2.4 线段的和与差
【基础练习】
知识点 1 线段和与差的表示 1.根据图1填空: (1)CD=BD- ; (2)BC= -AB;
(3)AC=AB+ =AD- .
图1
2.如图2,下列关系式中与图不符的是 ( )
图2
A.AD-CD=AC B.AB+BC=AC C.BD-BC=AB+BC D.AD-BD=AC-BC
3.在直线l上顺次取三个点A,B,C,使得线段AB=9 cm,BC=1 cm,那么A,C两点间的距离是 .
4.已知线段AB=3 cm,延长线段BA到点C,使BC=2AB,求AC的长.
知识点 2 线段和与差的作图
5.[教材例1变式] 已知线段a,b,小雪作出了如图3所示的图形,其中AD是所求线段,则线段AD= (用含a,b的式子表示).
图3
6.如图4,已知线段a,b(a>b),画线段AB,使AB=2a-2b.(不写画法,保留作图痕迹)
知识点 3 线段的中点
7.如图5,因为C是线段AB的中点,所以 = =1
2 , =2 =2 . 图5 8.点M在线段AB上,下面给出的四个式子中,不能判定M是线段AB的中点的是 ( A.AB=2AM B.BM=1
2AB C.AM=BM
D.AM+BM=AB
图4
)
9.如图6,C,D是线段AB上的两点,D是线段AC的中点.若AB=10 cm,BC=4 cm,则AD的长为
( )
图6
A.2 cm B.3 cm C.4 cm D.6 cm
10.如图7,已知线段AB=6 cm,线段AB的延长线上有一点C,且BC=4 cm,若M为线段AB的中点,则MC的长为 cm.
图7
11.如图8,B是线段AC上一点,且AC=6,BC=2. (1)求线段AB的长;
(2)如果O是线段AC的中点,求线段OB的长.
图8
【能力提升】
12.如图9,已知线段AB=12,C为AB的中点,点D在线段AC上,且AD∶BC=1∶3,则BD的长度为 ( )
图9
A.4 B.8 C.10 D.6
13.已知线段AB=8 cm,在直线AB上画线段BC,使它等于3 cm,则线段AC等于 ( ) A.11 cm
B.5 cm D.8 cm或11 cm
C.11 cm或5 cm
14.如图10,已知线段AB的长度为a,线段CD的长度为b,则图中所有线段的长度和为( )
图10
A.3a+b C.a+3b
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B.3a-b D.2a+2b
( )
15.延长线段AB到点C,使BC=AB,若AC=15,D为线段AC的中点,则BD的长为 A.4.5
B.3.5
C.2.5
D.1.5
16.如图11,已知线段AB的长为16 cm,点M在AB上,AMBM=13,P,Q分别为AM,AB的中点,则PQ的长为 .
图11
17.如图12,已知线段AB=80 cm,M为AB的中点,点P在MB上,N是PB的中点,且NB=14 cm,求MP的长.
图12
18.画线段MN=3 cm,在线段MN上取一点Q,使MQ=NQ,延长线段MN至点A,使AN=MN;延长线段NM至点B,使BN=3BM,根据所画图形解答下列各题: (1)求线段BM的长度; (2)求线段AN的长度;
(3)Q是哪些线段的中点?图有多少条线段?
19.如图13,点C在线段AB上,M,N分别是AC,BC的中点. (1)若AC=9,BC=6,求线段MN的长;
(2)若C为线段AB上任一点,满足AC+CB=a ,其他条件不变,猜想MN的长度,并说明理由.用一句简洁的话描述你发现的结论;
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(3)若点C在线段AB的延长线上,且满足AC-BC=b,M,N分别为AC,BC的中点,你能猜想MN的长度吗?请画出图形,写出你的结论,并说明理由.
图13
答案
1.(1)BC (2)AC (3)BC CD 2.C
3.10 cm [解析] 如图,AC=AB+BC=9+1=10(cm).
4.解:如图所示.因为BC=2AB,AB=3 cm, 所以BC=6 cm,
所以AC=BC-AB=6-3=3(cm).
5.2a-b 6.略
7.AC BC AB AB AC BC 8.D
9.B [解析] 因为D是线段AC的中点,所以AC=2AD.因为AC=AB-BC=10-4=6(cm),所以AD=3 cm.
10.7 [解析] 因为M是线段AB的中点,AB=6 cm,所以MB=AB=3 cm.因为BC=4 cm,所以MC=MB+BC=3+4=7(cm).
11.解:(1)由线段的和差,得AB=AC-BC=6-2=4. (2)由O是线段AC的中点,得OC=2AC=2×6=3. 由线段的和差,得OB=OC-BC=3-2=1.
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12.C [解析] 因为AB=12,C为AB的中点,所以AC=BC=6.因为AD∶BC=1∶3,所以AD=2,所以BD=AB-AD=12-2=10.
13.C [解析] 由于点C的位置不确定,故要分两种情况讨论: (1)当点C在点B右侧时,如图①所示,AC=AB+BC=8+3=11(cm).
图① 图②
(2)当点C在点B左侧时,如图②所示,AC=AB-BC=8-3=5(cm). 综上,线段AC等于5 cm或11 cm.
14.A [解析] 因为线段AB的长度为a,所以AB=AC+CD+DB=a.因为线段CD的长度为b,所以AD+CB=a+b,所以图中所有线段的长度和为AB+AC+CD+DB+AD+CB=a+a+a+b=3a+b.
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15.A [解析] 如图.因为BC=4AB,所以AC=BC+AB=4AB+AB=4AB.因为AC=15,所以AB=12.因为D是线段AC的中点,所以AD=2AC=2×15=7.5,所以BD=AB-AD=12-7.5=4.5.
16.6 cm [解析] 因为AB=16 cm,AMBM=13,所以AM=4 cm.因为P,Q分别为AM,AB的中点,所以AP=2AM=2 cm,AQ=2AB=8 cm,所以PQ=AQ-AP=6 cm. 17.解:因为N是PB的中点,NB=14 cm, 所以PB=2NB=2×14=28(cm). 因为M是AB的中点,
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所以AM=MB=2AB=2×80=40(cm), 所以MP=MB-PB=40-28=12(cm). 18.[解析] 正确作出图形是解题的关键.
解:根据题意画出图形,如图所示.
(1)因为MN=3 cm,点Q在线段MN上,MQ=NQ, 所以MQ=NQ=1.5 cm.
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又因为BM=3BN,
所以BM=MQ=NQ=1.5 cm.
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(2)因为AN=MN,MN=3 cm, 所以AN=1.5 cm.
(3)由题意,知BM=MQ=QN=NA,
所以Q既是线段MN的中点,也是线段AB的中点.
图有10条线段,它们分别是线段BM,BQ,BN,BA,MQ,MN,MA,QN,QA,NA. 19.解:(1)因为AC=9,M是AC的中点, 所以CM=2AC=4.5. 因为BC=6,N是BC的中点,
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所以CN=2BC=3,
所以MN=CM+CN=4.5+3=7.5, 所以线段MN的长为7.5.
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(2)MN=2a.理由:
因为M,N分别是AC,BC的中点,
所以MC=2AC,CN=2BC,
所以MN=MC+CN=AC+BC=(AC+BC)=AB=a.
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结论:当C为线段AB上一点,且M,N分别是AC,BC的中点时,MN=2a. (3)能.如图.
结论:MN=b.
理由:因为M是AC的中点,
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所以CM=AC. 因为N是BC的中点,
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所以CN=BC,
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所以MN=CM-CN=2(AC-BC)=2b.
