2015-2016学年安徽省安庆市枞阳县白云中学高二（下）期中数
学试卷（理科）
一、选择题（每题5分，共60分）
1．函数f（x）=（x+1）（x﹣1），则f′（2）=（ ） A．3
B．2
C．4
D．0
f（x）dx=（ ）
2．已知函数f（x）=x2﹣x+2，则A．
B．
C．2
D．3
3．已知a为实数，，则a=（ ）
A．.1 B． C．. D．.﹣2
4．“所有金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电，”此推理类型属于（ ） A．演绎推理
B．类比推理
C．合情推理
D．归纳推理
5．已知抛物线y=ax2+bx+c通过点P（1，1），且在点Q（2，﹣1）处的切线平行于直线y=x﹣3，则抛物线方程为（ ） A．y=3x2﹣11x+9
B．y=3x2+11x+9 C．y=3x2﹣11x﹣9 D．y=﹣3x2﹣11x+9
6．命题p：∃x∈R，使得3x＞x；命题q：若函数y=f（x﹣1）为偶函数，则函数y=f（x）关于直线x=1对称，则（ ） A．p∨q真 B．p∧q真 C．￢p真 D．￢q假 7．在复平面内，复数A．第一象限
+（1+
i）2对应的点位于（ ） C．第三象限
D．第四象限
B．第二象限
8．如图，阴影部分的面积是（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．
第1页（共16页）
9．函数f（x）=sin2x的导数f′（x）=（ ） A．2sinx
B．2sin2x
C．2cosx
D．sin2x
10．下列说法正确的是（ ） A．函数y=|x|有极大值，但无极小值 B．函数y=|x|有极小值，但无极大值 C．函数y=|x|既有极大值又有极小值 D．函数y=|x|无极值
11．下列函数在点x=0处没有切线的是（ ） A．y=3x2+cosx B．y=xsinx C．
D．
12．已知抛物线C的方程为x2=y，过点A（0，﹣1）和点B（t，3）的直线与抛物线C没有公共点，则实数t的取值范围是（ ） A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） B．（﹣∞，﹣﹣2
二、填空题（每小题5分，共20分） 13．函数f（x）=x3+x2单调递减区间是 ．
14．若复数z=（a2﹣2a）+（a2﹣a﹣2）i为纯虚数，则实数a的值等于 ． 15．已知函数f（x）=﹣x3+3x2+9x+m在区间[﹣2，2]上的最大值是20，则实数m的值等于 ．
16．通过观察下面两等式的规律，请你写出一般性的命题： sin230°+sin290°+sin2150°= sin25°+sin265°+sin2125°= ．
三、解答题（共6小题，满分70分）
17．已知抛物线y=x2+bx+c在点（1，2）处的切线与直线x+y+2=0垂直，求函数y=x2+bx+c的最值．
18．求函数y=x4﹣2x2+5在区间[﹣2，2]上的最大值与最小值．
第2页（共16页）
）∪（，+∞） C．（﹣∞，
）∪（2，+∞） D．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）
19．求曲线y=x2过点P（1，﹣1）的切线方程． 20．已知△ABC中，点A，B的坐标分别为A（﹣轴上方．
（1）若点C坐标为（
，1），求以A，B为焦点且经过点C的椭圆的方程：
的直线l交（1）中曲线于M，N两点，若
，0），B（
，0）点C在x
（2）过点P（m，0）作倾斜角为
点Q（1，0）恰在以线段MN为直径的圆上，求实数m的值．
21．已知函数f（x）=ax3+cx+d（a≠0）在R上满足 f（﹣x）=﹣f（x），当x=1时f（x）取得极值﹣2．
（1）求f（x）的单调区间和极大值；
（2）证明：对任意x1，x2∈（﹣1，1），不等式|f（x1）﹣f（x2）|＜4恒成立． 22．在各项为正的数列{an}中，数列的前n项和Sn满足Sn=（an+（1）求a1，a2，a3；
（2）由（1）猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想．
），
第3页（共16页）
2015-2016学年安徽省安庆市枞阳县白云中学高二（下）
期中数学试卷（理科）
参与试题解析
一、选择题（每题5分，共60分）
1．函数f（x）=（x+1）（x﹣1），则f′（2）=（ ） A．3
B．2
C．4
D．0
【考点】导数的运算．
【分析】直接求出原函数的导函数，在导函数中取x=2得答案． 【解答】解：由f（x）=（x+1）（x﹣1）=x2﹣1，得 f′（x）=2x， ∴f′（2）=2×2=4． 故选：C．
2．已知函数f（x）=x2﹣x+2，则A．
B．
C．2
D．3
f（x）dx=（ ）
【考点】定积分．
【分析】根据定积分法则计算即可． 【解答】解：故选：B．
3．已知a为实数，
，则a=（ ）
fdx=（x）
dx=（x2﹣x+2）（x2﹣x2+2x）|
=﹣+2=
，
A．.1 B． C．. D．.﹣2 【考点】复数的基本概念．
【分析】化简复数的左侧部分为a+bi的形式，虚部为0，求出实部满足不等式的a的值即可．
第4页（共16页）
【解答】解： ==，
所以a=时==2；
故选B．
4．“所有金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电，”此推理类型属于（ ） A．演绎推理
B．类比推理
C．合情推理
D．归纳推理
【考点】演绎推理的基本方法．
【分析】本题考查的是演绎推理的定义，判断一个推理过程是否是演绎推理关键是看他是否符合演绎推理的定义，能否从推理过程中找出“三段论”的三个组成部分．
【解答】解：在推理过程“所有金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电”中 所有金属都能导电，是大前提 铁是金属，是小前提 所以铁能导电，是结论 故此推理为演绎推理 故选A
5．已知抛物线y=ax2+bx+c通过点P（1，1），且在点Q（2，﹣1）处的切线平行于直线y=x﹣3，则抛物线方程为（ ） A．y=3x2﹣11x+9
B．y=3x2+11x+9 C．y=3x2﹣11x﹣9 D．y=﹣3x2﹣11x+9
【考点】直线与抛物线的位置关系；利用导数研究曲线上某点切线方程；直线与圆锥曲线的关系．
【分析】先求导数y′=2ax+b，而根据条件知抛物线过点P（1，1），Q（2，﹣1），以及在Q点的切线斜率为1，这样便可得出关于a，b，c的方程组，解出a，b，c便可得出抛物线的方程． 【解答】解：∵y′=2ax+b，
∴抛物线在点Q（2，﹣1）处的切线斜率为：4a+b；
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根据条件知抛物线过P，Q点，过Q的切线斜率为1；
∴；
解得；
∴抛物线方程为y=3x2﹣11x+9． 故选：A．
6．命题p：∃x∈R，使得3x＞x；命题q：若函数y=f（x﹣1）为偶函数，则函数y=f（x）关于直线x=1对称，则（ ） A．p∨q真 B．p∧q真 C．￢p真 D．￢q假 【考点】复合命题的真假．
【分析】容易判断p为真命题，知道f（x）的图象是由f（x﹣1）的图象向左平移1个单位得到，根据f（x﹣1）为偶函数便知f（x﹣1）的图象关于x=0对称，从而得出f（x）的图象关于x=﹣1对称，从而判断出命题q为假命题，从而可判断p∨q为真，A便是正确选项．
【解答】解：命题p：命题p为真命题，比如a=1时31＞1； 命题q：f（x﹣1）为偶函数，∴f（x﹣1）的图象关于x=0对称； f（x）的图象是将f（x﹣1）的图象向左平移1个单位得到； ∴f（x）的图象关于x=﹣1对称； ∴命题q是假命题；
∴p∨q真，p∧q假，￢p假，￢q真． 故选A．
7．在复平面内，复数A．第一象限
+（1+
i）2对应的点位于（ ） C．第三象限
D．第四象限
B．第二象限
【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．
【分析】利用复数的除法及乘法法则化简复数，利用复数的几何意义求出复数对
第6页（共16页）
应的点，据点坐标的符号判断所在象限． 【解答】解：∵==
∴复数对应的点为（﹣∴该点在第二象限 故选项为B
）
8．如图，阴影部分的面积是（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．
【考点】定积分在求面积中的应用．
【分析】利用定积分的几何意义表示出阴影部分的面积，然后计算． 【解答】解：由题意，结合图形，得到阴影部分的面积是（3x﹣故选C．
9．函数f（x）=sin2x的导数f′（x）=（ ） A．2sinx
B．2sin2x
C．2cosx
D．sin2x
）|
=
；
=
【考点】简单复合函数的导数．
【分析】将f（x）=sin2x看成外函数和内函数，分别求导即可． 【解答】解： 将y=sin2x写成，
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y=u2，u=sinx的形式． 对外函数求导为y′=2u， 对内函数求导为u′=cosx， 故可以得到y=sin2x的导数为 y′=2ucosx=2sinxcosx=sin2x 故选D
10．下列说法正确的是（ ） A．函数y=|x|有极大值，但无极小值 B．函数y=|x|有极小值，但无极大值 C．函数y=|x|既有极大值又有极小值 D．函数y=|x|无极值 【考点】函数的图象．
【分析】根据函数y=|x|的图象，得出结论．
【解答】解：根据函数y=|x|的图象，可得函数y有极小值，但无极大值， 故选：B．
11．下列函数在点x=0处没有切线的是（ ） A．y=3x2+cosx B．y=xsinx C．【考点】导数的运算．
【分析】根据导数的定义可得答案．
D．
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【解答】解：∵故选D．
在x=0处不可导．
12．已知抛物线C的方程为x2=y，过点A（0，﹣1）和点B（t，3）的直线与抛物线C没有公共点，则实数t的取值范围是（ ） A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） B．（﹣∞，﹣﹣2
）∪（2
，+∞）
D．（﹣∞，﹣
）∪（
，+∞） C．（﹣∞，
）∪（，+∞）
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．
【分析】设过A的直线方程，与抛物线方程联立，根据判别式求得k，求得过A的抛物线的切线与y=3的交点，则当过点A（0，﹣1）和点B（t，3）的直线与抛物线C没有公共点，进而求得t的范围．
【解答】解：如图，设过A的直线方程为y=kx﹣1，与抛物线方程联立得x2﹣kx+=0，
△=k2﹣2=0，k=±2
，求得过A的抛物线的切线与y=3的交点为（±
，3），
则当过点A（0，﹣1）和点B（t，3）的直线与抛物线C没有公共点， 实数t的取值范围是（﹣∞，﹣故选D．
）∪（
，+∞），
二、填空题（每小题5分，共20分）
13．函数f（x）=x3+x2单调递减区间是 [﹣，0] ． 【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】根据f（x）的导函数建立不等关系，可得f'（0）≤0，建立不等量关系，求出单调递减区间即可． 【解答】解：∵f′（x）=3x2+2x，
第9页（共16页）
∴3x2+2x≤0， 解得﹣≤x≤0，
∴函数f（x）=x3+x2单调递减区间是[﹣，0]， 故答案为：[﹣，0]．
14．若复数z=（a2﹣2a）+（a2﹣a﹣2）i为纯虚数，则实数a的值等于 0 ． 【考点】复数的基本概念． 【分析】由纯虚数的定义可知
，解之可得．
【解答】解：由纯虚数的定义可知由方程可解得a=0，或a=2， 但a=2时a2﹣a﹣2=0，矛盾， 故答案为：0
，
15．已知函数f（x）=﹣x3+3x2+9x+m在区间[﹣2，2]上的最大值是20，则实数m的值等于 ﹣2 ．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．
【分析】先将f（x）的各极值与其端点的函数值比较，其中最大的一个就是最大值，最小的一个就是最小值，再根据条件求出m的值，最小值即可求得． 【解答】解：∵f（x）=﹣x3+3x2+9x+m（m为常数） ∴f′（x）=﹣3x2+6x+9
令f′（x）=﹣3x2+6x+9=0，解得x=﹣1或3（舍去） 当﹣2＜x＜﹣1时，f'（x）＜0， 当﹣1＜x＜2时，f'（x）＞0
∴当x=﹣1时取最小值，而f（2）=22+m＞f（﹣2）=2+m， 即最大值为22+m=20，∴m=﹣2， 故答案为：﹣2．
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16．通过观察下面两等式的规律，请你写出一般性的命题： sin230°+sin290°+sin2150°= sin25°+sin265°+sin2125°=
sin2（α﹣60°）+sin2α+sin2（α+60°）= ． 【考点】归纳推理．
【分析】已知条件中：sin230°+sin290°+sin2150°=，sin25°+sin265°+sin2125°=．可以发现等式左边参加累加的三个均为正弦的平方，且三个角组成一个以60°为公差的等差数列，右边是常数，由此不难得到结论．
【解答】解：由已知中sin230°+sin290°+sin2150°=，sin25°+sin265°+sin2125°=． 归纳推理的一般性的命题为：
sin2（α﹣60°）+sin2α+sin2（α+60°）=． 证明如下： 左边=
+
+
=﹣ [cos（2α﹣120°）+cos2α+cos（2α+120°）] ==右边． ∴结论正确．
故答案为：sin2（α﹣60°）+sin2α+sin2（α+60°）=．
三、解答题（共6小题，满分70分）
17．已知抛物线y=x2+bx+c在点（1，2）处的切线与直线x+y+2=0垂直，求函数y=x2+bx+c的最值．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】求出函数的导数，根据导数的几何意义，求出b，c的值，利用二次函数的性质即可得到结论． 【解答】解：∵y=x2+bx+c， ∴函数的导数为f′（x）=2x+b，
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∴抛物线在点（1，2）处的切线斜率k=2+b， ∵切线与直线x+y+2=0垂直， ∴2+b=1，即b=﹣1，
∵点（1，2）也在抛物线上， ∴1+b+c=2，得c=2．
即函数y=x2+bx+c=x2﹣x+2=（x﹣）2+， ∴当x=时，函数取得最小值，函数无最大值．
18．求函数y=x4﹣2x2+5在区间[﹣2，2]上的最大值与最小值． 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．
【分析】利用导数研究函数的单调性、极值、最值并列出表格即可得出． 【解答】解：先求导数，得y′=4x3﹣4x，
令y′＞0，即4x3﹣4x＞0，解得﹣1＜x＜0或x＞1； 令y′＜0，即4x3﹣4x＜0，解得x＜﹣1或0＜x＜1． 如下表： X ﹣2 y′ y （﹣2，﹣1） ﹣ ↘ ﹣1 0 4 （﹣1，0） + ↗ 0 （0，1）1 2 （1，2）0 5 ﹣ ↘ 0 4 + ↗ 13 13 从上表知，当x=±2时，函数有最大值13，当x=±1时，函数有最小值4．
19．求曲线y=x2过点P（1，﹣1）的切线方程． 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】设出切点Q（a，a2），求出导数，求得切线的斜率，求出切线的方程，代入点P，解得a，即可得到所求切线的方程．
【解答】解：设Q（a，a2）点是过P点的切线与y=x2的切点， y=x2过的导数为y′=2x， 即有切线斜率2a，
切线方程为：y﹣a2=2a（x﹣a）
第12页（共16页）
又切线过P（1，﹣1），即有﹣1﹣a2=2a（1﹣a）， 解得a=1±
，
）x﹣（3+2
）或y=（2﹣2
）x﹣（3﹣2
）．
故切线方程为y=（2+2
20．已知△ABC中，点A，B的坐标分别为A（﹣轴上方．
（1）若点C坐标为（
，0），B（，0）点C在x
，1），求以A，B为焦点且经过点C的椭圆的方程：
的直线l交（1）中曲线于M，N两点，若
（2）过点P（m，0）作倾斜角为
点Q（1，0）恰在以线段MN为直径的圆上，求实数m的值． 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程． 【分析】（1）设椭圆方程为
（a＞b＞0），确定椭圆的几何量，即可求
出以A、B为焦点且经过点C的椭圆的方程；
（2）设出直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及Q恰在以MN为直径的圆上，即可求实数m的值． 【解答】解：（1）设椭圆方程为∵C
，A
=
（a＞b＞0），则c=， ，
，
∴2a=|AC|+|BC|=4，b=∴椭圆方程为
（2）直线l的方程为y=﹣（x﹣m），令M（x1，y1），N（x2，y2）， 将y=﹣（x﹣m）代入椭圆方程
，消去y可得6x2﹣8mx+4m2﹣8=0
∴，
若Q恰在以MN为直径的圆上，则
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，
即m2+1﹣（m+1）（x1+x2）+2x1x2=0， ∴3m2﹣4m﹣5=0 解得
21．已知函数f（x）=ax3+cx+d（a≠0）在R上满足 f（﹣x）=﹣f（x），当x=1时f（x）取得极值﹣2．
（1）求f（x）的单调区间和极大值；
（2）证明：对任意x1，x2∈（﹣1，1），不等式|f（x1）﹣f（x2）|＜4恒成立． 【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．
【分析】（1）由f（﹣x）=﹣f（x）（x∈R）得d=0，求得f（x）的导数，由题意可得f′（1）=0，f（1）=﹣2，解得a=1，c=﹣3，求得f（x）的导数，令导数大于0，可得增区间，令导数小于0，可得减区间，进而得到极大值；
（2）求出f（x）在[﹣1，1]的最大值M和最小值m，对任意的x1，x2∈（﹣1，1），恒有|f（x1）﹣f（x2）|＜M﹣m，即可得证． 【解答】解：（1）由f（﹣x）=﹣f（x）（x∈R）得d=0， ∴f（x）=ax3+cx，f′（x）=ax2+c．
由题设f（1）=﹣2为f（x）的极值，必有f′（1）=0， ∴
解得a=1，c=﹣3，
．
∴f′（x）=3x2﹣3=3（x﹣1）（x+1） 从而f′（1）=f′（﹣1）=0．
当x∈（﹣∞，﹣1）时，f′（x）＞0，则f（x）在（﹣∞，﹣1）上是增函数； 在x∈（﹣1，1）时，f′（x）＜0，则f（x）在（﹣1，1）上是减函数， 当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，则f（x）在（1，+∞）上是增函数． ∴f（﹣1）=2为极大值．
（2）证明：由（1）知，f（x）=x3﹣3x在[﹣1，1]上是减函数， 且f（x）在[﹣1，1]上的最大值M=f（﹣1）=2， 在[﹣1，1]上的最小值m=f（1）=﹣2．
对任意的x1，x2∈（﹣1，1），恒有|f（x1）﹣f（x2）|＜M﹣m=2﹣（﹣2）=4．
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22．在各项为正的数列{an}中，数列的前n项和Sn满足Sn=（an+（1）求a1，a2，a3；
（2）由（1）猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想． 【考点】归纳推理；数学归纳法．
【分析】（1）由题设条件，分别令n=1，2，3，能够求出a1，a2，a3． （2）由（1）猜想数列{an}的通项公式：
等式成立，假设n=k时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立． 【解答】解：（1）易求得（2）猜想
证明：①当n=1时，②假设n=k时，则=所以，
即n=k+1时，命题成立． 由①②知，n∈N*时，
．
，∴
n=k+1
时
，
=．
，
），
，检验n=1时
；
，命题成立 成立，
第15页（共16页）
2017年1月15日
第16页（共16页）
