山西省忻州一中2014届高三上学期期中考试数学理试题(含答案)

注意事项:

1．答题前，考生务必用0.5mm黑色中性笔，将姓名、班级、考号填写在试题和答题卡上。 2．请把答案做在答题卡上，交卷时只交答题卡，不交试题，答案写在试题上无效。 3．满分150分，考试时间120分钟。

一．选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

x1．设集合Ax0，Bxyx4x210x16，则AB等于

A．[2,4] B．[0,2] C．2,4 D．[0,8]

2．若命题“x0R,使得x0mx02m30”为假命题，则实数m的取值范围是 A．2,6

B．6,2 C．2,6 D．6,2

2x2y2x2y21和1有 3．已知k＜4，则曲线949k4kA．相同的准线 B．相同的焦点 C．相同的离心率 D．相同的长轴

4．设a,b是平面内两条不同的直线，是平面外的一条直线，则是的 “la,lb”“l”A．充要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知数列an为等比数列，且a4a62a5，设等差数列bn的前n项和为Sn，若b52a5，则S9= A．36 B．32 C．24 D．22

6．函数f(x)sin2x4sinxcosx(xR)的最小正周期为 A．

3 8B．

 C． D． 427．一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为1的两个全等的 等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为 A．12 B．43

C．3 D．123

8．函数fxloga6ax在0,2上为减函数，则a的取值范围是 A．0,1 D．3,

9．已知函数f（x）=x﹣4+数g（x）= A．，x∈（0，4），当x=a时，f（x）取得最小值b，则在直角坐标系中函

B．1,3

C．

1,3

的图象为 B． C． D． 10．在ABC中，角A,B,C所对边长分别为a,b,c，若a2b22c2，则cosC的最小值为

A．

3211 B． C． D． 11．已知偶函数2222yf(x) (xR)在区间[0,3]上单调递增，在区间[3,)上单调递减，且满足f(4)f(1)0，

则不等式xf(x)0的解集是

3A．(4,1)(1,4) B．(,4)(1,1)(3,) C．(,4)(1,0)(1,4) D．(4,1)(0,1)(4,)

12．已知二次函数f(x)axbxc的导数f'(x),f'(0)0，且f(x)的值域为[0,)，则的最小值为

A．3 B．

2f(1)f'(0)53 C．2 D． 22二．填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上) 13．已知向量a的模为1，且a,b满足|ab|4,|ab|2，则b在a方向上的投影等于 .

14．函数f（x）=lnx+ax存在与直线2x﹣y=0平行的切线，则实数a的取值范围是_________. 15．在等差数列an中，a12013，其前n项和为Sn，若于 .

x216．设函数fxlog2xS12S102，则S2013的值等1210x0，函数yx0ffx1的零点个数为_________.

三．解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答

题卡的相应位置上) 17．（本小题满分10分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且

ab,sinA3cosA2sinB．

(1)求角C的大小； (2)求

ab的最大值． c18．（本小题满分12分）已知等差数列{an}的首项a11,公差d0.且a2，a5，a14分别是等比数列

{bn}的b2，b3，b4． (1)求数列{an}与{bn}的通项公式； (2)设数列{cn}对任意自然数n均有的值.

19.（本小题满分12分）如图在四棱锥PABCD中,底面ABCD是边长为a的正方形,侧面PADc1c2c„nan1成立，求c1c2„c2013 bnb1b22AD． 底面ABCD，且PAPD2(1)求证：面PAB平面PDC； (2)求二面角BPDC的余弦值．

20.（本小题满分12分）如图已知抛物线C:y22px的焦

P D C B

点坐标为分别与直线

A F(1,0)，过F的直线交抛物线C于A,B两点，直线AO,BOm：x2相交于M,N两点．

(1)求抛物线C的方程；

(2)证明△ABO与△MNO的面积之比为定值．

21．（本小题满分12分）某出版社新出版一本高考复习用书，该书的成本为5元/本，经销过程中每本书需付给代理商m元（1≤m≤3）的劳务费，经出版社研究决定，新书投放市场后定价为x元/本

（9≤x≤11），预计一年的销售量为(20x)万本．

(1)求该出版社一年的利润L（万元）与每本书的定价x的函数关系式；

(2)当每本书的定价为多少元时，该出版社一年的利润L最大，并求出L的最大值R(m) 22.（本小题满分12分）设函数f(x)(1)讨论函数h(x)2a32xlnx， g(x)xx3． xf(x)的单调性； x(2)若存在x1,x2[0,2],使得g(x1)g(x2)M成立,求满足上述条件的最大整数M；(3)如果对任意的s,t[,2]，都有f(s)g(t)成立，求实数a的取值范围．

12参（理科）

一、选择题：(每小题5分,共60分) 1 2 3 4 5 C

A

B

C

A

6 C

7 C

8 B

9 B

10 C

11 D

12 C

二、填空题：(每小题5分,共20分)

13． -3 14．,2 15．-2013 16．2 三、解答题：(共70分) 17．(10分)

解：（1）sinA＋3cosA＝2sinB即2sinA＋

 

＝2sinB，则sinA＋＝sinB．…3分 33

因为0＜A，B＜，又a≥b进而A≥B，

2  

所以A＋＝－B，故A＋B＝，C＝． …6分

333

（2）由正弦定理及（1）得 a＋bsinA＋sinB2  

＝＝sinA＋sinA＋＝3sinA＋cosA＝2sinA＋．…9分 csinC363

a＋b 

当A＝时，取最大值2． …10分

3c

18．(12分)

(

)()[()]()解：（1）∵a2=1+d ，a5=1+4d ，a14=1+13d，且a2、a5、a14成等比数列

∴ (14d)(1d)(113d)∴an1(n1)22n1又∵b2a23,2即d2 …3分

…4分

b3a59.

n1 ∴q3,b11,bn3（2）∵

①

…6分

c1c2c…nan1

bnb1b2 ∴

c1ccca2 即c1b1a23又12…n1an(n≥2) ②

，bbbn1b112①－②：

cnan1an2 bnn1∴cn2bn23(n≥2) …10分

∴ cn(n1)3 …11分 n123n(≥2)则c1c2c3…c20133231232…2320131

32(3331232301 2)3(132012)3232013 …12分

1319．(12分)

(1)解法一：因为面PAD面ABCD 平面PAD面ABCDAD

ABCD为正方形，CDAD，CD平面ABCD

所以CD平面PAD ∴CDPA …………………………2分 又PAPD且PAD2AD，所以PAD是等腰直角三角形， 22 即PAPD

CDPDD，且CD、PD面PDC

PA面PDC

又PA面PAB 面PAB面PDC…………………………6分 解法二：

如图,取AD的中点O, 连结OP,OF. ∵PAPD, ∴POAD. ∵侧面PAD底面ABCD,

ODPECz平面PAD平面ABCDAD,

∴PO平面ABCD,

而O,F分别为AD,BD的中点,∴OF//AB, 又ABCD是正方形,故OFAD. ∵PAPDxFABy2aAD,∴PAPD,OPOA. 22→→→

以O为原点,向量OA,OF,OP为x,y,z轴建立空间直线坐标系,

aaaaa,0),D(,0,0),P(0,0,),B(,a,0),C(,a,0). 22222aaa∵E为PC的中点, ∴E(,,) …………………………2分

424aa→a→→a

(1)∵PA(,0,),CD=(0,-a,0) ∴PACD=(,0,- )(0,-a,0)=0,

2222∴PACD,从而PACD,又PAPD,PDCDD,

则有A(,0,0),F(0,∴PA平面PDC,而PA平面PAB,

∴平面PAB平面PDC． …………………………6分 (2)由(1)知平面PDC的法向量为PA(,0,).

a2a→→a

设平面PBD的法向量为n(x,y,z).∵DP=(,0, ),BD=(-a,-a,0)

22

a2a2ax+0y+az=02∴由nDP0,nBD0可得2

-ax-ay+0z=0

→

取x1,则y=-1,z=-1,故n=(1,-1,-1) …………………………10分

nPA∴cosn,PAnPAa2a326, 3即二面角BPDC的余弦值为

6,……………………12分 3p1 2 20．(12分)解：（1）由焦点坐标为(1,0) 可知

所以p2,所以抛物线C的方程为

y24x …5分

（2）当直线垂直于x轴时，ABO与MNO相似， 所以

OF21SABO(), …7分 SMNO24当直线与x轴不垂直时，设直线AB方程为yk(x1), 设M(2,yM)，N(2,yN)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，

yk(x1),解2 整理得k2x2(42k2)xk20， …9分 y4x,所以x1x21, …10分

SABOSMNO1AOBOsinAOBAOBOx1x212,

1MONO224MONOsinMON2综上

SABO1 …12分 SMNO421.解：（1）该出版社一年的利润L（万元）与每本书定价x的函数关系式为：

L(x5m)(20x)2,x[9,11]．……………5分（定义域不写扣1分）

/2（2）L(x)(20x)2(x5m)(20x)

(20x)(302m3x)．…………………6分

2．…………7分 m或x=20（不合题意，舍去）

332221m3， 10m12．在x10m两侧L的值由正变负．

3333322① 当1m即10m11时，

233令L0得x1022

L(x)在[9, 10+m]上是增函数，在[10+m，11]上是减函数。

33222m

Lmax=L(10+m)=( 10+m-5-m)[(20-(10+m)]2=4(5-)3……9分

3333②当

32m3即1110m12时，L(x)在[9,11]上是增函数， 23LmaxL(11)(115m)(2011)281(6m)，………………11分

m334(5),1m32所以R(m)

381(6m),m32答：若1m32，则当每本书定价为10m元时，出版社一年的利润L最大，最大值23m3；若m3，则当每本书定价为11元时，出版社一年的利润L最大，R(m)4(5)3（万元）

32最大值R(m)81(6m)（万元）…………………………12分

a2a1x22a22．（12分）（1）h(x)2lnx，x (0,+∞) h， (x)33xxxx①当a≤0时，∵x>0,h(x)>0，函数h(x)在(0,)上单调递增，

②当a<0时，由h(x)>0得x>2a，函数h(x)的单调递增区间为(2a,) h(x)<0 得0等价于：[g(x1)g(x2)]maxM， …………7分 考察g(x)xx3，g'(x)3x22x3x(x)，

3

322x g'(x) 0 2(0,) 32 30 极（最）小值85 272(,2] 2 3

0  递减  递增 g(x) 3 285由上表可知：g(x)ming(),g(x)maxg(2)1，

327112， …………9分 [g(x1)g(x2)]maxg(x)maxg(x)min27所以满足条件的最大整数M4； …………10分

（3）当x[,2]时，因为g(x)max=1, 对任意的s,t[,2]，都有f(s)g(t)成立，

f(x)min≥g(x)max,

1212 即f(x)axlnx1恒成立 x等价于axx2lnx恒成立， …………11分 记G(x)=x-x2lnx，x (0,+∞),所以a≥G(x)max,

G(x)=1 -2xlnx-x,∵G(1)=0，x[,1)时G(x)=1-x-2xlnx >0,x [1,2]时，G(x)<0,

2 G(x)在区间[,1)上递增，在[1,2]上递减。G(x)max=G(1)=1 所以a1 …………12分

112