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第一节 平面体系的几何组成分析

按照机械运动及几何学的观点，对平面结构或体系的组成情况进行分析，称为平面体 系的几何组成分析。 一、名词定义 (一)刚片和刚片系

不会产生变形的刚性平面体称为刚片。在体系的几何组成分析中，不考虑杆件微小的 应变，这种不计应变的平面杆件就是刚片，由刚片组成的体系称为刚片系。 (二)几何可变体系和几何不变体系

当不考虑材料的应变时，体系中各杆的相对位置或体系的形状可以改变的体系称为几 何可变体系。否则，体系就称为几何不变体系。一般的实际结构，都必须是几何不变体系。

(三)自由度、约束和对象

物体运动时的几何参数数目称为自由度。例如一个点在平面内的自由度为2，一个刚片在平面内的自由度为3。

减少体系运动参数的装置称为约束，被约束的物体称为对象。使体系减少一个运动参数的装置称为一个约束。例如一根链杆相当于一个约束；一个连接两个刚片的单铰相当于二个约束；一个连接n个刚片的复铰相当于n—1个单铰；一个连接二个刚片的单刚性节点相当于三个约束；一个连接n个刚片的复刚性节点相当于n—1个单刚性节点。

一个平面体系的自由度w可按下式确定 W＝3n—2H—R

其中n为体系中的刚片总数，H、R分别为体系中的单铰总数和支杆总数。例如图1－1所示体系的自由度分别为1和0。自由度大于零的体系一定是几何可变的。自由度等于零及小于零的体系，可能是几何不变的也可能是几何可变的，要根据体系中的约束布置情况确定。

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(a)

(b)

图1－1

(四)必要约束和多余约束

如果在体系中增加一个约束，体系减少一个的运动参数，则此约束称为必要约束。如果在体系中增加一个约束，体系的运动参数并不减少，则此约束称为多余约束。平面内一个无铰的刚性闭合杆(或称单闭合杆)具有三个多余约束。 (五)等效代替 1．等效刚片

几何组成分析时，一个内部几何不变的平面体系，可用一个相应的刚片来代替，此刚片称为等效刚片。 2．等效链杆

几何组成分析时，一根两端为铰的非直线形杆件，可用一根相应的两端为铰的直线形 链杆来代替，此直线形链杆称为等效链杆。 3．虚铰

连接两个刚片的两根链杆的交叉点或其延长线的交点称为虚铰(如图1－2)。两根链杆对两个刚片运动的约束效果与相应的虚铰是等效的。

(a)

(b)

图1－2

二、平面体系的几何组成分析

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(一)平面几何不变体系的基本组成规则及瞬变体系、常变体系

判定体系是否满足几何不变的充分条件是几何不变体系的基本组成规则。 1．两刚片连接规则

两个刚片用不相交于一点或不互相平行的三根链杆连接成的体系，是内部几何不变且无多余约束的体系。 2．三刚片连接规则

三个刚片用三个不在一条直线上的单铰(虚铰或实铰)两两相连而成的体系，是内部几何不变且无多余约束的体系。

两刚片、三刚片连接规则实际上是可以相互变换沟通的。 3．两元片和一元片规则

由上述两刚片、三刚片连接规则可得如下的两元片和一元片规则。由两根不在同一直线上的链杆连接一个新节点的装置称为两元片；由三根不相交于一点的链杆连接一个刚片的装置称为一元片。在一个体系上增加或去除两元片、一元片，不影响原体系的几何不变性或可变性。 4．瞬变体系和常变体系

只能作微小运动的体系称为瞬变体系。例如图1－3所示的体系均为瞬变体系。能作非常微小运动的体系称为常变体系。如一个实铰连接两个刚片的体系及用三根等长且都平行的链杆连接两个刚片的体系都是常变体系。

(a)

(b)

(c)

图1－3

(二)几何组成分析例题

[例1－1] 分析图1－4（a）所示体系的几何组成。

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(a)

(b)

图1－4

[解] 体系的自由度W＝3×3-2×2-5＝0。根据两元片规则，将地基延伸至固定铰A、C处，并将地基作为刚片I，将杆件BEFG作为刚片Ⅱ(图1－4（b）)，刚片I和Ⅱ由支座链杆B、等效链杆AE、CG相连接，这三根链杆不相交于一点，体系是几何不变的，且无多余约束。

[例1－2] 分析图1－5（a）所示体系的几何组成。

(a)

(b)

图1－5

[解] 体系的自由度W=3×10—2×12—6＝0。将地基并连同杆件ACG、BFJ作为刚片I、杆件DH、EI作为刚片Ⅱ、Ⅲ(图1－5（b）)，则刚片I、Ⅱ、Ⅲ由三个虚铰(IⅡ)、(IⅢ)、(ⅡⅢ)两两相连，其中虚铰(ⅡⅢ)由一组平行链杆形成，而虚铰(IⅡ)、(IⅢ)的连接线平行于形成虚铰(ⅡⅢ)的两根平行链杆，可视为三虚铰在同一直线上，体系为瞬变体系。

[例1－3] 分析图1－6（a）所示体系的几何组成。

[解] 体系的自由度W＝3×8—2×10-4=0。根据两元片规则，将地基延伸至固定铰A处，并将地基作为刚片I，将CEF作为等效刚片Ⅱ，DB杆作为刚片Ⅲ，这三个刚片由三个虚铰(IⅡ)、(IⅢ)、(ⅡⅢ)两两相连，如图1－6（b）所示。因形成无穷远处的两个虚铰(IⅢ)、(ⅡⅢ)的两组平行链杆不相互平行，故体系是无多余约束的几何不变体。

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(a)

(b)

图1－6

[例1－4] 分析图1－7(a)所示体系的几何组成。

(a)

(b)

图1－7

[解] 体系的自由度W＝3×9—2×12—3＝0。根据一元片规则，去除图1－7（a）所示体系的一元片，得图1－7（b）所示体系。再将杆件AB、CE、DF分别作为刚片I、Ⅱ、ⅡⅢ，这三个刚片由三组平行链杆形成的三个无穷远处的虚铰(IⅡ)、(IⅢ)、(ⅡⅢ)两两相连，根据三刚片连接规则，体系为无多余约束的几何可变体系(无穷远处的三个点在一广义直线上)。

第二节 静定结构受力分析和特性

一、静定结构的定义

静定结构是没有多余约束的几何不变体系。在任意荷载作用下，其全部支座反力和内 力都可由静力平衡条件确定，即满足静力平衡条件的静定结构的反力和内力的解答是唯一 的。但必须指出，静定结构任意截面上的应力和应变却不能仅由静力平衡条件

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确定，还需要附加其他条件和假设才能求解。

二、计算静定结构反力和内力的基本方法

在静定结构的受力分析中不涉及结构材料的性质，将整个结构或结构中的任一杆件都 作为刚体看待。静定结构受力分析的基本方法有以下三种。 (一)数解法

将受力结构的整体及结构中的某个或某些隔离体作为计算对象，根据静力平衡条件建 立力系的平衡方程，再由平衡方程求解结构的支座反力和内力。 (二)图解法

静力平衡条件也可用力系图解法中的闭合力多边形和闭合索多边形来代替。其中闭合 力多边形相当于静力投影平衡方程，闭合索多边形相当于力矩平衡方程。据此即可用图解 法确定静定结构的支座反力和内力。 (三)基于刚体系虚位移原理的方法

受力处于平衡的刚体系，要求该力系在满足刚体系约束条件的微小的虚位移上所做的 虚功总和等于零。据此，如欲求静定结构上某约束力(反力或内力)时，可去除相应的约束， 使所得的机构沿该约束力方向产生微小的虚位移，然后由虚位移原理即可求出该约束力。

三、直杆弯矩图的叠加法

绘制线弹性结构中直杆段的弯矩图，采用直杆弯矩图的叠加法。直杆弯矩图的叠加法 可叙述为：任一直杆，如果已知两端的弯矩，则杆件的弯矩图等于在两端弯矩坐标的连线上再叠加将该杆作为简支梁在荷载作用下的弯矩图，如图2－1所示。作弯矩图时，弯矩值坐标绘在杆件受拉一边，弯矩图中不要标明正、负号。

(a)

(b)

图2－1

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四、直杆内力图的特征

在直杆中，根据荷载集度q，弯矩M、剪力V之间的微分关系dV／dx＝q，dM／dx＝V、d2M／dx2＝q，可推出荷载与内力图的一些对应关系，这些对应关系构成了弯矩图与剪力图的形状特征(表2—1)。

表2—1

集小力偶M。梁上情况 无外力区段 均布力q作用区段 集中力P作用处 作用处 有突变(突剪力图 水平线 斜直线 抛物线(凸一般为斜直弯矩图 线 指向) 指向) 出方向同q有极值 角指向同P值 值—M。) 为零处 变值＝P) 有尖角(尖有极有突变(突变为零 号 如变无变化 铰处 注意到截面上轴力与剪力是互相垂直的，只要根据剪力图的特征，并结合杆件上的荷载情况，就可得到轴力图的特征。熟悉掌握内力图的特征，便于绘制和校核内力图。

五、静定多跨梁 (一)静定多跨梁的组成

由中间铰将若干根单跨梁相连，并用若干支座与地基连接而成的静定梁，称为静定多跨梁。图2—2(a)、图2—3(a)所示为静定多跨梁的两种基本形式，也可由这两种基本形式组成混合形式。

图2—2(a)中的AB杆与基础组成的几何不变体能单独承受荷载，称为基本部分。而其余的CD、EF部分，则必须依靠基本部分才能保持为几何不变，称为附属部分。图11—2-2(b)为表示这种基本部分与附属部分关系的层叠图。

图2－2

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图2—3(a)所示的梁，在竖向荷载作用下，AB、EF部分为基本部分，CD则为附属部分，其层叠图如图2—3(b)所示。

图2－3

静定多跨梁的支座反力数等于三个整体静力平衡方程数与连接杆件的单铰数之和。 (二)静定多跨梁的计算

因为作用在基本部分上的荷载对附属部分的内力不产生影响，而作用在附属部分上的荷载，对支撑它的基本部分要产生内力，因此，静定多跨梁的内力计算，一般可按以下步骤计算。

1．区分基本部分和附属部分，绘出层叠图。

2．根据层叠图，从最上层的附属部分开始，依次计算各单跨梁的支座反力井绘制内力图。在计算中要将附属部分的反力传至支撑它的基本部分。 3．对反力和内力图进行校核。

支座反力一般可根据静定多跨梁的整体平衡条件校核。弯矩图、剪力图一般可根据表2－1中M图与y图的形状特征进行校核，也可以从梁中截取任一隔离体由平衡条件校核。

[例2－1] 求作图2－4（a）所示静定多跨梁的弯矩图和剪力图。

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图2－4

[解] 层叠图如图2－4（b）所示。各附属部分、基本部分的计算过程如图2－4（c）所示。弯矩图和剪力图分别如图2－4（d）所示。其中剪力图的正、负号规定与材料力学中的规定相同。

容易看出，当跨度和荷载均相同时，静定多跨梁的弯矩比简支梁的弯矩小，并且只要调整静定多跨梁中间铰的位置，就可使梁的各截面弯矩值的相对比值发生变化，这是静定多跨梁的优点。但由于中间铰的存在，构造就复杂一些。

六、静定平面刚架

部分结点或全部结点是刚性连接的结构称为刚架。各杆轴线、支座及荷载均在同一平面内的静定刚架称为静定平面刚架。

静定平面刚架的内力计算，通常是先求出支座反力及铰接处的约束力，再由截面法求 出各杆端截面的内力，然后根据荷载情况及内力图的特征，逐杆绘制内力图。 [例2－2] 绘制图2－5（a）所示刚架的弯矩、剪力、轴力图。

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图2－5

[解] (1)计算支座反力

根据刚架的整体平衡条件，由

ΣX＝0，得HA＝4qa； ΣMA＝0，得VB＝2qa； ΣY＝0，得VA＝2qa。

(2)计算各杆端截面的弯矩、剪力、轴力。由截面法可得各杆端截面的内力值为： AC杆：MAC＝0，MCA＝16qa2(左侧受拉)；VAC＝4qa，VCA＝—12qa；NAC＝2qa， NCA＝2qa(轴力以拉力为正)。

BE杆：MBD＝0，MDB＝18qa2(右侧受拉)；VBD＝—1.2qa，VDB＝8.4qa；NBD＝—1.6qa，NDB＝—8.8qa。

CD杆：MCD=16qa2(上侧受拉)，MDC=24qa2(上侧受拉)；VCD＝—2qa，VDC＝—2qa； NCD＝—12qa，NDC＝—12qa。 (3)作弯矩、剪力、轴力图

根据上述计算结果及各杆的荷载情况，应用直杆弯矩图的叠加法，并按照内力图的

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特 征，就可作出刚架的M、V、N图，分别如图2—5（b）、（c）、（d）所示。 (4)校核

为校核平衡条件，可任取刚架的某些局部为隔离体，如图2－5（e）所示的隔离体，满 足平面一般力系的三个平衡条件：

ΣX＝0；

ΣM＝0；

ΣY＝0。

图2—5（f）所示结点D隔离体，满足平面一般力系的三个平衡条件：

ΣX＝0；

ΣMD＝0；

ΣY＝0。

七、三铰拱和三铰刚架的内力计算

图2—6（a）所示由曲杆组成的结构在竖向荷载作用下将产生水平反力，这种结构称为 拱形结构。而图2—6（b）所示的结构，在竖向荷载作用下其水平支座反力等于零，这种结 构称为曲梁。图2—6（c）所示为两个曲杆由三个不共线的铰与地基两两相连的三铰拱，它 是工程中常用的静定拱形结构，由于它的支座产生水平推力，基础应具有相应的抗力，故 有时做成图2—6（d）所示的拉杆拱，水平推力由拉杆来承担。

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图2－6

三铰拱由于存在水平推力，故拱轴截面中的弯矩比相同跨度相同荷载的简支梁的弯矩要小，使拱成为主要是承受压力的结构，可采用受压性能强而受拉性能差的材料建造。与简支梁相比，拱形结构可以跨越更大的跨度。

三铰拱的有关术语表示在图2—6（c）中，工程中常用的矢跨比f／l=0.5～1，常用的拱轴方程有二次抛物线，圆弧线，悬链曲线等。 (一)三铰平拱在竖向荷载作用下的支座反力及内力计算 拱脚铰在同一水平线上的三铰拱称为三铰平拱。 支座反力

由图2—7(a)所示三铰拱的整体平衡条件及顶铰C处弯矩为零的条件，可得支座反力的计算公式为 VA＝VA VB＝VB0

0

(2—1) (2—2) (2—3)

HA＝HB＝H＝MC0 ／f

式中VA0、VB0、MC0分别为与三铰拱相同跨度、相同荷载简支梁(简称为三铰拱的代 梁，图2—7b)支座A、B处的支座反力及截面C的弯矩。

式(2—3)表明，在给定的竖向荷载作用下，三铰拱的水平推力只与三个铰的位置有关，而与拱轴线的形状无关。当荷载与拱跨不变时，推力H与矢高f成反比，f愈大即

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拱愈高时H愈小，f愈小即拱愈平时H愈大。若f＝0，则H为无穷大，这时三铰已共线，体系为瞬变体系。

取图2—7c所示的隔离体，并由隔离体的平衡条件，可得任意截面D的弯矩、剪力、轴力计算公式为 MD＝MD0—HyD

(2—4)

(2—5) (2—6)

VD＝VD0cosφD－HsinφD ND＝VD0sinφD＋HcosφD

式中MD、VD、ND的正方向如图2—7c所示，MD0、VD0为代梁D截面的弯矩、剪力，yD、φD的含意如图2—7a所示。在图示坐标系中，φD在左半拱内为正，在右半拱内为负。 三铰拱的内力计算，除上述数解法外，还可用图解法进行，可通过绘制三铰拱的力多 边形及压力线(索多边形)来确定其内力。

图2－7

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(二)三铰拱的合理拱轴

在某种固定荷载作用下，拱的所有截面的弯矩均为零的轴线称为合理拱轴。

图2－8

三铰拱在竖向荷载作用下合理拱轴的一般表达式，可根据合理拱轴的定义，令式 (2—4)等于零，得合理拱轴方程为 y＝M0／H

(2—7)

图2—8a所示三铰拱承受满跨均布荷载q作用，其具体的合理拱轴方程可按式(2－7)推导如下：

按图2—8a所示坐标系，将代梁(图2—8b)的弯矩方程 M0＝qx（l－x）／2 及拱的水平推力 H＝MC0／f＝ql2／8f

代人式(2—7)得拱的合理拱轴方程为 y＝4fx（l－x）／l2

(2—8)

顺便指出，三铰拱在满跨填料重量作用下的合理拱轴为悬链曲线；在径向均布荷载作用下的合理拱轴为圆弧线。

(三)三铰刚架的内力计算

分析图2—9a所示的三铰刚架，绘制其弯矩、剪力、轴力图。 1．计算支座反力

计算三铰刚架的支座反力与三铰拱是类似的，除了应用三个整体平衡条件外，还需要利用铰C处弯矩等于零的条件。经计算得

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HA＝1.33qa；VA＝24qa HB＝13.33qa；VB＝46qa

2．计算各杆端截面内力并绘制内力图

支座反力求出后，各杆端截面内力计算及各内力图的绘制方法，与前述简支刚架的方 法都是相同的，得出的M、V、N图，分别如图2－9b、c、d所示。

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( d ) 图2－9

八、静定平面桁架

(一)理想平面桁架的假定及其按几何组成的分类。

理想桁架应满足下面三个假定：1．各结点均为无摩擦的理想铰；2．各杆件轴线均为 直杆，且各通过铰的几何中心；3．荷载都作用在结点上。如图2—l0a、b、c所示平面桁架均为理想桁架。

符合上述假定的理想桁架的各杆只承受轴向力，横截面上只产生均匀的法向应力，与梁相比，受力合理，用料经济，自重较轻，可跨越较大的跨度。

不符合上述假定的桁架，在杆件中会产生弯曲次应力，理论分析和实验表明，当桁架的杆件比较细长时，这种次应力与由轴力引起的应力相比所占比例不大。 桁架按其几何组成可分为：

简单桁架——从仅由三根杆件组成的三角形铰接单元出发，根据两元片规则，逐次扩展形成的桁架，如图2－10a所示。

联合桁架——由两个或两个以上的简单桁架联合组成的桁架，如图2－10b所示。 复杂桁架——不属于上述两类的桁架，如图2－10c所示。

桁架的有关术语表示在图2－10a中。

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( a )

( b )

(c ) 图2－10

(二)平面桁架的内力计算 1．节点法

取桁架的节点为隔离体，由平面汇交力系的平衡条件求解各杆内力的方法。从理论上讲，任何静定平面桁架都可利用节点法求出全部杆件的内力，但为了避免求解联立方程，在每次截取的节点上不应超过两个未知内力。在简单桁架中，只要按两元片规则，循着各节点形成的顺序或相反的顺序，逐次应用节点法，在每个结点的平衡方程中，最多不会超过两个未知力。

在计算中，有时可利用下面几种节点平衡的特殊情况。 (1)两杆节点上无荷载，两杆内力均为零(图2—11a)；

(2)三杆节点上无荷载，其中在同一直线上的两杆内力相等而方向相反，另一杆内力为零(图2—11b)；

(3)四杆节点上无荷载，且四杆相交成两直线，则处在同一直线上的两杆内力相等，但方向相反(图2—11c)；

(4)四杆节点上无荷载，其中两杆共线而另两杆处于此线的同侧且倾角相同，则处于共线杆同侧的两杆内力等值而反向(图2—11d)。

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图2－11

应用上述识别零杆的方法，容易看出图2—12a所示桁架中虚线所示的各杆均为零杆。

图2—12b、c分别为对称桁架承受对称荷载和反对称荷载作用。根据对称结构在对称荷载(或反对称荷载)作用下，其内力为对称(或反对称)的特点，再根据上述识别零杆的方法，可知图中虚线所示的杆件为零杆。

图2－12

在建立节点平衡方程时，对于斜杆轴力N，常可用其水平分力X或竖向分力Y作为未知数。再设斜杆长为l，其水平和竖向投影长度分别为lx和ly，则可得 N／l＝ X／lx ＝Y／ly

(2—9)

由上式可从任一分力X或Y求出轴力N，也可由一个分力算出另一分力，以简化计算。

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[例2－3] 用节点法求图2—13a所示桁架各杆轴力。

图2－13

[解]

(1)求支座反力

由整体平衡条件，得VA＝80kN，HA＝0，VB＝100kN。 (2)求桁架各杆轴力

从只含两个未知力的节点A(或节点B)开始，再依次分析邻近节点。

节点A(图2—13b)，设未知轴力为拉力，并采用NA2的水平分力XA2或竖向分力YA2作为未知数，则由

ΣY＝0，得YA2＝－VA＝—80kN 再由式(2—9)得 XA2＝－60kN NA2＝—100kN

再由ΣX＝0，得NAl＝60kN

节点1(图2—13c)，由该节点的平衡条件可得N14＝60kN(拉力)，N12＝40kN(拉力)。

依次再考虑节点2、3、4、5、6、7，每—结点不超过两个未知力。至最后节点B

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时，各杆轴力均为已知，可据此节点是否满足平衡条件作为内力计算的校核。各杆轴力计算的结果标注在图2—13a上，拉力为正，压力为负。

2．截面法

截取包含两个节点以上的隔离体，利用平面一般力系的平衡条件求解各杆轴力的方法。截面法中的一个隔离体，一般只能求解三个未知内力，但如果在一个截面中，除一杆外，其余各杆均相交于一点或相互平行，则该杆轴力仍可在该隔离体中求出。 [例2－4] 用截面法求图2—14a所示桁架中a、b、c、d、e各杆的内力。

[解] (1)求支座反力

由桁架的整体平衡条件得VA＝VB＝1.5P，HA＝0。 (2)求Na、Nb

作截面I—I，取图2—14b所示隔离体，由ΣY＝0，得Na＝—0.5P(压力)；由ΣM2=0，得Nb=2.25P(拉力)。 (3)求NC

在结间34内作竖向截面，取右隔离体，由ΣY＝0，得YC＝0.5P，即NC=0.625P(拉力)。

(4)求Nd、Ne。

作截面Ⅱ—Ⅱ，取图2—14c所示隔离体，由ΣMk＝0，得Nd＝0.25P(拉力)。再由ΣM4＝0，得Ne＝—2.37P(压力)。

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图2－14

图2－15

对于图2—15a所示的桁架，求出支座反力后，再根据其几何组成关系，可知EDCB与E'D'C'A两部分之间，由三根不相交于一点的链杆AE、BE'、CC'相连，故可通过该三杆作截面取图2—15b所示隔离体，由力矩平衡方程先求出NEA(或NBE'或NCC')，进而再求其他各杆轴力。

3．节点法与截面法的联合应用

在桁架内力计算中，有时联合应用节点法和截面法，可使计算得到简化。

图2－16

如拟求图2—16所示桁架斜杆轴力N1，求出支座反力后，可先由节点C的ΣX＝0，得N1与N1'的第一关系式。再用截面法，由I—I截面一侧隔离体的ΣY＝0，得N1与N1'

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的第二关系式。联立求解两个关系式就可求出Nl。

九、静定组合结构

由轴力杆和受弯杆组成的结构称为组合结构。

计算组合结构内力时，应注意区分轴力杆和受弯杆。在隔离体上，轴力杆的截面上只有轴力，受弯杆的截面上，一般有弯矩、剪力和轴力。

[例2－5] 精品文档

求作图2—17a所示组合结构的弯矩、剪力、轴力图。

图2－17

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[解] 此组合结构中，除AC、BC杆为受弯杆件外，其余均为轴力杆。 (1)求支座反力

由整体平衡条件，得VA＝VB＝75kN，HA＝0。

(2)通过铰C作I—I截面，由该截面左边隔离体的平衡条件ΣMc=0，得NDE＝135kN(拉力)；由ΣY=0，Qc＝—15kN；由ΣX=0，得NC＝—135kN(压力)。

(3)分别由结点D、E的平衡条件，得NDA＝NEB＝151kN(拉力)，NDF＝NEG＝67.5kN(压力)。 (4)根据铰C处的剪力Qc及轴力Nc，并按直杆弯矩图的叠加法就可绘出受弯杆AFC、BGC的弯矩图。

(5)M、Q、N图分别如图2—17b、c、d所示。

十、静定结构的特性

各种形式的静定结构，具有下述五点共同的特性。

(一)满足静力平衡条件的静定结构的反力和内力解答是唯一的。

(二)温度改变、支座位移、构件制造误差、材料收缩等因素，在静定结构中均不引起反力和内力。

(三)平衡力系作用在静定结构的某一内部几何不变部分时，只在该几何不变部分产生反力和内力，在其余部分都不产生反力和内力。

图2－18

如在图2—18a所示简支梁的内部几何不变部分CD上作用一平衡力系，只在CD部

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分产生弯矩和剪力，而在AC、BD部分不产生反力和内力。又如在图2—18b所示静定桁架的内部几何不变部分CDE上作用一平衡力系，只在CDE部分的三杆内产生内力，而其余各杆内力及支座反力均等于零。

(四)静定结构的某一内部几何不变部分上的荷载作等效变换时，只有该部分的内力产生变化，而其余部分的反力和内力均保持不变。

图2－19

例如在图2—19a所示的内部几何不变部分内将荷载作等效变换(图2—19b)，则只有在CD部分内的内力(如弯矩)有变化，而其余部分AC、DB内的反力和内力均不发生变化。

(五)静定结构的一个内部几何不变部分作构造上的局部改变时，只有该部分的内力发生变化，而其余部分的反力和内力均保持不变。

如图2—20a中的CD杆变换成图2—20b中的小桁架CD，而作用的荷载及端部C、D的约束性质不变，则在作这种构造的局部改变后，只对CD部分的内力发生变化，其余部分的反力和内力均保持不变。

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图2－20

第三节 静定结构位移计算

一、广义力和广义位移

以各种不同方式作用在结构上的力，如集中力、集中力偶、分布力、分布力偶等都称为广义力，它可以是外力，也可以是内力。与广义力对应的位移称为广义位移。或能唯一地决定结构几何位置改变的彼此的量称为广义位移，如线位移、角位移、相对线位移、相对角位移等。

本节主要介绍静定结构在广义力、温度变化、支座位移等因素作用下的广义位移计算。

二、变形体系的虚功原理

变形体系的虚功原理可表述为：变形体系处于平衡的必要和充分条件是：在满足体系变形协调条件和位移边界条件的任意微小虚位移过程中，变形体系上所有外力所做虚功的总和(W外)，等于变形体系中各微段截面上的内力在其变形上所做虚功的总和(W变)，即

W外＝W变

(3—1)

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PRCNduMdVd (3—2)

上式也称为变形体系的虚功方程。式中P为作虚功的广义力，Δ为与P相应的广义 位移；C是支座的线位移或角位移，R是与C相应的作虚功的支座反力或反力矩；M、N、V分别表示作虚功的平衡力系中微段上的弯矩、轴向力、剪力；dθ、du、dη分别表示虚位移状态中同一微段的弯曲变形、轴向变形、平均剪切变形。 对变形体系虚功方程(3—2)应注意理解以下几点：

(1)刚体系的虚功原理只是变形体系虚功原理的一种特殊情况，对刚体系来讲，W变＝ 0，式(3—2)即成为刚体系虚功方程。

(2)式(3—2)是一个既可作为几何方程(变形协调方程)，又可作为平衡方程的综合性方程。例如当受力平衡状态为实际状态，位移状态为虚设状态时，变形体系的虚功原理就称为变形体系的虚位移原理，可利用它来求解受力平衡状态中的未知力，这时的虚功方程，实质上代表平衡方程；当位移状态为实际状态，受力平衡状态为虚设状态时，变形体系的虚功原理就称为变形体系的虚力原理，可利用它来求解位移状态中的未知位移，此时的虚功方程，实质上代表几何方程。本章的结构位移计算，就是以变形体系的虚力原理作为理论依据的。

(3)变形体系的虚功原理适用于弹性、非弹性、线性、非线性等变形体系的结构分析。

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三、静定结构在荷载作用下的位移计算 (一)位移计算的一般公式—单位荷载法

单位荷载法的理论依据是虚力原理，这时虚功方程(3—2)中的变形状态Δ、C、dθ、du、dη是实际的，而平衡状态中的P、R、N、M、V则是虚设的。

单位荷载法的具体做法是：在结构拟求位移Δ处沿该位移方向施加相应的广义单位 力P＝1，它与支座反力、内力构成一个虚拟的平衡力系，然后令此平衡力系在结构由荷 载产生的实际位移和变形上做虚功，则由虚功方程(3—2)得虚力方程为(设实际的位移状态中，结构无支座位移，即设C＝0)：

1iPNiduPMidPVidP (3—3) 式中 Δ

iP

为结构拟求位移的截面沿该位移方向(i方向)由广义力P产生的广义位

移； Mi、Ni、Vi为由虚设的广义单位力产生的弯矩、轴力、剪力；dθp、dup、dηp为实际状态中杆件微段ds两侧截面的相对转角、相对轴向位移、相对错动，对线弹性结构，dθp、dup、dηp分别为

代人式(3—3)后，即得线弹性结构在荷载作用下的位移计算的一般公式为

（3—4）

式中Mp、Np、Vp为结构在实际荷载作用下产生的弯矩、轴力、剪力；E、G为材料的弹性模量、剪切模量；A、I为杆件横截面面积、惯性矩；k为截面剪应力不均匀分布系数，对矩形截面k＝1.2，圆形截面k＝10／9，薄壁环形截面k＝2。

对理想平面桁架，上式为

（3—5）

当Mi、Ni、Vi与相应的Mp、Np、Vp的方向一致时，式(3—4)中相应的各项为正，否则为负。当按式(3—4)求出的ΔiP为正时，表明ΔiP的方向与施加的单位力同向，否则为反向。

上述单位荷载法也适用于温度变化、支座位移等因素引起的结构位移计算。 (二)位移计算的简化(实用)公式

根据理论分析和实验测定，对比较细长的受弯杆件(杆件截面高度h与杆长l之比

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<1／5时)来讲，式(3—4)中弯曲变形引起的位移是主要的，而轴向变形、剪切变形对位移的影响较小，一般可忽略不计，于是可得位移的简化计算公式为： 1．梁和刚架

2．组合结构

（3—6）

（3—7）

3．曲杆和拱

只有当可以忽略杆件的曲率对位移的影响时(当杆件的曲率半径R与杆件的截面高度h之比>5时，可忽略曲率的影响)，才能近似地应用式(3－4)计算曲杆和拱的位移。计算比较表明，对于薄拱，剪切变形对位移的影响常可忽略不计；当拱轴线与合理拱轴比较接近，或计算扁平拱(f(3—8)

而对于一般的拱和曲杆，通常只要考虑弯曲变形的影响。 (三)虚拟(设)状态的建立

应用单位荷载法计算静定结构的位移时，虚拟状态的建立要根据拟求广义位移的性质 来确定广义单位力，使虚设广义单位力在拟求广义位移上做功，将拟求的广义位移引入虚 功方程。例如拟求竖向线位移时，可在拟求位移处的竖向施加单位集中力；拟求角位移时，可在拟求位移处施加单位集中力偶；拟求两点之间的相对水平线位移时，可在此两点施加一对大小相等方向相反的水平单位集中力；拟求桁架中杆长为d的某杆的转角时，可在此杆两端垂直于杆轴方向各施加方向相反、数值为1／d的集中力，等等。

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[例3—1] 求图3—1a所示桁架结点3的竖向位移Δ3V ，各杆EA相同，E＝21000kN／cm2，A＝100cm2。

[解] 虚设状态如图3—1b所示，求出实际状态(图3—1a)和虚设状态中各杆的轴力Np和Ni后，即可由式(3－5)求得Δ3V 为

所得结果为正，表示结点3的竖向位移的实际方向为向下。

（a）

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图3－1

[例3—2] 图3—2a所示为半径为R的等截面圆弧形曲杆，杆的横截面为矩形，高度为h，宽度为b，材料的弹性模量为E，剪变模量G=0.4E。试求B点的竖向位移ΔBV。要求同时考虑弯曲变形、轴向变形、剪力变形的影响，并比较各部分对位移影响的大小。计算中不考虑杆件曲率的影响。

图3－2

[解] (1)虚设状态如图3—2a所示。

(2)实际状态和虚设状态中任意截面C的内力方程为

(3)将各内力方程及ds＝Rdφ代人式(3—4)，积分后得：

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将k＝1.2，G=0.4E代人上式，得

上式等号右边括号内的第一、第二、第三项分别为弯曲变形、轴向变形、剪切变形对 位移的影响。可见，当h／R较小时，轴向变形、剪切变形对位移的影响相对于弯曲变形对位移的影响甚小，通常可忽略不计。所得结果为正，表示B点竖向位移的实际方向与Pi=1的指向相同。

(四)图形相乘法

1．计算公式及其适用条件

当杆件为直杆、杆件的EI为常数，Mi和MP图中至少有一个是线性变化时，则

(3—9)

式中 ω — Mi或MP图的面积；

y — 与ω相应的弯矩图的形心位置C所对应的另一弯矩图的坐标值。

式(3—9)就是用图形相乘法的公式，应用该式时，除必须满足前述三个条件外，还

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应该注意下面两点： (1)当Mi、MP使杆件同一侧受拉(或受压)时，图乘结果为正，否则为负； (2)当Mi、MP图中有一个是曲线变化时，ω必须取曲线变化的弯矩图面积。

2．常用图形的面积计算公式及形心位置

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图3－3

图3—3列出了几种常用图形的面积计算公式及其形心位置。图中顶点是指该点的 切线平行底边的点，标准抛物线是指顶点在图形的中点或端点的抛物线。

对于图3—4所示两个梯形的图乘结果为

(3—10)

对于其他较为复杂的弯矩图，可根据直杆弯矩图的叠加原理，将其分解为几个简单的图形，然后分别将简单图形相乘后再叠加。

图3－4

[例3－3] 试求图3－5a所示结构D点的竖向线位移ΔDV和铰C左、右两侧截面的相对转角θcc，并讨论当轴力杆EF改为刚度系数为kN的弹性支撑后(图3—5e)，ΔDV及θcc如何计算。

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[解]

图3－5

(1)MP图、EF杆轴力Np，以及求ΔDV及θcc的虚设状态和相应的Mi、Ni分别如图3—5b、c、d所示。

(2)应用组合结构的简化位移计算公式(3—7)，并用图形相乘法，得

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(3)讨论

对图3－5f所示的体系，只要将上面ΔDV及θcc中最后一项轴力杆的柔度系数改为弹性支撑的柔度系数(其他各项均相同)，就可得到该体系的ΔDV及θcc。

四、静定结构由于温度变化及杆件长度制造误差引起的位移计算

静定结构在温度变化时会产生变形，但不产生内力。计算温度变化引起的结构位移 时，通常假定温度沿杆件截面高度h是直线变化的。设杆件两侧表面的温度改变分别为t1和t2，材料的线膨胀系数为α。，则由图3—6可知微段的温度变形为

其中t0＝（h1t2＋h2t1）/ h，为杆件轴线处的温度改变；Δt为杆件两侧表面温度变化差的绝对值。

图3－6

应用单位荷载法，将dθt、dut、dηt代入变形体虚力方程

得温度变化引起的位移计算公式为

如果α、t0、Δt、h沿杆长不变，则上式为

(3—12)

(3—11)

式中 Δit为结构的拟求位移处沿i方向由温度变化引起的位移；ωNi、ωMi分别为杆件Ni图、Mi图的面积。当Ni及t0引起的杆件轴向变形方向相同时，上式等号右边第一项为正，否则为负；当Mi及温度变化引起的杆件弯曲方向一致时，上式等号右边的第二项为正，否则为负。

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[例3—4] 图3—7所示刚架施工时的温度为300C，冬季外侧温度为—200C，内侧温度为100C，各杆截面相同，均为矩形截面，截面高度为h，材料的线膨胀系数为α。试求刚架在冬季温度时B点的水平位移ΔBH。 [解]

各杆外侧温度变化为 t1＝—20—30＝—500C 内侧温度变化为 t2＝10—30＝—200C 于是得各杆的t0、Δt为 t0＝（t1+t2）／2＝—350C Δt＝300C

虚设状态的Mi及Ni图分别如图3—7b、c所示。由式(3—12)，得 ΔBH＝35αl—60αl2／h

在计算中应注意各项正、负号的确定。

（a）

（b）

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（c） 图3－7

图3－8

[例3—5] 图3—8a所示桁架的六根下弦杆制造时比设计长度均缩短了ue＝2cm，试求桁架在拼装后结点C的竖向位移Δcv。

[解] 虚设状态如图3—8b所示，求出有制造误差的各下弦杆的轴力N后，就可按变形体系虚功原理得

因为各下弦杆的制造误差均为缩短，而虚设状态中各下弦杆均为受拉，两者方向相反，故计算结果为负号，表示C点的竖向位移的实际方向为向上，即C点向上的起拱度为10cm。

五、静定结构由于支座位移引起的位移计算

静定结构在支座位移时，各杆件产生刚体位移，不产生内力。这时采用单位荷载法，由变形体系虚功方程(3—2)，得虚力方程为

于是得静定结构由支座位移C引起的位移计算公式为

(3—13)

式中 Δic为结构拟求位移处沿i方向由支座位移C引起的位移；C为实际的支座位移； Ri为与C相应的由虚设状态的广义单位力产生的支座反力。当Ri与C的方向一致时，其乘积为正，否则为负。

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[例3—6] 图3—9a所示三铰刚架的支座B向右移动ΔBH＝6cm，向下移动ΔBV＝8cm，试求结点E的角位移θE。

（a）

图3－9

[解] 虚设状态及虚设状态中支座B处的反力大小和方向如图3—9b所示。于是由式(3—13)可得 θE＝0.015rad

所得结果为正，表示θE的实际方向与假设的Mi＝1的方向相同。

[例3—7] 图3—10所示桁架的支座B向下移动ΔBV＝C，试求BD杆的角位移θBD。

[解] 虚设状态及虚设状态中支座B处的反力大小及方向如图3—10b所示。于是由式(3—13)可得

（b）

（a）

图3－10

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（b）

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六、弹性体系的互等定理

下面四个互等定理，适用于线性弹性体系，线性弹性体系的特征是应力应变之间为线性关系，体系的位移是微小的，可以应用叠加原理。 (一)虚功互等定理

T12＝T21

(3—14)

即任一线性弹性体系中，第一状态的外力在第二状态的位移上所作的虚功T12＝T21等于第二状态的外力在第一状态的位移上所作的虚功T21。 由虚功原理可以导出下面三个互等定理 (二)位移互等定理

δ12＝δ21

(3—15)

上式表示同一线性弹性体系由单位荷载P1＝1所引起的与荷载P2相应的位移δ21 等于由单位荷载P2＝1所引起的与荷载P1相应的位移δ12。这里的荷载可以是广义荷载，因而位移可以是相应的广义位移。如图3—11a、b中的δ12＝δ21。 位移互等定理在力法及其他结构分析的柔度法中得到应用。 (三)反力互等定理

R12＝R21

(3—16)

上式表示同一线性弹性体系由单位位移cl＝1所引起的与位移c2相应的反力R21等于由单位位移c2＝1所引起的与位移cl相应的反力R12。如图3—12a、b中的R12＝R21。 反力互等定理只适用于超静定结构，它在位移法及其他结构分析的刚度法中得到应用。

(四)位移与反力互等定理

δ

'12

＝－R21' (3—17)

'

上式表示同一线性弹性体系由单位荷载尸P1＝1所引起的与位移c2相应的反力R21在绝对值上等于由单位位移c2＝1所引起的与荷载P1相应的位移δ符号。如图3—13a、b中的δ

'12

'12

，但两者相差一个

＝－R21' 。

位移与反力互等定理在混合法中得到应用。

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图3－11

图3－12

图3－13

第四节 超静定结构的受力分析及特性

一、超静定结构的特征及超静定次数

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超静定结构的几何特征是除了保证结构的几何不变性所必须的约束外，还存在多余约 束。

超静定结构的静力特征是仅由静力平衡条件不能唯一地确定全部未知反力和内力。 结构的多余约束数或用静力平衡条件计算全部未知反力和内力时所缺少的方程数称为 结构的超静定次数。

通常采用去除多余约束的方法来确定结构的超静定次数。即去除结构的全部多余约 束，使之成为无多余约束的几何不变体系，这时所去除的约束数就是结构的超静定次数。 去除约束的方法有以下几种：

(一)切断一根两端铰接的直杆(或支座链杆)，相当于去除一个约束。 (二)切断一根两端刚接的杆件，相当于去除三个约束。

(三)切断——个单铰(或支座固定铰)，相当于去除二个约束；切断一个复铰(连接n根杆件的铰)，相当于去除2(n—1)个约束。

(四)将单刚结点改为单铰节点，相当于去除一个约束；将连接n个杆件的复刚节点改为复铰节点，相当于去除n—1个约束。

去除一个超静定结构多余约束的方法可能有几种，但不管采用哪种方法，所得超静定次数一定相同。

去除图4—1a所示超静定结构的多余约束的方法之一如图4—1b所示，去除六个多余约束后，就成为静定结构，故为超静定六次。再用其他去除多余约束的方案确定其超静定次数，结果是相同的。

（a）

（b）

图4－1

二、力法的基本原理 (一)力法基本结构和基本体系

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去除超静定结构的多余约束，代以相应的未知力Xi (i=1、2、…、n)，Xi 称为多余未知力或基本未知力，其方向可以任意假定。去除多余约束后的结构称为力法基本结构。力法基本结构在各多余未知力、外荷载(有时还有温度变化、支座位移等)共同作用下的体系称为力法基本体系，它是用力法计算超静定结构的基础。 选取力法基本结构应注意下面两点：

1．基本结构一般为静定结构，即无多余约束的几何不变体系。有时当简单超静定结构的解为已知时，也可以将它作为复杂超静定结构的基本结构，以简化计算。

2．选取的基本结构应使力法典型方程中的系数和自由项的计算尽可能简便，并尽量使较多的副系数和自由项等于零。

(二)力法典型方程及其意义

根据原结构在荷载、温度变化、支座位移等因素作用下产生的已知位移与基本结构在各多余未知力以及与原结构相同的荷载、温度变化、支座位移等因素作用下产生的位

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移必须相同的条件，由叠加原理，可得n次超静定结构的力法典型方程为

(4—1)

式中 Xi 为多余未知力(i=1、2、…、，2)；δ

ij

钆为基本结构仅由Xj=1 为多余未知力(j=1、

ic

2、…、n)产生的沿Xi 方向的位移、为基本结构的柔度系数；Δip、Δit、Δ分别为基

本结构仅由荷载、温度变化、支座位移产生的沿Xi 方向的位移，为力法典型方程的自由项；Δi为原超静定结构在荷载、温度变化、支座位移作用下的已知位移(如结构边界处的已知支座位移条件、杆件变形后的已知位移连续条件等)。

力法典型方程(4—1)也称为变形协调方程。其中第一个方程表示基本结构在n个多余未知力、荷载、温度变化、支座位移等共同作用下，在Xl作用点沿Xl作用方向产生的位移，等于原结构的已知相应位移Δ1；第二个方程表示基本结构在n个多余未知力、荷载、温度变化、支座位移共同作用下，在X2作用点沿X2作用方向产生的位移，等于原结构的已知相应位移Δ2。其余各式的意义可按此类推。

各多余未知力Xi的大小和方向必须受力法典型方程的约束，多余约束力与变形协调条件是一一对应的，故满足力法典型方程的各多余未知力的解是唯一真实的解。

同一超静定结构，可以选取不同的基本体系，其相应的力法典型方程也就表达了不同的变形协调条件。不管选取哪种基本体系，求得的最后内力总是相同的。

图4—2a所示体系为一次超静定结构，如取图4—2b所示的基本体系，则力法典型方程为δ11X1 +Δ1p=0；如取图4—2c所示的基本体系，则力法典型方程为δ11X1 +Δ1p= —X1l／EA。

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图4－2

对于图4—2d所示的一次超静定结构，如取图4—2e、f所示的基本体系，则相应的力法典型方程分别为δ11X1 +Δ1p=0、δ11X1 +Δ1p= —X1／kN。

图4—3a所示一次超静定结构的支座B有已知的竖向位移a，如取图4—3b所示的基本体系，力法典型方程为δ11X1 = －a；如取图4—3c所示的基本体系，力法典型方程为δ11X1 +Δ1C=0。

图4－3

(三)系数和自由项的计算

力法典型方程中的系数和自由项都是静定基本结构仅由单位力、实际荷载、温度变化、支座位移产生的位移，它们均可按上述各自的定义，用相应的位移计算公式计算。

力法典型方程中的系数δ

ii

称为主系数，它们恒为正值；δij（i ≠ j)称为副系数，

它们可为正值、负值、也可为零，根据位移互等定理有δij＝δji；各自由项的值可为正值、负值、也可为零。

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(四)计算超静定结构的内力

由力法典型方程求出各多余未知力Xi 后，将Xi 和原荷载作用在基本结构上，再根 据求作静定结构内力图的方法，作出基本结构的内力图就是超静定结构的内力图。或者也 可通过下述叠加方法，计算结构的最后内力。

(4—2)

式中Mi、Vi、Ni分别为Xi＝1引起的基本结构的弯矩、剪力、轴力；Mp、Vp、Np分别为荷载引起的基本结构的弯矩、剪力、轴力。

对梁和刚架，通常的做法是先根据式(4—2)中的第一式求出各杆端弯矩，再用直杆弯矩图的叠加法作出各杆的弯矩图，然后根据弯矩图由静力平衡条件求出各杆端的剪力和轴力，并据此作出剪力图和轴力图。 三、超静定结构的位移计算

超静定结构的位移计算仍应用变形体系虚功原理和单位荷载法。在具体计算时，为了使计算简便，其虚设状态(即单位力状态)可采用原超静定结构的任一静定基本结构。位移计算的一般公式如下。 (一)荷载作用引起的位移计算公式

（4—3）

(二)温度变化引起的位移计算公式

(三)支座位移引起的位移计算公式

(4—4)

（4—5）

上面三式中的Mi、Ni、Vi和Ri为虚设状态(原超静定结构的静定基本结构)的弯矩、轴力、剪力和支座反力；M、N、V、Mt、Nt、Vt、Mc、Nc、Vc分别为原超静定结构在荷载、温度变化、支座位移作用下产生的弯矩、轴力、剪力。

与静定结构一样，在符合一定的条件时，超静定结构的位移计算也可采用简化(实

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用)计算公式，以及采用图形相乘法代替积分计算。 四、超静定结构内力图的校核

超静定结构的内力图必须同时满足静力平衡条件和原结构的变形条件。 1．平衡条件校核

根据求得的反力和内力，取整个结构或结构的任一部分为隔离体，校核其是否满足静 力平衡条件。 2．变形条件校核

根据已求得的内力计算超静定结构的位移，校核其是否与原结构的已知位移条件一致。 对于具有无铰闭合外形的结构，在荷载作用下，校核任一切断截面两侧的相对转角时，位移条件的校核公式可简化为

(4—6)

[例4－1] 图4－4a所示超静定刚架，受均布荷载q、温度变化t1＝1.5t0C，t2＝2.5t0C， 支座A顺时针向转动φA等因素共同作用，试求作其M图，并按变形条件校核M图。杆件横截面为矩形，高为h=l ／10，EI为常数，线膨胀系数为α。

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图4－4

[解]

(1)取图4—4b所示的力法基本体系。 (2)力法典型方程为δ11X1 +Δ1p+Δ1t+Δ1c=0 (3)计算系数和自由项

基本结构的Ml、Nl、Mp图分别如图4—4c、d、e所示。杆件轴线处的温度变化为 t0=2t℃，杆件两侧的温度差为Δt=t℃。于是由位移计算公式可求得

(4)求基本未知力Xl 由力法典型方程得

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(5)作M图

M如图4－4f所示。

(6)根据原结构的已知位移条件校核M图 校核A截面的转角。

五、等截面直杆的转角位移方程(刚度方程)

位移法是以杆件的转角位移方程作为计算基础的。转角位移方程表示杆件两端的杆端 力与杆端位移之间的关系式。

(一)平面桁架杆件(图4—5)

图4－5

(4—7)

式中u、N分别表示杆端的轴向位移和轴向力，沿杆轴方向自A向B时为正。式(4—7)称为拉、压杆的刚度方程。

(二)两端固定的平面等截面直杆(图4—6a)

(4—8)

式中 i = EI／l称为线刚度。杆端截面转角θA、θB、弦转角β = ΔAB／l，杆端弯矩MAB、MBA，固端弯矩MABF、MBAF均以顺时针向转动为正。杆端剪力QAB、QBA，固端剪力QABF、QBAF均以绕隔离体顺时针向转动为正。图4—6所示杆端位移、杆端弯矩、杆端剪力的方向均为正号。

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图4－6

(三)一端固定另一端铰支的平面等截面直杆(图4－6b)

(4—9)

(四)一端固定另一端定向(滑动)支座的平面等截面直杆(图4－6c)

(4—10)

式(4—9)、(4—10)中各符号的意义及正、负号规定均与式(4—8)相同。式(4—8)、(4—9)、(4—10)称为前述各相应杆件的转角位移方程，式中含有θA、θB、ΔAB的各项分别代表该项杆端位移引起的杆端弯矩和杆端剪力，其前面的系数称为杆件的刚度系

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数，它们只与杆件的长度l、支座形式和抗弯刚度EI有关，又称为形常数。而固端弯矩、固端剪力则为仅由荷载产生的杆端弯矩、杆端剪力，它们均与荷载有关，几种常见荷载产生的固端弯矩和固端剪力见表4—1。

等截面直杆的固端弯矩和固端剪力 表4—1

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六、位移法的基本未知量

位移法以结构的刚结点的角位移和的结点线位移为基本未知量。角位移数等于刚性结点的数目。确定刚架的结点线位移数时，如果杆件的弯曲变形是微小的，且忽略受弯直杆的轴向变形，则刚架的结点线位移数就是刚架铰结图的自由度数(即运动的几何参数)。所谓刚架的铰结图就是将刚架的刚结点(包括固定支座)都改成铰结点后所形成的体系。如图4—7a所示刚架的结点角位移未知数等于7，在刚架铰结图的结点1、2、3处增设三根支杆后成为几何不变(图4—7b)，即该铰结图的自由度为3，故刚架的全部结点位移未知数等于10。

图4－7

如果考虑杆件的轴向变形，则平面结构每个结点的线位移未知数为2。如图 4—7a所示刚架的结点线位移未知数为2×7＝14。

图4—7c所示刚架，其横梁不能弯曲，当不考虑各杆轴向变形时，两个刚结点不能转动，只有一个的结点线位移未知量。图4—7d所示结构，如果考虑柱顶轴力杆的轴向变形，而不计受弯杆柱子的轴向变形，则有两个的结点线位移未知量。

七、位移法的基本原理

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(一)位移法基本体系

在结构的结点角位移和的结点线位移处增设控制转角和线位移的附加约束，使结 构的各杆成为互不相关的单杆体系，称为原结构的位移法基本结构。位移法基本结构在各 结点位移、外荷载(有时还有温度变化、支座位移等)作用下的体系称为位移法基本体系。图4—8a所示刚架的基本体系如图4—8b所示。

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图4－8

(二)位移法典型方程及其意义

为了使基本体系与原结构的受力情况相同，可以根据基本结构在给定荷载、温度变化、支座位移和各基本未知节点位移共同作用下，各附加约束中的总约束力等于零的条件建立位移法典型方程。对于有n个未知量的结构，位移法典型方程为

(4—11)

式中 Δi为结点位移未知量(i＝1、2、…、n)；Kij为基本结构仅由于Δj＝1(j＝1、2、…、n)在附加约束i中产生的约束力，为基本结构的刚度系数；Rip、Rit、Ric分别为基本结构仅由荷载、温度变化、支座位移作用，在附加约束i中产生的约束力，为位移法典型方程的自由项。

位移法典型方程(4—11)表示静力平衡方程。其中第一个方程表示基本结构在n个未知结点位移、荷载、温度变化、支座位移等共同作用下，第一个附加约束中的约束力等于零；第二个方程表示基本结构在n个未知结点位移、荷载、温度变化、支座位移等共同作用下，第二个附加约束中的约束力等于零。其余各式的意义可按此类推。 各未知结点位移的大小和方向必须受位移法典型方程的约束，各结点位移与平衡条件 是一一对应的，故满足位移法典型方程的各未知结点位移的解是唯一真实的解。 (三)系数和自由项的计算

位移法典型方程中的系数和自由项都是附加约束中的反力，它们都可按上述各自的定 义，利用各杆的刚度系数、固端弯矩、固端剪力由平衡条件求出。对于基本结构由支座位 移引起的固端力，也可由杆件的刚度系数求得。

位移法典型方程中的系数Kii称为主系数，它们恒为正值；Kij(i≠j)称为副系数，它们可为正值、负值、也可为零，根据反力互等定律，有Kij＝Kji；各自由项的值可为正

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值、负值，也可为零。 (四)计算结构的最后内力

由位移法典型方程求出各未知节点位移Δi后，便可由叠加原理计算结构的最后内力：

(4—12)

式中 Mi、Vi、Ni分别为Δi＝1引起的基本结构的弯矩、剪力、轴力；Mp、Mt、Mc、Vp、Vt、Vc、Np、Nt、Nc、分别为基本结构由荷载、温度变化、支座位移引起的弯矩、剪力、轴力。

对梁和刚架，通常是先根据式(4—12)中的第一式求出各杆端弯矩，再用直杆弯矩图的叠加法作出各杆弯矩图，然后根据弯矩图由静力平衡条件求出各杆端剪力和轴力，并据此作出剪力图和轴力图。

在位移法的具体计算方法方面，除了上述基本体系与典型方程法外，还可直接通过建 立结点和截面的平衡方程，得到位移法基本方程。

位移法不仅可以计算超静定结构的内力，也可以计算静定结构的内力。

[例4－2] 用位移法计算并绘制图4—9a所示刚架的M图。

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图4－9

[解] 此刚架B点左边为静定悬臂梁，B端的弯矩是静定的，故原结构ABCD部分的内力与图4—9b所示结构是相同的。

图4—9b所示刚架有两个结点位移未知量Δ1、Δ2。基本结构的M1、M2、Mp图分别如图4—9c、d、e所示，图中i＝EI／4。

分别取图4—9c、d、e结点C的隔离体，并由该隔离体的平衡条件∑M＝0，得

分别取图4—9d、e柱顶以上部分为隔离体，并由隔离体的平衡条件∑X＝0，得

于是位移法典型方程为

解得

求得的Δ1、Δ2均为正，表示假定的Δ1、Δ2的方向与位移的实际方向是一致的。

由M＝M1Δ1＋M2Δ2＋Mp求出各杆端弯矩后，就可绘出图4—9f所示的弯矩图。

[例4—3] 用力矩分配法求作图4—12a所示刚架的弯矩图，并根据弯矩分配法的概念求结点A的转角θA。各杆EI相同。 [解]

(1)在结点A处设置附加转动约束，按表4—1计算各杆固端弯矩。

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将各固端弯矩值填写在相应杆端处，并在其下绘一横虚线(图4—12b)。 (2)计算S、μ、C 设i＝EI／8，则

将各分配系数记在图4—12b中的相应截面处。 (3)弯矩分配和传递

将结点A上的固端弯矩代数和反号(即—Mj)，按式(4—14)进行弯矩分配得各截面的分配弯矩，并在每一分配弯矩下绘一横实线，然后将分配弯矩按传递系数传至杆件的另一端。计算过程示于图4—12b。 (4)求最后杆端弯矩并作M图

将各杆端截面的固端弯矩、分配弯矩、传递弯矩叠加，即得各杆最后杆端弯矩，如图4—12b中绘双实线的数值。M图如图4—12c所示。 (5)求结点A的转角θA

根据变形协调条件，结点A的转角与相交于结点A的AB、AC、AD杆的A端截面转角是相同的，由弯矩分配法或杆件转动刚度的概念，可知

由力矩分配法的概念可知，若单结点连续梁(或刚架)结点处的固端弯矩代数和等于零，则该结点不会产生转动，也就不存在分配弯矩。

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图4－12

八、等截面直杆的转动刚度及弯矩传递系数

转动刚度SAB表示AB杆的A端抵抗转动的能力，其值等于A端转动单位转角时A端所需施加的力矩，力矩值的大小与B端的约束情况及杆件的弯曲刚度有关。图4—10a、b、c所示三种等截面直杆的转动刚度示于图中。

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图4－10

力矩传递系数CAB表示AB杆A端转动θ时，B端的弯矩MBA与A端的弯矩MAB之比，即

(4—13)

其数值与B端的约束情况有关。图4—l0a、b、c所示三种等截面直杆的传递系数都表示在图中的相应位置。

九、结点无线位移的单结点连续梁或刚架的力矩分配法

图4－11

力矩分配法的原理是位移法。当结点无线位移的单结点连续梁或刚架在结点A处受顺时针方向的力矩Mj作用时(图4—11)，用位移法可求得结点A的转角θA为

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相交于结点A的杆端截面的分配弯矩为

即任一杆端截面的分配弯矩的一般表达式为

(4—14)

任一杆端截面的弯矩分配系数的一般表达式为

这时AB杆B端的传递弯矩为

(4—15)

对结点无线位移的单结点连续梁(或刚架)在结点力矩这一特殊情况下，上述各截面的分配弯矩和传递弯矩，就是各截面的最终弯矩。

在力矩分配法中，杆端弯矩的正、负号规定与位移法相同。

【例 11 - 4 - 4 】 用力矩分配法求作图 11 – 4-13a 所示刚架的弯矩图，并根据弯矩分配法的概念求结点 A 的转角θA。各杆 EI 相同。

【 解 】 （ 1 ）在结点 A 处设置附加转动约束，按表 1 卜 41 计算各杆固端弯矩。

将各固端弯矩值填写在相应杆端处，并在其下绘一横虚线（图 11-4 - 13b ）

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将各分配系数记在图 11 - 4 - 13b 中的相应截面处。

十、对称性的利用

结构的形状、支承条件和刚度(材料性质和截面)等都对称于某根轴线时称为对称结构。

对称结构在正对称荷载作用下其内力和变形是正对称的；在反对称荷载作用下，其内力和变形是反对称的。据此，在结构分析中，可利用结构的对称性，以简化计算。 (一)选取对称的基本体系

对称结构选取对称的基本体系后，可使计算得到如下的简化。

1．对称结构受任意荷载作用下，选取对称的基本体系后，力法典型方程分解为的两组，其中一组只含正对称未知力，另一组只含反对称未知力。

2．对称结构在正对称荷载作用下，选取对称基本体系后，反对称的未知力等于零，只需求解正对称的未知力。

如图4—13a所示结构，选取图4—13b所示对称基本体系，反对称未知力X3 = 0，X4 = 0。

3．对称结构在反对称荷载作用下，选取对称基本体系后，正对称未知力等于零，只需求解反对称未知力。

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如图4—14a所示结构，选取图4—14b所示对称基本体系，正对称未知力X1 = 0，X2 = 0。 对称结构在任意荷载作用下，有时也可将荷载分解成正对称和反对称两种，再分别利用上述第2、3点简化结论进行计算，然后将两种结果叠加得原结构的最后解。

图4－13

图4－14

(二)半结构法

利用对称结构在对称轴处的受力和变形特点，可截取结构的一半，以简化计算。 1．奇数跨对称结构

图4—15a所示奇数跨对称结构受正对称荷载作用，横梁跨中截面的反对称剪力为0，且该截面的反对称转角为零，故可取图4—15b所示的半结构进行计算。

图4—16a所示奇数跨对称结构受反对称荷载作用，横梁跨中截面的对称未知力为0，且该截面的对称竖向位移为零，故可取图4—16b所示的半结构计算。

其他三跨、五跨等奇数跨对称结构(单层或多层)均可按此取相应的半结构计算。

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图4－15

（a）

（b）

图4－16

（a）

（b）

图4－17

2．偶数跨对称结构

图4—17a所示对称结构受正对称荷载作用，若不计杆件的轴向变形，则横梁中间结点不产生线位移及角位移，中间的竖柱不产生弯矩和剪力，故可取图4—17b所示的半结构计算。至于中间竖柱的轴向力，可根据半结构中相应支座的竖向反力的2倍来确定。

图4—18a所示结构，中间竖杆的两端结点能产生相同的竖向线位移，但不能产生反对称转角，也不会产生水平线位移，中间竖杆就不会产生弯曲变形，这相当于该杆的弯曲刚度EI= ∞。因此可取图4—18b所示的半结构计算。

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图4—19a所示对称结构受反对称荷载作用，可取图4—19b所示的半结构计算。 其他四跨、六跨等偶数跨对称结构(单层或多层)，均可按此取相应的半结构图计算。

（a）

（b）

图4－18

（a）

（b）

图4－19

【 例 11 - 4 -5】 图 11 - 4 - 21a 所示对称结构受两个结点水平荷载护作用，同时 CE 杆有制造误差-λ（缩短），刀 F 杆有制造误差＋λ（伸长），试利用对称性用力法求出 CE 、 DF 杆的轴向力，并作出受弯杆的弯矩图。

【 解 】 （ l ）选取力法基本体系。本例为对称结构受反对称荷载及反对称杆件制造误差作用，为简化计算，可选取图 11-4-21b 所示的力法基本体系，其中反对称未知力X1= - X2，对称未知力 X3 = 0。

( 2 ）力法典型方程为

此典型方程的物理意义为；基本体系在多余未知力 X1= - X2 、荷载 P 及杆件制造误差同作用下， CE 杆和 DF 杆截口处的截面沿多余未知力 X1= - X2方向的轴向位移之和于零。

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本例及例11-4-1，等的计算结果表明，超静定结构在荷载作用下的内力，与各杆的EI、EA的相对比值有关，而与各杆的EI、EA的绝对值无关。但超静定结构在温度变化、杆件制造误差、支座位移等非荷载作用下，其内力与各杆EI、EA的绝对值有关。

【 例 11 - 4 -6 】 试利佣闯闹砸用力矩分配法求作图 n4 一 22a 所示连续梁的弯矩图。

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【 解 】 ( 1 ）利用对称性，取半结构计算，如图 11 – 4-22b 所示。 ( 2 ）计算固端弯矩

( 3 ）计算弯矩分配系数

将求得的固端弯矩和分配系数记入图 11-4-22b 的相应位置。

( 4 ）弯矩分配和传递的过程见图 11-4 - 22b 所示。经叠加后即可得各杆端的最后弯矩。

( 5 ）根据上面求出的各杆端弯矩作出的弯矩图如图 11-4 - 22 c所示。

十一、超静定结构的特性 超静定结构有下面几点主要特性

(一)同时满足超静定结构的平衡条件、变形协调条件和物理条件(力与变形的对应

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关系)的超静定结构内力的解是唯一真实的解。力法和位移法的解题方法虽然不同，但在这两个基本方法中，却都综合应用了结构的平衡条件、几何条件和物理条件。 (二)超静定结构在荷载作用下的内力与各杆EI、EA的相对比值有关，而与各杆EI、EA的绝对值无关。因此，在设计超静定结构之前，必须预先假定各杆的截面尺寸、选定材料的类别。待内力求出后，再复核截面尺寸，若截面尺寸不合理，还要重复计算。 另外，也可以通过改变各杆刚度比值的办法来达到调整结构内力分布的目的。 (三)超静定结构在非荷载因素(温度变化、杆件制造误差、支座位移等)作用下会产生内力(这种内力状态有时称为自内力状态)，且这种内力与各杆EI、EA的绝对值有关(成正比)。因此，为了提高结构对温度变化、支座位移等因素的抵抗能力，增大结构截面尺寸并不是有效的措施，为了减小自内力的不利影响，可以采用设置温度缝、沉降缝等构造措施。

(四)超静定结构由于存在多余约束，故它与相应的静定结构比较而言，超静定结构的内力分布较为均匀，刚度和稳定性都有所提高。

第五节 影 响 线

一、影响线的概念

一个方向不变的单位集中荷载在结构上移动时，表示结构某指定处的某一量值(反力、弯矩、剪力、轴力、位移等)变化规律的图线，称为该量值的影响线。它是研究结构在实际移动荷载作用下反力和内力等的变化规律的重要工具，通过它确定结构在移动荷载作用下反力和内力的最大值和最小值(最大负值)，作为设计的依据。 二、用静力法作静定梁的影响线 (一)双伸臂单跨简支梁的影响线

静力法作影响线是以单位集中移动荷载的位置x为变量，由静力平衡条件建立某量值的函数方程(影响线方程)，再按函数方程作影响线。

图5—1a所示双伸臂单跨简支梁有关量值的影响线的作法如下。 1．反力只RA、RB影响线

设A为坐标原点，x以向右为正，则分别由ΣMB＝0、ΣMA＝0得影响线方程

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(5－1)

影响线分别如图5—1b、c所示。设反力向上时为正，反之为负。

2．跨中任意截面C的弯矩Mc影响线(设使杆件下侧受拉的弯矩为正)和剪力Qc影响线(设绕隔离体顺时针向转动的剪力为正)。

横截断截面C，由隔离体的平衡条件 ΣMC＝0、ΣY＝0，得

据此作出的Mc、Qc影响线分别如图5—1d、e所示。 同理可作出图5—1f、g、h所示影响线。

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图5－1

(二)静定多跨梁的影响线

用静力法作静定多跨梁的影响线，首先区分基本部分和附属部分。由于单位集中力在基本部分移动时，对附属部分无影响，故按照前述单跨静定梁影响线的作法就可作出附属部分的影响线。作基本部分的影响线时，要分两种情况考虑：当单位集中力在基本部分移动时，仍可按前述单跨静定梁影响线的作法作其影响线；当单位集中力在附属部分移动时，由分析可知，基本部分某量值的影响线为直线，此直线可以根据铰接处影响线的竖标值为已知，以及在附属部分的支座处，该量值影响线为零的特点作出。用此法作出的图5—2所示静定多跨梁的影响线，如图5—2所示。

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图5－2

三、用机动法作静定梁的影响线

用机动法作静定梁影响线的基本原理是刚体系虚位移原理，即刚体系的平衡力系在符合刚体系约束条件的任意微小虚位移上所作虚功总和为零。具体做法是：如欲作量值X的影响线，只要去掉与X相应的约束，使体系成为机构，再使机构沿X的正方向产生单位虚位移，由此得到的承载杆沿P＝1方向的虚位移图，就是X的影响线。用机动法校核图5—2所示影响线，其结果必然与静力法所得结果一致。

机动法作影响线的主要优点是可以不经计算迅速作出影响线的轮廓，给设计工作带来方便。同时还可用以校核静力法所作影响线的正确性。

四、节点(间接)荷载作用下的影响线

图5—3所示结构，荷载通过纵梁、横梁(节点)传至主梁，主梁承受的是节点(间接)荷载。当P＝1在相邻两个横梁间移动时，主梁某量值按直线变化；而当P＝1作用在节点上时，相当于直接作用在主梁上，所以这种主梁某量值的影响线可按下法求作： 先作主梁某量值在直接荷载作用下的影响线，并用虚线表示；然后从各节点引竖线与直接荷载作用下的影响线相交，并将各相邻相交点用直线相连，就得到结点荷载作用下的影响线。图5—3所示主梁的影响线如图示。

图5－3

五、静定梁式桁架的影响线

根据下面几个要点就不难用静力法作出桁架有关量值的影响线。

（1）静定梁式桁架的反力影响线与相应静定梁的反力影响线相同。

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（2）桁架承受的移动荷载是通过结点传至桁架的，仍可应用前述求作结点荷载作用下影响线的方法，绘制桁架杆件的内力影响线。

（3）先用结点法和截面法建立桁架杆件内力的影响线方程，再根据方程作出影响线。 （4）桁架的承载形式有上承(荷载在上弦移动)和下承(荷载在下弦移动)之分。当上承或下承时，桁架中有些杆件的内力影响线是不同的。

图5—4a所示梁式桁架，设荷载在下弦或上弦移动。其反力影响线与相应简支梁的反力影响线相同。用静力法作出的影响线如图所示。

图5－4

六、影响线的应用

(一)利用影响线求量值(或称影响量) 1．集中荷载

图5—5表示一组位置、数值都已知的集中荷载及某量值S影响线。根据影响线的概念及叠加原理，该集中荷载组产生的量值S为

(5—2)

当一组集中荷载作用在影响线的某一直线部分时(图5—6)，则量值S为

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S＝Ry (5—3)

式中 R为集中荷载组的合力，y为与R对应影响线的竖标值。

图5－5

图5－6

2．分布荷载

图5—7所示分布荷载qx引起的量值S为

(5—4)

对于图5—8所示均布荷载的情况，量值S为

(5—5)

式中ω表示均布荷载作用范围内S影响线面积的代数和。

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图5－7

图5－8

[例5—1] 利用影响线求图5—9a所示静定梁截面C的弯矩Mc及剪力VC左、VC右之值。

图5－9

[解]

(1)作Mc影响线(图5—9b) (2)按式(5—2)、(5—5)得

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(3)作Vc影响线(图5—9c) (4)按式(5—2)、(5—5)得 VC左＝9kN VC右＝—26kN

(二)确定最不利荷载位置

荷载移动时，使结构上某量值发生最大值或最小值(最大负值)的荷载位置称为最不利荷载位置。

1．可任意断续布置的均布活荷载。

当均布活荷载可任意断续布置时，确定图5—10a所示静定多跨梁的支座反力RA、截面K的弯矩MK的最大值和最小值的方法如图5—10所示。如欲确定其他量值最大值、最小值以及连续梁某量值的最大值、最小值的荷载位置的方法可按此类推。

图5－10

2．行列移动荷载

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(1)当影响线为多边形时

桥式吊车、汽车及列车轮压等一组互相平行且间距不变的行列移动荷载对结构某量值产生的最大值或最小值，可以从极值影响量(影响量的极大值和极小值)中求得。当行列移动 荷载产生极值影响量时，一定有一个集中荷载处于影响线的某一个顶点，这个荷载称为临 界荷载，用Pcr表示，这时的行列移动荷载位置称为临界位置。可以按下面两种情况判别荷载的临界位置(设影响线处于直角坐标系的第一象限中)。 使影响量S成为极大值的临界位置的判别条件是： 行列荷载稍向右移(即Δx >0)，ΣRitanαi ≤0 行列荷载稍向左移(即Δx <0)，ΣRitanαi ≥0 使影响量S成为极小值的临界位置的判别条件是： 行列荷载稍向右移(即Δx >0)，ΣRitanαi ≥0 行列荷载稍向左移(即Δx <0)，ΣRitanαi ≤0 式中 Ri影响线某直线段内荷载的合力； αi 影响线某直线的倾角。

每个临界位置对应一个影响量S的极值，再从各极值中选出S的最大值或最小值，其相应的荷载位置就是最不利荷载位置。

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【例11- 5-3 】 试确定图 11 - 5 - 15a 所示吊车梁在吊车轮压作用下支座 B 的最大反力RBmax已知一台吊车的轮压P1＝P2 = 285kN ，另一台吊车的轮压P 3 ＝P4＝ 182kN ，轮距及最小车距如图 11-5 - 15 中所示。

【 解 】( 1 ）RB 影响线如图 11 - 5 - 15 吞所示。本例由于吊车轮压P2 、P3

的间距较小，由经验判断可知，只要将中间的两个荷载P2 、P3 分别置于影响线顶点试算即可。

( 2 ）将P2置于影响线顶点（图 11-5 - 15 。），由判别式（ 11 -5 - 8 ）得

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判别式变号，P2 是临界荷载，相应的影响量为

八、内力包络图概念

设计承受移动荷载的结构(如吊车梁、楼盖连续梁及桥梁结构等)时，需要求出每个截面的最大内力和最小内力(最大负值)。连接各截面最大、最小内力的图形，称为内力包络图。

实际工作中的内力包络图，应同时考虑恒载和移动荷载(活载)的作用，而且移动荷载还要考虑其动力作用的影响。具体作法是将考虑动力影响后的移动荷载产生的内力与恒载作用下的内力按可能发生的最大、最小内力叠加，根据各截面叠加后的最大、最小内力绘制内力包络图。

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第六节 结构动力特性及动力反应

一、结构动力计算的特点及动力自由度

与结构静力计算相比，结构承受周期荷载、冲击荷载、随机荷载等动力荷载作用时，结构的平衡方程中必须考虑惯性力的作用，有时还要考虑阻尼力的作用，且平衡方程是瞬时的，荷载、内力、位移等均是时间的函数。

由于在结构动力计算中要考虑惯性力、阻尼力的作用，故必须研究结构的质量在运动过程中的自由度。结构的动力自由度是指确定运动过程中任一时刻全部质量的位置所需的几何参数的数目。

实际结构的质量都是连续分布的，均为无限自由度体系。有时为了简化计算，将连

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续分布的质量用集中质量来代替，例如图6—1a、b、c、d所示体系，如果不计杆件轴向变形和集中质量的转动惯性，则其动力自由度分别为1、1、2、4。而图6—1e所示桁架的动力自由度为2，这是由于桁架杆件应考虑轴向变形。

图6－1

二、单自由度无阻尼自由振动方程、自振周期和自振频率

设y为沿质量m自由度方向某一时刻t的动力位移，则由达朗伯原理，得单自由度体系无阻尼自由振动方程为

令

(6—1)

则

(6—2)

式(6—1)中的

(6—3)

为惯性力；Ky为体系的弹性力，K(或δ)为体系在集中质量

处沿其自由度方向的刚度(或柔度)系数。

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设初位移为y0，初速度为，则式(6—3)的解为

或

(6—4)

y=Asin(ωt+φ) (6—5) 式中 A为振幅，φ为初相角。

式(6—5)为一周期函数，其周期为

(6—6)

T即为自振周期，自振周期的倒数称为频率，记作f：

f＝1／T (6—7)

f表示单位时间内的振动次数，常用单位为1／s，或称为赫兹(Hz)。 ω称为圆频率或角频率(有时习惯上也称为频率)，ω的单位为弧度／s。 自振频率ω的计算公式(6—2)又可表示为

结构自振周期T的计算公式为

(6—8)

(6—9)

式中 W＝mg为质量m的重量，g为重力加速度，Δst是体系在质量m处沿其自由度方向由重量W产生的静力位移。

从式(6—8)、(6—9)可知，结构的自振频率和自振周期只与结构的质量和刚度有关，它们是结构很重要的动力特性参数。只要改变结构的质量和刚度，就能改变结构的自振频率或自振周期。在质量相同的条件下，增大结构的刚度，频率也随之增大。

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图6－2

[例6—1] 求图6—2所示体系的自振频率ω，杆件的质量不计。

[解] 由图6—2b所示的弯矩图，可求得柔度系数δ＝l3／8EI，于是得自振频率为

图6－3

[例6—2] 求图6—3a所示体系的自振频率，横梁单位长度的质量为m，柱子质量不计。

[解] 按图6—3b所示弯矩图，可得刚度系数K为

于是得自振频率为

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[例6—3] 求图6—4a所示体系的自振频率，已知弹性支承C的刚度系数为K。 [解] 解法一。设任一时刻的运动状态如图6—4b所示，则质量A、D的惯性力分别为

＝0，得运动微分方程为

整理后得

即自振频率为

解法二。根据简谐振动的特性求解。 因为 y=Asin(ωt+φ) 所以

即简谐振动的位移、加速度、惯性力的时间变化因素相同，它们同时到达最大值。根据这个特性，可以在质量的位移达到幅值时，通过建立体系的平衡方程或位移方程求出自振频率。就本例而言，只要将图6—4b中的y改为A，改为－Aω2，再由ΣMB＝0，得

即得

少，弹性支承C的反力为2Ky。根据达朗伯原理，由ΣMB

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图6－4

[例6—4] 求图6—5a所示体系的自振频率。

图6－5

[解] 设B处质体m的水平位移幅值为A，则C处质体m沿垂直于AC方向的位移幅值为2A，与此对应的惯性力及由惯性力产生的M图如图6—5b所示。为了建立B处水平位移幅值A的方程，其单位力状态及相应的Mi图如图6—5c所示。将M图与Mi图进行图形相乘，得

于是得自振频率

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三、单自由度体系无阻尼强迫振动

设在质量m处沿质量自由度方向作用一般动力荷载P(t)，则由达朗伯原理，可得运动微分方程为

(6—10)

下面讨论常见动力荷载简谐荷载作用时结构的动力反应。

将简谐荷载 P(t) =P sinθt式(6—10)，这里P为荷载的幅值(最大值)，θ为简谐荷载的圆频率，得

(6—11)

设在t=0时体系的初始位移和初始速度均等于零，则式(6—11)的通解为

式中

(6—12)

(6—13)

为结构的最大静力位移，即将动荷载的最大值P作为静荷载作用时结构所产生的位移。

由式(6—12)可知，振动由两部分合成，第一部分按荷载频率θ振动，称为稳态强迫振动；第二部分按结构自振频率ω振动，称为伴生自由振动。实际问题中，稳态强迫振动较为重要。稳态强迫振动的最大位移(振幅)为

(6—14)

最大动力位移y(t)max与最大静力位移yst的比值称为位移动力系数，用μ表示，即

(6—15)

位移动力系数μ与频率比θ／ω的关系曲线如图6—6所示。当θ／ω <1时，μ为正，表示动力位移与动力荷载的指向一致。当θ／ω >1时，μ为负值，表示动力位

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移与动力荷载指向相反，这仅在不计阻尼时出现。既然位移随时间作简谐变化，而工程设计中，往往要求的是振幅绝对值，可不考虑μ的正负号，故图6—6的纵坐标采用μ的绝对值。

由图6—6可看出动力系数μ有如下一些特点。

1．θ／ω→0时，μ→1。与结构的自振周期相比，这时简谐荷载的数值随时间变化得相当慢，故可将简谐荷载作为静荷载处理。

2．0<θ／ω<1时，μ>1，且θ／ω增大时，μ亦增大。

3．θ／ω→1时，μ→∞，即结构自振频率接近于荷载频率时，振幅无限增大，这种现象称为共振。但由于实际问题中存在阻尼，共振时也不会出现振幅为无限大的情况，然而共振时的振幅比静位移大很多倍的情况是可能出现的，在工程中一般应设法避免这种情况出现，不过有时也可以充分利用这种现象。

4．θ／ω>1时，μ的绝对值随θ／ω值增大而减小，并趋近于零。当μ→0时，表明高频简谐荷载作用下，体系处于静止状态。

在单自由度结构上，当动力荷载与惯性力的作用点重合时，位移动力系数与内力动力系数是相同的，这时位移动力系数和内力动力系数可统称为动力系数。即结构最大内力与θ／ω之间的变化关系与上述结构位移幅值与θ／ω之间的变化关系是相同的。

图6－6

[6—5] 一电动机安装在两根并排放置的钢梁中点，梁的部分质量集中于梁的中点，与电动机质量合并后的总质量为m＝3000kg，梁的跨度l＝4m，钢的弹性模量E＝205．8GPa，两根梁的惯性矩I＝4200cm4，电动机正常运转时每分钟的转数为n＝860，电动机转动部分的偏心质量块的质量为mQ＝450kg，偏心矩e ＝0.267cm，试求梁中点的

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弯矩和挠度。

[解] 振动荷载的 θ和P为

钢梁在竖向单位力作用下的跨中挠度为

梁的自振频率为

动力系数为

梁的弯矩和挠度由梁与电动机的自重G及振动荷载P所产生。梁中点的弯矩和挠度分别为

（二）一般动力荷载

用冲量法或参数变易法可导出式（ 11-6 - 1 ）的特解为

下面应用式（ 11 -6 -16 ）讨论几种动荷载的动力反应。

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则动力系数μ＝ 2 ，即最大的动力反应发生在第一阶段。

则最大动力反应发生在第二阶段由式（ 11 一 620 ）可知知最大动位移为

于是动力系数μ为

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3 ．线性递减冲击荷载（图 11610 ) 荷载的表达式为

质量的位移反应可分两个阶段按式（ 11-6-16 ) 积分求得。

（ l ）两个阶段的动力位移

（ 2 ）最大位移反应

最大位移反应可用速度为零（即位移的一阶导数为零）这个条件下的时间值来计算。 最大位移反应在哪个阶段出现，这与比值 t / T 有关。计算表明，当 t T > 0 . 1 1/

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4 时，最大位移反应在第一阶段出现，否则，就在第二阶段出现。这种动力荷载作用下的单自由度体系的动力系数反应谱曲线如图11-611所示。

四、阻尼对振动的影响

（一）单自由度体系有阻尼自由振动 1 ．运动微分方程

由达朗伯原理，运动微分方程为

2.运动微分方程的解

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（二）单自由度体系有阻尼强迫振动 简谐荷载P(t)=Psinθt 这时运动微分方程为

上式的一般解由齐次解和特解组成。齐次解就是式（ 11 - 6 -30 ) ，特解为

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其中

由于阻尼的存在，按频率ωd振动的齐次解将逐渐衰减而最后消失。而特解按荷载频率θ 振动，它受动荷载的周期影响而不衰减，这部分又称稳态强迫振动。下面讨论稳态强迫振动。

式（ 11-6-44 ）可改写为

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【 例 11 - 6 - 6 】 有一机器基础，机器与基础的总重量 G = 78kN ，基础下地基的抗压刚度系数（即单位面积地基产生单位沉降时需加的压力） Cz = 0 . 612N / cm3，地基的阻尼比ξ=0 . 078 ，基础的底面积 F = 20 m2，机器运转时产生简谐荷载 Posinθt ，已知 P0 = 1020N , θ = 50rad / s 。求机器连同基础作竖向振动时的振幅 A 。

解 ( 1 ）求自振频率ω。

在基础底面积 20m2内的总抗压刚度系数 K 为

( 2 ）求动力系数μ

( 3 ）求振幅 A

五、多自由度体系的自由振动

分析多自由度体系的自由振动，可采用柔度法和刚度法。柔度法是通过建立体系的位移方程求解；刚度法是通过建立体系的平衡方程求解。

（一） 柔度法

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1.运动方程

n自由度体系的运动方程为

或简写为

2 ．自振频率

设方程(11-6-51 )的特解为

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解频率方程（ 11-6-53 ) ，可得 n 个自振频率ω k ( k = 1 、 2 、…、 n ) ，若按它们的数值由小到大依次排列，则分别称为第一、第二、… 第 n 频率，总称为体系自由振动的频谱，其中第一频率you称为基频。 3 ．主振型

将自振频率ωk 代回振幅方程（ 11 652 ) ，得

【 例 11 -6-7 】求图 11-6 - 14a 所示两自由度体系的自振频率、主振型、并校核主振型的正交性条件。

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( 3 ）求主振型由式（ 11 一 6 57 ）、（ 11 一 658 ) ，得第一、第二主振型分别为

（二）刚度法 1 ．运动方程

n 自由度体系的运动方程为

或简写为

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2 ．自振频率

3 ．主振型

将自振频率ωk代回振幅方程（ 11-6 一 61 ) ，得振型方程

【 例 11 - 6 -8】求图 11-6 - 15a 所示三层刚架的自振频率和振型，并校核振型的正交性条件

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【 解 】（ 1 ）求刚度矩阵[ K ]

（ 2 ）求主振型

（ 3 ）求主振型

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