2020年上海市浦东新区中考数学一模试卷
一、选择题
1．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果BC＝5，AB＝13，那么sinA的值为（ ） A．
B．
C．
D．
2．（4分）下列函数中，是二次函数的是（ ） A．y＝2x﹣1 C．y＝x2+1
B．y＝
D．y＝（x﹣1）2﹣x2
3．（4分）抛物线y＝x2﹣4x+5的顶点坐标是（ ） A．（﹣2，1）
B．（2，1）
C．（﹣2，﹣1）
D．（2，﹣1）
4．（4分）如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，下列各比例式不一定能推得DE∥BC的是（ ）
A．
＝
B．
＝
C．
＝
D．
＝
5．（4分）如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为1：3，它把物体从地面点A处送到离地面3米高的B处，则物体从A到B所经过的路程为（ ）
A．3
米
B．2
米
C．
米
D．9米
6．（4分）下列说法正确的是（ ） A．+（﹣）＝0
B．如果和都是单位向量，那么＝ C．如果||＝||，那么＝
第1页（共21页）
D．如果＝﹣二、填空题
（为非零向量），那么∥
7．（4分）已知x＝3y，那么＝ ．
8．（4分）已知线段AB＝2cm，P是线段AB的黄金分割点，PA＞PB，那么线段PA的长度等于 cm．
9．（4分）如果两个相似三角形对应边之比是2：3，那么它们的对应中线之比是 ． 10．（4分）如果二次函数y＝x2﹣2x+k﹣3的图象经过原点，那么k的值是 ． 11．（4分）将抛物线y＝﹣3x2向下平移4个单位，那么平移后所得新抛物线的表达式为 ．
12．（4分）如果抛物线经过点A（﹣1，0）和点B（5，0），那么这条抛物线的对称轴是直线 ．
13．（4分）二次函数y＝﹣2（x+1）2的图象在对称轴左侧的部分是 ．（填“上升”或“下降”）
14．（4分）如图，在△ABC中，AE是BC边上的中线，点G是△ABC的重心，过点G作GF∥AB交BC于点F，那么
＝ ．
15．（4分）如图，已知AB∥CD∥EF，AD＝6，DF＝3，BC＝7，那么线段CE的长度等于 ．
16．（4分）如图，将△ABC沿射线BC方向平移得到△DEF，边DE与AC相交于点G，如果BC＝6cm，△ABC的面积等于9cm2，△GEC的面积等于4cm2，那么CF＝ cm．
第2页（共21页）
17．（4分）用“描点法”画二次函数y＝ax2+bx+c的图象时，列出了如下的表格：
x y＝ax2+bx+c
…
0
1 2 3
4
… …
… ﹣3 0 1 0 ﹣3
那么当x＝5时，该二次函数y的值为 ．
18．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝4，点D、E分别是边BC、AB的中点，将△BDE绕着点B旋转，点D、E旋转后的对应点分别为点D'、E'，当直线D'E'经过点A时，线段CD'的长为 ． 三、解答题 19．（10分）计算：
+cot260°
20．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边AD上，且AE＝2ED，联结BE并延长交边CD的延长线于点F，设（1）用，表示
，
；
+）+2（﹣）（不要求写作法，但要写明结论）． ＝，
＝．
（2）先化简，在求作：（﹣
21．（10分）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且AD＝3，AC＝6，AE＝4，AB＝8．
（1）如果BC＝7，求线段DE的长；
（2）设△DEC的面积为a，求△BDC的面积（用a的代数式表示）．
第3页（共21页）
22．（10分）为了测量大楼顶上（居中）避雷针BC的长度，在地面上点A处测得避雷针底部B和顶部C的仰角分别为55°58′和57°，已知点A与楼底中间部位D的距离约为80米，求避雷针BC的长度（参考数据：sin55°58'≈0.83，cos55°58'≈0.56，tan55°58'≈1.48，sin57°≈0.84，tan57°≈1.54）
23．（12分）如图，已知△ABC和△ADE，点D在BC边上，DA＝DC，∠ADE＝∠B，边DE与AC相交于点F． （1）求证：AB•AD＝DF•BC； （2）如果AE∥BC，求证：
＝
．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的两个交点分别为A（﹣1，0），B（3，0），与y轴相交于点C． （1）求抛物线的表达式；
（2）联结AC、BC，求∠ACB的正切值；
（3）点P在抛物线上，且∠PAB＝∠ACB，求点P的坐标．
第4页（共21页）
25．（14分）在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，D为AB边上一动点（点D与点A、B不重合），联结CD，过点D作DE⊥DC交边BC于点E． （1）如图，当ED＝EB时，求AD的长；
（2）设AD＝x，BE＝y，求y关于x的函数解析式并写出函数定义域；
（3）把△BCD沿直线CD翻折得△CDB'，联结AB'，当△CAB'是等腰三角形时，直接写出AD的长．
第5页（共21页）
2020年上海市浦东新区中考数学一模试卷
参与试题解析
一、选择题
1．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果BC＝5，AB＝13，那么sinA的值为（ ） A．
B．
C．
D．
【解答】解：如图：
在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AB＝13， sinA＝
＝
．
故选：A．
2．（4分）下列函数中，是二次函数的是（ ） A．y＝2x﹣1 C．y＝x2+1
B．y＝
D．y＝（x﹣1）2﹣x2
【解答】解：二次函数的标准形式为y＝ax2+bx+c（a≠0）， ∴y＝x2+1是二次函数， 故选：C．
3．（4分）抛物线y＝x2﹣4x+5的顶点坐标是（ ） A．（﹣2，1）
B．（2，1）
C．（﹣2，﹣1）
D．（2，﹣1）
【解答】解：∵y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1， ∴顶点坐标为（2，1）， 故选：B．
4．（4分）如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，下列各比例式不一定能推得DE∥BC的是（ ）
第6页（共21页）
A．
＝
B．，
＝
C．
＝
D．
＝
【解答】解：∵∴DE∥BC， ∵
，
∴DE∥BC， ∵
，
∴DE∥BC， 故选：B．
5．（4分）如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为1：3，它把物体从地面点A处送到离地面3米高的B处，则物体从A到B所经过的路程为（ ）
A．3
米
B．2
米
C．
米
D．9米
【解答】解：∵BC：AC＝1：3， ∴3：AC＝1：3， ∴AC＝9， ∴AB＝
＝
＝3
， ，
∴物体从A到B所经过的路程为3故选：A．
6．（4分）下列说法正确的是（ ） A．+（﹣）＝0
B．如果和都是单位向量，那么＝
第7页（共21页）
C．如果||＝||，那么＝ D．如果＝﹣
（为非零向量），那么∥
【解答】解：A、+（﹣）＝0，错误应该等于零向量．
B、如果和都是单位向量，那么＝，错误，模相等，方向不一定相同． C、如果||＝||，那么＝，错误，模相等，方向不一定相同． D、如果＝﹣故选：D． 二、填空题
7．（4分）已知x＝3y，那么【解答】解：∵x＝3y， ∴
＝
＝．
＝
．
（为非零向量），那么∥，正确，
故答案为：．
8．（4分）已知线段AB＝2cm，P是线段AB的黄金分割点，PA＞PB，那么线段PA的长度等于 ﹣1 cm．
【解答】解：根据黄金分割定义，得 PA2＝AB•PB， PA2＝2（2﹣PA） 解得PA＝故答案为
﹣1． ﹣1．
9．（4分）如果两个相似三角形对应边之比是2：3，那么它们的对应中线之比是 2：3 ． 【解答】解：∵两个相似三角形对应边之比是2：3， ∴它们的对应中线之比是2：3， 故答案为：2：3．
10．（4分）如果二次函数y＝x2﹣2x+k﹣3的图象经过原点，那么k的值是 3 ． 【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣2x+k﹣3的图象经过原点， ∴k﹣3＝0，
第8页（共21页）
解得k＝3， 故答案为：3．
11．（4分）将抛物线y＝﹣3x2向下平移4个单位，那么平移后所得新抛物线的表达式为 y＝3x2﹣4 ．
【解答】解：∵抛物线y＝﹣3x2向下平移4个单位， ∴抛物线的解析式为y＝﹣3x2﹣4， 故答案为：y＝﹣3x2﹣4．
12．（4分）如果抛物线经过点A（﹣1，0）和点B（5，0），那么这条抛物线的对称轴是直线 x＝2 ．
【解答】解：∵抛物线经过点A（﹣1，0）和点B（5，0）， ∴抛物线的对称轴为直线x＝故答案为：x＝2．
13．（4分）二次函数y＝﹣2（x+1）2的图象在对称轴左侧的部分是 上升 ．（填“上升”或“下降”）
【解答】解：∵﹣2＜0， ∴二次函数的开口向下，
则图象在对称轴左侧的部分y随x值的增大而增大， 故答案为上升．
14．（4分）如图，在△ABC中，AE是BC边上的中线，点G是△ABC的重心，过点G作GF∥AB交BC于点F，那么
＝
． ＝2．
【解答】解：∵点G是△ABC的重心， ∴GE：AG＝1：2， ∴GE：AE＝1：3， ∵GF∥AB， △EGF∽△EAB，
第9页（共21页）
∴＝，
故答案为．
15．（4分）如图，已知AB∥CD∥EF，AD＝6，DF＝3，BC＝7，那么线段CE的长度等于
．
【解答】解：∵AB∥CD∥EF，AD＝6，DF＝3，BC＝7， ∴即
， ，
解得：CE＝， 故答案为：
16．（4分）如图，将△ABC沿射线BC方向平移得到△DEF，边DE与AC相交于点G，如果BC＝6cm，△ABC的面积等于9cm2，△GEC的面积等于4cm2，那么CF＝ 2 cm．
【解答】解：∵AB∥DE， ∴△ABC∽△GEC， ∴
＝（
）2＝，
∴＝
∴EC＝4cm， ∵EF＝BC＝6cm，
∴CF＝EF﹣EC＝6﹣4＝2cm． 故答案是：2
第10页（共21页）
17．（4分）用“描点法”画二次函数y＝ax2+bx+c的图象时，列出了如下的表格：
x y＝ax2+bx+c
…
0
1 2 3
4
… …
… ﹣3 0 1 0 ﹣3
那么当x＝5时，该二次函数y的值为 ﹣8 ．
【解答】解：从表格可知：抛物线的顶点坐标为（2，1）， 设y＝ax2+bx+c＝a（x﹣2）2+1，
从表格可知过点（0，﹣3），代入得：﹣3＝a（0﹣2）2+1， 解得：a＝﹣1， 即y＝﹣（x﹣2）2+1，
当x＝5时，y＝﹣（5﹣2）2+1＝﹣8， 故答案为：﹣8．
18．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝4，点D、E分别是边BC、AB的中点，将△BDE绕着点B旋转，点D、E旋转后的对应点分别为点D'、E'，当直线D'E'经过点A时，线段CD'的长为 2或 ．
【解答】解：如图1，当点A在E'D'的延长线上时，
∵∠C＝90°，AC＝2，BC＝4， ∴AB＝
＝
＝2
，
∵点D、E分别是边BC、AB的中点， ∴DE∥AC，DE＝AC＝1，BD＝BC＝2， ∴∠EDB＝∠ACB＝90°， ∵将△BDE绕着点B旋转，
∴∠BD'E'＝∠BDE＝90°，D'E'＝DE＝1，BD＝BD'＝2， ∵在Rt△ABC和Rt△BAD'中，D'B＝AC＝2，AB＝BA， ∴Rt△ABC≌Rt△BAD'（HL），
第11页（共21页）
∴AD'＝BC，且AC＝D'B，
∴四边形ACBD'是平行四边形，且∠ACB＝90°， ∴四边形ACBD'是矩形， ∴CD'＝AB＝2
；
如图2，当点A在线段D'E'的延长线上时，
∵∠AD'B＝90°， ∴AD'＝
＝
＝4，
∴AE'＝AD'﹣D'E'＝3， ∵将△BDE绕着点B旋转， ∴∠ABC＝∠E'BD'， ∵
＝
，
∴△ABE'∽△CBD'， ∴∴∴CD'＝故答案为：2三、解答题 19．（10分）计算：
+cot260°
＝
， ， ， 或
．
【解答】解：原式＝+（
）2
＝+
第12页（共21页）
＝．
20．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边AD上，且AE＝2ED，联结BE并延长交边CD的延长线于点F，设（1）用，表示
，
；
+）+2（﹣）（不要求写作法，但要写明结论）． ＝，
＝．
（2）先化简，在求作：（﹣
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴
＝
＝，AB∥CD，
∵AE＝2ED， ∴∴
＝＝
+＝
，
＝+b，
∵DF：AB＝DE：AE＝1：2， ∴DF＝AB， ∴ （2）（﹣
+）+2（﹣）＝﹣
++2﹣2＝
﹣，
＝
＝
．
取AB的中点H，连接HC，
即为所求．
21．（10分）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且AD＝3，AC＝6，AE＝4，AB＝8．
（1）如果BC＝7，求线段DE的长；
第13页（共21页）
（2）设△DEC的面积为a，求△BDC的面积（用a的代数式表示）．
【解答】解：（1）∵∴
，
，
，且∠DAE＝∠BAC，
∴△ADE∽△ACB， ∴∴DE＝
＝，
＝×7＝；
（2）∵AE＝4，AC＝6， ∴EC＝2＝AC， ∴S△ACD＝3S△DEC＝3a， ∵AD＝3，AB＝8， ∴BD＝5＝AD， ∴S△BDC＝S△ADC＝5a．
22．（10分）为了测量大楼顶上（居中）避雷针BC的长度，在地面上点A处测得避雷针底部B和顶部C的仰角分别为55°58′和57°，已知点A与楼底中间部位D的距离约为80米，求避雷针BC的长度（参考数据：sin55°58'≈0.83，cos55°58'≈0.56，tan55°58'≈1.48，sin57°≈0.84，tan57°≈1.54）
【解答】解：在Rt△ABD中，∵tan∠BAD＝
，
第14页（共21页）
∴1.48＝，
∵AD＝80米， ∴BD＝118.4（米），
在Rt△CAD中，∵tan∠CAD＝∴1.54＝
，
，
∴CD＝123.2（米）， ∴BC＝CD﹣BD＝4.8（米）． 答：避雷针BC的长度为4.8米．
23．（12分）如图，已知△ABC和△ADE，点D在BC边上，DA＝DC，∠ADE＝∠B，边DE与AC相交于点F． （1）求证：AB•AD＝DF•BC； （2）如果AE∥BC，求证：
＝
．
【解答】（1）证明：∵DA＝DC， ∴∠DAC＝∠C， 又∵∠ADE＝∠B， ∴△ABC∽△FDA， ∴
＝
，
∴AB•AD＝DF•BC；
（2）证明：∵∠ADE+∠CDF＝∠B+∠BAD，∠ADE＝∠B， ∴∠CDF＝∠BAD， ∵AE∥BC，
∴∠E＝∠CDF，∠C＝∠EAF， ∴∠BAD＝∠E， 又∵∠ADE＝∠B，
第15页（共21页）
∴△ABD∽△EDA， ∴
＝
，
∵DA＝DC， ∴∠DAC＝∠C，
∴∠EAF＝∠DAC，即AC平分∠DAE， 作FM⊥AD于M，FN⊥AE于N， 则FM＝FM，
∵＝＝＝，
∴＝．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的两个交点分别为A（﹣1，0），B（3，0），与y轴相交于点C． （1）求抛物线的表达式；
（2）联结AC、BC，求∠ACB的正切值；
（3）点P在抛物线上，且∠PAB＝∠ACB，求点P的坐标．
【解答】解：（1）将点A（﹣1，0），B（3，0）代入抛物线y＝﹣x2+bx+c中， 得
，
解得，b＝2，c＝3，
第16页（共21页）
∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）∵在y＝﹣x2+2x+3中，当x＝0时，y＝3， ∴C（0，3）， ∴OC＝OB＝3，
∴△OBC为等腰直角三角形，∠OBC＝45°， ∴BC＝
OC＝3
，
如图1，过点A作AH⊥BC于H， 则∠HAB＝∠HBA＝45°， ∴△AHB是等腰直角三角形， ∵AB＝4， ∴AH＝BH＝
AB＝2
，
＝
＝2，
，
∴CH＝BC﹣BH＝
∴在Rt△AHC中，tan∠ACH＝即∠ACB的正切值为2；
（3）①如图2，当∠PAB＝∠ACB时，过点P作PM⊥x轴于点M， 设P（a，﹣a2+2a+3），则M（a，0）， 由（1）知，tan∠ACB＝2， ∴tan∠PAM＝2， ∴∴
＝2，
＝2，
解得，a1＝﹣1（舍去），a2＝1， ∴P1（1，4）；
②取点P（1，4）关于x轴的对称点Q（1，﹣4），延长AQ交抛物线于P2，则此时∠P2AB＝∠PAM＝∠ACB，
设直线PQ的解析式为y＝kx+b，将A（﹣1，0），Q（1，﹣4）代入，
第17页（共21页）
得，，
解得，k＝﹣2，b＝﹣2， ∴yAQ＝﹣2x﹣2， 联立，
，
解得，或，
∴P2（5，﹣12）；
综上所述，点P的坐标为（1，4）或（5，﹣12）．
25．（14分）在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，D为AB边上一动点（点D与点A、B不重合），联结CD，过点D作DE⊥DC交边BC于点E． （1）如图，当ED＝EB时，求AD的长；
（2）设AD＝x，BE＝y，求y关于x的函数解析式并写出函数定义域；
（3）把△BCD沿直线CD翻折得△CDB'，联结AB'，当△CAB'是等腰三角形时，直接写
第18页（共21页）
出AD的长．
【解答】解：（1）∵ED＝EB， ∴∠EDB＝∠B， ∵CD⊥DE，
∴∠CDE＝∠A＝90°，
∵∠ACD+∠ADC＝90°，∠ADC+∠EDH＝90°， ∴∠ACD＝∠EDB＝∠B， ∴tan∠ACD＝tan∠B， ∴∴
＝
，
＝，
∴AD＝．
（2）如图1中，作EH⊥BD于H．
在Rt△ACB中，∵∠A＝90°，AC＝3，AB＝4， ∴BC＝∵BE＝y，
∴EH＝y，BH＝y，DH＝AB﹣AD﹣BH＝4﹣x﹣y， ∵∠A＝∠DHE＝90°，∠ACD＝∠EDH， ∴△ACD∽△HDE， ∴∴
＝
， ＝
， ＝
＝5，
第19页（共21页）
∴y＝
（0＜x＜4）．
（3）①如图3﹣1中，设CB′交AB于K，作AE⊥CK于E，DM⊥CB′于M，DN⊥BC于N
∵AC＝AB＝3，AE⊥CB′， ∴CE＝EB∴AE＝
CB′＝， ＝
＝
，
由△ACE∽△KCA， 可得AK＝
，CK＝
， ，
∴BK＝AB﹣AK＝4﹣
∵∠DCK＝∠DCB，DM⊥CM，DN⊥CB， ∴DM＝DN，
∴＝＝＝＝＝，
∴BD＝BK＝﹣
﹣
，
）＝
+
．
BK＝
+
，
∴AD＝AB﹣BD＝4﹣（
②如图3﹣2中，当CB′交BA的延长线于K时，同法可得BD＝∴AD＝AB﹣BD＝
﹣
．
第20页（共21页）
第21页（共21页）
