第二十一届“希望杯”全国数学邀请赛高二(第二试)

2010年4月11日 上午9：00至11：00

校名______ 班_________ 姓名________ 辅导老师_________ 成绩_____

一、选择题（每小题4分， 共40分）以下每题的四个选项中， 仅有一个是正确的，请将你认为正确答案的英文字母写在下面的表格中。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 题号 共得分 答案 1．已知不等式|xa||xb|1（其中a,b是常数）的解集是空集，则|ab|的取值范围是（ ）

(A) [0,1]． (B) (0, l) . (C)[l , +∞) . (D) (1, +∞). 2．若函数yx2ax1(aR)在区间[3,2]上单调递减，则a的取值范围是（ ）

(A)[1, +∞）. ( B)[-2, 0) . (C) (-∞，-3)． (D)（-∞，-27] 3．不等式24sinx1的整数解的个数是（ ）

(A) 1. (B) 2 . (C) 3 . ( D)无穷多．

( A ) 0 . ( B ) 4 . (C)-4 . ( D ) 4 或-4 .

5．Given the general term formula of sequence {an} is ann({an} is an increasing sequence , then the minimum of  is ( )

(A) 2 . (B) 3 . (C) 4 . (D) 5 . 6．已知x[0,2x4．若向量AB= (3, 4) , d =(-1, 1)，且d·AC=5，那么 d·BC=( )

11)n3.If Zand 23]，M3sinx333cosx，则M的最小值是（ ）

32(A) 23. (B) 3． (C) 3. (D) 43．

7．从1, 2, 3,4, 5, 6这六个数字中取三个，以替换直线方程axbyc0中的a,b,c,使直线与圆xy1相离，这样的直线有（ ）

(A) 34 条． (B) 36 条． (C) 18 条． (D) 17 条．

8．棱长相等的正四棱锥的相邻侧面所成的二面角的正切值等于（ ）

2231122. (B) . (C)- 22. (D) 22. 3312229．已知C：x(y)r与ysinx的图象有唯一交点，且交点的横坐标为，则

2sinsin32cos2的值等于（ ）

cos1 (A)-4. (B)-2. (C)- . (D) 4.

2(A) 10．已知点M在正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BB1上，且BB1=3BM，点P在底面ABCD内．若∠APA1=∠BPM，则点P的轨迹是（ ）

(A)圆的一部分． (B)椭圆的一部分．(C)双曲线的一部分．(D)抛物线的一部分．

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二、 填空题（每小题4分， 共40分）

11．若向量a≠e , | e |=1,对任意的tR,| a- te |≥| a-e |成立，则a·e = . 12．如果函数yex的图象与直线ykx(k0)只有一个交点，则k= .

13．数列｛an｝中，a1p,a2q(pq)，当n3时，anan1an2,则a2010= . 14．已知函数f(x)f()cosxsinx，则f()的值是 .

'15．如图1，以正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点C为顶点截得一个底面是正三角形的三棱锥C- EFG，设棱锥底面EFG与正方体对角线A1C的交点是M.若CE:CB=1:3，则CM:CA1= .

ba的最小值是 . 2a22b217．已知向量x 满足方程2x2+3a·x + 1=0,其中a =(1,2)，则 .

16．已知a,bR，且ab2，则

18．A line passes through point P (l，-1) intersects with parabola yx2, at pointsA, B equation of the locus of AB's midpoint is . 一 e一 th

19．如图2，一块材质均匀的圆形金属薄片（不计厚度）用圆域

图 1 x2y2表示，从中挖掉的两个小圆洞分别用圆域(x2)2(y4)24和(x3)2(y2)29表示（圆心依次为

A、B) ，则剩下部分的重心坐标是 .

x2y220．过双曲线221的右焦点的直线交双曲线的右支于A、B两

ab点，设F是双曲线的左焦点，e是双曲线的离心率，若△ABF是等腰

2直角三角形，且A90，则e= .

三、解答题（每题都要写出推导过程）

21. （本题满分10分）已知函数f(x)xbxcxd的图象经

yf(x)过点 A（-1, 2) ，且在点A处的切线方程为3xy10，的图象与y轴的交点位于坐标原点的下方，yf(x)在xx1与

32 图 2 xx2处取得极值，且|x1x2|22．求：

(l)函数f(x)的解析表达式； (2)函数f(x)的单调区间．

图 3

22.（本题满分15分）如图3，正四面体ABCD的棱长是1，P是△

BCD的中心，M、N分别在面ABD、ACD上运动．求△PMN的周长的最小值．

x2y223.（本题满分15分）椭圆221(ab0)的右焦点为 F (1, 0) ，过点 P (0,2）的

ab直线交椭圆于A、B两点，且△FAB周长的最大值为8.

(1)求 a,b的值；

(2)若点 Q (1, 2)，求△QAB面积的最大值．

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第二十一届“希望杯”全国数学邀请赛答案高二第二试

一、选择题（每小题4分， 共40分） 1 2 3 4 5 题号 C D D B B 答案 二、填空题（每小题4分， 共40分） 6 D 7 A 8 C 9 A 10 A 共得分 （11）1 （12） （13）pq （14）（16）632 （15）1:9 6233 （17） （18）y2x22x1(x31,或x21) 22192（19）(,)（20）622 5151三、解答题

（21）（1）f(x)x36x3；（2）f(x)的增区间是：(,2)、(2,)；减区间是：(2,2)．

8626 ; (2) ；(3)a． 933（23）（1）a2,b1；（2）23．

（22）

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