等值换算例题

等值计算公式的应用

1. 预付年金的等值计算

【例1】：某人每年年初存入银行5000元，年利率为10％，8年后本利和是多少？

解： F  5000 ( F / A ,10 %, 8 )  (1  10 %)  627 .45 查教材P.298的复利系数表知，该系数为11.4359

【例2】：某公司租一仓库，租期5年，每年年初需付租金12000元，贴现率为8％，问该公司现在应筹集多少资金？ 解法1： P

解法2：P

解法3：P  12000 (F/

2. 延期年金的等值计算

【例3】：设利率为10％，现存入多少钱，才能正好从第四年到第八年的每年年末等额提取2万元？ 解：

12000(P/A,8%,5)(18%)51745.391200012000(P/A,8%,4)51745.39A,8%,5)(P/F,8%,4)51745.39P2(P/A,10%,5)(P/F,10%,3)5.7

【例4】：若利率为6%，现存入多少可使今后30年每6年末提取2000元？

解：P＝2000（A/F，6%，6）（P/A，6%，30） ＝3947.7

3. 永续年金的等值计算

【例5】：某地方一次性投入5000万元建一条地方公路，年维护费为150万元，折现率为10％，求现值。

解：该公路可按无限寿命考虑，年维护费为等额年金，可利用年金现值公式求当n→∞时的极限来解决。

(1i)n1APAlimn ni(1i)i150P5000650010%

4. 求解未知的i

【例6】：15年前，某企业投资10000元建厂，现拟卖出该厂得25000元，这10000元的收益率是多少？ 解法1：F=P（F/P，i，15） （F/P，i，15）=2.5

i F/P i F/P i F/P 6% 2.397 2.5 8% 3.172

解法２：

5. 名义利率与实际利率关系换算

【例7】：每半年存款1000元，年利率8%，每季计息一次，复利计息。问五年末存款金额为多少？

解法1：按收付周期实际利率计算

半年期实际利率ieff半＝(1＋8%／4)2－1＝4.04% F＝1000(F/A，4.04%，2×5)＝1000×12.029＝12029元

解法2：按计息周期利率，且把每次收付看作一次支付来计算

2.52.3973.1722.397i6%8%6%2.52.397i6%2%6.266%3.1722.397i2.516.27%15

F＝1000(1＋8%／4)18＋1000(1＋8%／4)16＋…＋1000＝12028.4元

解法3：按计息周期利率，且把每一次收付变为等值的计息周期末的等额年金来计算

A＝1000（A／F，2％，2）＝495元 F＝495（F／A，2％，20）＝12028.5元

【例８】某人每月末存款100元，年利率8%，每季计息一次，复利计息，计息期内利息按复利计算。问一年末存款金额为多少？

解：计息期利率(季度实际利率)i季＝8％/4＝2％ 计算季度名义利率： i季=(1＋r季/3)3－1=2% r季=1.9868% r月= r季/3=0.6623% F=100(F/A, r月,12)=1244.69

6.定差序列问题

【例９】若某人第1年支付一笔10000元的保险金，之后9年内每年少支付1000元，若10年内采用等额支付的形式，则等额支付款为多少时等价于原保险计划?年利率为８%。

解：A=10000-1000(A/G，8,10) =10000-1000*3.8712 =6128.4元

7.计息周期与收付周期  计息周期等于收付周期

计息周期等于支付周期时，有效利率与名义利率相同，可以利用等值计算的基本公式直接计算。

例5.12 年利率为12%，每半年计息一次，从现在起，连续三年，每半年为100元的等额支付，问与其等值的第0年的现值为多大？

12% 解 每计息期的利率 i26%

PA（P/A，i，n）100（P/A，6%，6）1004.917491.7元

 计息周期小于收付周期 （1）按计息周期计算

例5.13 按年利率12%，每季度计息一次，从现在起连续3年的等额年末借款为1000元，问与其等值的第3年年末的借款金额为多大？

解 其现金流量如图5.7所示

取一个循环周期，使这个周期的年末收付转变成等值的计息期末的等额收付系列，其现金流量见图5.8。

12%AF（A/F，i，n）1000（A/F，，4）10000.23903239元

4 经过转变后，计息期和收付期完全重合，可直接利用利息公式进行计算。

FA（F/A，i，n）239.0314.1923392元

（2）按收付周期计算

例5.14 仍以例5.13题为例，先求出收付期的有效利率，本例收付期为一年，然后以一年为基础进行计算。

rn（1）1 解 年有效利率是 in现n4，r12%，所以

0.124i（1）112.55%

4使用“内插法”

（F/A，12%，3）3.374， (F/A,15%,3)3.472

3.4723.374(F/A,12.55%,3)3.3740.553.3920

3F1000（F/A，12.55%,3）10003.39203392元

 计息周期大于支付周期

由于计息期内有不同时刻的支付，通常规定存款必须存满一个计息周期时才计利息，即在计息周期间存人的款项在该期不计算利息，要在下一期才计算利息。因此，原财务活动的现金流量图应按以下原则进行整理：相对于投资方来说，计息期的存款放在期末，计算期的提款放在期初，计算期分界点处的支付保持不变。

例5.15 现金流量图如图5.9所示，年利率为12%，每季度计息1次，求年末终值F为多少?

解 按上述原则进行整理，得到等值的现金流量图如图5.10所示。

根据整理过的现金流量图求得终值

F（300200）（F/P，3%，4）300（F/P，3%，3）100（F/P，3%，2）300（F/P，3%，1）100

=112.36元

5.5.4用“线性内插法”计算未知利率和年数 1、计算未知利率

在等值计算时，会遇到这种情况：现金流量P、F、A以及计算期n均为已知，收益率i待求。这时，可以借助查复利表，用“线性内插法”近似求出i。

在一般情况下，我们可以由计算求出未知利率i的系数f0，通过复利系数表查出与f0上下最接近的系数f1和f2以及对应

的i1和i2，如图5.11所示。

求i的计算式为：

(f0f1)(i2i1)ii1 f2f1例5.16 已知现在投资300万元，9年后可以一次获得525万元。求利率i为多少？ 解：FP（F/P，i，n）

525300（F/P，i，9）

525（F/P，i，9）1.750

300从复利系数表上查到，当n=9时，1.750落在6%和7%之间。从6%的位置查到1.6，从7%的位置上查到1.838。用“直线内插法可得：

（1.7501.6）（7%6%）i6%6.41%

(1.8381.6)计算表明，利率i为6.41%。 2、计算未知年数

在等值计算时，也会遇到这种情况：现金流量P、F、A以及收益率i均为已知，投资回收期n待求。这时，应用上面计算未知收益率的“直线内插法”，同样可近似求出n。

例5.17 某企业准备利用外资贷款200万元建一工程，第三年投产，投产后每年净收益40万元，若年收益率为10%，问投产后多少年能够归还200万元贷款的本息。

解：（1）画出现金流量图

（2）为使方案的计算能够利用公式，将投产的第二年末（第三年初）作为基期，计算P1：

P1200（F/P，10%，2）2001.210242(万元)

（3）计算投产后的偿还期n

，242（P/A，10%，n）6.05

40在i=10%的复利系数表上，6.05落在第9和第10年之间。

(P/A，10%，9)5.759 (P/A，10%，10)6.144

(6.055.759)(109)n99.76(年)

6.1445.759即投产后的9.76年能够全部还清贷款。

例：某工厂向银行借款1000万元，计划在5年内还清本息，年利率为10%，现有4种偿还方式可供选择，即: 方案1：每年末还本200万元及当年利息，分5年还清。 方案2：前4年每年末还本年利息，第5年末还本及本年利息 。 方案3：前3年不归还，第4年末、第5年末各还767万元。 方案4：前4年不归还，第5年末一次还清1610万元。 试选择偿还方式。

(1) 0 1 2 3 4 5 220 240 P1 260 300 280 (2) 0 1 2 3 4 5 P2 100 100 100 100 100 1000 (3) 0 1 2 3 4 5 P3 767 767 (4) 0 1 2 3 4 5 P4 1610

解：P1 = -[300/(1＋10％)＋280 /(1＋10％) 2 + 260/(1＋10％)3+240 /(1＋10％)4

+220 /(1＋10％)5] = -1000 (静态资金：1300)

P2 = {100[(1+10%)5 -1]/[0.1(1+10%)5]+ 1000/(1+10%) 5} =-1000 (静态资金：1500) P3 = -767/(1+10%)4-767/(1+10%) 5

= -1000 (静态资金：1534)

P4 = -1610/(1+10%)5 = -1000 (静态资金：1610)

120 145

3.2 16 2

解：方案1

P1 43.2(P/A,8%,5)16.78

方案2：

P2 2080% 16

选择一次性付款 分析：

若现有16万元，选择分期付款方式是否合适？ 当年利率增加时，会倾向于选择哪一个方案？ 当年利率为多少时才会选择分期付款方式？

1）若现有16万元，选择分期付款方式是否合适？ 年 年初存入 年末利息 年末本利和 年末支付 年末尚余 1 12.0 0.96 12.96 3.2 9.76 2 9.76 0.78 10.54 3.2 7.34 3.2 4.73 3 7.34 0.59 7.93 4 4.73 0.38 5.11 3.2 1.91 5 1.91 0.15 2.06 ？

2）当年利率增加时，会倾向于选择哪一个方案？ 年利率↑ P1值↓

倾向于选择分期付款方案

3）当年利率为多少时才会选择分期付款方式？ P1 = 4+3.2(P/A,i,5) = P2 = 16 由计算可得 i = 10.4%

当年利率 < 10.4%， 选择一次付款方式， 当年利率 > 10.4%， 选择分期付款方式。 例：

某人欲购置一套商品房，总价30万元，首付30%，余款从银行贷款，贷款年利率为5%，按月计息。如果贷款期限为20年，按月等额偿还，每月需付银行多少钱？两年后，银行贷款利率提高到6%，为了减少利息支出，张先生拟将余款按月等额10年付清。问每年需向银行付多少钱？画出现金流量图。

本章小结

资金的时间价值理论和现金流量的计算方法是工程技术经济学的理论基础和进行有效的工程经济分析的工具。本章是全书的重点和难点内容之一，通过学习，要求大家在弄懂基本知识和理论的条件下，能够正确图示方案的现金流量；能够应用复利表和7个基本复利公式进行复利计算；同时，掌握名义利率和实际利率的换算方法，能够针对不同计息等情况进行等值计算。对上述知识的融会贯通和要求的达到需要进行一定量的反复计算和训练。

思考与练习

1.向银行借款100元，借期为10年。试分别用8%单利和8%复利计算这笔借款第10年末的本利和。

2.某人在银行存款1，000元。一年后可得到本利和1，120元。问这笔存款的利息为多少？利率又是多少？

3.某企业向银行贷款，第一年初借入10万元,第三年初借入20万,利率为10%。第四年末偿还25万元，并打算第五年末一次还清。试计算第五年末应偿还多少?要求画出从借款人(企业)

的角度出发的现金流量图和以贷款人(银行)的角度出发的现金流量图。

4. 下列一次支付的终值F为多少? (1)年利率10%,存款1，000元,存期3年; (2)年利率12%,存款1，000元,存期6年; (3)年利率20%,投资20万元，5年一次回收。 5. 下列期终一次支付的现值为多少? (1)年利率5%,第5年末5000元; (2)年利率15%,第20年末的1，000元; (3)年利率10%,第10年末的1，000元。 6. 下列等额支付的终值为多少?

(1)年利率8%,每年年末存入银行100元, 连续存款10年。 (2)年利率12%,每年年末存入银行250元, 连续存款20年。 7. 下列等额支付的现值为多少?

(1)年利率6%, 每年年末支付100元,连续支付10年。 (2)年利率10%,每年年末支付3，000元, 连续支付5年。 8. 下列终值的等额支付为多少?

(1)年利率8%, 每年年末支付一次, 连续支付10年, 10年末积累金额10，000元。

(2)年利率10%,每年年末支付一次, 连续支付8年, 8年末积累金额10，000元。

9. 下列现值的等额支付为多少?

(1)年利率5%,借款1，000元, 计划借款后的第一年年末开始

偿还,每年偿还一次,分四年还清。

(2)年利率8%,借款40，000万, 借款后第一年年末开始偿还, 每年末偿还一次,分20年还清。

10. 设第一年年末存款4，000元,以后9年每年递增存款100元, 年利率8%, 求等值的年末等额支付A为多少?

11. 设第一年年末贷款10，000元,以后4年每年递减贷款2，000元,年利率10%,求第5年年末的终值为多少?

12. 某企业计划五年后更新机械设备, 共需20万元, 打算自筹资金来满足到时的需要。银行存款的年利率为8%, 若现在一次存入, 需存多少金额? 若分五年每年年末等额存入, 每年需存入多少金额?

13. 建设银行贷款给某投资者。年利率为5%,第一年初贷给3，000万元,第二年初贷给2，000万元,该投资者第三年末开始用盈利偿还贷款, 按协议至第十年末还清。问该投资者每年末应等额偿还多少?

14. 某建筑企业七年前用3，500元购买了一台机械, 每年用此机械获得收益为750元, 在第一年时维护费为100元, 以后每年递增维护费20元。该单位打算现在(第七年末)转让出售, 问：若年利率为10%,最低售价应为多少?

15 . 若年利率为8%, 每月计息一次, 现在存款100元, 10年后可获本利和为多少?

16. 若年利率为12%, 按半年计息, 每年末存款100元, 5年后可获本利和为多少?

17. 某建筑企业购买了一台机械, 估计能使用20年, 每4年要大修理一次, 每次大修费用为1，000元, 现在应存入银行多少钱足以支付20年寿命期间的大修费支出。设年利率为12%, 每季计息一次。

18. 某企业采用每月月末支付300元的分期付款方式购买一台价值6，000元的设备, 共分24个月付完。问名义利率是多少? 19. 如果现在投资1，000元, 10年后可一次获得2，000元,问利率为多少?7.14%

20. 如果第一年年初投资10，000元, 从第一年末起六年内每年年末可获利3，000元, 问这项投资的利率为多少?19.91% 21. 利率10%时, 现在的100元, 多少年后才成为200元。7.26 22. 某企业一年利率8%存入银行50，000元,用以支付每年年末的设备维修费。设每年末支付的维修费为8，000元, 问该存款能够支付多少年?9.01,9.04 23. 试用线性内插法求下列系数值: (1) (P/A，8.2%，10) 6.6536 (2) (P/F，8.5%，7 ) (3) (A/P，6.4%，5 ) 0.24 (4) (F/A，9.6%，12)

24. 试用线性内插法求下列系数的值: (1) (P/A，5%，6.4)5.36 (2) (P/F，8%，12.8) (3) (A/P，10%，4.5)

(4) (F/A，15%，7.2)

25. 有一支付系列, 第三年末支付500元, 以后十二年每年末支付200元。设年利率为10%，试画出此支付系列的现金流量图，并计算

(1)零期的现值；1399.48 (2)第十五年年末的终值；5846 (3)第十年年末的时值。3629.