不定积分的基本公式和运算法则直接积分法

不定积分的基本公式和运算法

则直接积分法(总5页)

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·复习 1 原函数的定义。2 不定积分的定义。3 不定积分的性质。4 不定积分的几何意义。

·引入 在不定积分的定义、性质以及基本公式的基础上，我们进一步来讨论不定积分的计算问题，不定积分的计算方法主要有三种：直接积分法、换元积分法和分部积分法。

·讲授新课

第二节 不定积分的基本公式和运算 直接积分法

一 基本积分公式

由于求不定积分的运算是求导运算的逆运算，所以有导数的基本公式相应地可以得到积分的基本公式如下：

12345导数公式 (kx)k 1(x2)x 211()2xx微分公式 d(kx)kdx 1d(x2)xdx 211 d()2dxxx积分公式 kdxkxC (k0) xdx12xC 2 1x11dxC x2x(lnx) d(lnx)1 dxxxdxlnx1C x1()x 1x1d()xdx 1x1xdx1C (1) 67 (ex)ex ax()ax lnad(ex)exdx axd()axdx lnaxxedxeC axadxlnaC x(sinx)cosx (cosx)sinx (tanx)sec2xdx d(sinx)cosxdx d(cosx)sinxdx d(tanx)sec2xdxcosxdxsinxC sinxdxcosxC 12cos2xdxsecxdxtanxC3 4

10 11 12 13 14 15 (arcsinx)1(cotx)csc2x d(cotx)csc2xdx (secx)secxtanx d(secx)secxtanxdx12sin2xdxcscxdxcotxC d(cscx)cscxcotxdxsecxtanxdxsecxC (cscx)cscxcotx d(arctanx)cscxcotxdxcscxC (arctanx)11x21dx1x21x112dxarctanxC 1x2 d(arcsinx)11x2dx1x2dxarcsinxC 以上十五个公式是求不定积分的基础，必须熟记，不仅要记右端的结果，还要熟悉左端被积函数的的形式。

求函数的不定积分的方法叫积分法。 例1.求下列不定积分.（1）解：（1）1dx （2）2xxxdx

1dx＝x2dx2x3x211CC 21x5（2）xxdx＝x2dx22xC5

此例表明，对某些分式或根式函数求不定积分时，可先把它们化为x的形式，然后应用幂函数的积分公式求积分。

二 不定积分的基本运算法则

法则1 两个函数代数和的积分，等于各函数积分的代数和，即

[f(x)g(x)]dxf(x)dxg(x)dx

法则1对于有限多个函数的和也成立的．

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法则2 被积函数中不为零的常数因子可提到积分号外，即

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kf(x)dxkf(x)dx （k0）

例2 求(2x31ex)dx

解 (2x31ex)dx=2x3dx+dx-exdx

1=x4xexC。 2注 其中每一项的不定积分虽然都应当有一个积分常数，但是这里并不需要在每一项后面加上一个积分常数，因为任意常数之和还是任意常数，所以这里只把它的和C写在末尾，以后仿此。

注 检验的结果是否正确，只把结果求导，看它的导数是否等于被积函数就

1行了。如上例由于(x4xexC)=2x31ex，所以结果是正确的。

2三 直接积分法

在求积分的问题中，可以直接按基本积分公式和两个基本性质求出结果（如上例）但有时，被积函数常需要经过适当的恒等变形（包括代数和三角的恒等变形）再利用积分的性质和公式求出结果，这样的积分方法叫直接积分法。

例3 求下列不定积分. （1）

(x1)(x1x21)dx （2）2dx

x1xx1)(x1化为和式，然后再逐项积分得 )x解：（1）首先把被积函数((x1)(x1)dxx(xxx11)dx xxxdxxdxdx1dx x125122xxx2x2C。 52注：（1）求函数的不定积分时积分常数C不能丢掉，否则就会出现概念性的错误。

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（2）等式右端的每个不定积分都有一个积分常数，因为有限个任意常数的代数和仍是一个常数，所以只要在结果中写一个积分常数C即可。

（3）检验积分计算是否正确，只需对积分结果求导，看它是否等于被积函数。若相等，积分结果是正确的，否则是错误的。

x21x2122（2）2dx2dx(12)dx

x1x1x1dx2dxx2arctanxC。 2x1上例的解题思路是设法化被积函数为和式，然后再逐项积分，是一种重要的解题方法，须掌握。

2x21x33x22x4x4dx，3 dx，2 22dx。 练习 1 x(x1)x21x2141答案 1 x23x2ln|x|C， 2 arctanxC，

2xx13 x3xarctanxC

3例4 求下列不定积分.（1）tan2xdx （2）sin2 解：（1）tan2xdx(sec2x1)dx

sec2xdxdxtanxxC

xdx 2（2）sin2xdx21cosx11dxxsinxC 222上例的解题思路也是设法化被积函数为和式，然后再逐项积分，不过它实现化和是利用三角式的恒等变换。

练习 1 cot2xdx 2 cos2xcos2xdx 3 dx 2cosx-sinx1答案 1 cotxxC 2 (xsinx)C

23 sinx-cosxC

例5 设f(sin2x)cos2x，求f(x). 解：由于f(sin2x)cos2x1sin2x，

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所以f(x)1x，故知f(x)是1x的原函数，因此

x2f(x)(1x)dxxC．

2小结 基本积分公式，不定积分的性质，直接积分法。 练习 求下列不定积分.

212（1）(12sinx)dx（2）(22)dx，

xcosxsinx(t1)223)dt，（5）(6xx6)dx， dt，（4）(（3）2t1t21tx41cos2xdx（6），（7），（8）csc(cscxcotx)dxsin2xdx， 1x22extt22xx（9）(cossin)dt，（10）(tanx1)dx，（11）e(3)dx。

2221x答案1 x2cosx2ln|x|C， 2 tanx-cotxC，

13 t22tln|t|C， 4 2arcsint3arctantC，

26x171xC， 6 x3xC， 5

ln6737 cotxcscxC， 8 cotx2C，

(3e)x2arcsinxC。 9 tcostC， 10 tanx2xC，11

1ln3小结 计算简单的不定积分，有时只需按不定积分的性质和基本公式进行计算；有时需要先利用代数运算或三角恒等变形将被积函数进行整理．然后分项计算．

作业 P81:2,3 板书设计 一 基本公式 例1 二 不定积分的法则 例2 7

三 直接积分法 例3

例4 例5 练习 小结 作业 8