浅析动点到两个定点的距离之和

江苏省泰州市民兴实验中学 马永华

在高三复习过程中经常碰到有关求某曲线上的一个动点到两定点的距离之和（差）的最值．许多同学在面对此类问题时感到束手无策，无从下手。本文就此类最值问题常见题型作初步探索。

一、直线上的动点到直线外两个定点的距离之和（差）的最值．

例1 （1）已知点A(1，1)，点B(3，-2)，P是x轴上任意一点，则PA+PB的最小值为 ，此时点P的坐标为 ；

（2）已知点A(1，1)，点B(3，2)，P是x轴上任意一点，则PB-PA的最大值为 ，此时点P的坐标为 ．

解析：（1）如图1，当点P在x轴上运动时，PA+PBAB(当且仅当A，P，B三点共线时等号成立)

(PA+PB)min =AB=

此时，点P的坐标为

（2）如图2，当点P在x轴上运动时，PB- PA AB(当且仅当A，P，B三点共线时等号成立)

(PB-PA)max =AB= 此时，点P的坐标为

变题：（1）已知点A(1，1)，点B(3，2)，P是x轴上任意一点，则PA+PB的最小值为 ，此时点P的坐标为 ；

解析：（1）如图3，作点B关于x轴的对称点B（3，-2），则有PB=PB

当点P在x轴上运动时，PA+PB=PA+PBAB (当且仅当A，P，B三点共线时等号成立)

(PA+PB)min =AB=

此时，点P的坐标为

（2）已知点A(1，1)，点B(3，-2)，P是x轴上任意一点，则PB-PA 的最大值为 ，此时点P的坐标为 ．

解析：（2）如图4，作点B关于x轴的对称点B，则有PB=PB

当点P在x轴上运动时，PB- PA= PB- PA AB (当且仅当A，P，B三点共线时等号成立)

(PB-PA)max =AB= 此时，点P的坐标为

归纳：①当两定点位于直线的异侧时可求得动点到两定点的距离之和的最小值；

②当两定点位于直线的同侧时可求得动点到两定点的距离之和的绝对值的最大值．

若不满足①②时，可利用对称性将两定点变换到直线的同（异）侧，再进行求解．如变题的方法．

例2 函数

解析：将函数进行化简得：

即为动点P（x，0）到两定点A(1，1)、B（3，-2）的距离之和．由例1可知： 该值域为

的值域为 ．

二、圆锥曲线上的动点到两个定点的距离之和（差）的最值．

（一）直接求解或利用椭圆（或双曲线）的定义进行适当转化后求解．

例3 （1）已知A(4，0)和B(2，2)，M是椭圆上的动点，则MA-MB的

范围是 ；

解析：(1)如图5，在MAB中有MA-MBMA即点M位于M2处时，有MA-MB=AB，所以MA-MBAB；同理在MAB中有MB-MAAB，即MB-MA-AB(当点M位于M1处时等号成立)

综上所述：-ABMA-MBAB

（2）已知A(4，0)和B(2，2)，M是椭圆上的动点，则MA+MB的最大值

是 ．

解析：(2) 如图6，因为点A恰为椭圆的右焦点，所以 由椭圆的定义可得MA+MB=10-MF+MB（F为椭圆的左焦点），同（1）可得MB-MFBF(当且仅当点M位于点M4处时，等号成立)所以(MA+MB)max =(10-MF+MB)max=10+BF=10+

点评：因为点A，B都在椭圆的内部（即两定点都在曲线的同侧），故可直接求出动点M到两定点A，B的距离之差的最值；若要求动点M到两定点A，B的距离之和的最值（其

中A恰为焦点），需要利用椭圆的定义转化为动点M到两定点F，B的距离之差的最值（点F为另一焦点）．

例4 (1)已知F是双曲线的左焦点，A(4，1)，P是双曲线右支上的动点，

则PA+PF的最小值为 ；

解析：(1)如图7，在PAB中有PA+PF>AB，当P，A，F三点共线即点P位于P1处时，有PA+PF=AF， 所以(PA+PF)min=AF=

．

(2)已知F是双曲线的左焦点，A(1，4)，P是双曲线右支上的动点，则PA+PF

的最小值为 ．

解析：(2)如图8，设F2是双曲线的右焦点，由双曲线的定义可得PA+PF=PA+2a+PF2=8+ PA+PF28+AF2(当P，A，F2三点共线即点P位于P2处时等号成立)，

所以(PA+PF)min=8+AF2=13．

点评：本题需要特别关注点与双曲线的位置关系，两定点一定要在动点的轨迹（曲线）的异侧．

（二）利用圆锥曲线的统一定义将圆锥曲线上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离进行互化后进行求解．

例5 （1）已知点A(2，2)，F是椭圆的右焦点，P是椭圆PF+PA的最小值是 ，此时，点的坐标为 ；

上的动点，则

解析：如图9，设点P到右准线的距离为PP，由圆锥曲线的统一定义可知，

即号)

(当且仅当A，P，P三点共线，即点P位于点P1处时取等

此时点P的坐标为P(，2).

（2）已知点A(5，2)，F是双曲线的右焦点，P是双曲线的最小值是 ，此时点的坐标为 ．

上的动点，则PF+PA

解析：如图10，设点P到右准线的距离为PP，由圆锥曲线的统一定义可知，

即号)

(当且仅当A，P，P三点共线，即点P位于点P1处时取等

此时点P的坐标为P(，2)

点评：此类最显著的特征是动点与焦点距离前有系数义将动点到焦点的距离转化为到相应准线的距离．

例6 （1）抛物线

，可以利用圆锥曲线的统一定

的焦点为F，A(4，-2)为一定点，在抛物线上找一点M，当

MA+MF为最小值时，点M的坐标为 ；

解析：如图11，为抛物线的准线，MM为点M到准线的距离．利用抛物线的定义：MF=MM，可得MA+MF= MA+MMAM（当且仅当A，M，M三点共线时等号成立，即当点M在M处时等号成立）

此时点M的坐标为M(，-2)

（2）P为抛物线上任一点，A(3，4)为一定点，过P作PP垂直y轴于点P，

则AP+ PP的最小值为 ．

解析：如图12，延长PP交抛物线的准线于点P，

由抛物线的定义：PP=PF，所以AP+ PP= AP+ PP-1= AP+PF-1AF-1(当且仅当A，P，F三点共线时等号成立，即当点P位于P1处时等号成立)

点评：本题需要注意两点：①定点所在位置是抛物线的内部还是外部；②利用抛物线的定义将动点（在抛物线上）到焦点与到准线的距离进行互化．