高中数学立体几何————面面垂直

1．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，点O是对角线AC与BD的交点，AB=2，∠BAD=60°，M是PD的中点． （1）求证：OM∥平面PAB； （2）求证：平面PBD⊥平面PAC；

2.（2020•全国I）如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，APC90． （1）证明：平面PAB⊥平面PAC； （2）设DO2，圆锥的侧面积为3， 求三棱锥PABC的体积．

3.在矩形ABCD中，AB＝2AD＝4，E是AB的中点，沿DE将△ADE折起，得到如图所示的四棱锥P－BCDE.

(1)若平面PDE⊥平面BCDE，求四棱锥P－BCDE的体积； (2)若PB＝PC，求证：平面PDE⊥平面BCDE.

4.在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，B1C⊥平面ABC，E，F分别是AC，B1C的中点．

(1)求证：EF∥平面AB1C1； (2)求证：平面AB1C⊥平面ABB1.

5.在四棱锥P－ABCD中，△PAD是等边三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，AD＝2AB＝2BC，∠BAD＝∠ABC＝90°.

(1)在AD上是否存在一点M，使得平面PCM⊥平面ABCD，若存在，请证明；若不存在，请说明理由；

(2)若△PCD的面积为87，求四棱锥P－ABCD的体积．

6.如图，在四棱锥S－ABCD中，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝60°，△SAD为正三角形．侧面SAD⊥底面ABCD，E，F分别为棱AD，SB的中点．

(1)求证：AF∥平面SEC； (2)求证：平面ASB⊥平面CSB；

7.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,AB∥DC,△PAD是等边三角

形,已知BD=2AD=8,AB=2DC=4√5.

(1)设M是PC上的一点,求证:平面MBD⊥平面PAD; (2)求四棱锥P-ABCD的体积.

8.如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AD∥BC,∠BAD=90°,AC⊥

BD,BC=1,AD=AA1=4,AB=2. (1)证明:平面ACD1⊥平面BB1D; (2)求多面体ABCA1B1C1D1的体积.

9.如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，ABAD，BAD60，E，F分别是AP，AD的中点．求证：

（1）直线EF∥平面PCD；（2）平面BEF⊥平面PAD．

10.如图,在四棱锥E-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,∠ADC=60°,CD=2AD,EC⊥底面ABCD.

(1)求证:平面ADE⊥平面ACE; (2)若AD=CE=2,求三棱锥C-ADE的高.

12.如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝BC＝3，AD＝CD＝1，∠ADC1＝120°，点M是AC与BD的交点，点N在线段PB上，且PN＝PB.

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(1)证明：MN∥平面PDC；

(2)在线段BC上是否存在一点Q，使得平面MNQ⊥平面PAD，若存在，求出点Q的位置；若不存在，请说明理由．

14.如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1，侧面ABB1A1为菱形，侧面ACC1A1为正方形，平面ABB1A1⊥平面ACC1A1. (1)求证：A1B⊥平面AB1C；

(2)若A1B∩AB1＝O，AB＝2，∠ABB1＝60°，求三棱锥C1-COB1的体积．