3.2立体几何中的向量方法（经典例题及答案详解）
3.2立体几何中的向量方法
第一课时 立体几何中的向量方法（1）
教学要求：向量运算在几何证明与计算中的应用．掌握利用向量运算解几何题的方法，并能解简单的立体几何问题．
教学重点：向量运算在几何证明与计算中的应用． 教学难点：向量运算在几何证明与计算中的应用． 教学过程： 一、复习引入
1. 用向量解决立体几何中的一些典型问题的基本思考方法是：⑴如何把已知的几何条件（如线段、角度等）转化为向量表示； ⑵考虑一些未知的向量能否用基向量或其他已知向量表式； ⑶如何对已经表示出来的向量进行运算，才能获得需要的结论？
2. 通法分析：利用两个向量的数量积的定义及其性质可以解决哪些问题呢？ ⑴利用定义a ·b ＝|a ||b |cos ＜a ,b ＞或cos ＜a ,b ＞＝a b a b ??r r r r ，可求两个向量的数量积或夹角问题；
⑵利用性质a ⊥b ?a ·b ＝０可以解决线段或直线的垂直问题； ⑶利用性质a ·a ＝｜a ｜2，可以解决线段的长或两点间的距离问题．
二、例题讲解
1. 出示例1：已知空间四边形OABC 中，OA BC ⊥，OB AC ⊥．求证：OC AB ⊥． 证明：·OC AB u u u u r u u u r ＝·()OC OB OA -u u u u r u u u r u u u r ＝·OC OB u u u u r u u u r －·OC OA u u u u r u u u r ． ∵OA BC ⊥，OB AC ⊥， ∴·0OA BC =u u u r u u u r ，·0OB AC =u u u r u u u u r ， ·()0OA OC OB -=u u u r u u u u r u u u r ，·()0OB OC OA -=u u u r u u u u r u u u r ． ∴··OA OC OA OB =u u u r u u u u r u u u r u u u r ，··OB OC OB OA =u u u r u u u u r u u u r u u u r ． ∴·
OC OB u u u u r u u u r ＝·OC OA u u u u r u u u r ，·OC AB
u u u u r u u u r ＝0． ∴OC AB ⊥ 2. 出示例2：如图，已知线段AB 在平面α内，线段AC α⊥，线段BD ⊥AB ，线段'DD α⊥，'30DBD ∠=o ，如果AB ＝a ，AC ＝BD ＝b ，求C 、D 间的距离．
解：由AC α⊥，可知AC AB ⊥． 由'30DBD ∠=o 可知，＜,CA BD u u u r u u u u r ＞＝120o ， ∴2||CD u u u u r ＝2()CA AB BD ++u u u r u u u r u u u u r ＝2||CA u u u r ＋2||AB u u u r ＋2||BD u u u u r ＋2(·CA AB u u u r u u u r ＋·CA BD u u u r u u u u r ＋·AB BD u u u r u u u u r )
＝22222cos120b a b b +++o ＝22a b +． ∴22CD a b =+．
3. 出示例3：如图，M 、N 分别是棱长为1的正方体''''ABCD A B C D -的
棱'BB 、''B C 的中点．求异面直线MN 与'CD 所成的角． 解：∵MN u u u u r ＝1(')2
CC BC +u u u u r u u u r ，'CD u u u u r ＝'CC CD +u u u u r u u u u r ，
∴·'MN CD u u u u r u u u u r ＝1(')2CC BC +u u u u r u u u r ·(')CC CD +u u u u r u u u u r ＝12(2|'|CC u u u u r ＋'CC CD u u u u r u u u u r g ＋·'BC CC u u u r u u u u r ＋·BC CD u u u r u u u u r )． ∵'CC CD ⊥，'CC BC ⊥，BC CD ⊥，∴'0CC CD =u u u u r u u u u r g
，·'0BC CC =u u u r u u u u r ，·0BC CD =u u u r u u u u r ， ∴·'MN CD u u u u r u u u u r ＝122|'|CC u u u u r ＝12． …求得 cos ＜,'MN CD u u u u r u u u u r ＞12
=，∴＜,'MN CD u u u u r u u u u r ＞＝60o . 4. 小结：利用向量解几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示式，并用已知向量表示未知向量，然后通过向量的运算去计算或证明．
反思：本节课较好的完成了教学任务，实现了教学目标。本节课是以学生自己学、小
组学、集体学为主要学习模式的课，充分调动了学生的学习积极
性，每一位学生都动了起来，都有所收获。
第二课时 立体几何中的向量方法（2） 教学要求：向量运算在几何证明与计算中的应用．掌握利用向量运算解几何题的方法，并能解简单的立体几何问题．
教学重点：向量运算在几何证明与计算中的应用． 教学难点：向量运算在几何证明与计算中的应用． 教学过程： 一、复习引入
讨论：将立体几何问题转化为向量问题的途径？
（1）通过一组基向量研究的向量法，它利用向量的概念及其运算解决问题；
（2）通过空间直角坐标系研究的坐标法，它通过坐标把向量转化为数及其运算来解决问题.
二、例题讲解
1. 出示例1： 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是1BB 、
CD 的中点，求证：1D F ⊥平面ADE ． 证明：不妨设已知正方体的棱长为１个单位长度，且设DA uuu r ＝i ，DC u u u u r ＝j ，1DD u u u u r ＝k ．以i 、j 、k 为坐标向量建立空间直角坐标系D －xyz ，则
∵AD uuu u r ＝(-1,0,0)，1D F u u u u r ＝(0,12,-1)，∴AD uuu u r ·1D F u u u u r ＝(-1,0,0)·(0,12,-1)＝0，∴1D F ⊥AD ． 又 AE uuu r ＝(0,1,12)，∴AE uuu r ·1D F u u u u r ＝(0,1,12)·(0,12
,-1)＝0， ∴1D F ⊥ AE ． 又 AD AE A =I ， ∴1D F ⊥平面ADE ． 说明：⑴“不妨设”是我们在解题中常用的小技巧，通常可用于设定某些与题目要求无关的一些数据，以使问题的解决简单化．如在立体几何中求角的大小、判定直线与直线或直线与平面的位置关系时，可以约定一些基本的长度．⑵空间直角坐标些建立，可以选取任意一点和一个单位正交基底，但具体设置时仍应注意几何体中的点、线、面的特征，把它们放在恰当的位置，才能方便计算和证明．
2. 例：证：如果两条直线同垂直于一个平面，则这两条直线平行． 改写为：已知：直线OA ⊥平面α，直线BD ⊥平面α，O 、B 为垂足．求证：OA //BD ． 证明：以点O 为原点，以射线OA 为非负z 轴，建立空间直角坐标系O -xyz ，i ,j ,k 为沿x 轴，y 轴，z 轴的坐标向量，且设BD uuu u r ＝(,,)x y z ． ∵BD ⊥α， ∴BD uuu u r ⊥i ，BD uuu u r ⊥j ， ∴BD uuu u r ·i ＝(,,)x y z ·(1,0,0)＝x ＝0，BD uuu u r ·j ＝(,,)x y z ·(0,1,0)＝y ＝0, ∴BD uuu u r ＝(0,0,z )．∴BD uuu u r ＝z k ．即BD uuu u r //k ．由已知O 、B 为两个不同的点，∴OA //BD ．
3. 法向量定义：如果表示向量a 的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作a ⊥α．如果a ⊥α，那么向量a 叫做平面α的法向量．
4. 小结：
向量法解题“三步曲”：（1）化为向量问题 →（2）进行向量运算 →（3）回到图形问题.
反思：本节课较好的完成了教学任务，实现了教学目标。本节课是以学生自己学、小组学、集体学为主要学习模式的课，充分调动了学生的学习积极性，每一位学生都动了起来，
都有所收获。
第三课时 立体几何中的向量方法（3）
教学要求：向量运算在几何证明与计算中的应用．掌握利用向量运算解几何题的方法，并能解简单的立体几何问题．
教学重点：向量运算在几何证明与计算中的应用． 教学难点：向量运算在几何证明与计算中的应用． 教学过程：
一、复习引入 1. 法向量定义：如果直线l α⊥平面, 取直线l 的方向向量为a r ，则向量a r 叫作平面α的法向量（normal vectors ）. 利用法向量，可以巧妙的解决空间角度和距离.
2. 讨论：如何利用法向量求线面角？ → 面面角？ 直线AB 与平面α所成的角θ，可看成是向量AB u u u r 所在直线与平面α的法向量
n 所在直线夹角的余角，从而求线面角转化为求直线所在的向量与平面的法向量的所成的线线角，根据两个向量所成角的余弦公式cos ,a b a b a b
=r r r r g r r g ，我们可以得到如下向量法的公式： sin cos ,AB n AB n AB n
θ==u u u r r g u u u r r u u u r r g . 3. 讨论：如何利用向量求空间距离？
两异面直线的距离，转化为与两异面直线都相交的线段在公垂向量上的投影长.
点到平面的距离，转化为过这点的平面的斜线在平面的法向量上的投影长.
二、例题讲解：
1. 出示例1：长方体1111ABCD A B C D -中，AD =1AA =2，AB =4，E 、F 分别是11A D 、AB 的中点，O 是11BC B C 与的交点. 求直线OF 与平面DEF 所成角的正弦.
解：以点D 为空间直角坐标系的原点，DA 、DC 、1DD 为坐标轴，
建立如图所示的空间直角坐标系. 则
(2,2,0),(1,0,2),(2,2,0),(1,4,1),(0,4,0)D E F O C . 设平面DEF 的法向量为 (,,)n x y z =r ， 则n DE n DF ?⊥??⊥??r u u u r r u u u r ， 而(1,0,2)DE =u u u r ， (2,2,0)DF =u u u r . ∴ 00n DE n DF ?=??=??r u u u r g r u u u r g ，即20220x z x y +=??+=?, 解得::2:2:1x y z =-， ∴ (2,2,1)n =-r . ∵ ||||cos n OF n OF α?=r u u u r r u u u r ， 而(1,2,1)OF =--u u u r . ∴ cos α=2222276||||(2)211(2)(1)
n OF n OF ?==-?-+++-+-r u u u r r u u u r g 所以，直线OF 与平面DEF 所成角的正弦为76. 2. 变式： 用向量法求：二面角1A DE O --余弦；OF 与DE 的距离；O 点到平面DEF 的距离.
反思：本节课较好的完成了教学任务，实现了教学目标。本节课是以学生自己学、小组学、集体学为主要学习模式的课，充分调动了学生的学习积极性，每一位学生都动了起来，都有所收获。
