数的进制
相关概念
同学们在进行整数四则计算时，用的都是十进制即“满10进一”，对于其他进制则感到陌生。实际上，你只要留惦一下，在我们日常生活中，不仅使用十进制还使用其他许多进制呢！你信不信我举一些例子。
两只袜子为一双，两只水桶为一对，这里使用的是二进制；十二支铅笔为一打，十二个月算一年，这里使用的是十二进制；六十秒是一分，六十分是一时，这里使用的是六十进制；二十四时为一天，这里使用的是二十四进制；100平方分米等于一平方米，100平方厘米等于一平方分米，这里使用的是一百进制；1000米等于一千米，1000克等于1千克，这里使用的是一千进制；……。怎么样实际上还可以发现更多的这样的例子。 随着科学技术的发展，数字电子计算机的使用日益普遍，每位同学可能都使用过电子计算器吧可是你们要知道，计算器内部进行的计算就使用的是二进制数。我们经常和计算器打交道，应该懂一些二进制数方面的知识。
1、什么叫二进制
所谓二进制，就是只用0与1两个数字，在计数与计算时必须是“满二进一”。即每两个相同的单位组成一个和它相邻的较高的单位（所以任意一个二进制数只需用“0”与“1”表示就够了）。例如：2在二进制中是10；3写成二进制是11；4写成二进制数便是100，那么5呢应该是101。
同学们按照“逢二进一”（或“满二进一”）的法则，很容易得到以下两种进制的数字的对照表：
表 1
十进制 1 2 3 4 5 6 7 8 二进制 1 10 11 100 101 110 111 1000 十进制 9 10 11 12 13 14 15 16 二进制 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 10000 2、二进制的优缺点
二进制的最大优点是：每个数的各个数位上只有两种状态——0或1。这样，我们便可以通过简单的方法，例如白与黑、虚与实、负与正、点与划、小与大、暗与亮（在计算机中主要用电压的高与低）等等手段加以表示。下表中列出了在二进制中13的几种不同表示方法。
表 2
0与1 白与黑 虚与实 负与正 点与划 小与大 １ １ ０ １ ● ● ○ ● － － … － ＋ ＋ － ＋ ― ― · － ○ ○ о ○ 当然，二进制也有不足，正如大家看到的那样，同一个数和在二进制中要比在十进制中位数多得多。
二进制转十进制
为了叙述的方便，我们约定：用（ ）2表示括号内写的数是二进制数，如（1011）2；用（ ）10表示括号中写的数是十进制数，如（37）10。
步骤：
（1）将二进制数的各数位上数字改写成相应的十进制数；
（2）将各数位上对应的十进制数求和，所得结果就是相应的十进制数。 例1 将（10110）2改成十进制数
在表1中可以看到：二进制数10表示十进制数2；二进制数100，表示十进制数4；二进制数1000，表示十进制数8；二进制数10000表示十进制数16；…；可以看出规律；二进制数100000应该表示十进制数32，…。那么我们写下一个二进制数10110，则应表示它含有一个16，一个4与一个2，也就是
（10110）2＝1×16＋0×8＋1×4＋1×2＋0×1=（22）10
例2 将（101101）2改成十进制数。
（101101）2=1×32+0×16+1×8+1×4+0×2+1×1=（45）10
十进制转二进制
将十进制数写成二进制数的常用方法——除二倒取余法。 例如要将（71）10写成二进制数，参见右式。我们将71除以2，余数1相应写在右边（如果除尽，余数则写0）；再将商35除以2，余数1相应写在右边；再将这步的商17除以2，重复上述过程，直到商等于1为止。并且最后一步的商“1”也写到右边余数那一列的最下面。最后将这列余数由下到上写成一行数，这行数便是（71）10的二进制数表示法。即
（71）10＝（1000111）2
2 71 …… 1 2 35 …… 1 2 17 …… 1 2 8 …… 0 2 4 ……0 2 2 …… 0 1 …… 1 例2：把十进制数38改写成二进制数。
分析与解答：把十进制数改写成二进制数，可以根据二进制 2 38 …… 0 数“满二进一”的原则，用2连续去除这个十进制数，直到商为零 2 19 …… 1 为止，把每次所得的余数按相反的顺序写出来，就是所化成的二进 2 9 …… 1 制数，这种方法叫做“除以二倒取余数”。 2 4 …… 0 2 2 …… 0 1 …… 1 即：38（10）=100110（2）
二进制的四则运算
二进制四则运算和十进制四则运算原理相同，所不同的是十进制有十个数码，“满十进一”，二进制只有两个数码0和1，“满二进一”。二进制运算口诀则更为简单。
加法
二进制加法，在同一数位上只有四种情况： 0＋0＝0，0＋1＝1，1＋0＝1，1＋1＝10。
只要按从低位到高位依次运算，“满二进一”，就能很容易地完成加法运算。
例1 二进制加法 （1）10110＋1101； （2）1110＋101011。
解 加法算式和十进制加法一样，把右边第一位对齐，依次相应数位对齐，每个数位满二向上一位进一。
10110＋1101＝100011 1110＋101011＝111001
通过计算不难验证，二进制加法也满足“交换律”，如101＋1101＝1101＋101＝10010。 多个数相加，先把前两个数相加，再把所得结果依次与下 一个加数相加。
例2 二进制加法
（1）101＋1101＋1110； （2）101＋（1101＋1110）。 解
（1）101＋1101＋1110 （2）101＋（1101＋1110） ＝10010＋1110 ＝101＋11011 ＝100000； ＝100000
从例2的计算结果可以看出二进制加法也满足“结合律”。 减法
二进制减法也和十进制减法类似，先把数位对齐，同一数位不够减时，从高一位借位，“借一当二”。
例3 二进制减法
（1）11010－11110； （2）10001－1011。
解（1）110101－11110＝10111； （2）10001－1011＝110。
例4 二进制加减混合运算 （1）110101＋1101－11111； （2）101101－11011＋11011。 解（1）110101＋1101－11111 ＝1000010－11111 ＝100011
（2）101101－11011＋11011 ＝10011＋11011 ＝101101。 乘法
二进制只有两个数码0和1，乘法口诀只有以下几条： 0×0＝0，0×1＝0，1×0＝0，1×1＝1
概括成口诀：零零得零，一零得零，一一得一。 二进制乘法算式和十进制写法也一样。 例5 二进制乘法 （1）1001×101； （2）11001×1010。 解
（1）1011×101＝110111；（2）11001×1010＝。
例6 二进制运算 （1）101×1101； （2）1101×101；
（3）（101＋11）×1010； （4）101×1010＋11×1010。 解（1） （2）
101×1101＝1000001； 1101×101＝1000001； （3）
（101＋11）×1010＝1010000； （4）
101×1010＋11×1010＝1010000 从例6的计算结果可以看出，二进制乘法满足“交换律”；乘法对加法也满足“分配律”。对这一结论，大家还可以进行多次验证。 除法
除法是乘法的逆运算，二进制除法和十进制除法也一样，而且更简单，每一位商数不是0，就是1。
例7 二进制除法 （1）÷1001； （2）÷111。 解 （1） （2）
÷1001＝10010； ÷111＝10101。
例8 求二进制除法的商数和余数 111010÷101 解
111010÷101 所得商数是1011，余数是11。
在二进制除法中，被除数，除数，商数和余数的关系和十进制除法的关系是相同的。 被除数＝除数×商数＋余数。
如例8，111010＝101×1011＋11。
二进制小数
