双曲线地简单几何性质(经典)

双曲线的简单几何性质

x2y222【知识点1】双曲线a-b＝1的简单几何性质

(1)范围：｜x｜≥a,y∈R.

(2)对称性：双曲线的对称性与椭圆完全相同，关于x轴、y轴及原点中心对称.

(3)顶点：两个顶点：A1(-a,0),A2(a,0)，两顶点间的线段为实轴长为2a，虚轴长为2b，且c＝a+b.

2

2

2

x2y2b22(4)渐近线：双曲线特有的性质，方程y＝±ax，或令双曲线标准方程a-b＝1中的1为零即得渐近线方程. c(5)离心率e＝a＞1，随着e的增大，双曲线张口逐渐变得开阔.

222

(6)等轴双曲线(等边双曲线)：x-y＝a(a≠0),它的渐近线方程为y＝±x,离心率e＝2.

x2y2x2y22222(7)共轭双曲线：方程a-b＝1与a-b＝-1表示的双曲线共轭，有共同的渐近线和相等的焦距，但需注

意方程的表达形式.

x2y2x2y22222注意：（1）与双曲线a-b＝1共渐近线的双曲线系方程可表示为a-b＝λ(λ≠0且λ为待定常数) x2y2x2y2222222

（2）与椭圆a+b＝1(a＞b＞0)共焦点的曲线系方程可表示为a-b＝1(λ＜a,其中b-λ＞0时

为椭圆， b＜λ＜a时为双曲线)

2

2

a2c（3）双曲线的第二定义：平面内到定点F(c,0)的距离和到定直线l:x＝c的距离之比等于常数e＝a(c＞a＞b20)的点的轨迹是双曲线，定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线，焦准距(焦参数)p＝c，与椭圆相同.

yx1、写出双曲线方程49251的实轴长、虚轴的长，顶点坐标，离心率和渐近线方程

22

2、已知双曲线的渐近线方程为yx，求双曲线的离心率

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3、求以2x3y0为渐近线，且过点p（1,2）的双曲线标准方程

4、已知双曲线的中心在原点，焦点在y轴上，焦距为16，离心率为

4，求双曲线的标准方程。 3x2y21共渐近线，且经过A23,3点的双曲线的标准方及离心率． 5、求与双曲线

169

【知识点2】弦长与中点弦问题

（1）．直线和圆锥曲线相交时的一般弦长问题：一般地，若斜率为k的直线被圆锥曲线所截得的弦为AB， A、B两点分别为A(x1，y1)、B(x2，y2)，则弦长 AB1k2x2x1(1k2)[(x1x2)24x1x2] 11y2y1k2(11)[(y1y2)24y1y2],这里体现了解析几何“设而不求”的解题思想. 2k（2）．中点弦问题：处理椭圆、双曲线、抛物线的弦中点问题常用代点相减法，设A(x1，y1)、B(x2,y2)为椭

222b2y2xxy圆221（a>b>0）上不同的两点，M(x0，y0)是AB的中点，则KABKOM=2；对于双曲线1（a>0，aaba2b2b222pb>0），类似可得：KABKOM=2；对于y=2px（p≠0）抛物线有KAB＝；另外，也可以用韦达定理来处理.

yya12x2y2【题型一】直线与双曲线的交点问题：过平面内任一点P作直线与双曲线221(a0,b0)只有一个交

ab点，这样的直线有几条？（几何角度）

6、若y=kx-1与双曲线xy4只有一个公共点,求k的范围.

【变1】有两个公共点？【变2】无公共点？【变3】与右支有两个公共点？【变4】与右支只有一个公共点？

22y21的右焦点F作直线l交双曲线于A,B两点,若|AB|=4,这样的直线有几条？ 7、过双曲线x22

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【题型2】双曲线离心率的求法

一、根据离心率的范围，估算e：即利用圆锥的离心率的范围来解题，有时可用椭圆的离心率线的离心率

，抛物线的离心率

来解决。

，双曲

x2y2

8、已知双曲线C：2－2＝1 (a>0，b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，过F2作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂

ab足为H，若F2H的中点M在双曲线C上，则双曲线C的离心率为________．

x2y222

9、已知双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的两条渐近线均和圆C：x＋y－6x＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆Cab的圆心，则该双曲线的方程为________．

二、直接求出a、c，求解e：已知圆锥曲线的标准方程或a、c易求时，可利用离心率公式

来解决。

10、点P（－3，1）在椭圆直线

（）的左准线上，过点P且方向为的光线经

反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为【 】.

A. B. C. D.

三、构造a，c齐次式，解出：根据题设条件关系式，借助齐二次式），进而得到关于e的一元方程，从而解方程得出离心率e。 11、已知

是双曲线

之间的关系，沟通的关系（特别是

的两焦点，以线段为边作正三角形，若边

的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是【 】.

A. B. C. D.

12、过双曲线＝1的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M、N两点，以MN为

直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于__________。

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四、寻找a与c的关系式：由于离心率是c与a的比值，故不必分别求出a、c的值，可寻找a与c的关系式，即a用c来表示即可解决。 13、设椭圆的两个焦点分别为则椭圆的离心率是【 】.

，过

作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若

为等腰直角三角形，

A. B. C. D.

五、统一定义法：由圆锥曲线的统一定义，知离心率e是动点到焦点的距离和动点到准线的距离之比，特别适用于条件含有焦半径的圆锥曲线问题，即

。

14、设椭圆

的右焦点为F1，右准线为，若过F1且垂直于x轴的弦长等于点F1到的

距离，则椭圆的离心率是____________。 【总结3】三种常见的解题方法 （1）转换法——为解题化归立意

x2y215、直线l过双曲线221的右焦点，斜率k=2.若l与双曲线的两个交点分别在左右两支上，则双曲线的

ab离心率e的范围是【 】

A.e>2 B.15 （2）几何法——使数形结合带上灵性

y21上的一点，F1，F2是该双曲线的两个焦点，若|PF1|:|PF2|3:2，则△PF1F2的16、设P为双曲线x122面积为【 】

A．63

B ．12

C.123 D．24

（3）设而不求——与借舟弃舟同理

17、双曲线xy1的一弦中点为（2，1），则此弦所在的直线方程为【 】

A. y2x1 B. y2x2 C. y2x3 D. y2x3

22y21上，是否存在被点M（1，1）平分的弦？如果存在，求弦所在的直线方程；如不存在，18、在双曲线x22请说明理由。

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◆高考题选

x2y21.（浙江卷）过双曲线221(a0,b0)的右顶点A作斜率为1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线

ab的交点分别为B,C．若AB1BC，则双曲线的离心率是【 】 2A．2 B．3 C ． 5 D．10 x2y22.（浙江卷）已知椭圆221(ab0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BFx轴， 直

ab线AB交y轴于点P．若AP2PB，则椭圆的离心率是【 】 A．

3211 B． C． D． 2232x2y21的渐近线与圆(x3)2y2r2(r0)相切，则r=【 】. 3.（全国卷）双曲线63（A）

3 （B）2 （C）3 （D）6

x2y24.（江西卷）设F1和F2为双曲线221(a0,b0)的两个焦点, 若F1，F2，P(0,2b)是正三角形的三个

ab顶点,则双曲线的离心率为【 】. A．

35 B．2 C． D．3 22x2y25.设双曲线221(a0,b0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为【 】.

abA y2x B y2x C y21x Dyx22

x2y2x2y21的准线过椭圆21的焦点，则直线ykx2与椭圆至多有一个交6. (湖北卷)已知双曲线224b点的充要条件是【 】. A. K111, B. K,2222221, C. D. K,K,22222,2

x2y221(b0)的左、右焦点分别是F1、F2，其一条渐近线方程为yx，点7.（四川卷文）已知双曲线

2bP(3,y0)在双曲线上.则PF1·PF2＝【 】.

A. －12 B. －2 C. 0 D. 4

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x2y2【问题1】过平面内任一点P作直线与双曲线221(a0,b0)只有一个交点，这样的直线有几条？（几

ab何角度）

【答案】P在双曲线内，有2条（分别与渐近线平行）；

P在双曲线上，有3条（与渐近线平行的有两条，切线一条）；

P在双曲线外，

若P在渐近线上且P为原点时，0条；

若P在渐近线上且P不为原点时，2条（与另一渐近线平行的一条，切线一条）；

若P不在渐近线上，0条；有4条（与渐近线平行的有两条，切线两条）； 8答案

2

解析 取双曲线的渐近线y＝x，则过F2与渐近线垂直的直线方程为y＝－(x－c)，可解得点H的坐标为

baaba，ab，则FH的中点M的坐标为a＋c，ab，代入双曲线方程x－y＝1可得(a＋c)－ab＝1，整理得c2cc22c2222

2ca2b24ac4cb

＝2a，即可得e＝＝2.

2

2222222222

cax2y2b9答案 －＝1解析 ∵双曲线2－2＝1的渐近线方程为y＝±x，

54aba圆C的标准方程为(x－3)＋y＝4，∴圆心为C(3,0)．又渐近线方程与圆C相切，

3b22

即直线bx－ay＝0与圆C相切，∴22＝2，∴5b＝4a.①

a＋b2

2

x2y2

x2y222

又∵2－2＝1的右焦点F2(a＋b，0)为圆心C(3,0)，

ab∴a＋b＝9.②由①②得a＝5，b＝4.∴双曲线的标准方程为－＝1.

5410解：由题意知，入射光线为

，关于

的反射光线（对称关系）为

，

2

2

2

2

x2y2

则P（－3，1）在左准线上，左焦点在反射光线上，有 解得 知，故

选A。 11解：如图1，有

的中点为P，则点P的横坐标为

， 即

。由

， 焦半径公式

有 解得，故选D。

12解：如图2，所给的语言可转化为通径， 即 得，

故 解得或（舍）故填

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13解：由题意，得

，则

得

。又由椭圆的定义，得，故选D。

，即

14解：据椭圆的第二定义及题意，画出图3，观察线段的数量关系，得

。故填。

15【分析】就题论题的去解这道题，确实难以下手，那就考虑转换吧.其一，直线和双曲线的两支都有交点不好掌握， 但是和两条渐近线都有交点却很好掌握.其二，因为已知直线的斜率为2，所以双曲线的两条渐近线中，倾斜角为钝角的 渐近线肯定与之相交，只须考虑倾斜角为锐角的渐近线也与之相交.故有如下妙解.

【解析】如图设直线l的倾斜角为α，双曲线渐近线m的倾斜角为β.显然。当β＞α时直线l与双曲线的两 个交点分别在左右两支上.由

bc2a2tantan24e25. 2aa ∵双曲线中e1，故取e>

5.选D.

1,b23,c13.设；

16【解析】双曲线的实、虚半轴和半焦距分别是：aPF13r,PF22r.于是

PF1PF22a2,r2. PF1PF252F1F212PF16,PF24.222，

故知△PF1F2是直角三角形，∠F1P F2=90°.∴SPFF11PF1PF26412.选B. 22【评注】解题中发现△PF1F2是直角三角形，是事前不曾想到的吧？可是，这一美妙的结果不是每个考生都能 临场发现的.将最美的结果隐藏在解题过程之中以鉴别考生的思维能力，这正是命题人的高明之处. 17【解析】设弦的两端分别为Axy,Bxy.则有：

1,12,2x12y121y1y2x1x22222xxyy0212122xxy1y2xy11222∵弦中点为（2，1），∴

.

x1x24y1y22.故直线的斜率

ky1y2xx212x1x2y1y2.则所求直线方程为：

，故选C.“设而不求”具体含义是：在解题中我们希望得到某种结果而必须经过某个步骤，只y12x23y2x要有可能，可以用虚设代替而不必真地去求它.但是，“设而不求”的手段应当慎用.不问条件是否成熟就滥用，也会出漏子.请看： 18 如果不问情由地利用“设而不求”的手段，会有如下解法：【错解】假定存在符合条件的弦AB，其两端分别为：A（x1，y1），B（x2，y2）.那么：

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212x1y1112xxxxy1y2y1y2012122x21y212221.

x1x22∵M（1，1）为弦AB的中点，∴y1y22故存在符合条件的直线AB，其方程为：

代入1：2x1x2y1y20，kABy1y22

x1x2y12x1，即y2x1.这个结论对不对呢？我们只须注意如下两点就够了：

y211

1，发现左式=1-＜1，故点M（1，1）在双曲线的外部；其二：所求直线AB的其一：将点M（1，1）代入方程x222

2斜率kAB2，而双曲线的渐近线为y2x.这里22，说明所求直线不可能与双曲线相交，当然所得结论也是荒唐的.

问题出在解题过程中忽视了直线与双曲线有公共点的条件.【正解】在上述解法的基础上应当加以验证.由

2y212x22x2x122x24x302y2x1所求直线不合条件.此外，上述解法还疏忽了一点：只有当x12这里16240，故方程（2）无实根，也就是

x2时才可能求出k=2.若x1x2，必有y1y20.说明这时直

线与双曲线只有一个公共点，仍不符合题设条件.结论；不存在符合题设条件的直线.

1【解析】对于Aa,0，则直线方程为xya0，直线与两渐近线的交点为B，C，

a2aba2abB,,),C(abababab2ABBC,4a2b2,e5．

，则有

2a2b2a2bababBC(2,),AB,，因222abababab2．D 【命题意图】对于对解析几何中与平面向量结合的考查，既体现了几何与向量的交汇，也体现了数形结合的巧妙应用．【解析】对于椭圆，因为AP2PB，则OA2OF,a2c,e1 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 25【解析】由已知得到b1,c3,ac2b22，因为双曲线的焦点在x轴上，故渐近线方程为

b2a22yxx 6【答案】A【解析】易得准线方程是x1 所以c2a2b24b21 即b23b2a2x2y2所以方程是1联立ykx2 可得 3x2+(4k2+16k)x40由0可解得A

437【答案】C【解析】由渐近线方程为yx知双曲线是等轴双曲线，∴双曲线方程是xy2，于是两焦点坐标分别是（－2，0）和（2，0），且P(3,1)或P(3,1).不妨去P(3,1)，则PF1(23,1)，

22PF2(23,1).∴PF1·PF2＝(23,1)(23,1)(23)(23)10

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