，目标函数取得最大值，即z＝450×7＋350×5＝4900. 大纲理数9.E5[2011·四川卷] 某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需送往A地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元，派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元．该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z＝( ) A．4650元 B．4700元 C．4900元 D．5000元 大纲理数9.E5[2011·四川卷] C 【解析】 设该公司合理计划当天派用甲、乙卡车的车辆 2x＋y≤19，数分别为x，y，则根据条件得x，y满足的约束条件为10x＋6y≥72， x≤8，y≤7，x∈N，y∈N， * * x＋y≤12， 目标函数z＝450x ＋350y.作出约束条件所表示的平面区域，然后平移目标函数对应的直线450x＋350y－z＝0知， 当直线经过直线x＋y＝12与2x＋y＝19的交点(7,5)时，目标函数取得最大值，即z＝450×7＋350×5＝4900. x≥1， 课标文数2.E5[2011·天津卷] 设变量x，y满足约束条件x＋y－4≤0， x－3y＋4≤0， 则目标函数z ＝3x－y的最大值为( ) 4 A．－4 B．0 C. D．4 3 课标文数2.E5[2011·天津卷] D 【解析】 作出可行域，如图1－1所示．联立x＋y－4＝0，x＝2， 解得 当目标函数z＝3x－y移至(2,2)时，z＝3x－y有最大值4. x－3y＋4＝0，y＝2. 图1－1 x＋2y－5>0， 课标理数5.E5[2011·浙江卷] 设实数x，y满足不等式组2x＋y－7>0， x≥0，y≥0，则3x＋4y的最小值是( ) A．14 B．16 C．17 D．19 课标理数5.E5[2011·浙江卷] B 【解析】 可行域如图所示： 若x，y为整数， 图1－3 x＋2y－5＝0，x＝3，3联立解之得又∵边界线为虚线，且目标函数线的斜率为－， 42x＋y－7＝0，y＝1. ∴当z＝3x＋4y过点(4,1)时，有最小值16. x＋2y－5≥0， 课标文数3.E5[2011·浙江卷] 若实数x，y满足不等式组2x＋y－7≥0， x≥0，y≥0，小值是( ) A．13 B．15 C．20 D．28 课标文数3.E5[2011·浙江卷] A 【解析】 可行域如图阴影部分所示． 则3x＋4y的最 x＋2y－5＝0，x＝3， 联立解之得∴当z＝3x＋4y过点(3,1)时，有最小值13. 2x＋y－7＝0，y＝1. 课标文数7.B10，E6[2011·北京卷] 某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800 x 元，若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均 8 到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( ) A．60件 B．80件 C．100件 D．120件 课标文数7.B10，E6[2011·北京卷] B 【解析】 记平均到每件产品的生产准备费用与仓 x 800＋×x×1 8800x800x800x 储费用之和为f(x)，则f(x)＝＝＋≥2×＝20，当且仅当＝，即x xx8x8x8 ＝80件(x>0)时，取最小值，故选B. 课标文数10.B12，E6[2011·福建卷] 若a>0，b>0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于( ) A．2 B．3 C．6 D．9 课标文数10.B12，E6[2011·福建卷] D 【解析】 f′(x)＝12x2－2ax－2b， ∵f(x)在x＝1处有极值， ∴f′(1)＝0，即12－2a－2b＝0，化简得 a＋b＝6， ∵a>0，b>0， a＋b2 ∴ab≤2＝9，当且仅当a＝b＝3时，ab有最大值，最大值为9，故选D. 11 x2＋22＋4y2的最小值课标理数10.N4，E6[2011·湖南卷] 设x，y∈R，且xy≠0，则yx 为________． 1x2＋1212＋4y2＝1＋4x2y2＋2课标理数10.N4，E6[2011·湖南卷] 9 【解析】 方法一：yxxy211 ＋4≥5＋24x2y2×22＝9，当且仅当4x2y2＝22时，“＝”成立． xyxy 122x2＋1212＋4y2≥x×1＋1×2y2＝9，方法二：利用柯西不等式：当且仅当4xy＝22时，yxxyxy 等号成立． 课标文数3.E6[2011·陕西卷] 设0 A．a＜b＜ab＜ B．a＜ab＜＜b 22 a＋ba＋b C．a＜ab＜b＜ D.ab＜a＜＜b 22 a＋b 课标文数3.E6[2011·陕西卷] B 【解析】 因为0 a＋bb＋b故<＝b，a＝aa 课标理数16.E6[2011·浙江卷] 设x，y为实数，若4x2＋y2＋xy＝1，则2x＋y的最大值是________． 210 课标理数16.E6[2011·浙江卷] 5 3 【解析】 ∵4x2＋y2＋xy＝1，∴(2x＋y)2－3xy＝1，即(2x＋y)2－·2xy＝1， 2 32x＋y28210 ∴(2x＋y)2－·≤1，解之得(2x＋y)2≤，即2x＋y≤. 2255 课标文数16.E6[2011·浙江卷] 若实数x，y满足x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的最大值是________． 23 课标文数16.E6[2011·浙江卷] 【解析】 ∵x2＋y2＋xy＝1， 3 x＋y2 ∴(x＋y)2－xy＝1，即(x＋y)2－2≤1， 423 ∴(x＋y)2≤，x＋y≤. 33 147 大纲理数7.E6[2011·重庆卷] 已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则y＝＋的最小值是( ) A. ab2 9 B．4 C. D．5 2 141141b4a1b4a大纲理数7.E6[2011·重庆卷] C 【解析】 ＋＝(a＋b)＋＝5＋＋≥5＋2·ab2ab2ab2ab 9＝. 2 b4aa＝b，24 当且仅当即a＝，b＝时取到等号． 33 a＋b＝29 ∴ymin＝. 2 1 大纲文数7.E6[2011·重庆卷] 若函数f(x)＝x＋(x>2)在x＝a处取最小值，则a＝( ) x－2 A．1＋2 B．1＋3 C．3 D．4 大纲文数7.E6[2011·重庆卷] C 【解析】 ∵x＞2， 111 ∴f(x)＝x＋＝(x－2)＋＋2≥2x－2·＋2＝4， x－2x－2x－2 1 当且仅当x－2＝，即x＝3时取等号． x－2 ＋＋＋ 大纲文数15.E6[2011·重庆卷] 若实数a，b，c满足2a＋2b＝2ab,2a＋2b＋2c＝2abc，则c 的最大值是_____________________________________________________________________． ＋＋ 大纲文数15.E6[2011·重庆卷] 2－log23 【解析】 2ab＝2a＋2b≥22ab，当且仅当a＝b＋ 时，2ab≥4取“＝”． ＋＋＋＋ 由2a＋2b＋2c＝2abc得2ab＋2c＝2ab·2c， ＋2ab114c ∴2＝a＋b＝1＋a＋b≤1＋＝， 2－12－14－134 故c≤log2＝2－log23. 3 课标文数20.D5，E7[2011·广东卷] nban－1 设b＞0，数列{an}满足a1＝b，an＝(n≥2)． an－1＋n－1 (1)求数列{an}的通项公式； ＋ (2)证明：对于一切正整数n,2an≤bn1＋1. nban－1 课标文数20.D5，E7[2011·广东卷] 【解答】 (1)由a1＝b>0，知an＝>0， an－1＋n－1 n11n－1＝＋·. anbban－1 n1 令An＝，A1＝， anb 11 当n≥2时，An＝＋An－1 bb 111＝＋…＋n－1＋n－1A1 bbb111＝＋…＋n－1＋n. bbb 111－nbbbn－1 ①当b≠1时，An＝＝n， 1bb－11－b ②当b＝1时，An＝n. nbb－1n，b≠1，b－1∴an＝ 1， b＝1. 2nbnb－1n＋1bn－1nn＋1 (2)证明：当b≠1时，欲证2an＝≤b＋1，只需证2nb≤(b＋1). bn－1b－1 bn－12n2n－1＋－－n＋1 ∵(b＋1)＝b＋b＋…＋bn1＋bn1＋bn2＋…＋1 b－1111nn－1 ＝bnb＋bn＋b＋bn－1＋…＋b＋b n >b(2＋2＋…＋2) ＝2nbn， 2nbnb－1＋ ∴2an＝<1＋bn1. nb－1 ＋ 当b＝1时，2an＝2＝bn1＋1. ＋ 综上所述2an≤bn1＋1. 2x 大纲理数22.B12，E8[2011·全国卷] (1)设函数f(x)＝ln(1＋x)－，证明：当x>0时，f(x)>0； x＋2 (2)从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取 n 9191 20次，设抽得的20个号码互不相同的概率为p.证明：p<10 x＋1x＋22当x>0时，f′(x)>0，所以f(x)为增函数，又f(0)＝0.因此当x>0时，f(x)>0. 100×99×98×…×81(2)p＝. 10020又99×81<902,98×82<902，…，91×<902， 919 所以p<10. 2x 由(1)知：当x>0时，ln(1＋x)>. x＋2 2 1＋ln(1＋x)>2. 因此，x10192110 在上式中，令x＝，则19ln>2，即9>e. 99 9191 所以p<10 课标文数22.B12，E8[2011·湖南卷] 设函数f(x)＝x－－alnx(a∈R)． x (1)讨论f(x)的单调性； (2)若f(x)有两个极值点x1和x2，记过点A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))的直线的斜率为k.问：是否存在a，使得k＝2－a？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由． 课标文数22.B12，E8[2011·湖南卷] 【解答】 (1)f(x)的定义域为(0，＋∞)． 2 1ax－ax＋1 f′(x)＝1＋2－＝. xxx2令g(x)＝x2－ax＋1，其判别式Δ＝a2－4. ①当|a|≤2时，Δ≤0，f′(x)≥0.故f(x)在(0，＋∞)上单调递增． ②当a<－2时，Δ>0，g(x)＝0的两根都小于0. 在(0，＋∞)上，f′(x)>0. 故f(x)在(0，＋∞)上单调递增． a－a2－4a＋a2－4 ③当a>2时，Δ>0，g(x)＝0的两根为x1＝，x2＝. 22 当0 x1－x2 因为f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)＋－a(lnx1－lnx2)，所以， x1x2 fx1－fx2lnx1－lnx21k＝＝1＋－a·. x1x2x1－x2x1－x2 又由(1)知，x1x2＝1，于是 lnx1－lnx2k＝2－a·. x1－x2 lnx1－lnx2 若存在a，使得k＝2－a，则＝1.即lnx1－lnx2＝x1－x2. x1－x2 1 亦即x2－－2lnx2＝0(x2>1)．(*) x2 11 再由(1)知，函数h(t)＝t－－2lnt在(0，＋∞)上单调递增，而x2>1，所以x2－－2lnx2>1 tx2 1 －－2ln1＝0.这与(*)式矛盾． 1 故不存在a，使得k＝2－a. 课标文数21.B12，E8[2011·陕西卷] 设f(x)＝lnx，g(x)＝f(x)＋f′(x)． (1)求g(x)的单调区间和最小值； 1(2)讨论g(x)与gx的大小关系； 1 (3)求a的取值范围，使得g(a)－g(x)＜对任意x＞0成立． a 1 课标文数21.B12，E8[2011·陕西卷] 【解答】 (1)由题设知f(x)＝lnx，g(x)＝lnx＋. x x－1 ∴g′(x)＝2.令g′(x)＝0得x＝1， x 当x∈(0,1)时，g′(x)＜0，故(0,1)是g(x)的单调减区间． 当x∈(1，＋∞)时，g′(x)＞0，故(1，＋∞)是g(x)的单调增区间， 因此，x＝1是g(x)的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点． 所以g(x)的最小值为g(1)＝1. 1(2)gx＝－lnx＋x. 11 设h(x)＝g(x)－g＝2lnx－x＋， xx x－12 则h′(x)＝－. x21当x＝1时，h(1)＝0，即g(x)＝gx， 当x∈(0,1)∪(1，＋∞)时，h′(x)＜0，h′(1)＝0. 因此，h(x)在(0，＋∞)内单调递减， 当0＜x＜1时，h(x)＞h(1)＝0. 1即g(x)＞gx. 当x>1时，h(x) (3)由(1)知g(x)的最小值为1，所以，g(a)－g(x)<，对任意x>0成立⇔g(a)－1<， aa 即lna＜1，从而得0＜a＜e. 课标理数19.E9[2011·安徽卷] 111 (1)设x≥1，y≥1，证明x＋y＋≤＋＋xy. xyxy (2)1 111 x＋y＋≤＋＋xy xyxy ⇔xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy)2. 将上式中的右式减左式，得 [y＋x＋(xy)2]－[xy(x＋y)＋1] ＝[(xy)2－1]－[xy(x＋y)－(x＋y)] ＝(xy＋1)(xy－1)－(x＋y)(xy－1) ＝(xy－1)(xy－x－y＋1) ＝(xy－1)(x－1)(y－1)． 既然x≥1，y≥1，所以(xy－1)(x－1)(y－1)≥0，从而所要证明的不等式成立． (2)设logab＝x，logbc＝y，由对数的换底公式得 111 logca＝，logba＝，logcb＝，logac＝xy. xyxy 于是，所要证明的不等式即为 111 x＋y＋≤＋＋xy. xyxy 其中x＝logab≥1，y＝logbc≥1. 故由(1)立知所要证明的不等式成立． 课标理数21.B12，E9[2011·湖北卷] (1)已知函数f(x)＝lnx－x＋1，x∈(0，＋∞)，求函数f(x)的最大值； (2)设ak，bk(k＝1,2，…，n)均为正数，证明： ①若a1b1＋a2b2＋…＋anbn≤b1＋b2＋…＋bn，则ab11ab22…abnn≤1； 122 ②若b1＋b2＋…＋bn＝1，则≤bb11bb22…bbnn≤b1＋b22＋…＋bn. n课标理数21.B12，E9[2011·湖北卷] 【解答】 1 (1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，令f′(x)＝－1＝0，解得x＝1， x 当0 (2)证明：①由(1)知，当x∈(0，＋∞)时，有f(x)≤f(1)＝0，即lnx≤x－1. ∵ak，bk>0，从而有lnak≤ak－1，得bklnak≤akbk－bk(k＝1,2，…，n)， 求和得lnabkk≤akbk－bk， k＝1 k＝1 k＝1 n n n ∵akbk≤bk，∴lnabkk≤0，即ln(ab11ab22…abnn)≤0， k＝1 k＝1 k＝1 nnn ∴ab11ab22…abnn≤1. 1 ②(i)先证bb11bb22…bbnn≥， n设ak＝bn≤1， 即 ≤nb1＋b2＋…＋bn＝n， bb11bb22…bbnn 1 ∴bb11bb22…bbnn≥. n 22 (ii)再证bb11bb22…bbnn≤b21＋b2＋…＋bn， bk2记S＝bk，设ak＝(k＝1,2，…，n)， Sk＝1 n nn1n 则akbk＝b2＝1＝bk， k S＝＝＝k1k1k1 nn1n1111(k＝1,2，…，n)，则akbk＝ ＝1＝bk，于是由①得bb…nb11nb22nbnnbk k＝1k＝1nk＝1 1 b1b2bnbn≤1， 于是由①得bb…12 SSS即bb11bb22…bbnn≤Sb1＋b2＋…＋bn＝S， 22 ∴bb11bb22…bbnn≤b21＋b2＋…＋bn. 综合(i)(ii)，②得证． 课标文数20.B12，E9[2011·湖北卷] 设函数f(x)＝x3＋2ax2＋bx＋a，g(x)＝x2－3x＋2，其中x∈R，a、b为常数，已知曲线y＝f(x)与y＝g(x)在点(2,0)处有相同的切线l. (1)求a、b的值，并写出切线l的方程； (2)若方程f(x)＋g(x)＝mx有三个互不相同的实根0、x1、x2，其中x1 8＋8a＋2b＋a＝0，a＝－2，由此得解得 12＋8a＋b＝1，b＝5. 所以a＝－2，b＝5，切线l的方程为x－y－2＝0. (2)由(1)得f(x)＝x3－4x2＋5x－2， 所以f(x)＋g(x)＝x3－3x2＋2x. 依题意，方程x(x2－3x＋2－m)＝0有三个互不相同的实根0、x1、x2， 故x1、x2是方程x2－3x＋2－m＝0的两相异的实根． 1 所以Δ＝9－4(2－m)>0，即m>－. 4 又对任意的x∈[x1，x2]，f(x)＋g(x) 所以函数f(x)＋g(x)－mx在x∈[x1，x2]的最大值为0. 1 于是当－ 1 －，0. 综上，m的取值范围是4 大纲理数10.E9[2011·重庆卷] 设m，k为整数，方程mx2－kx＋2＝0在区间(0,1)内有两个不同的根，则m＋k的最小值为( ) A．－8 B．8 C．12 D．13 大纲理数10.E9[2011·重庆卷] D 【解析】 设f(x)＝mx2－kx＋2，由f(0)＝2，知f(x)的图象恒过定点(0,2)． 因此要使已知方程在区间(0,1)内有两个不同的根，即f(x)的图象在区间(0,1)内有两个不同 f1＝m－k＋2>0，的交点，必有k 0<<1，2mΔ＝k－8m>0， 2 m>0， m>0，k>0， m－k＋2>0，即2m－k>0，k－8m>0， 2 在直角坐标系mOk中作出满足不等式平面区域，如图1－4所示，设z＝m＋k，则直线m ＋k－z＝0经过图中的阴影中的整点(6,7)时，z＝m＋k取得最小值，即zmin＝13. 图1－4 [2011·金堂月考] 设a，b∈R，若a－|b|＞0，则下列不等式中正确的是( ) A．b－a＞0 B．a3＋b3＜0 C．b＋a＞0 D．a2－b2＜0 [2011·黄冈质检] 已知x>y>z，且x＋y＋z＝0，下列不等式中成立的是 ( ) A．xy>yz B．xz>yz C．xy>xz D．x|y|>z|y| [2011·新都一中月考] 下列四个不等式：①a<0 x－x－6 [2011·浠水模拟] 不等式>0的解集为( ) x－1 A．{x|x<－2或x>3} B．{x|x<－2或1 [2011·湖南师大附中月考] 不等式4－3·2＋2＜0的解集是__________． x x [2011·四川金堂中学月考] 下列不等式的证明过程正确的是 ( ) baba A．若a、b∈R，则＋≥2·＝2 abab44 B．若a∈R－，则a＋≥－2a·＝－4 aa C．若a、b∈R＋，则lga＋lgb≥2lgalgb －－ D．若a∈R，则2a＋2a≥22a·2a＝2 11 [2011·重庆模拟] 设x，y∈R，a＞1，b＞1，若ax＝by＝2,2a＋b＝8，则＋的最大值为 xy __________． [2011·北京`西城一模] 已知平面区域 y≤x＋1， Ω＝x，yy≥0， x≤1 y≤－|x|＋1， ，M＝x，y向区域Ω内随机投一点P，点P落在区域M内的概率为( ) y≥0 11 A. B. 4312C. D. 23 ，
因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容
Copyright © 2019- 7swz.com 版权所有 赣ICP备2024042798号-8
违法及侵权请联系：TEL:199 18 7713 E-MAIL:2724546146@qq.com
本站由北京市万商天勤律师事务所王兴未律师提供法律服务