最小描述的多粒度覆盖粗糙集模型

Ｃｏｍｐｕｔｅｒ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ　ａｎｄ　Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ计算机工程与应用　最小描述的多粒度覆盖粗糙集模型　黄婧，李进金　ＨＵＡＮＧ　Ｊｉｎｇ，ＬＩ　Ｊｉｎｊｉｎ　漳州师范学院数学与信息科学系，福建漳州３６３０００　Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ　ｏｆ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃ　ａｎｄ　Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ　Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｚｈａｎｇｚｈｏｕ　Ｎｏｒｍａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｚｈａｎｇｚｈｏｕ，Ｆｕｊｉａｎ　３６３０００，Ｃｈｉｎａ　ＨＵＡＮＧ　Ｊｉｎｇ，ＬＩ　Ｊｉｎｊｉｎ．Ｃｏｖｅｒｉｎｇ　ｒｏｕｇｈ　ｓｅｔｓ　ｍｏｄｅｌ　ｂａｓｅｄ　ｏｎ　ｍｕｌｔｉ—ｇｒａｎｕｌａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｍｉｎｉｍａｌ　ｄｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎ．Ｃｏｍｐｕｔｅｒ　Ｅｎｇｉ—　ｎｅｅｒｉｎｇ　ａｎｄ　Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ，２０１３，４９（９）：１３４－１３９．　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ　ｔｈｅ　ｃｏｖｅｒｉｎｇ　ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ　ｒｏｕｇｈ　ｓｅｔ　ｔｈｅｏｒｙ，ｔｈｅ　ｏｒｉｇｉｎａｌ　ｍｉｎｉｍｕｍ　ｄｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎ　ｉｓ　ｐｒｉｍａｒｉｌｙ　ｃｏｎｃｅｒｎｅｄ　ｗｉｔｈ　ａ　ｓｉｎｇｌｅ　ｇｒａｎｕｌａｔｉｏｎ．Ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ　ｆｉｒｓｔ　ｅｘｔｅｎｄｓ　ａ　ｓｉｎｇｌｅ　ｇｒａｎｕｌａｔｉｏｎ　ｔｏ　ｍｕｌｔｉ—ｇｒａｎｕｌａｔｉｏｎ　ａｂｏｕｔ　ｔｈｅ　ｍｉｎｉｍｕｍ　ｄｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎ．Ａ　ｍｕｌｔｉ—ｇｒａｎｕｌａｒｉｙ　ｔｃｏｖｅｒｉｎｇ　ｒｏｕｇｈ　ｓｅｔ　ｍｏｄｅｌ　ｉｓ　ｅｓｔａｂｌｉｓｈｅｄ．Ｂａｓｅｄ　ｏｎ　ｔｈｉｓ　ｍｉｎｉｍｕｍ　ｄｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎ，ｔｗｏ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ　ｔｙｐｅｓ　ｏｆ　ｕｐｐｅｒ　ａｎｄ　ｌｏｗｅｒ　ａｐｐｒｏｘｉｍａ－　ｔｉｏｎ　ｏｐｅｒａｔｏｒｓ　ａｒｅ　ｐｒｏｐｏｓｅｄ．Ｔｈｅｉｒ　ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ　ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ　ａｒｅ　ｓｔｕｄｉｅｄ　ａｎｄ　ａ　ｎｅｗ　ａｌｇｏｒｉｔｈｍ　ｆｏｒ　ａｔｔｒｉｂｕｔｅ　ｒｅｄｕｃｔｉｏｎ　ｉｓ　ｇｉｖｅｎ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｃｏｖｅｒｉｎｇ　ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ　ｒｏｕｇｈ　ｓｅｔｓ；ｍｉｎｉｍａｌ　ｄｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎ；ｍｕｌｔｉ—ｇｒａｎｕｌａｔｉｏｎ；ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ　ｏｐｅｒａｔｏｒｓ；ａｔｔｒｉｂｕｔｅ　ｒｅｄｕｃｔｉｏｎ　摘要：在覆盖广义粗糙集理论中，对最小描述的定义是建立在单一粒度基础上。将最小描述从单一粒度推广到多个粒　度，建立了多粒度覆盖粗糙集模型。在此基础上，用最小描述建立了两类不同的上下近似算子，研究其性质，给出了一种　基于最小描述下求属性约简的新算法。　关键词：覆盖广义粗糙集；最小描述；多粒度；近似算子；属性约简　文献标志码：Ａ　中图分类号：ＴＰ１８　ｄｏｉ：１０．３７７８／ｊ．ｉｓｓｎ．１００２－８３３１．１１０９—０６０８　１　引言　粗糙集理论最早是由波兰的ｚ．Ｐａｗｌａｋ于２０世纪８０年　代提出的。近年来，该理论在知识发现、数据挖掘、模式识　别等领域得到广泛应用，人们对Ｐａｗｌａｋ粗糙集理论又进行　了多种推广。如将经典粗糙集推广为覆盖广义粗糙集　，　给出了区别于经典粗糙集的一些性质以及粗糙集的公理　的；（２）两个粒度Ｐ　与Ｑ　之间可以进行交运算；（３）目标概　念通过商集　／ｆ尸ＵＱ）进行近似描述。但是，在一般情况　，　、　下，这个假设不能满足实际问题，钱在文献［２］中给予了说明。　覆盖广义粗糙集理论作为经典粗糙集理论的一种推　广，它是把经典粗糙集理论中的划分推广到覆盖。在覆盖　粗糙集理论中，近似算子是其研究的核心内容之一，而最　小描述对于近似算子的定义又有着重要的作用。所以，对　覆盖粗糙集理论中最小描述的讨论是有着十分重要的意　义。本文将覆盖广义粗糙集中的最小描述，从单一粒度推　广到多个粒度，建立了多粒度粗糙集模型，讨论了两种不　同类型的上、下近似算子及其性质。粗糙集理论有多方面　的应用，其中一个应用是通过上、下近似算子获得属性约　简及其规则提取。本文根据不完备信息系统中的多粒度　粗糙集　，给出了基于最小描述下多粒度近似算子的属性　约简。　化体系；将经典粗糙集理论中单一粒度推广到多粒度，由　此提出了多粒度算子及其相应的性质，并且给出了多粒度　下的几类测度　。　；从拓扑学的角度对粗糙集理论进行深入　的研究，将粗糙集理论与拓扑学理论有机结合起来　；许　多学者还将粗糙集和模糊集这两种理论创造性地结合在　一起　・　“，提出了粗糙模糊集和模糊粗糙集理论等。　在粒计算过程中，对于一个信息系统，由等价关系（或　相容关系）导出的一个等价类，称为一个粒子。经典粗糙　集是在等价关系基础上，导出的一个等价类的集合，因此，　经典粗糙集理论是建立在单一粒度下。钱和粱将Ｐａｗｌａｋ　粗糙集模型中单一粒度推广到多粒度粗糙集模型，并且对　这类推广给出了３种假设：（１）任何两个属性必须是　摹金项日：国家自然科学基金（Ｎｏ．１０９７１１８６）。　２粗糙集理论的基本概念　设　是一个论域，Ｃ是　的一个覆盖，由Ｃ诱导的一　作者简介：黄婧（１９８６一），女，硕士研究生，研究方向：粗糙集理论、粒计算；李进金（１９６０一），男，教授，博士生导师，研究方向：不确定理论　及其应用。Ｅ—ｍａｉｌ：ｈｕａｎｇｊｉｎｇ６６５８＠１６３．ｃｏｒｎ．ｃｎ　收稿日期：２０１１．０９．３０　修回日期：２０１１－１１－３０　文章编号：１００２—８３３１（２０１３）０９—０１３４—０６　ＣＮＫＩ出版日期：２０１２一叭一１６　ｈｔｔｐ：／／ｗｗｗ．ｃｎｋｉ．ｎｅｔ／ｋｃｍｓ／ｄｅｔａｉｌ／１１．２１２７．ＴＰ．２０１２０１１６．０９２６．００１．ｈｔｍｌ　黄婧，李进金：最小描述的多粒度覆盖粗糙集模型　２０１３，４９（９）　１３５　对覆盖近似算子　：　（２）对任一　∈ＰＵ　Ｑ（　），由上近似定义可得　Ｐ【Ｊ。（　）ｎ　（　）＝｛　∈ＵＩＶＫ∈Ｃ，　∈Ｋ￣ＫＧＸ｝　ｘ．ｏ，因为　ＵＱ　ｘ）－＝－Ｇ（ｘ）ｎ　（　），对任一　∈Ｕ，所以　ｅ（ｘ）＝ｕ｛　∈ＣＩＫＮＸ￣　｝　Ｋｅ　ｘ）ｎ　）ｎ　≠　，因此　ｅ　），即　（　）　若ｃ是（，的一个划分，则广义覆盖粗糙集理论就退化为经　ＰＵｏ（ｘ）。由（１）可得，Ｐ＋Ｑ（　）　ＰＵＱ（Ｘ）。　典粗糙集理论。　（３）因Ｂｎｐ＋ａ（　）：Ｐ＋Ｑ（　）一　（　），ＢｎｅｕＱ（　）＝　定义１１”设（Ｕ，Ｃ，Ｆ）是一个覆盖近似空间，对任一　∈Ｕ：　尸ｕＱ（　）一　（　），且由（２）可得Ｂｎｅ＋ｏ（　）ＤＢ．￣ｏｏ（　）。　Ｍｄ（ｘ）＝｛Ｋ∈Ｃ［ｘ∈　＾（ＶＳ∈Ｃ＾ｘ∈ＳＡＳＧＫ￣Ｋ＝Ｓ）｝　定理２设ｕ是一个论域，ｃ是ｃ，的一个覆盖族，对任　一称为ｘ的最小描述。　ｘＧｕ，Ｐ，Ｏ∈ｃ，下面的性质成立：　定义２设　是一个论域，ｃ是　的一个覆盖族，对任　（１）Ｐ＋Ｑ（Ｘ）　（　）　——ｘ∈Ｕ，Ｐ，Ｑ∈Ｃ：　（２）　（　）：Ｐ＋Ｑ（　）＝　，　（　）＝Ｐ＋Ｑ（Ｕ）＝Ｕ　Ｋ，ｕＱ＝｛Ｐ（ｘ）Ｎ　Ｑ（ｘ）ＩＰ（ｘ）∈ＡＭｄ，（　），Ｑ（　）∈ＡＭｄ口（　）｝　（３）　（　）＝户（　）ｎ　（　），Ｐ＋Ｑ（　）＝ｅ（ｘ）ｕＱ（　）　则　关于属性集Ｐ，ａ的上、下近似、边界分别定义为：　（４）　（　）＝　（　），Ｐ＋Ｑ（Ｘ）＝Ｑ＋Ｐ（Ｘ）　ＰＵＱ（Ｘ）＝　ｕｏ（　）ＮＸ≠　｝　证明（１）假设ｘ萑　（　），则存在Ｋ∈Ｍｄ　ｘ），使　得　ｎ　≠　，从而ＫＧ　，即Ｋ　，因为ｘ∈Ｋ，所以　（　）＝　ｕＱ（　）ｃｘ｝　ＸＧ　（　），由此　（　），又因为　（　）：　Ｂ　，　。（　）＝　（　）一　（　）　～Ｐ＋Ｑ（－ｘ），所以尸＋Ｑ（ｘ）ｃｘ，由此可得Ｐ＋ｏ（ｘ）　ｘｃ＿　（　）。　３最小描述的二粒度覆盖粗糙集　（２）根据定义４，性质成立。　定义３设ｃ厂是一个论域，Ｃ是　的一个覆盖族，对任　（３）若　∈　（　），则任一Ｋ∈Ｍｄ　（　），使得ＫＡＸ￣　，　—ｘ∈Ｕ，Ｐ。Ｏ∈ｃ：　因ＫＧ　ｘ）ＮＫ口（ｘ），有ＫｃＫｐ　ｘ），且ＫＧＫｐ　ｘ），使得　Ｍｄ　（ｘ）＝｛　（　）ＮＫＱ（　）Ｉ　∈Ｍｄｐ（ｘ），Ｋｏ∈ＭｄＱ（　）｝　ＫＮＸ￣　。所以存在ＫＧ　ｘ），使得ＫＯＸ￣－　，且存在　称为Ｐ，Ｑ下　的最小描述。　ＫＧＫｅ　ｘ），使得　ｎ　≠　，故有Ｋ∈户（ｘ）且　∈Ｏ（ｘ），所　定义４设ｃ，是一个论域，Ｃ是　的一个覆盖族，对任　以Ｋｅ户（　）ｎ　（　），即　（　）　户（　）ＮＯ（ｘ），反之亦　一ＸＧ　Ｕ，Ｐ，Ｑ∈Ｃ，则　关于属性集Ｐ和Ｑ的上、下近　胜。根据　（　）＝～尸＋Ｑ（—　），。可得尸＋Ｑ（ｘ）＝　（　）ｕ　似、边界分别定义为：　Ｑ（Ｘ）。　（　）＝　ＶＫ∈Ｍｄ　（　），ＫｎＸ￣　｝　（４）根据上、下近似的定义可得，性质成立。　（　）：～尸＋Ｑ（　）　定理３设ｕ是一个论域，ｃ是　的一个覆盖族，对任　一Ｂ　（　）＝Ｐ＋Ｑ（　）一　（　）　ｘ，ＹＧｕ，Ｐ，Ｑ∈ｃ，下面的性质成立：　可以验证，当ｃ是　上的划分且Ｐ＝Ｑ时，定义４中的　（１）如果　Ｙ，则　（　）　（ｙ），Ｐ＋ｏ（ｘ）　上、下近似算子退化为经典粗糙集中的上、下近似算子。　Ｐ＋ｏｆｆ１。　例１设　＝｛１，２，３，４，５｝，ｃ＝｛Ｐ，Ｑ｝是　的一个覆盖　（２）　（ｘｕＹ　Ｐ＋Ｑ（　）Ｕ　（】，），　族，其中Ｐ＝｛｛１，２｝，｛２，３，４），｛４，５）｝，Ｑ＝｛｛１，２，３｝，｛３，４｝，｛５）｝，　Ｐ＋Ｑ（ＸＡ　Ｙ　（　）ｎ　（ｙ）。　令　＝｛１，２，５），则Ｋ川Ｑ：｛｛ｌ，２），｛２），｛３）’｛４），｛５））。Ｍｄ　（１）＝　（３）　（ｘｎＹ　（　）ｎ　（ｙ），　｛｛１，２”，Ｍｄ　（２）＝｛｛ｌ，２），｛２，３）），Ｍｄ　（３）＝｛｛２，３），｛３，４）｝，Ｍｄ　（４）＝　（　ｕｙ　尸＿　（　）Ｕ尸＿　Ｑ（ｙ）。　｛｛４）｝，Ｍｄ　（５）＝｛｛５）｝ｏ　（　）＝｛１，２，３，５　—Ｐ＋—Ｑ（Ｘ）＝｛１，５），　证明（１）若ｘ∈　（　），则任一Ｋ　Ｍｄ　ｘ），使得　ＰＵｏ（ｘ）＝｛１，２，５），ＰＵＱ（Ｘ）＝｛１，２，５）。　ｎ　≠　。因为Ｘｃ＿Ｙ，存在Ｋ∈Ｍｄ’ｘ１，有ＫＮ　ｌ，≠　，　下面讨论定义４中的上下近似的一些性质。　所以ｘ∈　（ｙ），由此可得　（　）　（ｙ）。根据　定理１设　是一个论域，ｃ是　的一个覆盖族，对任　对偶性，可得Ｐ＋Ｏ（Ｘ）　Ｐ＋Ｑ（Ｙ）。　一ＸＧＵ，Ｐ，Ｑ∈Ｃ，下面的性质成立：　（２）若ｘ　（　）Ｕ　（ｙ），得ｘ∈　（　）或　（１）　（　）＝～Ｐ＋Ｑ（　），—ＰＵ—Ｑ（Ｘ）＝～ＰＵＱ（－Ｘ）　ｘ∈　（】，），根据上近似定义，任一Ｋ∈Ｍｄ　ｘ），使得　（２）Ｐ＋－ｏ（ｘ）　ＰｕＯ（ｘ），Ｐ＋Ｑ（Ｘ）　ＰＵＯ（ｘ）　ｎ　≠　或　ｎｙ≠　，因为　ｎｆｘＵＹ）＝ｆＫＡＸ１Ｕ　（３）Ｂｎｐ＋Ｑ（　）　Ｂ　，　。（　）　（ＫＮＹ）≠　，所以　∈　（ｘｕＹ），由此可得　（　）ｕ　证明由定义２．４，可得（１）。　（】，）　（ｘｕｙ）。又因为　（　）＝～Ｐ十Ｑ（－Ｘ），　１３６　２０１３，４９（９）　ＣｏｍｐｕｔｅｒＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇａｎｄＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ计算机工程与应用　可得Ｐ＋Ｑ（ＸＮ　Ｙ）　Ｐ＋Ｏ（ｘ）Ｎ　Ｐ＋Ｑ（Ｙ）。　（３）若ｘ∈　（ｘｎ】，１，任一Ｋ∈Ｍｄ　ｘ），使得ＫＮ　（　）且ｘ∈　（ｙ），　ｘ一皇　（　）　曰　（　）。即（Ｘ一皇　（　））ｕ皇　（　）　Ｂ　（　）ｕ皇　（　），又因为（　一皇　（　））ｕ皇　（　）＝　所以ＸＧ户＋Ｏ（ｘ）。综上户＋Ｏ（ｘ）　（３）根据定义５，性质成立。　（ＸＮＹ）≠　，因为ＫＮ（ＸＮ】，）＝（ＫＮＸ）Ｎ（　ｎＹ）≠　，所　以　ｎ　≠　且ＫＮ】厂≠　，故ｘ∈　（　）ｎ　（ｙ）。又因为　户＋Ｏ（ｘ）。　，由于　即　∈Ｐ＋Ｑ（Ｘ）Ｎ尸＋Ｑ（Ｙ），由此可得　（ｘｎ　Ｙ１　（　）＝～Ｐ＋Ｑ（　），得　（４）若ｘ∈户＋Ｏ（ｘ），有Ｋ　（ｘ）　或Ｋ　（ｘ）　ｘ　（　）或　Ｐ＋Ｑ（ＸＵＹ）　Ｐ＋Ｑ（Ｘ）ＵＰ＋Ｑ（Ｙ）。　下面介绍另一种最小描述的二粒度覆盖粗糙集。　（　），故ｘ　ＰＡｘ）ｕ　（　），即户＋Ｏ（ｘ）　曼（　）Ｕ　（　），反之亦或立。所以　＋Ｏ（ｘ）＝至（　）ｕＯ（ｘ）。　（５）根据上、下近似的定义可得，性质成立。　定义５设ｕ是一个论域，ｃ是ｕ的一个覆盖族，对任　一ｘＧ　ｕ，Ｊｉ弓，　∈ｃ，则ｘ关于属性集ｊ备和　的下、上近　似、边界分别定义为：　（　）＝　Ｋｐ（ｘ）＿ｃＸ￣Ｋ　（ｘ）　｝　Ｘ　＝　～皇　（　），　（　）＝Ｕ｛Ｍｄ　（　）　∈Ｘ　｝　声＋Ｏ（ｘ）＝户＋Ｏ（ｘ）ＵＢ一（　）　可以验证，当户＝　时，定义５中的上、下近似算子退　化为覆盖粗糙集中的上、下近似算子及边界”　。　例２设　＝｛Ｉ，２，３，４，５｝，ｃ＝｛户，０｝是Ｕ的一个覆盖　族，其中户＝｛｛１，２｝，｛２，３，４，５｝，｛４，５｝｝，　＝｛｛１，２，３），　｛２，３，４，５），｛５｝｝＇令　＝｛２，３，５｝，则Ｋｐｕ　＝｛｛ｌ，２），｛２｝，｛２，３｝，　｛４，５｝，｛５｝｝。Ｍｄ’（１）＝　２｝），Ｍｄ　（２）＝｛｛２｝｝ｊＭｄ　（３）＝｛｛２，３｝｝，　Ｍｄ　（４）＝｛｛４，５　Ｍｄ　（５）：｛｛５））。丛　（　）＝｛２，３，５），￣ｕＯ（ｘ）＝　｛ｌ，２，３，４，５｝；户＋Ｏ（ｘ）＝｛５｝，户＋Ｏ（ｘ）＝｛２，３，５｝。　下面讨论定义５中的上下近似的一些性质。　定理４设ｕ是一个论域，ｃ是ｕ的一个覆盖族，对任　一ＸＧ　Ｕ，户，　∈Ｃ，具有下列性质：　（１）户＋Ｏ（Ｘ）　ＰＵＯ（Ｘ）　．　（２）户＋Ｏ（Ｘ）ｃ—Ｘ—ｃ户＋Ｏ（ｘ）　（３）户＋Ｏ（ｏ）＝户＋　（　）：　，户＋Ｏ（ｖ）＝户＋Ｏ（ｕ）＝ｕ　（４）户＋Ｏ（ｘ）＝　（　）ｕ　（　）　（５）户＋Ｏ（ｘ）＝Ｏ＋Ｐ（ｘ），户＋Ｏ（ｘ）＝Ｏ＋Ｐ（ｘ）　（６）户＋　（户＋　（　）１＝户＋　（　），　两（两（　））＝两（　）　证明（１）若　皇　（　），有　ｘ）ＧＸ或Ｋ０（　）　当Ｋｐ　ｘ）ＧＸ时，因为Ｋｐｕ　ｘ）ＧＫｐ（　），所以Ｋｐｕ　ｘ）　即　∈皇　（　），当Ｋ　（　）ｃ＿Ｘ时，因为Ｋ；，ｕ０（ｘ）ＧＫ　（　），　所以ＫｐｕＯ（　）　，即　（　），由此得皇　（　）　（　）。　（２）若　∈户＋Ｏ（ｘ），有Ｋｐ　ｘ）ＧＸ或Ｋ　ｘ）ＧＸ。由　于ｘ∈Ｋ　ｘ）　或　∈ＫＤ（ｘ）　，故Ｐ＋Ｏ（ｘ）Ｇｘ。因　——为Ｂ　＋。（　）＝Ｕ｛Ｍｄ　（ｘ）　｝，　＝Ｘ一皇　（　），所以　（６）由声＋Ｏ（ｘ）　故Ｊｌ弓＋　（户＋　（　））　户＋　（　）。　没　萑　（　（　）），则　（　）且　皇　（　），因为—Ｐ＋—Ｏ（ｘ）　所以Ｋｐ　ｘ）　且Ｋ　（ｘ）　ｚ　故　声＋Ｏ（ｘ），即Ｊ；ｉ＋Ｏ（ｘ）　户＋　（户＋　（　）１，综上　皇　（皇　（　））＝皇　（　）。由　户＋　（　），故Ｊｌ５＋　（　）　户＋　（户＋　（　））。　若　ｅ户＋　（声＋　（　）），有ｘ　（户＋　（ｘ））ｕＢ　。（户＋　（　）），即ｘ　ｅ　（户＋　（ｘ））或　Ｂｎ￣＋０（户＋　（　））。若ｘ　（户＋　（　）），有　（ｘ）　＋　（　）或Ｋ　（ｘ）　户＋　（　），因为　∈Ｋｐ（　），ｘ　Ｋｄ（ｘ），　所以　户＋　（ｘ），即卢＋　（户＋　（　）ｌ　声＋Ｏ（ｘ）。若　～　（户＋　（　）），有　ｅ（户＋　（　）），即　户＋　（　）～　户＋　（　（ｘ）），故ｘ　声＋　（　），所以　（户＋　（　））∈　户＋　（　），由此可得，皇　（户＋　（　））ｕＢ　（户＋　（　））∈　户＋Ｏ（ｘ），因为户＋Ｏ（ｘ）＝户＋Ｏ（ｘ）ＵＢ　（　），所以　户＋　（户＋　（　））∈户＋Ｏ（ｘ），综上可得户＋　（户＋　（　））＝　两（　）。　例３下列各式一般不成立：　（１）。蕊（　）　—Ｐｕ—Ｏ（ｘ）　（２）’户＋Ｏ（ｘ）＝～户＋Ｏ（－ｘ）　（３）。户＋Ｏ（ｘ）＝ｐ（ｘ）Ｎ　Ｏ（ｘ）　（４）’户＋０（－户＋　（　））＝～声＋Ｏ（Ｘ）　（５）　户＋　（～户＋　（　）ｌ＝～　＋Ｏ（ｘ）　根据例２的结果，户＋Ｏ（ｘ）三ＰＵＯ（ｘ）不成立。　续例２，令　＝｛３，４，５｝，　＝｛１，２｝，则户＋Ｏ（ｘ）＝｛４，５｝，　ｐ＋Ｏ（ｘ）：｛２，３，４，５｝，户＋Ｏ（－ｘ）＝｛１，２｝，－ｐ＋Ｏ（－ｘ）＝｛３，　４，５｝，所以户＋Ｏ（ｘ）＝～户＋Ｏ（－ｘ）不成立。　令　＝｛１，２，５｝，贝０户＋Ｏ（ｘ）＝｛１，２，５｝，户＋Ｏ（ｘ）＝｛ｌ，　２，５｝，曼（　）＝｛１，２｝，Ｐ（ｘ）＝｛１，２，３，４，５｝，垒（　）＝｛５），　（　）：　｛１，２，３，４，５｝，户＋Ｏ（ｘ）≠ｐ（ｘ）ｎＯ（ｘ）。　黄婧，李进金：最小描述的多粒度覆盖粗糙集模型　２０１３，４９（９）　１３７　续例１令　＝｛２，３，４｝，则户＋Ｏ（Ｘ）＝｛２，３，４），～户＋Ｏ（ｘ）＝　４最小描述的多粒度覆盖粗糙集　定义６设　是一个论域，ｃ是　的一个覆盖族，对任一　（１，５），　（～　（　））＝　（～　（　））　～　（　）。　令　＝｛１，４，５），贝０户＋Ｏ（ｘ）：｛４，５｝，户＋Ｏ（ｘ）＝｛１，２，　ｘ　【，，Ｐ。，Ｐ　，…，Ｐ　ｃ，Ｍｄ　（　）＝｛ｎ　（　）　∈Ｍｄｐ『　（　）｝　称为Ｐ，，Ｐ　，…，Ｐ　下ｘ的最小描述。　４，５｝，～户＋Ｏ（ｘ）＝　卜Ｊ；ｌ＋　（　））＝　，户＋　（￣户＋－Ｏ（ｘ））＝　｛２，３，４），故Ｊ５＋　（～声＋　（　））≠～户＋Ｏ（ｘ）。　定理５设ｕ是一个论域，ｃ是ｕ的一个覆盖族，　ｖｘ，ｌｒ　ｕ，声，　∈ｃ，下面的性质成立：　（１）如果　Ｙ，则户＋Ｏ（ｘ）　＋Ｏ（ｒ）。　（２）户＋Ｏ（ｘｎｙ）　户＋Ｏ（ｘ）ｎ　＋Ｏ（ｒ）。　（３）户＋Ｏ（ｘｕＹ）　户＋Ｏ（ｘ）ｕ户＋Ｏ（ｒ）。　证明（１）若　∈户＋　（　），有Ｋ　ｘ）　或Ｋ，ｊ　ｘ）　因为Ｘｃ＿Ｙ，所以Ｋｐ　ｘ）　Ｙ或Ｋｏ　ｘ）　ｙ，故　∈户＋　（ｙ），　即ｊ５＋Ｏ（ｘ）　户＋０（ｒ）。　（２）因为ｘｆ７　Ｙｃ＿Ｘ且　ｎ　ｙ　，，，所以户＋Ｏ（ｘｎ　Ｙ１　（　），　（　ｎ畦　（ｙ），故Ｐ＋Ｏ（ｘｎｙ）　Ｐ＋Ｏ（一ｘ）Ｎ　户＋　（ｙ）。　（３）因为ｘｃｘＵ　Ｙ或ｙ　Ｕ　Ｙ，所以户＋Ｏ（ｘ１　户＋Ｏ（ｘｕＹ），户＋０（ｒ）　户＋Ｏ（ｘｕＹ），故户＋Ｏ（ｘ）ｕ　鱼　（ｙ）　ｐ＋Ｏ（ｘｕ　Ｙ）。　例４下列各式一般不成立：　（ｉ）”如果　Ｙ，则Ｊｉ；＋Ｏ（ｘ）　户＋０（ｒ）。　（２）”户＋Ｏ（ｘｕＹ）　户＋Ｏ（ｘ）ｕ户＋０（ｒ）。　（３）”户＋Ｏ（ｘｎ　Ｙ）　ｐ＋Ｏ（ｘ）ｎ　＋Ｏ（Ｙ）。　续例１冬　＝｛３），ｙ＝｛３，４｝，贝　＋Ｏ（ｘ）：　，户＋Ｏ（ｘ）＝　｛２，３，４｝，　±０（ｒ）：｛３，４），户＋Ｑ（Ｙ）＝｛３，４）。故声＋Ｏ（ｘ）　．皇　（ｙ）不成立。　令　：｛１｝，ｙ：（２｝，ｘｕｙ＝｛１，２｝，贝ｑ户＋Ｏ（ｘ）＝　，　Ｊ；ｌ＋Ｏ（ｘ）＝｛ｌ，２），户＋０（ｒ）＝　，户＋０（ｒ）＝｛１，２，３），　皇　（　ｕＹ）：｛１，２），声＋　（　ｕ　Ｙ）＝｛１，２）。故皇±鱼（　ｕ　Ｙ）　户＋Ｏ（ｘ）Ｕ户＋Ｏ（ｒ）不成立。　令　：｛１，２｝，ｙ＝｛２），　ｎｙ＝｛２｝，贝Ｕ户＋Ｏ（ｘ）：｛１，２｝，　户＋　（　）＝｛１，２），　±　（】，）＝｛２｝，户＋０（ｒ）＝｛１，２，３｝，　Ｐ＋０（ｘｎＹ）＝｛２），户＋　（　ｎＹ）＝｛ｌ，２，３），故ｐ＋０（ｘｎＹ）　户＋Ｏ（ｘ）ｎ户＋０（ｒ）不成立。　通过比较定义４，定义５，以及由定义推导出的上下近　似算子的性质，可看出这两类二粒度覆盖粗糙集有着一定　的差异。第一类基于最小描述的二粒度覆盖粗糙集模型　中，上下近似基本满足粗糙集理论的一些主要性质。但在　第二类粗糙集理论中，许多性质一般不成立，这些都在上　面的例题中给予体现。基于二粒度下，容易把它们推广到　多粒度，由此给出了多粒度中上下近似算子的性质，以及　两类不同粒度算子之间的差异　定义７设【，是一个论域，ｃ是　的一个覆盖族，对任　一　Ｕ，Ｐ１，Ｐ２，…，Ｐ　∈Ｃ，则　关于属性集Ｐ１，Ｐ２，…，Ｐ　的上、下近似、边界分别定义为：　∑Ｐ　ｆ＝１　（　）＝｛　＇ｑＫ∈Ｍｄ　（　），ＫｆＴＸ￣　｝　∑Ｐ　（　）＝～∑Ｐ（　）　ｉ　１　１　Ｂ　（Ｘ）＝ＥＰ　（　）一∑ｅ（ｘ）　１　一　可以看出，定义７将定义４中的二粒度推广到多粒度，　由此讨论定义７中的上下近似的一些性质。　定理６设　是一个论域，ｃ是　的一个覆盖族，对任　一　ｕ，Ｐ　，Ｐ，，…，Ｐ　∈ｃ，下面的性质成立：　（１）∑Ｐ　ｉ　１（　）＝～∑Ｐ　生Ｌ　（　），Ｕ尸　ｉ＝１（　）＝－ｍＰ　童Ｌ　（　）　（２）∑Ｐ　（　）　ＵＰ　（　），∑Ｐ　（　）　ＵＰ　（　）　（３）　（ｘ）　（Ｘ）　一　定理７设ｕ是一个论域，Ｃ是ｕ的一个覆盖族，对任　一　Ｕ，Ｐ１，Ｐ２，…，Ｐ　∈Ｃ，下面的性质成立：　（１）∑Ｐ　（　）　∑Ｐ　（　）　Ｌ　ｉ　１　（２）∑Ｐ　（　）＝∑尸　（　）＝　，∑Ｐ　）＝∑Ｐ　（　）＝ｕ　（３）∑Ｐ　（　）＝Ｅ（ｘ）ｆ７　（　）ｎ…ｎ　（　）　ｉ＝ｌ　∑Ｐ　（　）＝　（　）ＵＰ＿３（Ｘ）Ｕ…ｕ　（　）　三　定理８设　是一个论域，ｃ是　的一个覆盖族，对任　一　，　，…，　ｕ，Ｐ１，Ｐ２，…，Ｐ　∈ｃ，下面的性质成立：　—　—　（１）如果　，则∑Ｐ　（　）　∑尸　（　），∑Ｐ　（　）　ｉ＝１　＝１　＝！　∑Ｐ　（　），（０≤后，，≤，ｚ）。　三　一／ｎ、　—　一　一　（２）∑Ｐｆｉ　１　１　Ｕ　ｊ１　　ｉ　１∑Ｐ　　（　）ｕ∑尸　ｉ＝１　（　）ｕ…ｕ∑Ｐ　ｉ＝１　（　），　厂ｎ　、　ｍ　∑Ｐ　Ｉ　ｎ　Ｉ　∑Ｐ　（　）ｎ∑Ｐ　（　）ｎ…ｎ∑Ｐ　（　）。　（３）∑Ｐ　ｉ　１　Ｉ　ｎ　【，　１　／　　∑Ｐ　ｉ　１　（　）ｎ∑Ｐｉ＝１　　（　）ｎ　ｎ∑Ｐ　（　），　厂　、　ｍ　ｍ　∑Ｐｆ　ｌＵ　Ｉ　∑Ｐ　（　）ｕ∑Ｐ　（　）ｕ　ｕ∑Ｐ，（　）。　ｆ＝１　Ｃｏｍｐｕｔｅｒ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ　ａｎｄ　Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ计算机工程与应用　。Ｆ面介绍另一种最小描述的多粒度覆盖粗糙集。　ｍ　ｆ　ｎ　＼　小　ｍ　定义８设　是一个论域，Ｃ是　的一个覆盖族，对任　一（８）　∑　Ｉ　ｎ　１　∑　（　）ｎ∑　（　）ｎ…ｆ７∑　（　）。　ｆ：１　，：ｉ　／　，＝ｌ　ｆ＝Ｉ　Ｉ＝Ｉ　　，～ＰＸｃＵ，２，…＿～，Ｐｍ∈Ｃ，则　关于属性集　，　，…，　的下、上近似、边界分别定义为：　５属性约简　属性约简是在保持分类能力相同的基础上，通过对知　识进行约简，从而提取规则，是粗糙集理论的核心内容之一。　设　是一个论域，Ｃ是　的一个覆盖族，Ｐ．，Ｐ　．．，　（　）　（　）　｝　’＝　—Ｅ．Ｅ（ｘ），Ｂ　（　）＝Ｕ｛Ｍｄ　（　）　ｅＸ　）　三　一　鱼　∑Ｅ（ｘ）＝∑Ｅ（ｘ）ＵＢ　（　）　一　。　可以看出，定义８将定义５中的二粒度推广到多粒度，　由此讨论定义８中的上下近似的一些性质。　定理９设　是一个论域，ｃ是【，的一个覆盖族，对任　一　Ｕ，～ＰＰ２，…～，～Ｐ１，ｍ∈Ｃ，具有下列性质：　（１）∑　（　）　Ｕ尸　（　）　一ｔ　一　（２）ＥＥ（ｘ）＿Ａｒ＿ｃＥＥ（ｘ）　Ｌ　＝１　（３）∑　（　）＝∑Ｅ（ｅ）－－ｅ，∑　（ｕ）＝ＥＥ（ｖ）＝Ｕ　１　生一　ｆ＝１三三　一　（４）ＥＥ（ｘ）＝Ｅ（ｘ）Ｕ　（　）Ｕ…Ｕ　（　）　生　一　厂　、　—＝一厂—　一　、—　一　（５）∑　ＩＬ＼　　Ｌ　／圭　ＥＥ（ｘ）Ｉ：∑　（　），∑　Ｉ１　　一１ＥＥ（　ｘ）Ｉ／＝ＥＥ（一１　ｘ）　一　定理１０设　是一个论域，Ｃ是【，的一个覆盖族，对　任一　，　，…，　∈Ｕ，　，　，…，　Ｃ，下面的性质成立：　（１）如果　，则∑　（　）　∑　（　），（ｏ≤　，，≤，ｚ）。　生　—一生　—一　ｍ　厂ｎ　、　ｍ　ｍ　ｍ　（２）∑　ｆ　Ｊ　１ｎ　ｆ　　∑　（　）ｎ∑　（　）ｎ…ｎ∑　（　）。　一　一　一　一　ｍ　厂ｎ　、　ｍ　ｍ　ｍ　（３）∑　Ｉ　Ｕ　Ｉ　Ｅ￣（ｘｊｕ∑　（　）Ｕ…ｕ∑　（　）。　三三　一　Ｊ　１　／　—一　一　一　注：对于第二种多粒度粗糙集，以下性质均不成立。　（１）　ＥＥ（ｘ）　Ｕｇ（ｘ）。　（２）　∑户　（　）＝～∑　（　）。　ｆ　１　—一　（３）‘∑　（　）：　（　）ｎ　（　）ｎ…ｎ　（　）。　厂　卅　、　（４）’∑　Ｉ～∑　（　）ｆ＝～∑ｊ；＝（　）。　￡三　三　■一，　■一　、　一　（５）　ｉ　１∑　ｌ　～∑　（ｉ　１　　）ｌ＝～∑　（ｉ　１　　）。　（６）’如果　Ｙ，则∑　（　）　∑　（ｙ）。　＿＝－厂　、＿＝－　＿　『＿＿　（７）’∑　Ｉ　Ｕ　ｌ　∑　（　）ｕ∑　（　）ｕ…ｕ∑　（　）。　Ｐ　∈Ｃ，Ｕ／ＩＮＤ（Ｄ）＝｛Ｄ１，Ｄ２，…，Ｄ　｝记　ｆ　一　－＿一　一　］　∑Ｐ　１　（Ｄ）＝｛Ｌ　１∑Ｐ　　（Ｄ。），∑尸　ｉ　１　（Ｄ　），…，∑Ｐ　ｉ　ｌ　（Ｄ　）Ｊ　｝　ｍ　ｒ　ｍ　肌　］　∑Ｐ　Ｌ　（Ｄ）＝｛∑Ｐ　＝　（Ｄ。），∑Ｐ　＝　（Ｄ：），…，∑Ｐ　三ｌ！　（Ｄ　）Ｊ｝　　定义９设Ｕ是一个论域，Ｃ是Ｕ的一个覆盖族，Ｐ。，　Ｐ２，…，Ｐ　∈Ｃ：　（１）若∑Ｐ　（Ｄ）＝Ｃ（Ｄ），则Ｐ。，Ｐ　，…，Ｐ　为上近似协　ｆ＝１　调集。若Ｐ。，Ｐ２，…，Ｐ　为上近似协调集，且Ｐ。，尸　，…，Ｐ　的任何真子集都不是上近似协调集，则Ｐ　，Ｐ　，…，Ｐ　为上　近似约简集。　（２）若∑Ｐ　（Ｄ）＝Ｃ（Ｄ），则Ｐ　，Ｐ。，…，Ｐ　为下近似协　三！　调集。若Ｐ。，Ｐ２，…，Ｐ　为下近似协调集，且Ｐ　，Ｐ　，…，Ｐ　的任何真子集都不是下近似协调集，则Ｐ。，Ｐ：，…，Ｐ　为下　近似约简集。　（３）若Ｐ　，Ｐ２，…，ＪＰ　既为上近似约简集，又为下近似　约简集，则Ｐ。，Ｐ２，…，Ｐ　为Ｕ上的近似约简集。　定义１０设　是一个论域，ｃ是【厂的一个覆盖族，　Ｐ　≤ｋ）为所有近似约简集，这时ｎＰ　为核记为Ｃｏｒｅ（Ｃ），　ｆ≤ｋ　Ｃｏｒｅ（Ｃ）＝ｎＰ　。　ｆ《ｋ　下面给出多粒度下属性约简算法的一般步骤：设　（ｕ，ｃ，Ｆ，Ｄ）为覆盖决策近似空间，Ｐ，，Ｐ　，…，尸　是Ｃ中的　所有子集，记Ｕ／ＩＮＤ（Ｄ）＝｛Ｄｌ，Ｄ２，…，Ｄ　｝。　步骤１根据定义３计算出每个对象在所有覆盖下的最　小描述，再通过上下近似算子的定义，求出Ｃ（Ｄ１以及　（Ｄ）。　步骤２令Ｃ。。＝｛｛尸１｝，｛Ｐ　｝，…，｛Ｐ　｝｝；　Ｃｌ２＝｛｛Ｐｌ，Ｐ２｝，｛Ｐ１，Ｐ３｝，…，｛Ｐｌ，Ｐ　）｝，　Ｃ２２＝｛｛ＪＰ２，Ｐ３｝，｛Ｐ２，Ｐ４｝，。一，｛尸２，Ｐ　｝｝，…，　Ｃ　１）ｍ＝｛｛Ｐ　Ｐｍ｝｝Ｉ．．‘，　Ｃ１　＝｛｛Ｐ１，Ｐ２，・。。，Ｐ　｝，。。。，｛Ｐ１，Ｐ３，’一，Ｐ　｝｝；…。Ｃｆ．Ｊ中ｉ　表示从Ｐ　开始取集合，　表示Ｃ¨中每个集合含多少个Ｐ　。　步骤３根据定义３计算出每个对象在各种粒度下的最　小描述，通过上下近似算子的定义，求出多种粒度下的上　下近似。　步骤４根据定义９中对近似约简集的描述，比较各种　黄婧，李进金：最小描述的多粒度覆盖粗糙集模型　２０１３，４９（９）　１３９　粒度下的上下近似与所有覆盖下的上下近似，求出覆盖决　策近似空间中所有的近似约简集。　步骤５在求出所有的近似约简集下，根据核的定义，　＋　（５）＝｛｛４，５，７，８），｛５，６，８｝｝　找出覆盖决策近似空间中的核。　通过定义９，定义１０，及以上算法计算出例５中二粒度　下的属性约简及核。　Ｍ４＋　（６）＝｛｛５，６，８｝｝，Ｍ４＋　（７）：｛｛７，８｝｝　Ｍ４＋　（８）＝｛｛８｝｝；Ｍａ；＋　（１）：｛｛１，２，４，５｝）　Ｍｄ；＋　（２）＝｛｛２，５｝｝，Ｍｄ；＋　（３）＝｛｛２，３，５，６｝）　Ｍｄ；＋　（４）＝｛｛１，２，４，５），｛４，５，７，８）｝　Ｍｄ；＋　（５）＝｛｛２，５），｛５，８｝）　例５设　＝｛１，２，３，４，５，６，７，８｝，ｃ＝｛Ｐ，Ｑ，Ｒ，Ｓ｝是　的一个覆盖族，其中：　Ｐ＝｛｛ｌ　２　３　４，５，６｝，｛４，５，６，７，８）｝　Ｑ＝ｆ｛１　２　３　，｛４，５，６，７，８，９），｛７，８｝｝　Ｒ＝ｆ｛１　２　４　５），｛２，３，５，６），｛４，５，７，８｝）　＝ｆ｛１　２　４　５，７，８），｛２，３，５，６，８）｝　Ｕ／ＩＮＤ（Ｄ）＝｛｛１，２，３｝，｛４，５，６｝，｛７，８｝ｊ　（１）Ｍｄ＊Ａ（１）＝｛｛１，２｝｝，Ｍｄ￣（２）＝｛｛１，２｝，｛２，３｝｝，Ｍｄ￣（３）＝　｛｛２，３））＇Ｍｄ￣（４）＝｛｛４，５）），Ｍｄ］（５）＝｛｛５　Ｍｄ￣（６）：｛｛５，６｝），　Ｍｄ；（７）＝｛｛７，８｝），Ｍｄ＊Ａ（８）＝｛｛８｝）。ｅ（Ｄ）＝｛｛１，２，３｝，｛４，５，６｝，　｛７，８｝｝，　（Ｄ）＝｛｛１，２，３｝，｛４，５，６｝，｛７，８｝）　（２）Ｍｄ＊ｐ＋。（１）＝｛｛１，２）），Ｍｄ；＋Ｑ（２）＝｛｛１，２，３｝）　Ｍｄ；＋ｏ（３）＝｛｛１，２，３｝），Ｍｄｐ＋。（４）＝｛｛４，５，６”　Ｍｄ；＋口（５）＝｛｛４，５，６｝｝，Ｍｄｐ＋口（６）＝｛｛４，５，６）｝　Ｍｄｐ＋口（７）＝｛｛７，８）），Ｍｄ；＋Ｑ（８）＝｛｛７，８｝｝　Ｍｄ；＋　（１）＝｛｛１，２，４，５）｝　Ｍｄ；＋月（２）＝｛｛１，２，４，５），｛２，３，５，６｝｝　Ｍｄｐ＋　（３）＝｛｛２，３，５，６　，Ｍａ；＋　（４）＝｛｛４，５｝）　Ｍｅ；＋　（５）＝｛｛４，５｝，｛５，６｝），Ｍｄ；＋　（６）＝｛｛５，６｝｝　Ｍｄ；＋　（７）＝｛｛４，５，７，８｝｝　Ｍｇ；＋　（８）＝｛｛４，５，７，８｝，｛５，６，８）｝　Ｍｄ＊ｐ＋　（１）＝｛｛ｌ，２，４，５｝｝　Ｍｄ；＋　（２）＝｛｛１，２，４，５），｛２，３，５，６｝）　Ｍｄ；＋　（３）＝｛｛２，３，５，６｝｝　Ｍｄｐ＋　（４）＝｛｛１，２，４，５），｛４，５，７，８）１　Ｍｄ；＋　（５）＝｛｛１，２，４，５），｛４，５，７，８｝，　｛２，３，５，６），｛５，６，８）１　Ｍｅ；＋　（６）＝｛｛２，３，５，６｝，｛５，６，８｝｝　Ｍｄ；＋　（７）＝｛｛４，５，７，８）｝　Ｍｄ；＋　（８）＝ｆ｛４，５，７，８｝，｛５，６，８）｝　＋　（１）＝｛｛１，２）），Ｍｅ；＋　（２）＝｛｛１，２｝，｛２，３｝）　＋　（３）＝｛｛２，３）），　＋　（４）＝｛｛４，５）｝　＋　（５）＝｛｛４，５｝，｛５，６｝｝，　＋　（６）：｛｛５，６｝）　Ｍ４＋　（７）＝｛｛７，８）），　＋　（８）＝｛｛７，８））　Ｍ４＋　（１）：｛｛１，２）），　＋　（２）＝｛｛１，２｝，｛２，３）｝　Ｍｅ；＋　（３）＝｛｛２，３｝），Ｍｄ；＋　（４）＝｛｛４，５，７，８｝ｌ　Ｍｄ＊Ｒ＋　（６）＝｛｛２，３，５，６），｛５，６，８）｝　Ｍｄ＊Ｒ＋　（７）＝｛｛４，５，７，８｝｝，Ｍｄ＊Ｒ＋　（８）＝｛｛５，８｝）　尸＋Ｑ（Ｄ）＝｛｛１，２，３｝，｛４，５，６），｛７，８｝｝　（Ｄ）：｛｛１，２，３），｛４，５，６｝，｛７，８”　Ｐ＋　（Ｄ）：｛　，｛４，５，６），　｝　（Ｄ）：｛｛１，２，３），｛１，２，３，４，５，６，７，８），｛７，８）｝　—Ｐ＋—Ｓ（Ｄ、＝　（Ｄ）＝｛｛１，２，３，４，５，６），　｛１，２，３，４，５，６，７，８）　４，５，６，７，８｝｝　Ｏ＋　ｒＤ　｛４，５，６），｛７，８｝ｊ　Ｑ＋　ｒＤ　｛４，５，６），｛７，８｝）　Ｑ＋　（Ｄ　，｛７，８｝｝　Ｑ＋Ｓ（Ｄ　｛４，５，６），｛４，５，６，７，８）｝　Ｒ＋Ｓ（Ｄ、＝　垒　（Ｄ）＝｛｛１，２，３，４，５，６｝，　｛１，２，３，４，５，６，７，８｝，｛４，５，６，７，８｝｝　（３）　（Ｄ）＝ｅ（Ｄ），Ｐ＋Ｑ（Ｄ）＝Ｃ（Ｄ）；Ｑ－￣Ｒ（Ｄ）＝ｅ（Ｄ），　——Ｑ＋　（Ｄ）＝　（Ｄ）　所以，｛Ｐ，Ｑ）和｛Ｑ，　｝都是覆盖决策信息系统的约简集，　Ｃｏｒｅ（Ｃ）＝｛Ｏ｝。　根据定义３，所得约简集、核与上相同。　６结论　在粗糙集理论中，上、下近似算子是获取属性约简及　规则提取的一个必要条件，也是学者们对该理论进行深入　研究的基础。本文提出了基于最小描述的多粒度覆盖粗　糙集模型以及讨论两类不同的上、下近似算子及其相应的　性质，从而获得相应的属性约简。关于对属性特征及其必　要、不必要属性的刻画会继续进行探讨。　参考文献：　…１祝峰，王飞跃．关于覆盖广义粗集的一些基本结果［Ｊ】．模式识别　与人工智能，２００２（１）：６－１２．　［２】Ｑｉａｎ　Ｙ　Ｈ，Ｄａｎｇ　Ｃ　Ｙ，Ｌｉａｎｇ　Ｊ　Ｙ．ＭＧＲＳ　ｉｎ　ｉｎｃｏｍｐｌｅｔｅ　ｉｎｆｏｒ－　ｍａｒｉｏｎ　ｓｙｓｔｅｍｓ［Ｃ］／／ＩＥＥＥ　Ｉｎｔ　Ｃｏｎｆ　Ｇｒａｎｕｌａｒ　Ｃｏｍｐｕｔｅｒ．［Ｓ．１．】：　ＩＥＥＥ　Ｐｒｅｓｓ，２００７：１６３—１６８．　［３】Ｑｉａｎ　Ｙｕｈｕａ，Ｌｉａｎｇ　Ｊｉｙｅ，Ｌｉ　Ｄｅｙｕ，ｅｔ　ａ１．ＭＧＲＳ：ａ　ｍｕｌｉｔ－ｇｒａｎｕｌａｔｉｏｎ　ｒｏｕｇｈ　ｓｅｔ［Ｊ］．Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ　Ｓｃｉｅｎｃｅｓ，２０　１　０，１　８０：９４－９７．　（下转１４９页）　王桂华，秦湘清，陈黎，等：一种面向专业搜索引擎的查询推荐算法　２０１３，４９（９）　１４９　综上所述，本文提出的ＱＲ．ＣＨ算法无论在相关性指标　ｃｏｖｅｒ　ｓｅａｒｃｈ　ｅｎｇｉｎｅｓ　ｒｅｌａｔｅｄ　ｑｕｅｒｉｅｓ［Ｃ］／／Ｐｒｏｃ　ｏｆ　ＬＡ—ＷＥＢ，　２００３．　还是在冗余性方面都比已有的类似算法——Ｍｓ—ＤＭ算法　效果好，也验证了ＱＲ．ＣＨ算法进行专业搜索引擎查询推荐　的有效性。　［６］Ｄｕｐｒｅ　Ｇ，Ｍｅｎｄｏｚａ　Ｍ．Ａｕｔｏｍａｔｉｃ　ｑｕｅｒｙ　ｒｅｃｏｍｍｅｎｄａｔｉｏｎ　ｕｓｉｎｇ　ｃｌｉｃｋ—ｔｈｒｏｕｇｈ　ｄａｔａ［Ｊ］．Ｐｒｏｆｅｓｓｉｏｎａｌ　Ｐｒａｃｔｉｃｅ　ｉｎ　Ａｒｔｉｉｆｃｉａｌ　Ｉｎｔｅｌ—　ｌｉｇｅｎｃｅ，２００６，２１８：３０３—３１２．　［７］李亚楠，许晟，王斌．基于加权ＳｉｍＲａｎｋ的中文查询推荐研究［Ｊ１．　５总结　专业搜索引擎与查询推荐目前都是研究的热点，但关　于专业搜索引擎的查询推荐的相关研究却非常少，本文对　中文信息学报，２０１０，２４（３）：３—１０．　［８］李亚楠，王斌．一个中文搜索引擎的查询日志分析［Ｊ］．数字图书　馆论坛，２００８（７）：２－１ｏ．　［９］Ｍｉｔｒａ　Ｍ，Ｓｉｎｇｈａｌ　Ａ，Ｂｕｃｋｌｅｙ　Ｃ．Ｉｍｐｒｏｖｉｎｇ　ａｕｔｏｍａｔｉｃ　ｑｕｅｒｙ　此进行了深入的研究。本文针对专业搜索引擎的特点，设　计了一个新颖的查询推荐算法ＱＲ．ＣＨ，该算法采用基于词　ｅｘｐａｎｓｉｏｎ［Ｃ］／／Ｐｒｏｃ　ｏｆ　ＳＩＧＩＲ’９８，１９９８：２０６—２１４．　语共现的方法和ＨＩＴＳ算法提高了推荐词与原查询词的相　【１０］Ｋｒｕｓｃｈｗｉｔｚ　Ｕ．Ｅｘｐｌｏｉｔｉｎｇ　ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ　ｆｏｒ　ｉｎｔｅｌｌｉｇｅｎｔ　Ｗｅｂ　ｓｅａｒｃｈ［Ｃ］／／　关性，而且基于ＨＩＴＳ算法产生的文档排序有效地判断了　Ｐｒｏｃ　ｏｆ　ＨＩＣＳＳ，２００１：１３５６—１３６４．　推荐词的冗余性。实验也验证了本文的ＱＲ．ＣＨ算法在这　［１　１］Ｋｒｕｓｃｈｗｉｔｚ　Ｕ．Ｉｎｔｅｌｌｉｇｅｎｔ　ｄｏｃｕｍｅｎｔ　ｒｅｔｒｉｅｖａｌ　ｅｘｐｌｏｉｔｉｎｇ　ｍａｒｋｕｐ　两个方面都较文献已有的类似算法性能更好。　ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ［Ｍ］．Ｔｈｅ　Ｎｅｔｈｅｒｌａｎｄｓ：Ｓｐｒｉｎｇｅｒ，２００５．　［１２］Ｍｅｉ　Ｑ，Ｚｈｏｕ　Ｄ，Ｃｈｕｒｃｈ　Ｋ．Ｑｕｅｒｙ　ｓｕｇｇｅｓｔｉｏｎ　ｕｓｉｎｇ　ｈｉ￣ｉｎｇ　ｔｉｍｅ［Ｃ］／／ＣＩＫＭ’０８，２００８：４６９—４７８．　ｒ【　［　参考文献：　［１３］朱小飞，郭嘉丰，程学旗，等．基于流形排序的查询推荐方法［Ｕ　Ｊ］．　［１］Ｓｐｉｎｋ　Ａ，Ｊａｎｓｅｎ　Ｂ　Ｊ．Ａ　ｓｔｕｄｙ　ｏｆ　ｗｅｂ　ｓｅａｒｃｈ　ｔｒｅｎｄｓ［Ｊ／ＯＬ］．　中文信息学报，２０１１，２５（２）：３８—４３．　Ｗｅｂｏｌｏｇｙ，２００４，１（２）．ｈｔｔｐ：／／ｗｗｗ．ｗｅｂｏｌｏｇｙ．ｉｒ／２００４／ｖ１ｎ２／ａ４．ｈｌｍ１．　［１４］Ｋｌｅｉｎｂｅｒｇ　Ｊ．Ａｕｆｌｌｏｒｉｔａｔｉｖｅ　ｓｏｕｒｃｅｓ　ｉｎ　ａ　ｈｙｐｅｒｌｉｎｋｅｄ　ｅｎｖｉｒｏｎ—　［２］Ａｎｄｒｅ　Ｂ．Ａ　ｔａｘｏｎｏｍｙ　ｏｆ　ｗｅｂ　ｓｅａｒｃｈ［Ｊ］．ＳＩＧＩＲ　Ｆｏｒｕｍ，２００２，　ｍｅｎｔ［Ｃ］／／Ｐｒｏｃ　ｏｆ　ｔｈｅ　９ｔｈ　ＡＣＭ　ＳＩＡＭ　Ｓｙｍｐｏｓｉｕｍ　ｏｎ　Ｄｉｓ－　３６（２）：３—１０．　ｃｒｅｔｅ　Ａｌｇｏｒｉｔｈｍｓ（ＳＯＤＡ’９８），１９９８：６６８—６７７．　［３李亚楠，３］王斌，李．搜索引擎查询推荐技术综述［Ｊ］＿中文信　［１５］王日芬，宋爽，苗露．共现分析在知识服务中的应用研究［Ｊ］．现　息学报，２０１０，２４（６）：７５—８４．　代图书情报技术，２００６（４）：２９—３４．　［４］Ｂｅｅｆｅｒｍａｎ　Ｄ，Ｂｅｒｇｅｒ　Ａ．Ａｇｇｌｏｍｅｒａｔｉｖｅ　ｃｌｕｓｔｅｒｉｎｇ　ｏｆ　ａ　ｓｅａｒｃｈ　［１　６］Ｓａｎｃｈｅｚ　Ｄ，Ｍｏｒｅｎｏ　Ａ．Ｌｅａｒｎｉｎｇ　ｎｏｎ—ｔａｘｏｎｏｍｉｃ　ｒｅｌａｔｉｏｎ—　ｅｎｇｉｎｅ　ｑｕｅｒｙ　ｌｏｇ［Ｃ］／／Ｐｒｏｃ　ｏｆ　ＫＤＤ，２０００：４０７—４１６．　ｓｈｉｐｓ　ｆｒｏｍ　ｗｅｂ　ｄｏｃｕｍｅｎｔｓ　ｆｏｒ　ｄｏｍａｉｎ　ｏｎｔｏｌｏｇｙ　ｃｏｎｓｔｒｕｅ—　［５】Ｆｏｎｓｅｃａ　Ｂ　Ｍ，Ｇｏｌｇｈｅｒ　Ｐ　Ｂ．Ｕｓｉｎｇ　ａｓｓｏｃｉａｔｉｏｎ　ｒｕｌｅｓ　ｔｏ　ｄｉｓ—　ｔｉｏｎ［Ｊ］．Ｄａｔａ＆Ｋｎｏｗｌｅｄｇｅ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，２００８，６４：６００—６２３．　（上接１３９页）　魏莱，苗夺谦，徐菲菲，等．基于覆盖的粗糙模糊集模型研究［Ｊ］　．［４］胡军，王国胤，张清华．一种覆盖粗糙模糊集模型［Ｊ］．软件学报，　计算机研究与发展，２００６（１０）：１７１９—１７２３．　２叭０（５）：９６８—９７７．　Ｐｏｍｙｋａｌａ　Ｊ　Ａ．Ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ　ｏｐｅｒａｔｉｏｎｓ　ｉｎ　ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ　【５】李进金．粗糙集与拓扑空间的子集【Ｊ］．系统工程理论与实践，　ｓｐａｃｅ［Ｊ］．Ｂｕｌｌｅｔｉｎ　ｏｆ　ｔｈｅ　Ｐｏｌｉｓｈ　Ａｃａｄｅｍｙ　ｏｆ　Ｓｃｉｅｎｃｅｓ，１９８７，　２００５（７）：１３６—１４０．　３５（９／１０）：６５３．６６２．　［６］李进金．覆盖广义粗集理论中的拓扑学方法［Ｊ］＿模式识别与人　Ｐａｗｌａｋ　Ｚ．Ｒｏｕｇｈ　ｓｅｔ［Ｊ］．Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｃｏｍｐｕｔｅｒ　工智能，２００４（１）：７—１０．　ａｎｄ　Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ　Ｓｃｉｅｎｃｅｓ，１９８２，１１：３４１—３５６．　［７］李进金．覆盖上近似集与相对闭包［Ｊ］．模式识别与人工智能，　张文修，梁怡，吴伟志．信息系统与知识发现［Ｍ］．北京：科学出　版社，２００４．　２００５（６）：６７５．６７８．　张文修，吴伟志，梁吉业，等．粗糙集理论与方法［Ｍ］．北京：科　【８】Ｄｕｂｏｉｓ　Ｄ，Ｐｒａｄｅ　Ｈ．Ｒｏｕｇｈ　ｆｕｚｚｙ　ｓｅｔｓ　ａｎｄ　ｆｕｚｚｙ　ｒｏｕｇｈ　ｓｅｔｓ［Ｊ］．　学出版社，２００１．　Ｉｎｔ’１　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｇｅｎｅｒａｌ　Ｓｙｓｔｅｍｓ，１９９０，１７（３／４）：１９１—２０８．　张文修，仇国芳．基于粗糙集的不确定决策［Ｍ］．北京：清华大　【９】Ｄｕｂｏｉｓ　Ｄ，Ｐｒａｄｅ　Ｈ．Ｐｕｔｔｉｎｇ　ｒｏｕｇｈ　ｓｅｔｓ　ａｎｄ　ｆｕｚｚｙ　ｓｅｔｓ　ｔｏｇｅｔｈｅｒ［Ｍ］／　学出版社，２００５．　Ｓｌｏｗｉｎｓｋｉ　Ｒ．Ｉｎｔｅｌｌｉｇｅｎｔ　Ｄｅｃｉｓｉｏｎ　Ｓｕｐｐｏｒｔ：Ｈａｎｄｂｏｏｋ　ｏｆ　Ａｐｐｌｉ—　Ｃｈｅｎ　Ｄｅｇａｎｇ，Ｗａｎｇ　Ｃｈａｎｇｚｈｏｎｇ，Ｈｕ　Ｑｉｎｇｈｕａ．Ａ　ｎｅｗ　ｃａｔｉｏｎｓ　ａｎｄ　Ａｄｖａｎｃｅｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　Ｒｏｕｇｈ　Ｓｅｔｓ　Ｔｈｅｏｒｙ．Ｂｏｓｔｏｎ：Ｋｌｕ—　ａｐｐｒｏａｃｈ　ｔｏ　ａｔｔｒｉｂｕｔｅ　ｒｅｄｕｃｔｉｏｎ　ｏｆ　ｃｏｎｓｉｓｔｅｎｔ　ａｎｄ　ｉｎｃｏｎｓｉｓ—　ｗｅｒ　Ａｃａｄｅｍｉｃ　Ｐｕｂｌｉｓｈｅｒｓ，１　９９２：２０３．２２２．　ｔｅｎｔ　ｃｏｖｅｒｉｎｇ　ｄｅｃｉｓｉｏｎ　ｓｙｓｔｅｍｓ　ｗｉｔｈ　ｃｏｖｅｒｉｎｇ　ｒｏｕｇｈ　ｓｅｔｓ［Ｊ］．　【１　０］Ｌｉ　Ｔｏｎ￣ｕｎ，Ｌｅｕｎｇ　Ｙ，Ｚｈａｎｇ　Ｗｅｎｘｉｕ．Ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ　ｆｕｚｚｙ　Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ　Ｓｃｉｅｎｃｅｓ，２００７，１７７：３５００—３５１８．　ｒｏｕｇｈ　ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ　ｏｐｅｒａｔｏｒｓ　ｂａｓｅｄ　ｏｎ　ｆｕｚｚｙ　ｃｏｖｅｒｉｎｇｓ［Ｊ］．　Ｃｈｅｎ　Ｄ　Ｇ，Ｚｈａｎｇ　Ｗ　Ｘ．Ｒｏｕｇｈ　ｓｅｔｓ　ａｎｄ　ｔｈｅ　ｔｏｐｏｌｏｇｉｃａｌ　Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅ　Ｒｅａｓｏｎｉｎｇ，２００８，４８：　ｓｐａｃｅ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｘｉ’ａｎ　Ｊｉａｏｔｏｎｇ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，２００１，３５（１２）：　８３６—８５６　】３１　３—１　３１　５　ｆ