固体物理复习题

3， 单胞：为反映晶格的对称性，选取了较大的周期单元 4， 晶列：布拉伐格子格点分列在一系列互相平行的直线系上 5， 每一个晶列定义了一个方向，称为晶向，如果从一个原子沿晶向到最近的原子的位移矢量为𝑙1𝒂1+𝑙2𝒂2+𝑙3𝒂3,则晶向用𝑙1，𝑙2，𝑙3表示，写成[𝑙1，𝑙2，𝑙3],标志晶向的注组数称为晶向指数

6， 平常用(ℎ1，ℎ2，ℎ3)来标记晶面系，称为密勒指数,|ℎ1|，|ℎ2|，|ℎ3|实际表面等距的晶面分别把基失𝑎1，𝑎2，𝑎3分割成多

少份 7， 根据基失𝒂1，𝒂2，𝒂3,定义三个新的矢量，称为倒格子基失量，𝒂1，𝒂2，𝒂3为基失构成布拉伐格子，以𝒃1，𝒃2，𝒃3,为基

失构成一个倒格子，倒格子每个格点位置为𝑮𝑛1𝑛2𝑛3=𝑛1𝒃1+𝑛2𝒃2+𝑛3𝒃3, 𝑮𝑛1𝑛2𝑛3为倒格子 8， 重叠排斥能：当邻近离子的电子云有显著重叠时，就出现陡峻上升的排斥作用

9， 结合能：把分散的原子结合成晶体，将有一定能量w释放出来，即为结合能ω=−𝑉(𝑟0)=

𝑁𝐴𝑟0

(1−𝑛)=4𝜋𝑞

1

𝑁𝑎𝑞2

0𝑟0

(1−𝑛)

1

10， 共价结合的两个基本特征：饱和性和方向性，方向性：原子只在特定的方向上形成共价键，饱和性：指一个原子

只能形成一定数目的共价键 11，

电离度：共价结合中离子性的成分𝑓𝑖=𝑃

𝑃𝐴−𝑃𝐵

𝐴+𝑃𝐵

=1+𝜆2;𝑓𝑖=1−exp[−

1−𝜆2

(𝑥𝐴−𝑥𝐵)2

4

]𝑥𝐴与𝑥𝐵之间差很大时𝑓𝑖→1，𝑓𝑖=

𝑐2/(𝐸ℎ2+𝑐2) 12， 晶体中的格点表示原子的平衡位置，晶格振动便是原子在格点附近的振动 13， 14， 15， 16，

简谐近似：v=∑3𝑁𝑖,𝑖=1(

21

𝜕2𝑣𝜕𝑢𝑖𝜕𝑢𝑗

)𝑢𝑖𝑢𝑗,体系的势能函数只保留至𝑢𝑖的二次方程

非简谐近似：在有些问题中需要考虑高阶项的作用 格波：晶格具有周期性，晶格的振动模具有波的形式 布里渊区：−<𝑞≤

𝑎

𝑎

𝜋

𝜋

17， 波恩卡曼条件：其模型需要一个有限链首尾相连,即𝑒−𝑖(𝑛𝑎𝑞)=1, 18， 声子：即指格波的量子，能量等于，声子不是真实粒子，常被称为准粒子 19， 元激发：最小当量激发单元，多体系集体运动激发单元 20， 波包：粒子空间分布在𝑟0附近的∆r范围内，动量取值为ℏ𝑘0附近ℏ𝑘0∆k 范围内，∆r与∆k满足测不准关系，波包中心𝑟0

为粒子位置，中心ℏ𝑘0 为粒子动量 21， 准动量：准经典运动中，ℏ𝑘具有类似于动量的性质 22， 有效质量：把晶体中电子准经典运动的加速度与外力直接联系起来与电子质量m有很大差别，𝑚∗中包含了周期的

作用 23， 共有化电子：固体中不再束缚于个别原子而是在整个固体内运动的电子 24， 布洛赫定理：当势场具有晶格周期时，波动方程解φ(r+𝑅𝑛)=𝑒𝑖𝑘𝑅𝑛𝜓(𝑟) 25， 隧道效应：若上面能带可接纳电子，当电场足够强时，下面能带中的电子有一定几率穿透带隙到达导带，即为隧

道效应 26， 半金属：同时在导带中存在一定数量的电子，价带中存在一定数量的空状态，导带电子的密度比普通金属少几数

量级 27， 近满带：满带中缺少了少数电子就会产生一定的导电性 28， 空穴：当满带顶部附近有近空状态k时，整个能带中的电流，以及电流在外电场作用下的变化，完全如同存在一

个带正电荷q和具有正质量|𝑚∗|速度𝑉（k）的粒子一样

29， 费米面：在k空间E=𝐸F等能面称为费米面 30， 施主：杂质在带隙中提带有电子的能级；受主：杂质提供带隙中空的能级 31， n型半导体：主要含施主杂质的半导体，导体几乎完全依靠施主热激发到导带的电子，p型半导体：主要含受主杂

质的半导体，由于满带中有些中子激发到受主能级而产生许多空穴，半导体导电性主要依靠空穴 32， 33， 34，

色散关系：𝜔与q之间的关系，𝜔2=

4𝛽𝑚

𝑠𝑖𝑛2(2𝑎𝑞)

1

频率属于𝜔+的格波为光学波，属于𝜔−的为声学波 长声学波：把一维链看做连续介质时的弹性波

35，

𝜔𝑗（q）作为q的函数称为晶格振动谱，或称格波的色散关系

36， TA:横声学波，TO：横光学波，LA：纵声学波，LO:纵光学波，纵波原子位移平行于波的传播方向，横波原子位移

垂直于波的传播方向 37， 电偶极矩：正负离子间相互振动产生

1， 在边长为l的正方形中的N个自由电子，电子的能量𝐄(𝒌𝒙,𝒌𝒚)=𝟐𝒎(𝒌𝒙𝟐+𝒌𝒚𝟐) （1）求E~E+dE的状态数，（2）在T=0k时的费米能

解：（1） −𝟐𝒎(𝝏𝒙𝟐+𝝏𝒚𝟐)𝚿(𝒙,𝒚)=𝐄(𝒌𝒙𝟐,𝒌𝒚𝟐)𝚿(𝒙,𝒚)⟹𝝍=𝑨𝒆𝒊(𝒌𝒙𝒙+𝒌𝒚𝒚),A=𝑙2 由周期边界条件𝚿(𝐱+𝐥,𝐲)=𝚿(𝐱,𝐲) 得𝑒𝑖𝒌𝒙𝒍=1,∴𝒌𝒚=𝐄(𝒌𝒙,𝒌𝒚)=

𝟐

𝟐

𝒉𝟐𝒌𝟐

𝟐𝝅𝒏𝒚𝒍

𝒉𝟐

𝝏𝟐

𝝏𝟐

1

𝟐

𝟐

𝒉𝟐

,𝒏𝒙,𝒏𝒚是整数

（𝟐𝝅）𝒍𝟐𝟐

每个k矢空间中占的体积△𝒌𝒙△𝒌𝒚=𝟐𝒎

2𝒍𝟐（𝟐𝝅）

2

𝟐𝑑𝑘=

2𝒍𝟐（𝟐𝝅）

𝟐，状态倒数：

𝒍𝟐

𝟐（𝟐𝝅）

在体积𝑑𝑘2中的状态数dz=由dE=

𝒉𝟐𝒎

2𝑚𝑙2

2𝜋𝑘𝑑𝑘

𝒌𝒅𝒌故dz=2𝜋ℎ2𝑑𝐸

𝐸0

𝑁

00

（2）𝐝𝐍=f(E)CdE,N=∫0𝐹𝐶𝑑𝐸=𝐶𝐸𝐹, ∴𝐸𝐹=𝐶 2,设长度为L的简单晶格，原子的质量为m，原子的间距为a，相互作用势𝐔(𝐚+𝛅)=−𝐀𝐜𝐨𝐬,试用简谐近似

𝒂

𝜹

求（1）色散关系，（2）模式密度D（u），（3）晶格热容量 解：(1)恢复系数β=𝑑𝛿2|𝛿=0=𝛼2 (2)模式密度D(ω)=

𝐿2𝜋𝑑2𝑢

𝐴

×2×𝑑𝜔1⁄𝑑𝑞

=

2𝑁𝜋1√𝜔2−𝜔02 (3)频率为𝜔的格波的振动能为：整个体系热振动能E=∫0则晶格热容C=𝑑𝑇=

𝑑𝐸

𝑑

𝜔0

𝑒ℏ𝜔

ℏ𝜔

ℏ𝜔⁄

𝑘𝐵𝑇−1𝑒

ℏ𝜔⁄

𝑘𝐵𝑇

𝑃(𝜔)𝑑(𝜔)

2𝜔1𝜔0∫𝑑𝑇0

ℏ𝜔ℏ𝜔⁄𝑘𝐵𝑇−1𝑒

𝜋√𝜔2−𝜔0

𝑑𝜔=22𝜔

⁄𝑘𝑇

𝐵𝜔0𝑒ℏ𝜔21𝑘𝑑𝜔(𝑁()∫𝐵ℏ𝜔⁄𝑘𝑇𝜋0𝑘𝐵𝑇√𝜔2−𝜔02𝐵−1𝑒

ℏ𝜔

=𝑎)

𝐿

3，证明第一布里渊区的状态数决定于晶体中的原胞树与晶体的结构无关 证明：设原胞数N，状态数m，状态数m=∑𝑘∈𝐵𝑧1

=

𝑉(2𝜋)3𝐵𝑧1

∫𝑑𝑘=

3

𝑉(2𝜋)3Ω=

∗

𝑉(2𝜋)3(2𝜋)3Ω

=𝑁

其中Ω为原胞体积，Ω∗为第一布里渊体积也即倒格子原胞体积ΩΩ∗=(2𝜋)3

4、有一一维单原子链，间距为a，总长度为Na。求（1）用紧束缚近似求出原子s态能级对应的能带E(k)函数。（2）求出其能态密度函数的表达式。（3）如果每个原子s态只有一个电子，求等于T=0K的费米能级EF及EF处的能态密度。 ＜解＞(1),E(k)sJ0J1(eika00eika)sJ02J1coskaE02J1coska

ikRs E(k)EJ0J(ps)e1N(2) ,N(E)2L2dk2Na 2dE2J1asinkaJ1sinka(3), N0kF002NakFNa00 2(k)2dk22kFkF22a00EFE(kF)E2J1cos2a0aEs,N(EF)NJ1sin2aaNJ1

1.3、证明：体心立方晶格的倒格子是面心立方，面心立方晶格的倒格子是体心立方。 证明：面心立方的倒格子是体心立方；体心立方的倒格子是面心立方。

aa1(jk)证明：（1）面心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢）： 2a(ik)a22aa32(ij)由倒格子基矢的定义：b10,a1(a2a3)a,2a,22(a2a3) a,20,a,2a2aa3240，

a2a3i,a,2a,2j,0,a,2kaa2(ijk)240

4a22b123(ijk)(ijk)a4a

同理可得：b2(ijk)即面心立方的倒格子基矢与体心立方的正格基矢相同。 a2b3(ijk)a2所以，面心立方的倒格子是体心立方。

（2）体心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢）：aa12(ijk)a(ijk)a22aa32(ijk)

由倒格子基矢的定义：b2(aa)

123a1(a2a3)a,2a,2a,2a,2a,2a,2a2aa322a2，

a2a3i,a,2a,2j,a,2a,2kaa2(jk)22a2

2a22b123(jk)(jk)

a2a同理可得：b22(ik)即体心立方的倒格子基矢与面心立方的正格基矢相同。故体心立方的倒格子是面心立方。 a2b3(ij)a1.4证明：倒格子的原胞体积为（𝟐𝛑）/𝐯𝐜，其中𝐯𝐜为正格子原胞的体积。

1.5证明：倒格子矢量𝐆=𝐡𝟏𝐛𝟏+𝐡𝟐𝐛𝟐+𝐡𝟑𝐛𝟑垂直于密勒指数为（𝐡𝟏𝐡𝟐𝐡𝟑）的晶面系。 证明：因为CAaaa1a3,CB23h1h3h2h3𝟑

，Gh1b1h2b2h3b3

利用aibj2ij，容易证明GhhhCA0

123Gh1h2h3CB0所以，倒格子矢量Gh1b1h2b2h3b3垂直于密勒指数为(h1h2h3)的晶面系。

1.6对于简单立方晶格，证明密勒指数为（h,k,l）的晶面系，面间距d满足：𝐝𝟐=𝐡𝟐+𝐤𝟐+𝐥𝟐,其中a为立方边长。 解：简单立方晶格：a1a2a3，a1ai,a2aj,a3ak 由倒格子基矢的定义：b21a2a3，a3a1，a1a2 b22b32a1a2a3a1a2a3a1a2a3aa𝐚𝟐

倒格子基矢：b2i,b2j,b2k

123a倒格子矢量：Ghb1kb2lb3，Gh2ik2jl2kaaa1hkl()2()2()2aaa

晶面族(hkl)的面间距：d2G，d2a2

222(hkl)2.1、两种一价离子组成的一维晶格的马德隆常数（2ln2）和库仑相互作用能，设离子的总数为2N。

＜解＞ 设想一个由正负两种离子相间排列的无限长的离子键，取任一负离子作参考离子（这样马德隆常数中的正负号可以这样取，即遇正离子取正号，遇负离子取负号），用r表示相邻离子间的距离，于是有

(1)1111 2[...] rjrijr2r3r4r前边的因子2是因为存在着两个相等距离ri的离子，一个在参考离子左面，一个在其右面，故对一边求和后要乘2，马德隆常数为

2[1...]2342xx3x4...， n(1x)xx34234n111当X=1时，有1111...2

2n22.2讨论使离子电荷加倍所引起的对NaCl晶格常数及结合能的影响（排斥势看做不变）

解：

23.7、设三维晶格的光学振动在q=0附近的长波极限有(q)0Aq

求证：f()V11/2,0;f()0,0. 023/24A2212＜解＞0时，0Aq0f()0,00AqqA依据q(q)2Aq,f()32012

Vds，并带入上边结果有

q(q)dsV1A1/2V11/2f4 0331/2223/202q(q)22A02AV2.3、若一晶体的相互作用能可以表示为 u(r)试求：（1）平衡间距r0；（2）结合能W（单个原子的）；（3）体

mnrr弹性模量；（4）若取m2,n10,r03A,W4eV，计算及的值。 解：（1）由du(r)drrr0m，有：mn0r00nn1r0m1r0.1mnnm1nm

（2）单个原子的结合能

1mnn1mn1)m ， W(1)()nm Wu(r0)，u(r0)(mn)，r0(m2nm2rrrr02U)VV0 （3）体弹性模量K(V20晶体的体积VNAr，A为常数，N为原胞数目 晶体内能U(r)3NUUrNmn1 (mn) ， (m1n1)2rrVrV2rr3NAr22U2UNrmn1[()] ，2V22Vrrm1rn13NAr2V由平衡条件

VV0N1m2n2mn[mnmn] 29V02r0r0r0r0UVVV0mnNmn1n ，得(m1n1)0m2r0r02r0r03NAr02UV2VV0N1m2n22U[mn] ， 229V0r0r0V2VV0VV0N1mnNnm[n] [mn]2m2mn29V0r0r029V0r0r02UNU0(mn)

2r0r0V210（4）r0218mnmnKU(U) ； 体弹性模量 009V09V02 U(r)0

52018 ①

45r02(r085代入)rr.10

WU(r0)44eV5r02 ②

19将r03A，1eV1.60210J代入①②

7.2091038Nm2 9.45910115Nm23.1、已知一维单原子链，其中第j个格波，在第n个格点引起的位移为，njajsin(jt_naqjj)，j为任意个相位因子，并已知在较高温度下每个格波的平均能量为，具体计算每个原子的平方平均位移。 ＜解＞任意一个原子的位移是所有格波引起的位移的叠加，即

nnjajsin(jtnaqjj) （1）

jj2*2* nnjnjnjnjnjjjjjj由于njnj数目非常大为数量级，而且取正或取负几率相等，因此上式得第2项与第一项相比是一小量，可以忽略不计。所以n2j2nj,由于nj是时间t的周期性函数，其长时间平均等于一个周期内的时间平均值为

2j1T0T00a2jsin(jtnaqjj)dt12aj2 （2）

已知较高温度下的每个格波的能量为KT，nj的动能时间平均值为

1TnjT0L0dxT001dnj2wja2T01 jdtLa2sin(jtnaqjj)dtw2La2jjj02dt2T04其中L是原子链的长度，使质量密度，T0为周期。 所以T1w2La21KT （3）

njjj42KT 2因此将此式代入（2）式有njPL2jKTKT2所以每个原子的平均位移为 2njn2jjPLjPLj12j

4.1、根据ka状态简并微扰结果，求出与E及E相应的波函数及?，并说明它们的特性．说明它们都代表驻波，

2*并比较两个电子云分布说明能隙的来源(假设Vn=Vn)。

＜解＞令ka，kak0(x)Bk0(x) ，简并微扰波函数为A0*E(k)EAVnB0

VnAE0kEB0 取EE ，带入上式，其中E0k0kE0(k)Vn

AV(x)<0,Vn0,从上式得到B= -A,于是，A(x)(x)Lnxixina2Anasinx =eeaLnxixina2Anacosx ee=aLA00(x)(x)取EE，EE0(k)Vn VnAVnB,得到AB，AkkL 由已知，及均为驻波． 在驻波状态下，电子的平均速度(k)为零．产生驻波因为电子波矢kna时，电子

波的波长22a，恰好满足布拉格发射条件，这时电子波发生全反射，并与反射波形成驻波由于两驻波的电子分布

kn不同，所以对应不同代入能量。

3.2、讨论N个原胞的一维双原子链（相邻原子间距为a），其2N个格波解，当M= m时与一维单原子链的结果一一对应。 解：质量为M的原子位于2n-1， 2n+1， 2n+3 ……；质量为m的原子位于2n， 2n+2， 2n+4 ……。

牛顿运动方程

m2n(22n2n12n1)M2n1(22n12n22n)

N个原胞，有2N个的方程

设方程的解

2nAei[t(2na)q]2n1Bei[t(2n1)aq]，代回方程中得到

22m22cosaq(2m)A(2cosaq)B0,A、B有非零解，0，则 222cosaq2M(2cosaq)A(2M)B01(mM)4mM2{1[1sinaq]2} 2mM(mM)2两种不同的格波的色散关系

1(mM)4mM2{1[1sinaq]2}2mM(mM)22(mM)4mM{1[1sin2aq]}2mM(mM)12

一个q对应有两支格波：一支声学波和一支光学波.总的格波数目为2N.

当Mm时

4aqcosm24aqsinm2，

两种色散关系如图所示： 长波极限情况下q0，sin(qaqa， )22(2m)q与一维单原子晶格格波的色散关系一致.

3.3、考虑一双子链的晶格振动，链上最近邻原子间的力常数交错地为和10，两种原子质量相等，且最近邻原子间距为

a2。试求在q0,qa处的(q)，并粗略画出色散关系曲线。此问题模拟如H2这样的双原子分子晶体。

答：（1）

浅色标记的原子位于2n-1， 2n+1， 2n+3 ……；深色标记原子位于2n， 2n+2， 2n+4 ……。

第2n个原子和第2n＋1个原子的运动方程： m2n(12)2n22n112n1

m2n1(12)2n112n222n体系N个原胞，有2N个的方程 方程的解：2nAe1i[t(2n)aq]21i[t(2n1)aq]21aq222，令11/m,22/m，将解代入上述方程得：

2n1Be2121222()A(e(ei1aq221ie22i1aq2)B0

e22i1aq222)A(122)B0A、B有非零的解，系数行列式满足：

(),(e21i1aq221222(e1aq221i1aq2e22i1aq2)0

e22i22),(122)2(1222)2(12ei1aq222ei1aq2)(12ei1aq222ei1aq2)0

()(e21222221i1aq2e22i1aq2)(e21i1aq2e22i1aq2)0

因为1、210，令22c,210c102得到

0120mm24(1102)2(10120cosaq)00

2两种色散关系：20(1120cosqa101)

2当q0时，20(11121)，220

0当q22时，0(1181)，200 a20（2）色散关系图：

3.6 计算一维单原子链的频率分布函数ρ (ω)

4.2、写出一维近自由电子近似，第n个能带(n=1，2，3)中，简约波数k*k2a的0级波函数。

)x1ikx1ikxi2amx1i2axi2amx1i2a(m14eeeeee＜解＞(x) LLLL第一能带：m0,m0,*(x)1ei2ax

k2aL2ixxi1i3*第二能带：bb则bb,m22,即m1a2a 2a（,e=e）k(x)eaaL25ixixix2211*2aa第三能带：cc,m,即m1,k(x)eee2a

aaLL

4.3、电子在周期场中的势能函数为

122m2b(xna), 当nabxnab 2V(x) 0 ， 当(n-1)a+bxnab

其中d＝4b，是常数．试画出此势能曲线，求其平均值及此晶体的第一个和第二个禁带度．

＜解＞(I)题设势能曲线如下图所示．

(2)势能的平均值：由图可见，V(x)是个以a为周期的周期函数，所以

V(x)11a1abV(x)V(x)dxV(x)dx LbbLaa题设a4b，故积分上限应为ab3b，但由于在b,3b区间内V(x)0，故只需在b,b区间内积分．

1bm2b22m2这时，n0，于是 VV(x)dx(bx)dxab2ab2a（3），势能在[-2b,2b]区间是个偶函数，可以展开成傅立叶级数

2bxbb1x33bb12。 mb6V(x)V0mm22bm1bmVmcosx,VmV(x)cosxdxV(x)cosxdx2b2b02bb02bm2第一个禁带宽度Eg12V1,以m1代入上式,Eg1b利用积分公式ucosmudub0(b2x2)cosx2bdx

2u2musinmu2cosmu3sinmu得 2mmEg116m23b2第二个禁带宽度Eg22V2,以m2代入上式,代入上式

b22m2Eg2b0(bx)cosxbdx再次利用积分公式有Eg22m22b2

4.4、用紧束缚近似求出面心立方晶格和体心立方晶格s态原子能级相对应的能带Es(k)的函数。 解：（1）如只计及最近邻的相互作用，按照紧束缚近似的结果，晶体中S态电子的能量可表示成：

Es(k)sJ0Rs近邻J(Rs)eik(Rs)

在面心立方中，有12个最近邻，若取Rm0，则这12个最近邻的坐标是： ①

aaaaaaaa(1,1,0),(1,1,0),(1,1,0),(1,1,0) ， ②(0,1,1),(0,1,1),(0,1,1),(0,1,1) 22222222aaaa(1,0,1)(1,0,1),(1,0,1),(1,0,1) 2222③

由于S态波函数是球对称的，在各个方向重叠积分相同，因此J(RS)有相同的值，简单表示为J1=J(RS)。又由于s态波函数为偶宇称，即s(r)s(r)

∴在近邻重叠积分J(Rs)i(Rs)U()V(Rs)i()d中，波函数的贡献为正，∴J1＞0。

ss于是，把近邻格矢RS代入E(RS)表达式得到：E(k)SJ0J1*Rs近邻aaa(kxky)i(kxky)i(kxky)i(kxky)ia=SJ0J1e2 e2e2e2eikRs

eai(kykz)2eai(kykz)2eai(kykz)2eai(kykz)2+eai(kxkz)2eai(kxkz)2eai(kxkz)2eai(kxkz)2 aaaa =SJ02J1cos(kk)cos(kk)cos(kk)cos(kk)xyxyyzyz2222acos(kzkx)cos(kzkx)

2cos()cos()2coscos

aaaaaakxcoskycoskycoskzcoskzcoskx 222222aaaa（2）对于体心立方：有8个最近邻，这8个最近邻的坐标是：(1,1,1),(1,1,1),(1,1,1),(1,1,1)

2222=sJ04J1cosaaaaaaa(1,1,1),(1,1,1,),(1,1,1),(1,1,1) ， Es(k)sJ08J1(coskxcoskycoskz)

2222222

4.12、正方晶格．设有二维正方晶格，晶体势为Ux,y4Ucos2xcos2y.

aa用基本方程，近似求出布里渊区角,处的能隙．

aaˆ,bˆˆ,ˆj表示位置矢量的单位矢量，以b ＜解＞以i12表示倒易矢量的单位矢量，则有，

2ˆGbˆˆyiˆ,GG1brxi122a ˆgbˆ,g,g为整数。gb112212晶体势能Ux,y4Ucos2xcos2y.

aa222xixiyiyi2iG11UrUeeeeUG11eG11其中UG11U，而其他势能傅氏系数UG10UG20...0。这样基本方程

kCKUGG(KG)0变为

GKCKUG11CKG11UG11CKG11UG11CKG11UG11CKG110求布里渊区角顶即kG(1,1)1G11处的能隙，可利用双项平面波近似

222，

,aaC(K)eiKrC(KG)ei(KG)r来处理。

当K1G11,K1G11时依次有

22KG1111G11,KG11G11而其他的KG11， 2211KG11G11，所以在双项平面波近似下上式中只有CG11,CKG11CG11; 2211CG11,CKG11CG11;2211 1G11CG11UCG110222111G11CG11UCG11022212G11 u

1G112 u  =0，因为

22212G111G1121G112mma2222由行列式有()U0解得=U2222maU,

所以在（,-）处的能隙为=+2u.

aa

