定积分在几何上的应用教案(3)
目的要求
1．掌握定积分解决实际问题的基本思想方法：分割、近似代替、作和、求极限．
2．继续了解定积分表达式的几何意义，巩固运用定积分知识综合求解平面图形的面积和旋转体的体积．
内容分析
1．在数学中，应用可以分为不同的层次：①数学知识的直接应用，如由基本积分公式，利用直接积分法求不定积分，这是最低层次的一种应用；②运用数学知识解决由具体问题抽象出来的数学模型，如利用定积分解决平面图形的面积和旋转体的体积问题，这是高一级层次的应用；③运用数学知识直接解决现实问题，这时，需要对具体的问题进行抽象概括，抽象出具体的数学模型，而后进行解决，这是最高层次的一种应用．本章涉及的应用问题主要是第②种应用，即运用数学知识解决数学模型．为了使学生对定积分的应用有充分的认识，本课时安排为一节习题课，并从中挑选了一些从实际问题抽象出来的数学模型．学生通过解决这些问题的训练，认识到所学知识在实际问题中用处非常大，这对于培养他们应用数学的意识是非常有帮助的．
2．本节课的重点是训练学生运用定积分求平面图形的面积和旋转体的体积，难点是如何将具体问题转化为求定积分的问题．教学中要充分注意数形结合，即在运算过程中适当加强几何直观，不但能由定积分表达式知道其几何意义，也能由图形知道它所表达的定积分．另外，在本节教学时，一定要控制教学内容的深度，决不能按高等学校的内容任意延伸．
教学过程 (一)内容提要
多媒体显示图形，学生口答下列公式(略)及注意事项． 1．各种情形下的平面图形的面积公式． 2．各种情形下的旋转体的体积公式． (二)例题示范
例1 过曲线y＝x2(x≥0)上某一点A作一切线l，使之与曲线 (1)切点A的坐标；
(2)过切点A的切线l的方程；
(3)上述所围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积．
解：设点A的坐标为(a，a2)，过点A的切线与曲线y＝x2(x≥0)及x轴围成的图形如图1中的阴影部分．
(1)由已知可得直线l的斜率为k＝y′|x＝a＝2a，故过切点A的切线l的方程为y－a2＝2a(x－a)，即y＝2ax－a2．
∴切点A的坐标为(1，1)． (2)∵l的斜率k＝2，
∴l的方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1．
变式题：过定点A(1，0)引抛物线y＝x2＋3的两条切线AP、AQ，试求： (1)抛物线与所引两条切线围成的平面图形的面积；
(2)由两切点的连线与抛物线围成的图形绕x轴旋转一周产生的旋转体的体积．
略解：(1)先求得切点为P(－1，4)、Q(3，12)，故切线AP的方程为：2x＋y－2＝0；切线AQ的方程为：6x－y－6＝0．
过A点作AB⊥x轴，交抛物线于B(1，4)，则所求图形面积为 (3)直线PQ的方程为：y＝2x＋6， 说明：
例1 及变式题主要训练定积分在几何上的应用，综合考查了运用数学知识分析问题和解决问题的能力．
例2 (1999年上海高考题)平地有一条水沟，沟沿是两条长100米的平行线段，沟宽AB为2米，与沟沿垂直的平面与沟的交线是一段抛物线，抛物线的顶点为O，对称轴与地面垂直，沟深1.5米，沟中水深1米．(1)求水面宽；(2)如图2所示形状的几何体称为柱体．已知柱体的体积为底面积乘以高，问沟中的水有多少立方米？(3)若要把这条水沟改挖(不准填土)成截面为等腰梯形的沟，使沟的底面与地面平行，则改挖后的沟底宽为多少米时，所挖的土最少？
解：(1)如图2，建立直角坐标系，设抛物线的方程为y＝ax2． (2)水的体积
(3)为使挖掉的土最少，等腰梯形的两腰必须与抛物线相切． 物线的切线得如图所示的直角梯形OCDE，则切线CD的方程为
说明：
例2 是1999年上海市高考题，本题主要考查了解析几何、不等式、定积分等基本知识，考查了运用所学数学知识和方法解决实际问题的能力．
变式题：半径为a的半球形容器装满水，现轻轻倾斜θ角后，求从容器中流出的水量．
略解：如图3，OQ＝asinθ，设剩余水量为V1，则
(三)归纳总结
应用定积分解决实际问题的基本思路： 布置作业
1．复习参考题B组第2、5题．
2．设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等的实根，且 f′(x)＝2x＋2．
(1)求y＝f(x)的表达式；
(2)求y＝f(x)的图象与两坐标轴所围图形的面积；
(3)若直线x＝－t(0＜t＜1)把y＝f(x)的图象与两坐标轴所围成的图形的面积两等分，求t的值．
(1)把C1与C2所围成的图形(阴影部分)绕x轴旋转一周，求所得几何体的体积V；
