旋转专题(教师用)

题型一 中心对称图形与轴对称图形

典例 下列图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( A )

A B C D

【点悟】 判断一个图形是不是轴对称，就是看能否沿某一条直线对折，使图形被分成的两部分完全重合；判断一个图形是不是中心对称图形，就是看图形能否绕某一点旋转180°后与本身重合．

变式跟进 1.[2018·盐城]下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( D )

A B C D 题型二 旋转的概念及计算

典例 如图Z3－1，将△ABC绕点A顺时针旋转后，得到△AB′C′，且C′在边BC上，若∠B′C′B＝46°，则∠C的度数为( C ) A．56°

B．60° C．67° D．70°

【解析】 ∵AC′＝AC，∴∠C＝∠AC′C＝∠AC′B′， ∵∠B′C′B＝46°，∴∠CC′B′＝180°－46°＝134°， 1

∴∠C＝∠AC′C＝∠AC′B′＝2×134°＝67°.

图Z3－1 图Z3－2

【点悟】 旋转前后：(1)对应点到旋转中心的距离相等；(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；(3)旋转前后的图形全等．

变式跟进 2.如图Z3－2，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°，得到△AB1C1，若点B1在线段BC的延长线上，则∠BB1C1的大小是__80__°. 【解析】 由旋转的性质可知∠B＝∠AB1C1， AB＝AB1，∠BAB1＝100°，

∴∠B＝∠BB1A＝40°，∴∠AB1C1＝40°， ∴∠BB1C1＝∠BB1A＋∠AB1C1＝40°＋40°＝80°.

3．如图Z3－3，P是正三角形ABC内的一点，且PA＝6，PB＝8，PC＝10.若将△PAC绕点A逆时针旋转后得到△MAB，则点P与点M之间的距离为__6__，∠APB＝ __150__°.

图Z3－3 变式跟进3答图

【解析】 如答图，连接MP，

∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°， ∵△PAC绕点A逆时针旋转后得到△MAB，

∴AM＝AP，∠MAP＝∠BAC＝60°，BM＝CP＝10，∴△AMP为等边三角形， ∴MP＝AP＝6，∠APM＝60°，

在△PBM中，PM＝6，BM＝10，PB＝8， ∵62＋82＝102，∴PM2＋PB2＝BM2， ∴∠BPM＝90°，

∴∠APB＝∠APM＋∠BPM＝60°＋90°＝150°. 题型三 坐标系中的旋转作图

典例 在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图Z3－4所示(每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形)．

(1)将△ABC沿x轴方向向左平移6个单位，画出平移后得到的△A1B1C1； (2)将△ABC绕着点A顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△AB2C2，并直接写出点B2，C2的坐标．

图Z3－4 典例答图

解：(1)如答图，△A1B1C1即为所求； (2)如答图，△AB2C2即为所求， B2(4，－2)，C2(1，－3)．

变式跟进 4.如图Z3－5，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－1，3)，B(－4，0)，C(0，0)． (1)画出将△ABC向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到的△A1B1C1；

(2)画出将△ABC绕原点O顺时针方向旋转90°得到△A2B2O；

(3)在x轴上存在一点P，满足点P到A1与点A2距离之和最小，请直接写出P点的坐标．

图Z3－5 变式跟进4答图

解：(1)如答图所示，△A1B1C1为所求作的三角形； (2)如答图所示，△A2B2O为所求作的三角形；

(3)如答图，作出A1关于x轴的对称点A3，连接A2A3，显然A2A3与x轴的交点即为点P.

∵A2点坐标为(3，1)，A3点坐标为(4，－4)， ∴A2A3所在直线的解析式为y＝－5x＋16， 1616令y＝0，则x＝5，∴P点的坐标为5，0.

题型四 与旋转有关的证明

典例 将两块大小相同的含30°角的直角三角板(∠BAC＝∠B′A′C＝30°)按图Z3－6①方式放置，固定三角板A′B′C，然后将三角板ABC绕直角顶点C顺时针方向旋转(旋转角小于90°)至图②所示的位置，AB与A′C交于点E，AC与A′B′交于点F，AB与A′B′相交于点O. (1)当旋转角为__30__°时，CF＝CB′；

(2)在上述条件下，AB与A′B′垂直吗？请说明理由．

图Z3－6

解：(1)∵CF＝CB′，∴∠CFB′＝∠CB′F＝60°. ∴∠A′CA＝90°－∠FCB′＝90°－60°＝30°. 故旋转角为30°时，CF＝CB′；

(2)∵∠AFO＝∠CFB′＝60°，∠A＝30°， ∴∠AOF＝90°，∴AB⊥A′B′.

变式跟进 5.[2018·临沂]将矩形ABCD绕点A顺时针旋转α(0°＜α＜360°)，得到矩形AEFG.

(1)如图Z3－7，当点E在BD上时，求证：FD＝CD； (2)当α为何值时，GC＝GB？画出图形，并说明理由．

图Z3－7 备用图

解：(1)由旋转可得，AE＝AB，∠AEF＝∠ABC＝∠DAB＝90°，EF＝BC＝AD，∴∠AEB＝∠ABE，

又∵∠ABE＋∠EDA＝90°＝∠AEB＋∠DEF， ∴∠EDA＝∠DEF，又∵DE＝ED，

∴△AED≌△FDE(SAS)，∴DF＝AE， 又∵AE＝AB＝CD，∴CD＝DF；

(2)当GB＝GC时，点G在BC的垂直平分线上．分两种情况讨论：

① ②

变式跟进5答图

①如答图①，当点G在AD右侧时，取BC的中点H，连接GH交AD于M， ∵GC＝GB，∴GH⊥BC，∴四边形ABHM是矩形， 11

∴AM＝BH＝2AD＝2AG，

∴GM垂直平分AD，∴GD＝GA＝DA， ∴△ADG是等边三角形，∴∠DAG＝60°， ∴旋转角α＝60°；

②如答图②，当点G在AD左侧时，同理可得△ADG是等边三角形， ∴∠DAG＝60°，∴旋转角α＝360°－60°＝300°.

1．如图3－1，将△OAB绕点O逆时针旋转80°，得到△OCD，若∠A＝2∠D＝100°，则∠α的度数是( A )

图3－1

A．50° C．40°

B．60° D．30°

【解析】 ∵将△OAB绕点O逆时针旋转80°， ∴∠A＝∠C，∠AOC＝80°，∴∠DOC＝80°－∠α， ∵∠A＝2∠D＝100°，∴∠D＝50°， ∵∠C＋∠D＋∠DOC＝180°，

∴100°＋50°＋80°－∠α＝180°，解得∠α＝50°.

2．在直角坐标系中，点A的坐标为(－3，4)，那么下列说法正确的是( D ) A．点A与点B(－3，－4)关于y轴对称 B．点A与点C(3，－4)关于x轴对称 C．点A与点D(4，－3)关于原点对称

D．点A与点E(－4，3)关于第二象限的平分线对称

3．[2018·海南]如图3－2，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB1C1，连接BC1，则BC1的长为( C )

图3－2

A．6

B．8 C．10 D．12

【解析】 ∵将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB1C1，∴AC＝AC1，∠CAC1

＝60°，∵∠BAC＝30°，∴∠BAC1＝90°，∴在Rt△BAC1中，BC1＝82＋62＝10.

4．[2018·临安区模拟]如图3－3，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，BC＝3，将腰CD以D为中心逆时针旋转90°至ED，连接AE，CE，则△ADE的面积是( A ) A．1 C．3

B．2 D．不能确定

图3－3 第4题答图

【解析】 如答图所示，作EF⊥AD交AD延长线于点F，作DG⊥BC， ∵CD以D为中心逆时针旋转90°至ED， ∴∠EDF＋∠CDF＝90°，DE＝CD，

又∵∠CDF＋∠CDG＝90°，∴∠CDG＝∠EDF， ∠CDG＝∠EDF，

， 在△DCG与△DEF中，∠CGD＝∠EFD＝90°

CD＝ED，∴△DCG≌△DEF，∴EF＝CG，

∵AD＝2，BC＝3，∴CG＝BC－AD＝3－2＝1， ∴EF＝1，

11

∴△ADE的面积是2×AD×EF＝2×2×1＝1.

5．在平面直角坐标系中，已知A(1，3)，B(0，1)，C(3，1)，若线段AC与BD互相平分，则点D关于y轴的对称点的坐标为__(－4，1)__．

【解析】 由A(1，3)C(3，－1)可知，AC中点为(2，1)，∵AC与BD互相平分，∴BD的中点为(2，1)，由B(0，1)可知D点坐标为(4，1)，∴点D关于y轴对称的点的坐标为(－4，1)．

6．在如图3－4的网格图中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点都是网格线的交点，已知B，C两点的坐标分别为(－1，－1)，(1，－2)，将△ABC绕着点C顺时针旋转90°，则点A的对应点的坐标为__(5，－1)__．

图3－4 第6题答图

【解析】 如答图，A点坐标为(0，2)，将△ABC绕点C顺时针旋转90°，则点A的对应点A′的坐标为(5，－1)．

7．如图3－5，在正方形ABCD中，点E在BC上，点F在AB上，∠FDE＝45°，△DEC按顺时针方向旋转x°(0＜x＜180)后得到△DGA. (1)旋转中心是哪一点？x的值是多少？ (2)求∠GDF的度数；

(3)若连接GE，请判断△DGE是什么三角形？(直接写出结论即可)

图3－5

解：(1)由旋转可得旋转中心是D点，x的值是∠CDA的度数，即x＝90； (2)∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ADC＝90°. ∵∠FDE＝45°， ∴∠CDE＋∠ADF＝45°. 由旋转可知∠CDE＝∠ADG，

∴∠ADG＋∠ADF＝45°，即∠GDF＝45°；

(3)连接GE，由旋转可得GD＝ED，∠EDG＝∠CDA＝90°，∴△DGE是等腰直角三角形．

8．在边长为1的方格纸中建立直角坐标系，如图3－6所示，O，A，B三点均为格点．

(1)直接写出线段OB的长；

(2)画出将△OAB向右平移2个单位后向上平移3个单位得到的△O1A1B1； (3)将△OAB绕点O沿逆时针方向旋转90°得到△OA′B′.请你画出△OA′B′，并求在旋转过程中线段AB所扫过的面积．

图3－6 第8题答图

解：(1)OB＝3；

(2)如答图，△O1A1B1即为所求作的三角形； (3)如答图，△OA′B′即为所求作的三角形，

OA＝

2

90·π·（25）90·π·321122

2＋4＝25，线段AB所扫过的面积为－360＝4π.

360

9．[2017春·鄄城期末]如图3－7，点P是正方形ABCD内的一点，连接BP，CP，将△BCP绕点B逆时针旋转至△BAP′，连接AP，PP′，AP′⊥PP′，BP＝4，CP＝2，求AP的长．

图3－7

解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠ABC＝90°，

∵将△BCP绕点B逆时针旋转至△BAP′， ∴BP′＝BP＝4，∠P′BA＝∠PBC，AP′＝CP＝2， ∴∠P′BA＋∠ABP＝∠ABP＋∠PBC＝90°， ∴∠P′BP＝90°，∴PP′＝42， ∵AP′⊥PP′，∴AP＝

AP′2＋PP′2＝6.

10．[2018·天津]在平面直角坐标系中，四边形AOBC是矩形，点O(0，0)，点A(5，0)，点B(0，3)．以点A为中心，顺时针旋转矩形AOBC，得到矩形ADEF，点O，B，C的对应点分别为D，E，F.

(1)如图3－8①，当点D落在BC边上时，求点D的坐标； (2)如图②，当点D落在线段BE上时，AD与BC交于点H. ①求证：△ADB≌△AOB； ②求点H的坐标；

(3)记K为矩形AOBC对角线的交点，S为△KDE的面积，求S的取值范围(直接写出结果即可)．

图3－8

解：(1)∵A(5，0)，B(0，3)，∴OA＝5，OB＝3， ∵四边形AOBC是矩形，

∴AC＝OB＝3，OA＝BC＝5，∠OBC＝∠C＝90°， ∵矩形ADEF是由矩形AOBC旋转得到， ∴AD＝AO＝5， 在Rt△ADC中，CD＝

AD2－AC2＝4，

∴BD＝BC－CD＝1，∴D(1，3)；

(2)①由四边形ADEF是矩形，得到∠ADE＝90°， ∵点D在线段BE上，∴∠ADB＝90°，

由(1)可知AD＝AO，又∵AB＝AB，∠AOB＝90°， ∴Rt△ADB≌Rt△AOB.

②由△ADB≌△AOB，得到∠BAD＝∠BAO， 又∵在矩形AOBC中，OA∥BC， ∴∠CBA＝∠OAB，∴∠BAD＝∠CBA，

∴BH＝AH，设AH＝BH＝m，则HC＝BC－BH＝5－m， 在Rt△AHC中，∵AH2＝AC2＋HC2， 17∴m2＝32＋(5－m)2，∴m＝5，

1717

∴BH＝5，∴H5，3；

(3)如答图，AB＝

52＋32＝34，

1134

当点D在线段BK上时，△DEK的面积最小，最小值为2DE·DK＝2×3×5－

230－334

＝，

4

第10题答图

11

当点D在BA的延长线上时，△D′E′K的面积最大，最大面积为2D′E′·KD′＝23430＋334

＝×3×5＋.

42

30－33430＋334

综上所述，≤S≤.

44