一道高考题的解法探究

作者：佘军仁 陈巧红

来源：《中学生数理化·自主招生》2020年第01期

例题 （2016年全国Ш卷）定义“规范01数列”{an}如下：{an}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，an中O的个数不少于1的个数。若m=4，则不同的“规范01数列”共有（ ）。 A.18个 B.16个 C.14个 D.12个 答案：C

探究一、用分步计数原理

解：由题意，{an}有，4项为O，4项为1，且第一项为O，第为1，且要符合对任意k≤2m，a1，a2，…，ak中0的个数不少于1的个数。如图l所示，此时可按项数从小到大分步作答，但关键是只要前面出现3个O，即结束讨论，分步如下。

（1）当第二项、第三项均为O时，共C41种情况;当第三项为1，第四项为0时，共C13种情况;当第四项为1时，第五项只能为O，共C12种情况。如图2。

（2）当第二项为1时，第三项只能为O，当第四项为O时，共C13种情况;当第四项为1时，第五项只能为0时，共q种情况。如圖3。 综上，共有C14+C12+C12+C13+C12=14（种）。 探究二、用分类计数原理

解：由题意，{an}有，4项为0，4项为1，且第一项为O，第为1，且要符合对任意k≤2m，a1，a2，…，ak中O的个数不少于l的个数，分为以下几种情况： （1）前4项均为0，后4项均为1——共1种情况;

（2）前4项3个0，1个1，后4项1个O，3个1——共C23C13种情况; （3）前4项2个O，2个1，后4项2个O，2个1——共2×2种情况。

所以，共有1+9+4=14（种）情况。 探究三、构造路径问题，通过标数法解题

解：在直角坐标系下，若向右走1个单位代表o，向上走1个单位代表1，该题可转化为在4×4方格y≤x的区域内，从o点走到A点的最短路径的条数。如图4所示，给经过的每一个格点（i，j）[数学上把在平面直角坐标系中横纵坐标均为整数的点称为格点（lattice point）或整点]标数，数字为从O点到点（i，j）的最短路径条数，除y=x上格点（i，i）标的数字和格点（i，j-1）相同外，其余y

注：图4中标在y=x上格点的数字又称为“卡特兰数”。 进一步归纳：

定义“规范01数列”{an}如下：{an}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1a2，…，ak中0的个数不少于1的个数，则不同的“规范Ol数列”共有个。 作者单位：河北省邯郸市第一中学

此文是河北省教育科学研究“十三五”规划2018年度一般课题“高中数学‘变式训练’的策略探究”（课题编号：1804082）的阶段性成果。