热传导方程的初边值问题

例4 周期初始温度分布 求解热传导方程utuxx,(x,t0)给定初始温度分布

u(x,0)1cos2x,(x)。

解

u(x,t)1e4tcos2x.

初始高斯温度分布

2u2u0,(x,a2x例 5求解定解问题tu(x,0)ekx2,(x)t0)，

其中常数k0.

解

u(x,t)12at(s)e(xs)24a2tds12aeteks2e(xs)24a2tds

12ate(4ka2t1)s22xsx24a2tds12a(4ka2t1)(stdsx4ka2t22)x4ka2t14ka2t14a2tds

eekx224kat112a1te(4ka2t1)x(s)2224at4kat1kx224kat11(4kat1)4a2t22at14kat12ekx224kat1 .

§3初边值问题

设长度为l,侧表面绝热的均匀细杆,初始温度与细杆两端的温度已知,则杆上的温度分布

u(x,t)满足以下初边值问题

uta2uxxf(x,t),0xl,0tT0xl, u(x,0)(x),u(0,t)g(t),u(l,t)g(t),0tT12对于这样的问题,可以用分离变量法来求解.

将边值齐次化

- - 考试资料

- - .

令U(x,t)g1(t)再作变换

xg2(t)g1(t) lVuU

引入新的未知函数,易知它满足

Vta2Vxxf(x,t)Ut,0xl,0tTV(x,0)(x)U(x,0),0xl,V(0,t)0,V(l,t)0,0tT我们先考虑齐次方程,齐次边界的情形

uta2uxx0,0xl,t0u(x,0)(x),0xl,u(0,t)u(l,t)0,t0解 设u(x,t)X(x)T(t),代入方程

T(t)X(x)a2X(x)T(t),

T(t)Xa2T(t)(x)X(x),

这等式只有在两边均等于常数时才成立. 令此常数为,则有

Ta2T0, XX0, 先考虑（3.5）,根据边界条件(3.3),X(x)应当满足边界条件

X(0)0,X(l)0 情形A：

当0时,方程（3.5）的通解可以写成

X(x)Cx1eCx2e,

要使它满足边界条件（3.6）,就必须

C1C20,

Cll1eC2e0,

由于

11elelelel0,

只能C1C20,故在0的情况得不到非平凡解. 情形B：

当0时,方程（3.5）的通解可以写成

- - (3.1)(3.2) (3.3)3.4）

3.5）

（3.6）

考试资料

（（ - - .

X(x)C1C2x,

要满足边界条件（3.6）,C10,C1lC20,即C1C20.

X(x)也只能恒等于零.

情形C：

当0时,方程（3.5）的通解具有如下形式：

X(x)C1cosxC2sinx,

由边界条件X(0)0,知C10,再由X(l)C2sinl,可知,为了使C20,就必须

sinl0,

于是

lk,(k1,2,)

k22k2,(k1,2,) （3.7）

l这样就找到了一族非零解

Xk(x)Cksin称Xk(x)Cksinkx,(k1,2,) （3.8） lkx为常微分方程边值问题 lX(x)X(x),0xl X(0)X(l)0的固有函数（特征函数）.

k22而l2k22TaT0, 2l2称为相应的固有值（或特征值）.将固有值k代入方程（3.4）中,

可得Tk(t)Bkea2k22l2t （3.9）

于是得到一列可分离变量的特解

uk(x,t)Akea2k22l2tsinkx,(k1,2,) （3.10） l2由于方程（3.1）及边界条件（3.3）都是齐次的,故可利用叠加原理构造级数形式的解

u(x,t)uk(x,t)Akeak1k1ktsinkx, （3.11）

- - 考试资料

- - .

k22其中k2.

l由（3.2）,为使在t0时,u(x,t)取到初值(x),应成立

(x)u(x,0)Aksinkxk1Aksink1kx,l （3.12）

得出Ak2lk()sind. （3.13） 0llu(x,t)Akek1a2kt得到问题（3.1）－（3.3）的解

sinkx,

k222lk其中k2,Ak()sind.

ll0l定理 若C[0,l],(0)(l)0,则

1u(x,t)Akeak12ktsinkx, （3.14）

uta2uxx0,0xl,t00xl,是 u(x,0)(x),u(0,t)u(l,t)0,t0的古典解（经典解）.

证明 由C[0,l],得在[0,l]上可积.

(3.1)(3.2) (3.3)|Ak||对任意0,当t时,成立

2lk()sind| 0ll2l|()|dM l0n(m)2mna2kt2ak(Aesinx)Me,（任意整数m,n0） kk1kmntx又对任意p0,而级数

k1pa2kke收敛,

mna2t所以mn(Akeksinkx)在0xl,t上一致收敛.

k1tx- - 考试资料

- - .

mnmna2t于是mnu(x,t)mn(Akeksinkx)，

txk1tx即级数u(x,t)Akeaktsinkx,当0xl,t时,关于x及t具有任意阶的连续偏

k12导数,并且求偏导与求和可以交换.

由于级数的每一项都满足方程及边界条件,从而函数u(x,t)在t时,确实满足方程及边界条件.再由0的任意性,得u(x,t)在t0时满足方程及边界条件, 且u(x,t)C([0,l](0,)).

再证limu(x,t)(x0),(0x0l)

xx0t0由条件C[0,l],(0)(l),

1|Ak|Ake2lkl2lkl|(x)sinxdx||(x)cosxdx||ak| l0lkl0lksinkxCa2kt1112akC2ak, k2k2由Bessel不等式,知

akk12l2(x)dx, 0l从而得到

ek1a2ktAksinkx在t0,0xl上一致收敛,Aksinkx在0xl上

k1一致收敛于(x),

从而得u(x,t)在t0,0xl上连续. 于是limu(x,t)xx0t0limexx0k1t0a2ktAksinkxAksinkx0(x0),(0x0l).

k1

3.1初边值问题解的渐近性态

定理 假设初始函数(x)满足C[0,l],(0)(l)0,则当t

趋于无穷大时,问题（3.1）－（3.3）的唯一的古典解指数衰减地趋于零,确切地说,当t时,对一切x[0,l],

1|u(x,t)|Cea1t0,

- - 考试资料

2 - - .

其中C是一个与解无的正常数. 证明 古典解是唯一的,

u(x,t)Akeaktsinkx是唯一的古典解,其中

k12k222lkk2Ak()sind,k1,2,

ll0l(x)在[0,l]上有界,设(x)M,则有|Ak|当t1时

2lk2l()sindMd2M 00lllu(x,t)Akek1a21ta2kt2Meakt

k1a21t22Meek1a2(k1)t2Meeak12(k1)

2Mea21tek1a22l2kCea21t.

3.2非齐次方程求解方法—齐次化原理

考虑非齐次方程

uta2uxxf(x,t). u(x,0)0,u(0,t)u(l,t)0,齐次化原理：若w(x,t;)是下述问题

2w2wtax2,t,0xl （*） w(x,t;)|tf(x,)w(0,t;)w(l,t;)0,t的解（其中0为参数）,则

u(x,t)w(x,t;)d

0tuta2uxxf(x,t)是非齐次问题u(x,0)0,u(0,t)u(l,t)0,,0xl,t0的解.

t0twtwuw(x,t;t)df(x,t)d 证明 显然u(x,0)0,u(0,t)u(l,t)0,

0t0tt- - 考试资料

- - .

22t2uu2w2uaad,则u满足af(x,t).u(x,t)是非齐次问题的解. 2220xxtx2现在来求问题（*）的解.

作变换tt则问题（*）化为

2w2wtax20,t0,0xl （**） w|t0f(x,)w(0,t;)w(l,t;)0,t0我们已知问题（**）的解为

w(x,t;)Bk()eaktsinkx,

k12k222lk其中k2,Bk()f(,)sind.

ll0l于是w(x,t;)tBk()eak(t)sinkx,

k12故u(x,t)tw(x,t;)d

02Bk()eak(t)dsinkx,是非齐次问题的解.

k10uta2uxxf(x,t),初边值问题u(x,0)(x),u(0,t)u(l,t)0,u(x,t)Akek1a2ktt0的解为

sinkxBk()eak(t)dsinkx,

k12k222lk2lk其中k2,Ak()sind,Bk()f(,)sind.

ll0ll0l3.3非齐次初边值问题的特征函数展开法

uta2uxxf(x,t),0xl,0tT0xl, （3.15） u(x,0)(x),u(0,t)u(l,t)00tT方法步骤 把u(x,t),方程的非齐次项f(x,t)和初值都按照特征函数系sinklx展开： - - 考试资料

- - .

u(x,t)Tk(t)sink1kx, lkx, lf(x,t)fk(t)sink1(x)ksink1kx, lklx在区间[0,l]上的正交性,可得 由特征函数系sin2lkf(x,t)sinxdx, 0ll2lkk(x)sinxdx.

l0lfk(t)而函数Tk(t)暂时还是未知的.为确定Tk(t),把上述展开式问题（3.15）代入方程和初始条件,由特征函数系sinklx的完备性,从而得到Tk(t)适合下列微分方程和初始条件. kk2k2T(t)a()T(t)sinxf(t)sinx, kkklllk1k1kkT(0)sinxsinx, kkllk1k1于是得到

2k2T(t)a()Tk(t)fk(t)k lTk(0)k,k1,2,

k2a2()ta2(kl)2tlTk(t)efk(t) e从0到t积分

ea2(k2)tlTk(t)Tk(0)fk()e0a2(k2)tlta2(k2)ld d

Tk(t)kefk()e0ta2(k2)(t)l故非齐次初边值问题解u(x,t)的表达式为

u(x,t)kek1a2ksinkxfk()eak(t)dsinkx,

k10t2- - 考试资料

- - .

这与前面的结果一致. 能量衰减估计

uta2uxx0,0xl,t0u(x,0)(x),0xl, u(0,t)u(l,t)0t0用u乘以方程两端,在[0,l]上积分

l(uu20tauxxu)dx0,

ll10u02tu2tudxdx1dl2dt0u2dx, a2l0ulla2lu2xxudxa2uxu0a20uxuxdx0xdx,

dldt0u2dx2a2l0u2xdx, u(x,t)x0ux(,t)d

u(x,t)xl0ux(,t)d0ux(,t)d

1/22l(,t)20uxdl21/01d

11/2l2lu20x(x,t)dx,

u(x,t)2ll0u2xd,

l2l0udx0ll0u2xdxdxl2l0u2xdx, lu21l20xdxl20udx 于是ddtl0u2dx2a2l2l20udx,

d222ael2t2alu2dxdt0,el2t0l0u2dxl0u2(x,0)dx0,

a2lu2,t)dxe2l2tl22a2l2tl0(x0u(x,0)dxe20(x)dx.

定理 (Cauchy-Schwarz不等式)

设f,g在[a,b]上可积，则有|bf(x)g(x)dx|(bf2(x)dx)12(bg2(x)dx)12。aaa- - 考试资料

- - .

证明 证法一 对区间[a,b]的任意分割：ax0x1xn1xnb， 任取 i[xi1,xi]，，i1,2,,n，记xixixi1，()maxxi；

1in由于成立 |f(i)g(i)xi|(i1n|f()|ii1n2xi)(|g(i)|2xi)，

i112n12在上式中，令()0取极限，则得到

|f(x)g(x)dx|(f2(x)dx)2(g2(x)dx)2 ；

aaabb1b1

证法二 考虑二次函数

()[f(x)g(x)]2dx

abf2(x)dx2f(x)g(x)dx2g2(x)dx0，(,)；

aaabbb如果gab2(x)dx0，在上式中取1bbaf(x)g(x)dxbag(x)dx2，

得到

baf2(x)dxbag2(x)dxb(f(x)g(x)dx)20，

ab从而(f(x)g(x)dx)2f2(x)dxg2(x)dx，

aaab于是成立|f(x)g(x)dx|(f2(x)dx)2(g2(x)dx)2；

aaabb1b1

如果g2(x)dx0，则对(,)，成立f2(x)dx2f(x)g(x)dx0 ，

aaabbb必有f(x)g(x)dx0 ，此时自然成立，|f(x)g(x)dx|(f2(x)dx)2(g2(x)dx)2。

aaaabbb1b1

定理 (Minkowski不等式)

设f,g在[a,b]上可积，则有([f(x)g(x)]2dx)ab12(f2(x)dx)ab12(g2(x)dx)2.

ab1证明 因为[f(x)g(x)]2dx

ab|f(x)g(x)||f(x)g(x)|dx

ab|f(x)g(x)||f(x)|dx|f(x)g(x)||g(x)|dx

aabb(|f(x)g(x)|2dx)2(f2(x)dx)2dx

aab1b1- - 考试资料

- - .

(|f(x)g(x)|2dx)2(g2(x)dx)aab1b12dx

1([f(x)g(x)]2dx)abab12[(f2(x)dx)ab12(g2(x)dx)2]，

ab若([f(x)g(x)]2dx)若([f(x)g(x)]2dx)abab120，则不等式自然成立； 0，则消去公因子，

1212所以([f(x)g(x)]2dx)(f2(x)dx)ab12(g2(x)dx)2

ab11. 用Cauchy-Schwarz不等式证明

bb2（1） 若f (x)在[a, b]上可积，则 f(x)dx(ba)f(x)dx; aa2（2） 若f (x)在[a, b]上可积，且f(x)m0，

1则在[a, b]上可积；且 f(x)定理1设函数Cb2baf(x)dxba1dx(ba)2. f(x)1[a,b]，且(a)0，

11b12则有 ([(x)]dx)()(ba)([(x)]2dx)2 .

aa212证明 由(x)(t)dt，

ax得|(x)||(t)|dt(xa)([(x)]dx)2x12b12aa，

|(x)|2(xa)([(x)]2dx)，

a于是[(x)]2dxabb1(ba)2[(x)]2dx，故结果得证.

a2b

- - 考试资料