Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｓｏｕｔｈｅａｓｔ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｅｎｇｌｉｓｈ Ｅｄｉｔｉｏｎ） Ｖｏ１．２９，Ｎｏ．１，ＰＰ．３３—３７ Ｍａｒ．２０１３ ＩＳＳＮ １Ｏ０３—７９８５ —ｒ ‘ ‘ － ● ＾ ・ ■ － ｌ Ｌ，－ｎＯｒｍ ｍｉｎｉｍｉｚａｔｉｏｎ ｔｏｔ ｑｕａｔｅｒｎｉｏｎ ｓｉｇｎａｌｓ Ｚｈａｎｇ Ｘｕ Ｗｕ Ｊｉａｓｏｎｇ ’ Ｙａｎｇ Ｇｕａｎｙｕ ，。Ｌｏｔｉｆ Ｓｅｎａｈｄｊｉ ， Ｓｈｕ Ｈｕａｚｈｏｎｇ ’ （ Ｌａｂｏｒａｔｏｒｙ ｏｆ Ｉｍａｇｅ Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｓｏｕｔｈｅａｓｔ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｎａｎｊｉｎｇ ２１００９６，Ｃｈｉｎａ） （ ＬＴＳＩ，ＩＮＳＥＲＭ Ｕ １０９９，Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔ６ ｄｅ Ｒｅｎｎｅｓ １，Ｒｅｎｎｅｓ ３５０００，Ｆｒａｎｃｅ） （ Ｃｅｎｔｒｅ ｄｅ Ｒｅｃｈｅｒｃｈｅ ｅｎ Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｂｉｏｍ６ｄｉｃａｌｅ Ｓｉｎｏ—ｆｒｎｑａｉａｓ，Ｎａｎｊｉｎｇ ２１００９６，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ａｎ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｆｏｒ ｒｅｃｏｖｅｒｉｎｇ ｔｈｅ ｑｕａｔｅｍｉｏｎ ｓｉｇｎａｌｓ ｉｎ ｂｏｔｈ ｎｏｉｓｅｌｅｓｓ ａｎｄ ｎｏｉｓｅ ｃｏｎｔａｍｉｎａｔｅｄ ｓｃｅｎａｒｉｏｓ ｂｙ ｓｏｌｖｉｎｇ ａｎ ｓｑｕａｒｅｓ ｐｒｏｂｌｅｍ： Ｌｌ—ｎｏｒｍ ｍｉｎｉｍｉｚａｔｉｏｎ ｐｒｏｂｌｅｍ ｉｓ ｐｒｅｓｅｎｔｅｄ．Ｔｈｅ Ｌ１一ｎｏｒｍ ｉｍｎｉｍｉｚａｔｉｏｎ ｐｒｏｂｌｅｍ ｏｖｅｒ ｔｈｅ ｑｕａｔｅｍｉｏｎ ｎｕｍｂｅｒ ｆｉｅｌｄ ｉｓ ｓｏｌｖｅｄ ｂｙ ｃｏｎｖｅｒｔｉｎｇ ｉｔ ｔｏ ａｌｌ ｅｑｕｉｖａｌｅｎｔ ｓｅｃｏｎｄ—ｏｒｄｅｒ ｃｏｎｅ ｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ ｐｒｏｂｌｅｍ ｏｖｅｒ ｔｈｅ ｒｅａｌ ｎｕｍｂｅｒ ｆｉｅｌｄ，ｗｈｉｃｈ ｃａｎ ｂｅ ｒｅａｄｉｌｙ ｓｏｌｖｅｄ ｂｙ ｃｏｎｖｅｘ ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ ｓｏｌｖｅｒｓ ｌｉｋｅ ＳｅＤｕＭｉ． Ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔｓ ａｒｅ ｐｒｏｖｉｄｅｄ ｔｏ ｉｌｌｕｓｔｒａｔｅ ｔｈｅ ｅｆｆｅｃｔｉｖｅｎｅｓｓ ｏｆ ｔｈｅ ｐｒｏｐｏｓｅｄ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ． Ｉｎ ａ ｎｏｉｓｅｌｅｓｓ ｓｃｅｎａｒｉｏ，ｔｈｅ ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｌ ｒｅｓｕｌｔｓ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｕｎｄｅｒ ｓｏｍｅ ｐｒａｃｔｉｃａｌｌｙ ａｃｃｅｐｔａｂｌｅ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ，ｅｘａｃｔ ｓｉｇｎａｌ ｒｅｃｏｖｅｒｙ ｃａｎ ｂｅ ａｃｈｉｅｖｅｄ．Ｗｉｔｈ ａｄｄｉｔｉｖｅ ｎｏｉｓｅ ｃｏｎｔａｍｉｎａｔｉｏｎ ｉｎ ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔｓ， ｔｈｅ ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｌ ｒｅｓｕｌｔｓ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｐｒｏｐｏｓｅｄ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｉｓ ｒｏｂｕｓｔ ｔｏ ｎｏｉｓｅ．Ｔｈｅ ｐｒｏｐｏｓｅｄ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｃａｎ ｂｅ ａｐｐｌｉｅｄ ｉｎ ｃｏｍｐｒｅｓｓｅｄ－－ｓｅｎｓｉｎｇ－－ｂａｓｅｄ ｓｉｇｎａｌ ｒｅｃｏｖｅｒｙ ｉｎ ｔｈｅ ｑｕａｔｅｒｎｉｏｎ ｄｏｍａｉｎ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｑｕａｔｅｍｉｏｎ；ｓｉｇｎａｌ ｒｅｃｏｖｅｒｙ；ｃｏｍｐｒｅｓｓｅｄ ｓｅｎｓｉｎｇ ｄｏｉ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１００３—７９８５．２０１３．０１．００７ Ｔ ｈｐｅｏ ｒｐｔａｒｎｏｔｂ ｌｒｅｏｍｌｅ ｏｉｆｎ Ｌｔｈ１－ｅｎ ｏｒｒｅｍｃｅ ｎｍｉｔｌｙｎ ｉｍｉｄｅｚｖａｅｔｌｉｏｏｐｎｅ ｄｐ ｌｃａｏｙｍｐｓ ａｎｒｅ ｓｉｓｍｅｄ— ｓｅｎｓｉｎｇ（ＣＳ）ｔｈｅｏｒｙ ，ｗｈｉｃｈ ｉｓ ａ ｎｅｗ ａｐｐｒｏａｃｈ ｆｏｒ ｄａ— ｔａ ａｃｑｕｉｓｉｔｉｏｎ ａｎｄ ｈａｓ ｗｉｄｅ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ ｉｎ ｔｈｅ ｆｉｅｌｄ ｏｆ ｓｉｇ— ｎａｌ ａｎｄ ｉｍａｇｅ ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ．ＣＳ ｈａｓ ｂｅｅｎ ｃｏｎｖｅｎｔｉｏｎａｌｌｙ ｕｓｅｄ ｔｏ ｒｅａｌ ｉｎｐｕｔ ｄａｔａ．Ｒｅｃｅｎｔｌｙ，ｓｐｅｃｉａｌ ａｔｔｅｎｔｉｏｎ ｈａｓ ａｌ— ｓｏ ｂｅｅｎ ｐａｉｄ ｔｏ ｔｈｅ ｃｏｍｐｌｅｘ ｉｎｐｕｔ ｄａｔａ ｓｕｃｈ ａｓ ｂｌｉｎｄ ｓｏｕｒｃｅ ｓｅｐａｒａｔｉｏｎＩ ａｎｄ ｔｅｒａｈｅｒｔｚ ｉｍａｇｉｎｇ【５１． Ｏｎ ｔｈｅ ｏｔｈｅｒ ｈａｎｄ，ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ ａｎｄ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ ｑｕａ— ｔｅｒｎｉｏｎ ｏｒ ｈｙｐｅｒｃｏｍｐｌｅｘ ａｌｇｅｂｒａ，ｉｎｖｅｎｔｅｄ ｂｙ Ｈａｍｉｌ— ｔｏｎ【 ｈａｖｅ ｒｅｃｅｉｖｅｄ ｍｕｃｈ ａｔｔｅｎｔｉｏｎ ｉｎ ｒｅｃｅｎｔ ｙｅａｒｓｔ 一 ． ．Ｅｌｌ ａｎｄ Ｓａｎｇｗｉｎｅ ａｐｐｌｉｅｄ ｔｈｅ ｑｕａｔｅｒｎｉｏｎ Ｆｏｕｒｉｅｒ ｔｒａｎｓ— ｏｆｒｍ ｔｏ ｃｏｌｏｒ ｉｍａｇｅ ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ．Ｊｉａｎｇ ａｎｄ Ｗｅｉ ｐｒｏ— ｐｏｓｅｄ ａｌｌ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｆｏｒ ｓｏｌｖｉｎｇ ｔｈｅ ｑｕａｔｅｒｎｉｏｎ ｌｅａｓｔ Ｒｅｃｅｉｖｅｄ ２０１２．１０ ２９． Ｂｉｏｇｒａｐｈｉｅｓ：Ｚｈａｎｇ Ｘｕ（１９８４一），ｍａｌｅ，ｇｒａｄｕａｔｅ；Ｓｈｕ Ｈｕａｚｈｏｎｇ（ｃｏｒ— ｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ ａｕｔｈｏｒ），ｍａｌｅ，ｄｏｃｔｏｒ，ｐｒｏｆｅｓｓｏｒ，ｓｈｕ．１ｉｓｔ＠ｓｅｕ．ｅｄｕ．ｃｎ． ＦｏｕｎｄａｔｉＯｉｌ ｉｔｅｍｓ：Ｔｈｅ Ｎａｔｉｏｎａｌ Ｂａｓｉｃ Ｒｅｓｅａｒｃｈ Ｐｒｏｇｒａｍ ｏｆ Ｃｈｉｎａ ｆ ９７３ ｐｒｏｇｒａｍ）（Ｎｏ．２０１１ＣＢ７０７９０４），ｔｈｅ Ｎａｔｉｏｎａｌ Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｆｏｕｎｄａ・ ｔｉｏｎ ｏｆ Ｃｈｉｎａ（Ｎｏ．６１０７３１３８，６１２７１３１２，６１２０ｌ３４４，８１１０１１０４， ６０９１ １ １３０３７０１．ｔｈｅ Ｒｅｓｅａｒｃｈ Ｆｕｎｄ ｆｏｒ ｔｈｅ Ｄｏｃｔｏｒａｌ Ｐｒｏｇｒａｍ ｏｆ Ｈｉｇｈｅｒ Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ ｏｆ Ｍｉｎｉｓｔｒｙ ｏｆ Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ ｏｆ Ｃｈｉｎａ ｆ Ｎｏ．２０１１００９２ｌ１００２３． ２０１２０ｏ９２１２ｏ０３６１．ｔｈｅ Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｆｏｕｎｄａｔｉｏｎ ｏｆ Ｊｉａｎｇｓｕ Ｐｒｏｖｉｎｃｅ （Ｎｏ．ＢＫ２０１２３２９，ＢＫ２Ｏ１２７４３）． Ｃｉｔａｔｉｏｎ：Ｚｈａｎｇ Ｘｕ，Ｗｕ Ｊｉａｓｏｎｇ，Ｙａｎｇ Ｇｕａｎｙｕ，ｅｔ ａ１．Ｌｌ—ｎｏｒｍ ｍｉｎｉ— ｍｉｚａｔｉｏｎ ｆｏｒ ｑｕａｔｅｒｎｉｏｎ ｓｉｇｎａｌｓ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｓｏｕｔｈｅａｓｔ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ （Ｅｎｇｌｉｓｈ Ｅｄｉｔｉｏｎ），２０１３，２９（１）：３３—３７．［ｄｏｉ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１００３— ７９８５．２０１３．０１．００７１ ｍｉｎ ｌｌＸＡ—Ｙ ｆｌ２ ｓ．ｔ．Ｂｘ＝ｚ （１） ｗｈｅｒｅ Ａ∈Ｑ ，Ｂ∈Ｑ“ ，Ｘ∈Ｑ ，ｙ∈Ｑ” ，Ｑ ｄｅ— ｎｏｔｅｓ ｔｈｅ ｑｕａｔｅｍｉｏｎ ｎｕｍｂｅｒ ｉｆｅｌｄ，ａｎｄ＿Ｉ・ｌＩ２ ｄｅｎｏｔｅｓ ｔｈｅ Ｌ２－ｎｏｒｍ ｏｆ ｑｕａｔｅｒｎｉｏｎ ｖｅｃｔｏｒ．Ｔｈｅ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｒｅｐｏｒｔｅｄ ｉｎ Ｒｅｆ．［９］ｗａｓ ｆｕｒｔｈｅｒ ｅｘｔｅｎｄｅｄ ｂｙ Ｊｉｎａｇ ｅｔ ａ１． １０ ３ ｔｏ ａ ｔｗｏ— ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｓｃｅｎａｒｉｏ ｗｈｅｒｅ ｔｈｅ ｉｎｐｕｔｓ ａｒｅ ｑｕａｔｅｒｎｉｏｎ ｍａ— ｔｉｒｃｅｓ．Ｎｏｔｅ ｔｈａｔ ｔｈｅ ａｌｇｏｒｉｔｈｍｓ ｒｅｐｏｒｔｅｄ ｉｎ Ｒｅｆｓ．［９—１０］ ｓｏｌｖｅ ｔｈｅ ｏｖｅｒｄｅｔｅｒｍｉｎｅｄ ｓｙｓｔｅｍ，ｔｈａｔ ｉｓ，ｎ≥ｍ ｆｏｒ ｍｅａｓ・ ｕｒｅｍｅｎｔ ｍａｔｒｉｘ Ａ． Ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ，ｗｅ ｃｏｎｓｉｄｅｒ ｔｈｅ ｒｅｃｏｖｅｒｙ ｐｒｏｂｌｅｍ ｏｆ ｑｕａｔｅｒｎｉｏｎ ｓｉｇｎａｌｓ ｆｏｒ ｔｈｅ ｃａｓｅ ｗｈｅｒｅ ｎ≤ｍ，ｔｈａｔ ｉｓ，ｗｅ ｄｅａｌ ｗｉｈｔ ｔｈｅ ｕｎｄｅｒｄｅｔｅｒｍｉｎｅｄ ｌｉｎｅａｒ ｓｙｓｔｅｍ ｗｉｔｈ ｍｅａｓ— ｕｒｅｍｅｎｔ ｍａｔｒｉｘ Ａ，ｗｈｉｃｈ ｉｓ ｑｕｉｔｅ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｆｒｏｍ ｔｈａｔ ｏｆ （１）．Ｗｅ ｗｉｌｌ ｄｏ ｔｈａｔ ｂｙ ｓｏｌｖｉｎｇ ａｎ Ｌｌ—ｎｏｒｍ ｍｉｎｉｍｉｚａ— ｔｉｏｎ ｐｒｏｂｌｅｍ．Ｔｏ ｔｈｅ ａｕｔｈｏｒｓ’ｋｎｏｗｌｅｄｇｅ，ｔｈｅ Ｌ１一ｎｏｒｒｎ ｍｉｎｉｍｉｚａｔｉｏｎ ｐｒｏｂｌｅｍ ｆｏｒ ｔｈｅ ｑｕａｔｅｒｎｉｏｎ ｓｉｇｎａｌｓ ｈａｓ ｎｏｔ ｙｅｔ ｂｅｅｎ ｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅｄ．Ｗｉｎｔｅｒ ｅｔ ａ１．［ ］ｃｏｎｖｅｒｔｅｄ ｔｈｅ Ｌ１一ｎｏｒｍ ｍｉｎｉｍｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ ｃｏｍｐｌｅｘ ｓｉｇｎａｌｓ ｔｏ ｔｈｅ ｓｅｃｏｎｄ— ｏｒｄｅｒ ｃｏｎｅ ｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ（ＳＯＣＰ），ｗｈｉｃｈ ｗａｓ ｔｈｅｎ ｓｏｌｖｅｄ ｂｙ ＳｅＤｕＭｉ ｓｏｆｔｗａｒｅ ．Ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ，ｗｅ ｅｘｔｅｎｄ ｈｔｅ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｔｏ ｔｈｅ ｑｕａｔｅｒｎｉｏｎ ｓｉｇｎａｌｓ ｗｉｔｈ ａｎｄ ｗｉｔｈｏｕｔ ｎｏｉｓｅ ｃｏｎｔａｍｉｎａｔｉｏｎ，ｗｈｉｃｈ ａｒｅ，ｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ，ｄｅｆｉｎｅｄ ｂｙ ｔｈｅ ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｔｗｏ ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ ｐｒｏｂｌｅｍｓ： ｍｉｎ ｌＩｘｌｌｌ ｓ．ｔ．Ｙ＝Ａｘ （２） ｍｉｎ ｌＩｘ Ｊｌｌ ｓ．ｔ．ＩｌＡｘ—Ｙｌｌ：≤ （３） ｗｈｅｒｅ Ｉ１．１Ｊ】ｄｅｎｏｔｅｓ ｔｈｅ Ｌ１．ｎｏｒｍ ｏｆ ｔｈｅ ｑｕａｔｅｎｒｉｏｎ ｖｅｃｔｏｒ ａｎｄ ｓ ｉｓ ｔｈｅ ｎｏｉｓｅ ｐｅｎａｌｔｙ ｌｅｖｅｌ ｆｏｒ ｎｏｉｓｅ ｔｅｒｍ ｅ ｉｎ ｎｏｉｓｅ ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔｓ Ｙ＝Ａｘ十ｅ． １ Ｄｅｆｔｎｉｔｉｏｎｓ Ａ ｑｕａｔｅｒｎｉｏｎ ｑ ｉｓ ａ ｈｙｐｅｒｃｏｍｐｌｅｘ ｎｕｍｂｅｒ ｗｈｉｃｈ ｃｏｎ— ｓｉｓｔｓ ｏｆ ｏｎｅ ｒｅａｌ ｐａｒｔ Ｒ（ｑ）ａｎｄ ｔｈｒｅｅ ｉｍａｇｉｎａｒｙ ｐａｒｔｓ ，（ｑ），Ｊ（ｑ）ａｎｄ Ｋ（ｑ）ａｓ ｆｏｌｌｏｗｓ： ｑ＝Ｒ（ｑ）＋，（ｑ）ｉ＋Ｊ（ｑ）Ｊ＋Ｋ（ｑ）ｋ （４） ｗｈｅｒｅ Ｒ（ｑ），，（ｑ），Ｊ（ｑ），Ｋ（ｑ）∈Ｒ；ａｎｄ ｉ，Ｊ ａｎｄ ｋ ｒａｅ ｔｈｒｅｅ ｉｍａｇｉｎａｒｙ ｕｎｉｔｓ ｏｂｅｙｉｎｇ ｔｈｅ ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｒｕｌｅｓ： ｉ ＝＿／ ＝ｋ ＝ｉｊｋ＝一１ （５） ｉｊ＝一ｊｉ＝ｋ，ｊｋ＝一 ＝ｉ，ｋｉ＝一ｆ ＝ （６） Ｚｈａｎｇ Ｘｕ，Ｗｕ Ｊｉａｓｏｎｇ，Ｙａｎｇ Ｇｕａｎｙｕ，Ｌｏｔｉｆ Ｓｅｎａｈｄｊｉ，ａｎｄ Ｓｈｕ Ｈｕａｚｈｏｎｇ Ｔｈｅ ｃｏｎｊｕｇａｔｅ ａｎｄ ｍｏｄｕｌｕｓ ｏｆ ａ ｑｕａｔｅｒｎｉｏｎ ａｒｅ，ｒｅ ｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ，ｄｅｆｉｎｅｄ ａｓ ＝［１，０，０，０，０，…，１，０，０，０，０］ ∈Ｒ ＝（１８） （１９） ［Ｒ（ｙ），，（），），Ｊ（ｙ）， （），）］ ∈Ｒ４ ０ ０ ０ Ｔ ｑ ＝Ｒ（ｑ）一，（ｑ）ｉ—Ｊ（ｑ）Ｊ～Ｋ（ｑ）ｋ （７） ０ ｑ ｌ＝ Ｗｅ ａｌｓｏ ｄｅｆｉｎｅ （ｑ）＋ （ｑ）＋‘，２（ｑ）＋Ｋ２（ｑ） （８） －Ｒ（ａ１） Ｉ（ａ１） Ｊ（ａ ） Ｋ（ａ．） Ｉ（ａ。） Ｒ（ａ ） Ｋ（ａ。） 一Ｊ（ａ ） Ｊ（ａ ） 一Ｋ（ａ。） Ｒ（ａ１） Ｋ（ａ ） Ｊ（ａ。） ● ● 一 ’ ● －Ａ＝［ａ ，…，ａ ］ ＝（９） 一Ｉ（ａ．） ‘ 一Ｉ（ａ ） Ｒ（ａ．） ● ● ［ｘｌ，…， ］Ｔ＝Ｒ（ ）＋，（ ）ｉ＋Ｊ（ｘ）ｊ＋ （ ）ｋ （１０） Ａ＝ ∈Ｒ“ ０ ０ ０ ０ Ｙ＝［Ｙ。，…，Ｙ ］ ＝Ｒ（ｙ）＋Ｉ（ｙ）ｉ＋Ｊ（Ｙ）ｊ＋Ｋ（ｙ）ｋ （１１） Ｔｈｅ Ｌｐ－ｎｏｒｍ ｏｆ ａ ｑｕａｔｅｒｎｉｏｎ ｖｅｃｔｏｒ ｘ ｉｓ ｇｉｖｅｎ ｂｙ ， Ｐ＝Ｉ，２ （１２） Ｉｎ ｔｈｉｓ ｓｅｃｔｉｏｎ，ｗｅ ｄｅｒｉｖｅ ａｎ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｂａｓｅｄ ｏｎ ＳＯＣＰ ｆ０ｒ Ｌ．－ｎｏｒｌｉ１ ｍｉｎｉｍｉｚａｔｉｏｎ ｐｒｏｂｌｅｍｓ ｄｅａｌｉｎｇ ｗｉｔｈ ｑｕａｔｅｒｎｉ— ｏｎ ｓｉｇｎａｌｓ． ２．１ Ｎｏｉｓｅｌｅｓｓ ｃａｓｅ Ｔｈｅ ｍｉｎｉｍｉｚａｔｉｏｎ ｐｒｏｂｌｅｍ ｓｈｏｗｎ ｉｎ（２）ｉｓ ｅｑｕｉｖａｌｅｎｔ ｔｏ ｉｔｓ ｅｐｉｇｒａｐｈ ｆｏｒｍ： ｍｉｎ ｆ∈Ｒ ｓ．ｔ．Ｙ＝Ａｘ，ｆＩｘｌｌ≤ｆ （１３） Ｂｙ ｉｎｔｒｏｄｕｃｉｎｇ ａｕｘｉｌｉａｒｙ ｖａｒｉａｂｌｅｓ ｔ，∈Ｒ ，ｗｈｅｒｅ ｒ＝ １，２，…，ｍ ａｎｄ Ｒ ｄｅｎｏｔｅｓ ｔｈｅ ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｒｅａｌ ｎｕｍｂｅｒ ｆｉｅｌｄ， ｈｔｅ ｓｅｃｏｎｄ ｃｏｎｓｔｒａｉｎｔ ｊ１≤ ｃｎａ ｂｅ ｄｅｃｏｍｐｏｓｅｄ ｉｎｔｏ ａ ｓｅｔ ｏｆ ｍ ｃｏｎｓｔｒａｉｎｔｓ ［Ｒ（ｘ，），Ｉ（ｘ，），Ｊ（ｘ ）， （ｘｒ）］ ｌ Ｉ≤ｆ ｒ＝１，２，…，ｍ （１４） ａｎｄ（１３）ｂｅｃｏｍｅｓ ｍｉｎｌｒｔ∈Ｒ ｔ ｓ．ｔ．Ｙ＝Ａｘ ［Ｒ（ｘ ），Ｉ（ｘ，），Ｊ（ｘ，），Ｋ（ｘ ）］ ＩＩ ≤ｔ， ｒ＝１，２，…，ｍ （１５） Ａｆｔｅｒ ｓｏｍｅ ｍａｎｉｐｕｌａｔｉｏｎ，（１５）ｃａｎ ｂｅ ｗｒｉｔｔｅｎ ａｓ ｍｉｎ 量∈Ｒ ｓ．ｔ． ＝ ［Ｒ（ｘ ），Ｉ（ｘ，），ｇ（ｘ，），Ｋ（ｘ，）］ ｆｆ ≤ｆ， ｒ：１，２，…，ｍ （１６） ｗｈｅｒｅ 膏＝［ｔ１，Ｒ（ｘ１），Ｉ（ｘ１），Ｊ（ｘ１），Ｋ（ｘ。），…， ｔ ，Ｒ（ｘ ），Ｉ（ｘ ），Ｊ（ｘ ），Ｋ（ｘ ）］ ∈Ｒ （１７） Ｒ（ａ ） Ｉ（ａ ） Ｊ（ａ ） Ｋ（ａ ） －Ｉ（ａ ） Ｒ（ａ ） Ｋ（ａ ） 一Ｊ（ａ ） 一ｇ（ａ ） 一Ｋ（ａ ） Ｒ（ａ ） Ｉ（ａ ） 一Ｋ（ａ ） Ｊ（ａ ） 一Ｉ（ａ ） Ｒ（ａ ） （２０） ２．２ Ｎｏｉｓｅ ｃａｓｅ Ｓｉｍｉｌａｒ ｔｏ ｔｈｅ ｐｒｅｖｉｏｕｓ ｃａｓｅ，ｔｈｅ ｍｉｎｉｍｉｚａｔｉｏｎ ｐｒｏｂｌｅｍ ｓｈｏｗｎ ｉｎ（３）ｃａｎ ｂｅ ｒｅｆｏｒｍｕｌａｔｅｄ ａｓ ｍｉｎ ∈Ｒ ｓ．ｔ．ｆ Ｉ一 ｌ ｌ≤８ ［Ｒ（ｘ，），Ｉ（ｘ，），Ｓ（ｘ，），Ｋ（ｘ ）］ ｌ Ｉ≤ｔ， ｒ＝１，２，…，ｍ （２１） Ｔｈｅ ｆｉｒｓｔ ｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ ｃｏｎｓｔｒａｉｎｔ ｏｆ（２ １）ｃａｎ ｂｅ ｔｔｅｎ ａｓ 膏 Ａ 叠一２ ＡＴｙ＋夕 ≤８ （２２） ｏｒ ｅｑｕｉｖａｌｅｎｔｌｙ ＩＩｚｌ ｌ≤２ｚ。ｚ （２３） ｗｈｅｒｅ ｚ：缸，Ｚｏ＝ｌ，ｚ。＝ ８２ ＡＴｙ一 （２４） Ｈｅｒｅ（ｚ，ｚｏ，ｚ１）ｂｅｌｏｎｇｓ ｔｏ ａ ｒｏｔａｔｅｄ ｓｅｃｏｎｄ．ｏｒｄｅｒ ｃｏｎｅ．Ｔａｋｉｎｇ ｔｈｅ ｌｉｎｅａｒ ｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐ ａｍｏｎｇ叠，ｚ，ｚ０ ａｎｄ ｚｌ ｉｎｔｏ ａｃｃｏｕｎｔ，ｗｅ ｃａｎ ｏｂｔａｉｎ ａ ｌｉｎｅａｒ ｃｏｎｓｔｒａｉｎｔ： ＡＹｅ＝ｂ ｗｈｅｒｅ ＝ 】∈Ｒ４Ⅲ ＝［叠，ｚ，ｚ０，ｚ１］∈Ｒ Ａ～ ０＝：『ｌ１ ；ＴＡ ｉ： 一 ．‘．． １（Ｊ Ｒ（４ｎ＋２）ｘ（４ｎ ＋５ｍ＋２）一１＿Ｎｅｇａｔｉｖｅ ｉｄｅｎｔｉｔｙ ｍａｔｒｉｘ Ａｎｄ ｔｈｅ ｏｒｉｇｉｎａｌ ｐｒｏｂｌｅｍ ｃａｎ ｂｅ ｔｕｒｎｅｄ ｉｎｔｏ ａ ｓｅｃｏｎｄ一０ｒ— ｄｅｒ ｃｏｎｅ ｐｒｏｂｌｅｍ ａｓ Ｌｌ—ｎｏｒｍ ｍｉｎｉｍｉｚａｔｉｏｎ ｆｏｒ ｑｕａｔｅｍｉｏｎ ｓｉｇｎａｌｓ ３５ ｍｉｎ ∈Ｒ １．Ｏ ０．９ Ｏ．８ ｓ．ｔ．ｂ～＝Ａ～Ｙｅ ＩＩ【ｎ（ｘ ），Ｉ（ｘ，），Ｊ（ｘ，），Ｋ（ｘ ）】 Ｉｌ：≤ｔ， ＩｚＩＩ：≤２ ｚ０ｚ。 ＝ｒ＝１，２，…，ｍ （２５） Ｏ．７ Ｏ．６ ０．５ Ｏ．４ ０．３ ［ ，０］∈Ｒ４ ～ ＝［ ，ｚ，ｚ０，ｚ１］∈Ｒ４ Ｏ．２ ０．１ （１６）ａｎｄ（２５）ａｒｅ ｔｈｅ ｓｔａｎｄａｒｄ ｆｏｒｍｓ ｏｆ ｔｈｅ ＳＯＣＰ ｐｒｏｂｌｅｍ ａｎｄ ｃａｎ ｂｅ ｓｏｌｖｅｄ ｂｙ ｕｓｉｎｇ ｓｅｖｅｒａｌ ｍａｔｕｒｅ ｔｏｏｌ— ｂｏｘｅｓ，ｓｕｃｈ ａｓ ＳｅＤｕＭｉ［１５］Ｔｈｅｎ，ｗｅ ｃａｎ ｅａｓｉｌｙ ｏｂｔａｉｎ ．０ ２０ ４Ｏ ６ｏ ８０ １ｏｏ １２０ １４ｏ １６０ Ｓｐａｍｉｔｙ ｌｅｖｅｌ ｏｆ ｏｎｇｉｎａｌ ｓｉｇｎａｌ ０ ｈｔｅ ｒｅｃｏｖｅｒｅｄ ｑｕａｔｅｒｎｉｏｎ ｓｉｇｎａｌ ｘｒ ｆｒｏｍ ｏｒ ． ３ Ｎｕｍｅｒｉｃａｌ Ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔｓ Ｉｎ ａ ｎｏｉｓｅｌｅｓｓ ｓｃｅｎａｒｉｏ，ｊｕｓｔ ａｓ ｉｎ Ｒｅｆ．１ １ ｌ，ｗｅ ｐｒｅｓｅｎｔ ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔｓ ｔｈａｔ ｉｎｄｉｃａｔｅ ｅｍｐｉｉｒｃａｌ ｂｏｕｎｄｓ ｏｎ ｓｐａｒｓｉｔｙ ｓ（ｔｉｍｅ ｄｏｍａｉｎ ｓｕｐｐｏ￣ｏｆ ｔｈｅ ｉｎｐｕｔ ｓｉｇｎａ１）ｒｅｌａ— ｔｉｖｅ ｔｏ ｎ（ｔｈｅ ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔｓ）ｆｏｒ ｐｅｒｆｅｃｔｌｙ ｒｅ． ｃｏｖｅｆｌｎｇ ａ ｑｕａｔｅｒｎｉｏｎ ｓｉｇｎａｌ ｘ．Ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔｓ ｃａｎ ｂｅ ｓｅｅｎ ａｓ ａ ｓｅｔ ｏｆ ｐｒａｃｔｉｃａｌ ｇｕｉｄｅｌｉｎｅｓ ｆｏｒ ｓｉｔｕａｔｉｏｎｓ ｉｎ ｗｈｉｃｈ ｏｎｅ ｅｘ． ｇ】置 口 皇田田 ＾日 ０ ０— ＨｒＩ ｐｅｃｔｓ ｐｅｒｆｅｃｔ ｒｅｃｏｖｅｒｙ ｆｒｏｍ ｒａｎｄｏｍ Ｇａｕｓｓｉａｎ ｑｕａｔｅｒｎｉｏｎ ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔｓ ｕｓｉ∞∞加ｎｇ ＳＯＣＰ ∞∞∞∞Ｎｕｍｅｒ加 ｉｃａｌ ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔｓ ａｒｅ ｃａｒｄｅｄ ｏｕｔ ａｓ ｆｏｌｌｏｗｓ： １）Ａｎ ｎ ｂｙ ｍ（ｍ＝５１２ ｉｓ ｔｈｅ ｌｅｎｇｔｈ ｏｆ ｉｎｐｕｔ ｓｉｇｎａｌ。ｎ ｉｓ ｔｈｅ ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔｓ、ｒａｎｄｏｍ Ｇａｕｓｓｉａｎ ｍｅａｓ． ｕｒｅｍｅｎｔ ｍａｔｉｒｘ Ａ∈Ｑ （ｎ≤ｍ）ｉｓ ｐｒｏｄｕｃｅｄ ｗｉｈｔ ｒａｎ— ｄｏｍ ｅｎｔｒｉｅｓ ｓａｍｐｌｅｄ ｆｒｏｍ ａｎ ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ ａｎｄ ｉｄｅｎｔｉｃａｌｌｙ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｅｄ（ｉ．ｉ．ｄ．）Ｇａｕｓｓｉａｎ ｐｒｏｃｅｓｓ ｗｉｔｈ ａ ｚｅｒｏ ｍｅａｎ ｎａｄ ａ ｖａｒｉａｎｃｅ ｅｑｕａｌｉｎｇ １（ｉｎ ｑｕａｔｅｍｉｏｎ Ｌ２－ｎｏｒｍ ｓｅｎｓｅ）． ２）Ｓｐａｒｓｅ ｑｕａｔｅｍｉｏｎ ｉｎｐｕｔ ｓｉｇｎａｌ ｘ∈Ｑ～ ｉｓ ｐｒｏｄｕｃｅｄ ｂｙ ｓｅｌｅｃｔｉｎｇ ａ ｓｕｐｐｏ￣ｓｅｔ ｏｆ ｓｉｚｅ Ｊ Ｊ＝ｓ（ｓｐａｒｓｉｔｙ） ｕｎｉｆｏｒｍｌｙ ａｔ ｒａｎｄｏｍ ａｎｄ ｓａｍｐｌｉｎｇ ａ ｖｅｃｔｏｒ ｘ ｏｎ Ｔ ｗｉｔｈ ｉ．ｉ．ｄ．Ｇａｕｓｓｉａｎ ｅｎｔｒｉｅｓ． ３）Ｑｕａｔｅｒｎｉｏｎ ｏｕｔｐｕｔ ｓｉｇｎａｌ Ｙ∈Ｑ ｉｓ ｏｂｔｉａｎｅｄ ｂｙ ｍｕｌｔｉｐｌｙｉｎｇ Ａ ｗｉｔｈ ｉｎｐｕｔ ｘ． ４）Ｔｈｅ ｖｅｃｔｏｒｓ ， ， ａｎｄ ｍａｔｒｉｘ Ａ ａｒｅ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｅｄ ａｓ ｄｅｓｃｎｂｅｄ ｉｎ（１７）ｔｏ（２０）． ５）ＳｅＤｕＭｉ ｔｏｏｌｂｏｘ【１５ｊ ｉｓ ｃａｌｌｅｄ ｔｏ ｓｏｌｖｅ ＳＯＣＰ ｐｒｏｂｌｅｍ （１６）ａｎｄ ｔｈｅ ｅｒｒｏｒ ｉｓ ｃｏｍｐｕｔｅｄ．ｗｈｉｃｈ ｉｓ ｔｈｅ Ｌ，一ｎｏｒｎｌ ｏｆ ｈｔｅ ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ ｂｅｔｗｅｅｎ ｔｈｅ ｒｅｃｏｖｅｒｅｄ ｓｉｇｎａｌ ｘｒ ａｎｄ ｔｈｅ ｉｎ— ｐｕｔ ｓｉｇｎａｌ ｘ，ｉ．ｅ．，ＩＩ 一ｘ Ｗｅ ｐｅｒｆｏｒｍ ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔｓ １００ ｔｉｍｅｓ ｆｏｒ ｅａｃｈ ｐａｉｒ ｏｆ ｓ ａｎｄ ｎ，ｔｈｅｎ ｗｅ ｓａｖｅ ｔｈｅｓｅ ｅｒｒｏｒｓ ａｎｄ ｃｏｕｎｔ ｔｈｅ ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ ｐｅｒｆｅｃｔ ｒｅｃｏｖｅｒｅｄ ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔｓ．Ｔｈｅ ｃｒｉｔｅｆｌｏｎ ｆｏｒ ｐｅｒｆｅｃｔ ｒｅｃｏｖｅｒｙ ｉｓ ｃｈｏｓｅｎ ａｓ ＩＩｘｒ—ｘ ≤１０～． Ｆｉｇ．１ ｓｈｏｗｓ ｔｈｅ ｒｅｃｏｖｅｒｙ ｓｕｃｃｅｓｓ ｒａｔｅ ｏｆ ５１２一ｌｅｎｇｔｈ ｓｉｇｎａｌｓ ｗｉｔｈ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔ ｎｕｍｂｅｒｓ ａｎｄ ｓｐａｒｓｉｔｙ ｌｅｖｅｌ ｃｏｎｆｉｇｕｒａｔｉｏｎｓ．Ｔｈｅ ｉｍａｇｅ ｉｎｔｅｎｓｉｔｙ ｉｎｄｉｃａｔｅｓ ａ ＳＵＣ— ｃｅｓｓ ｒａｔｉｏ ｗｉｔｈ ｓｐａｒｓｉｔｙ ｌｅｖｅｌ ｓ ａｎｄ ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔｓ ｎｕｍｂｅｒ ｎ．Ｆｉｇ．２ ｄｅｐｉｃｔｓ ｉｔｓ ｃｒｏｓｓ ｓｅｃｔｉｏｎ ａｔ ｆｉｖｅ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｖａｌｕｅｓ ｏｆ ｎ．Ｉｔ ｃａｎ ｂｅ ｓｅｅｎ ｆｒｏｍ ｔｈｉｓ ｆｉｇｕｒｅ ｔｈａｔ ｆｏｒ ｎ≥３２．ｔｈｅ ｒｅｃｏｖｅｒｙ ｒａｔｅ ｉｓ ａｂｏｕｔ ８０％ｗｈｅｎ ｓ≤ｎ／５ ａｎｄ ｐｒａｃｔｉｃａｌｌｙ １００％ｗｈｅｎ ｓ≤ｎ／８．Ｔｈｅｓｅ ｒｅｓｕｌｔｓ ａｒｅ ｖｅｒｙ ｓｉｍｉｌａｒ ｔｏ ｔｈｏｓｅ ｒｅｐｏｒｔｅｄ ｉｎ Ｒｅｆ．［１］ｗｈｉｃｈ ｄｅａｌｓ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｒｅａｌ ｓｉｇ－ ｎａｌ ｗｉｔｈ ｌｅｎｇｔｈ ｍ＝５１２． Ｆｉｇ．１ Ｒｅｃｏｖｅｒｙ ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔ ｆｏｒ ｍ＝５１２ ＩＴｌ／ｎ Ｆｉｇ．２ Ｃｒｏｓｓ ｓｅｃｔｉｏｎ ｏｆ Ｆｉｇ．１ ａｔ ｎ＝８，１６，３２，６４ ａｎｄ １２８ Ｔｏ ｆｕｒｔｈｅｒ ｉｌｌｕｓｔｒａｔｅ ｔｈｅ ｒｅｃｏｖｅｒｙ ｒｅｓｕｌｔｓ，Ｆｉｇ．３ ａｎｄ Ｆｉｇ．４ ｄｅｐｉｃｔ ｔｈｅ ｏｒｉｇｉｎａｌ ｑｕａｔｅｒｎｉｏｎ ｓｉｇｎａｌ ｘ ａｎｄ ｉｔｓ ｃｏｒｒｅ— ｓｐｏｎｄｉｎｇ ｒｅｃｏｖｅｒｅｄ ｓｉｇｎａｌ ｘｒ．Ｉｎ Ｆｉｇ．３，ｍ＝５１２，ｎ＝ １６０．ａｎｄ ｓ＝６０ ａｎｄ ｔｈｅ ｑｕａｔｅｒｎｉｏｎ ｓｉｇｎａｌ ｉｓ ｐｅｒｆｅｃｔｌｙ ｒｅ— ｃｏｖｅｒｅｄ．Ｉｎ Ｆｉｇ．４，ｍ＝５１２， ＝１６０，ａｎｄ ｓ＝１２０ ａｎｄ ｉｎ ｔｈｉｓ ｃａｓｅ ｔｈｅ ｒｅｃｏｖｅｒｙ ｐｒｏｃｅｓｓ ｆａｉｌｅｄ． 喜一 竺０ ｔＯ０ ２００ ３００ ４００ ５００ ＝！ 竺＝！鬯喜一 ０ １００ ２００ ３００ ４００ ５００ ！竺！＝空±堂 （ａ） （ｂ） ０ １００ ２ｏｏ ３ｏ０ ４００ ５００ ０ １００ ２ｏｏ ３ｏｏ ４００ ５００ Ｉｎｄｅｘ Ｉｎｄｅｘ （ｅ） （ｆ） 耋一 Ｅ０ １００ ２００ ３ｏｏ ４００ ５００ ＝＝＝＝＝ ＝＝：型 一 Ｅ０ １００ ２００ ３０ｏ ４０ｏ ５００ ！＝＝ 竺 Ｉｎｄｅｘ Ｉｎｄｅｘ （ｇ） （ｈ） Ｆｉｇ．３ Ｉｌｌｕｓｔｒａｔｉｏｎ ｏｆ ｓｕｃｃｅｓｓｆｕｌ ｒｅｃｏｖｅｒｙ ｏｆ ｑｕａｔｅｒｎｉｏｎ ｓｉｇｎａｌ ｗｉｔｈ ｓｐａｒｓｉｔｙ ｌｅｖｅｌ ｓ＝６０．（ａ）Ｏｒｉｇｉｎａｌ ｓｉｇｎａｌ，ｒ ｐａｒｔ；（ｂ）Ｒｅｃｏｖ— ｅｒｅｄ ｓｉｇｎａｌ，ｒ ｐａｒｔ；（ｃ）Ｏｒｉｇｉｎａｌ ｓｉｇｎａｌ，ｉ ｐａｒｔ；（ｄ）Ｒｅｃｏｖｅｒｅｄ ｓｉｇｎａｌ， ｉ ｐａｒｔ；（ｅ）Ｏｒｉｇｉｎａｌ ｓｉｇｎａｌ，Ｊ ｐａｒｔ；（ｆ）Ｒｅｃｏｖｅｒｅｄ ｓｉｇｎａｌ，Ｊ ｐａｒｔ； （ｇ）Ｏｒｉｇｉｎａｌ ｓｉｇｎａｌ，ｋ ｐａｒｔ；（ｈ）Ｒｅｃｏｖｅｒｅｄ ｓｉｇｎａｌ，ｋ ｐａｒｔ Ｉｎ ｔｈｅ ｎｏｉｓｅ ｃａｓｅ，ｔｈｅ ｏｒｉｇｉｎａｌ ｓｉｇｎａｌ ｘ ａｎｄ ｍｅａｓｕｒｅ— ｍｅｎｔ ｍａｔｉｒｘ Ａ ａｒｅ ｇｅｎｅｒａｔｅｄ ａｓ ｉｎ ｔｈｅ ｎｏｉｓｅｌｅｓｓ ｃａｓｅ ｎ＝ ３６ Ｚｈａｎｇ Ｘｕ，Ｗｕ Ｊｉａｓｏｎｇ，Ｙａｎｇ Ｇｕａｎｙｕ，Ｌ０ｔｆｉ Ｓｅｎａｈｄｊｉ，ａｎｄ Ｓｂｕ Ｈｕａｚｈｏｎｇ １６０．ｍ＝５１２．ｓ＝６０．Ｔｈｅ ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔｓ ａｒｅ ｃｏｒｒｕｐｔｅｄ ｂｙ ｔｈｅ ｗｈｉｔｅ ｑｕａｔｅｒｎｉｏｎ Ｇａｕｓｓｉａｎ ｎｏｉｓｅ ｖｅｃｔｏｒ ｃｏｍｐｒｉｓｅｄ 一 ｏｆ ｉ．ｉ．ｄ．Ｇａｕｓｓｉａｎ ｖａｒｉａｂｌｅｓ ｗｉｔｈ ｍｅａｎ ０ ａｎｄ ｖａｒｉａｎｃｅ ，ｓｏ ｔｈｅ ｓｑｕａｒｅｄ Ｌ，一ｎｏｒｎｌ ｏｆ ｎｏｉｓｅ ｖｅｃｔｏｒ ｌ＿ｅ ｉｓ ａ ｃｈｉ— ｊ Ｉｎｄｅｘ Ｉｎｄｅｘ （ａ） （ｂ） ｓｑｕａｒｅ ｒａｎｄｏｍ ｖａｒｉａｂｌｅ ｗｉｔｈ ｍｅａｎ ４ｎｏ－ ａｎｄ ｓｔａｎｄａｒｄ ｄｅ— ｖｉａｔｉｏｎ ２ 耽ｒ ．Ｓｉｎｃｅ ｔｈｅ ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ ｔｈａｔ ｌ ｌｅ ｅｘｃｅｅｄｓ ｉｔｓ ｍｅａｎ ｐｌｕｓ ｔｗｏ ｏｒ ｔｈｒｅｅ ｓｔａｎｄａｒｄ ｄｅｖｉａｔｉｏｎｓ ｉｓ ｓｍａｌ１， 》一 一 Ｉｎｄｅｘ Ｉｎｄｅｘ ｈｅｒｅ ｗｅ ｃｈｏｏｓｅ ｔｈｅ ｃｏｎｓ￣ａｉｎｔ ｐａｒａｍｅｔｅｒ ８ ｔｏ ｂｅ ｓ ／４ｎ＋４ ［『。２ 耋一２ Ｉｎｄｅｘ Ｉｎｄｅｘ （ａ） （ｂ） 。２ 主一２ Ｉｎｄｅｘ Ｉｎｄｅｘ （ｇ） （ｈ） Ｆｉｇ．４ Ｉｌｌｕｓｔｒａｔｉｏｎ ｏｆ ｆａｉｌｅｄ ｒｅｃｏｖｅｒｙ ｏｆ ｑｕａｔｅｍｉｏｎ ｓｉｇｎａｌ ｗｉｔｈ ｓｐａｒｓｉｔｙ ｌｅｖｅｌ ｓ＝１２０．（ａ）Ｏｒｉｇｉｎａｌ ｓｉｇｎａｌ，ｒ ｐａｒｔ；（ｂ）Ｒｅｃｏｖｅｒｅｄ ｓｉｇｎａｌ， ｐａｒｔ；（ｃ）Ｏｒｉｇｉｎａｌ ｓｉｇｎａｌ，ｉ ｐａｒｔ；（ｄ）Ｒｅｃｏｖｅｒｅｄ ｓｉｇｎａｌ，ｉ ｐａｒｔ；（ｅ）Ｏｒｉｇｉｎａｌ ｓｉｇｎａｌ， ｐａｒｔ；（ｆ）Ｒｅｃｏｖｅｒｅｄ ｓｉｇｎａｌ， ｐａｒｔ；（ｇ） Ｏｒｉｇｉｎａｌ ｓｉｇｎａｌ，ｋ ｐａｒｔ；（ｈ）Ｒｅｃｏｖｅｒｅｄ ｓｉｇｎａｌ，ｋ ｐａｒｔ Ｗｅ ｃａｒｒｉｅｄ ｏｕｔ ｔｅｎ ｒｅｃｏｖｅｒｙ ｔｒｉａｌｓ ａｔ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｎｏｉｓｅ ｌｅｖ— ｅｌｓ，ａｎｄ ｔｈｅ ａｖｅｒａｇｅ ｒｅｃｏｖｅｒｙ ｅｒｒｏｒｓ ｗｉｔｈ ｒｅｓｐｅｃｔ ｔｏ ｃｏｒｒｅ— ｓｐｏｎｄｉｎｇ ｎｏｉｓｅ ｓｔｒｅｎｇｔｈｓ ｉｎ ｔｈｏｓｅ ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔｓ ａｒｅ ｓｈｏｗｎ ｉｎ Ｔａｂ．１．Ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔｓ ｉｎ Ｔａｂ．１ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｐｒｏｐｏｓｅｄ ｒｅｃｏｖｅｒｙ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｉｓ ｒｏｂｕｓｔ ｔｏ ｎｏｉｓｅ ｃｏｎｔａｍｉｎａｔｉｏｎ，ａｎｄ ｔｈｅ ｒｅｃｏｖｅｒｙ ｅｒｒｏｒｓ ａｒｅ ａｂｏｕｔ ｔｗｏ ｔｉｍｅｓ ｔｈｅ ｎｏｉｓｅ ｓｔｒｅｎｇｔｈｓ．Ａｎ ｅｘａｍｐｌｅ ｏｆ ａ ｒｅｃｏｖｅｒｙ ｏｆ ｓｐａｒｓｅ ｓｉｇｎａｌｓ ｗｉｔｈ ｎｏｉｓｙ ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔｓ ｉｓ ｓｈｏｗｎ ｉｎ Ｆｉｇ．５（ｏ－＝０．５）． Ｔａｂ．１ Ｒｅｃｏｖｅｒｙ ｅｒｒｏｒｓ ｗｉｔｈ ｒｅｓｐｅｃｔ ｔｏ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ ｎｏｉｓｅ ｓｔｒｅｎｇｔｈｓ ４ Ｃｏｎｃｌｕｓｉｏｎｓ ａｎｄ Ｆｕｔｕｒｅ Ｗｏｒｋ Ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ，ｗｅ ｐｒｏｐｏｓｅ ａｎ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｆｏｒ ｓｏｌｖｉｎｇ ｔｈｅ Ｌ１一ｎｏｒｌ／１ ｍｉｎｉｍｉｚａｔｉｏｎ ｐｒｏｂｌｅｍ ｏｆ ｑｕａｔｅｒｎｉｏｎ ｓｉｇｎａｌｓ， ｗｈｉｃｈ ｉｓ ｃｏｎｖｅｒｔｅｄ ｔｏ ＳＯＣＰ ａｎｄ ｔｈｅｎ ｓｏｌｖｅｄ ｂｙ ＳｅＤｕＭｉ ｓｏｆｔｗａｒｅ．Ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｅｘａｍｐｌｅｓ ａｒｅ ｐｒｏｖｉｄｅｄ ｔｏ ｉｌｌｕｓｔｒａｔｅ ｔｈｅ ｆｅａｓｉｂｉｌｉｔｙ ｏｆ ｔｈｅ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ．Ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔｓ ｃａｎ ｂｅ ｖｉｅｗｅｄ ａｓ ａ ｓｅｔ ｏｆ ｐｒａｃｔｉｃａｌ ｇｕｉｄｅｌｉｎｅｓ ｆｏｒ ｓｉｔｕａｔｉｏｎｓ ｗｈｅｒｅ ｏｎｅ ０ 一 Ｉｎｄｅｘ Ｉｎｄｅｘ （ｅ） （ｆ） ∞２ 主一２ Ｉｎｄｅｘ Ｉｎｄｅｘ （ｇ） （ｈ） Ｆｉｇ．５ Ｅｘａｍｐｌｅ ｏｆ ｓｐａｒｓｅ ｓｉｇｎａｌ ｒｅｃｏｖｅｒｙ ｗｉｔｈ ｎｏｉｓｙ ｍｅａｓｕｒｅ— ｍｅｎｔｓ．（ａ）Ｏｒｉｇｉｎａｌ ｓｉｇｎａｌ，ｒｐａｒｔ；（ｂ）Ｒｅｃｏｖｅｒｅｄ ｓｉｇｎａｌ，ｒｐａｒｔ；（ｃ） Ｏｒｉｇｉｎａｌ ｓｉｇｎａｌ，ｉ ｐａｒｔ；（ｄ）Ｒｅｃｏｖｅｒｅｄ ｓｉｇｎａｌ，ｉ ｐａｒｔ；（ｅ）Ｏｒｉｇｉｎａｌ ｓｉｇ— ｎａｌ， ｐａｒｔ；（ｆ）Ｒｅｃｏｖｅｒｅｄ ｓｉｇｎａｌ， ｐａｒｔ；（ｇ）Ｏｒｉｇｉｎａｌ ｓｉｇｎａｌ，ｋ ｐａｒｔ； （ｈ）Ｒｅｃｏｖｅｒｅｄ ｓｉｇｎａｌ，ｋ ｐａｒｔ ｅｘｐｅｃｔｓ ｐｅｒｆｅｃｔ ｏｒ ｓｔａｂｌｅ ｒｅｃｏｖｅｒｙ ｆｒｏｍ ｒａｎｄｏｍ Ｇａｕｓｓｉａｎ ｑｕａｔｅｒｎｉｏｎ ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔ ｍａｔｉｒｘ ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｕｓｉｎｇ ＳＯＣＰ． Ｔｈｅ ｍａｉｎ ａｄｖａｎｔａｇｅ ｏｆ ｔｈｅ ｐｒｏｐｏｓｅｄ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｉｓ ｔｈａｔ ｗｈｅｎ ｃｏｎｖｅｒｔｉｎｇ ｔｈｅ ｑｕａｔｅｒｎｉｏｎ ｖａｌｕｅｓ ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ ｔｏ ｔｈａｔ ｏｆ ｒｅａ１ ｖａｌｕｅｓ．ｍａｎｙ ｍａｔｕｒｅ ｔｏｏｌｂｏｘｅｓ ｃａｎ ｂｅ ａｐｐｌｉｅｄ． Ｈｏｗｅｖｅｒ，ｔｈｅ ｃｏｎｖｅｒｔｉｎｇ ｐｒｏｃｅｓｓ ｄｅｃｏｕｐｌｅｓ ｔｈｅ ｒｅａｌ ａｎｄ ｉｍａｇｉｎａｒｙ ｐａｒｔｓ ｏｆ ｔｈｅ ｑｕａｔｅｒｎｉｏｎ ｓｉｇｎａｌｓ ａｎｄ ｎｏ ｐｒｉｏｒ ｐｈａｓｅ ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｉｓ ｅｘｐｌｏｉｔｅｄ．Ｆｕｒｔｈｅｒ ｒｅｓｅａｒｃｈ ｉｎｃｌｕｄｅｓ： ｌ、Ｃｏｎｓｉｄｅｒｉｎｇ ｔｈｅ ｐｒｉｏｒ ｐｈａｓｅ ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｉｎ ｑｕａｔｅｒｎｉｏｎ ｓｉｇｎａｌｓ ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ ；２）Ｅｘｔｅｎｄｉｎｇ ｔｈｅ ｑｕａｔｅｒｎｉｏｎ ｓｉｇ。 ｎａｌ ｖｅｃｔｏｒ Ｌ．．ｎｏｒｌｎ ｍｉｎｉｍｉｚａｔｉｏｎ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｔｏ ｔｈａｔ ｏｆ ｑｕａ－ ｔｅｒｎｉｏｎ ｍａｔｒｉｘ ｎｕｃｌｅａｒ ｎｏｒｉｆｌ ｍｉｎｉｍｉｚａｔｉｏｎ，ｔｈａｔ ｉｓ，ｑｕａ— ｔｅｍｉｏｎ ｍａｔｉｒｘ ｃｏｍｐｌｅｔｉｏｎ １６ Ｊ；３）Ｓｔｕｄｙｉｎｇ ｔｈｅ ｐｒｏｂｌｅｍ ｏｆ ｒｏｂｕｓｔ ｑｕａｔｅｒｎｉｏｎ ｐｒｉｎｃｉｐａｌ ｃｏｍｐｏｎｅｎｔ ａｎａｌｙｓｉｓ ． Ｒｅｆｅｒｅｎｃｅｓ ［１］Ｃａｎｄ￣ｓ Ｅ，Ｒｏｍｂｅｒｇ Ｊ，Ｔａｏ Ｔ．Ｒｏｂｕｓｔ ｕｎｃｅ￣ａｉｎｔｙ ｐｒｉｎｃｉ— ｐｌｅｓ：ｅｘａｃｔ ｓｉｇｎａｌ ｒｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ ｆｒｏｍ ｈｉｇｈｌｙ ｉｎｃｏｍｐｌｅｔｅ ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ ｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｉ 。＼．ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ ｏｎ Ｉｎｆｏｒ－ ｍａｔｉｏｎ Ｔｈｅｏｒｙ。２００６，５２（２）：４８９—５０９． 『２］Ｄｏｎｏｈｏ Ｄ．Ｃｏｍｐｒｅｓｓｅｄ ｓｅｎｓｉｎｇ １ Ｊ １．ＩＥＥＥ ｍｎｓａｃｔｉｏｎｓ ｏｎ Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｔｈｅｏｒｙ，２００６，５２（４）：１２８９—１３０６． ［３］Ｃａｎｄ￣ｓ Ｅ，Ｒｏｍｂｅｒｇ Ｊ，Ｔａｏ Ｔ．Ｓｔａｂｌｅ ｓｉｇｎａｌ ｒｅｃｏｖｅｒｙ ｒｆｏｍ ｉｎｃｏｍｐｌｅｔｅ ａｎｄ ｉｎａｃｃｕｒａｔｅ ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔｓ［Ｊ］．Ｃｏｒｎ— ｍｕｎｉｃａｔｉｏｎｓ ｏｎ Ｐ“ ａｎｄ Ａｐｐｌｉｅｄ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ．２００６．５９ （８）：１２０７—１２２３． 『４］Ｗｉｎｔｅｒ Ｓ。Ｋｅｌｌｅｒｍａｎｎ Ｗ，Ｓａｗａｄａ Ｈ，ｅｔ ａ１．ＭＡＰ—ｂａｓｅｄ ｕｎｄｅｒｄｅｔｅｒｍｉｎｅｄ ｂｌｉｎｄ ｓｏｕｒｃｅ ｓｅｐａｒａｔｉｏｎ ｏｆ ｃｏｎｖｏｌｕｔｉｖｅ ｍｉｘｔｕｒｅｓ ｂｙ ｈｉｅｒａｒｃｈｉｃａｌ ｃｌｕｓｔｅｒｉｎｇ ａｎｄ Ｌｌ—ｎｏｒｉｎ ｍｉｎｉｍｉ— ｚａｔｉｏｎ ｉ 、．ＥＵＲＡＳＩＰ Ｊｏｕｒｎａｔ ｏｎ Ａｄｖａｎｃｅｓ ｉｎ Ｓｉｇｎａｌ Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ．２００７，２Ｏ０７（１）：８１． ［５］Ｙｕ Ｓ，Ｋｈｗａｊａ Ａ Ｓ，Ｍａ Ｊ．Ｃｏｍｐｒｅｓｓｅｄ ｓｅｎｓｉｎｇ ｏｆ ｃｏｍ— ｐｌｅｘ—ｖａｌｕｅｄ ｄａｔａ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｎ Ｓｉｇｎａｌ Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ， ２０１２．９２（２）：３５７—３６２． 『６］Ｈａｍｉｌｔｏｎ Ｗ Ｒ．Ｏｎ ｑｕａｔｅｒｎｉｏｎｓ［ｃ］／／Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓ ｏｆ Ｌｌ—ｉｌｏｒｌ／ｌ ｍｉｎｉｍｉｚａｔｉｏｎ ｆｏｒ ｑｕａｔｅｒｎｉｏｎ ｓｉｇｎａｌｓ ３７ Ｒｏｙａｌ Ｉｒｉｓｈ Ａｃａｄｅｍｙ．Ｄｕｂｌｉｎ，Ｉｒｅｌａｎｄ，１８４４：１—１６． ｃｏｍｐｏｎｅｎｔ ｎａａｌｙｓｉｓ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｆｏｒ ｑｕａｔｅｒｎｉｏｎ ｓｉｇｎａｌｓ［Ｊ］． ［７］Ｅｌｌ Ｔ，Ｓａｎｇｗｉｎｅ Ｓ．Ｈｙｐｅｒｃｏｍｐｌｅｘ Ｆｏｕｒｉｅｒ ｔｒａｎｓｆｏｒｍｓ ｏｆ 衄Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ ｏｎ Ｎｅｕｒａｌ Ｎｅｔｗｏｒｋｓ，２０１ｌ，２２（１２）： ｃｏｌｏｒ ｉｍａｇｅｓ［Ｊ］．ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ ｏｎ Ｉｍａｇｅ Ｐｒｏｃｅｓｓ— １９６７—１９７８． ｉｎｇ，２００７，１６（１）：２２—３５． ［１３］Ｌｅ Ｂｉｈａｎ Ｎ，Ｂｕｃｈｈｏｌｚ Ｓ．Ｑｕａｔｅｒｎｉｏｎｉｃ ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ ｃｏｍ— ［８］Ｖｉａ Ｊ，Ｒａｍｉｒｅｚ Ｄ，Ｖｉｅｌｖａ Ｌ．Ｐｒｏｐｅｒｎｅｓｓ ａｎｄ ｗｉｄｅｌｙ ｌｉｎｅ— ｐｏｎｅｎｔ ａｎａｌｙｓｉｓ ｕｓｉｎｇ ｈｙｐｅｒｃｏｍｐｌｅｘ ｎｏｎｌｉｎｅａｒｉｔｉｅｓ Ｃ＼，， ａｒ ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ ｏｆ ｑｕａｔｅｒｎｉｏｎ ｒｎａｄｏｍ ｖｅｃｔｏｒｓ［Ｊ］．ＩＥＥＥ ７ｔｈ Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ Ｃｏｎｆｅｒｅｎｃｅ ｏｎ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ｏｆ Ｓｉｇｎａｌ Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ ｏｎ Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｔｈｅｏｒｙ，２０１０，５６（７）：３５０２ Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ．Ｃｉｒｅｎｃｅｓｔｅｒ，ＵＫ，２００６． —３５１５． ［１４］ Ｂｉｈａｎ Ｎ，Ｓａｎｇｗｉｎｅ Ｓ Ｊ．Ｑｕａｔｅｒｎｉｏｎ ｐｒｉｎｃｉｐａｌ ｃｏｍｐｏｎｅｎｔ ［９］Ｊｉｎａｇ Ｔ，Ｗｅｉ Ｍ．Ｅｑｕａｌｉｔｙ ｃｏｎｓｒｔａｉｎｅｄ ｌｅａｓｔ ｓｑｕａｒｅｓ ｐｒｏｂ— ｎａａｌｙｓｉｓ ｏｆ ｃｏｌｏｒ ｉｍａｇｅｓ［Ｃ］／／Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ Ｃｏｎｆｅｒｅｎｃｅ ｏｎ ｌｅｍ ｏｖｅｒ ｑｕａｔｅｍｉｏｎ ｉｆｅｌｄ［Ｊ］．Ａｐｐｌｉｅｄ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ Ｌｅｔ－ Ｉａｍｇｅ Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ．Ｂａｒｃｅｌｏｎａ，Ｓｐａｉｎ，２００３：８０８—８１２． ｔｅｒｓ，２００３，１６（６）：８８３—８８８． ［１５］Ｓｔｕｒｒｎ Ｊ Ｆ．Ｕｓｉｎｇ ＳｅＤｕＭｉ １．０２，ａ ＭＡＴＬＡＢ ｔｏｏｌｂｏｘ ｆｏｒ ［１Ｏ］Ｊｉａｎｇ Ｔ，Ｚｈａｏ Ｊ，Ｗｅｉ Ｍ．Ａ ｎｅｗ ｔｅｃｈｎｉｑｕｅ ｏｆ ｑｕａｔｅｒｎｉｏｎ ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ ｏｖｅｒ ｓｙｍｍｅｔｒｉｃ ｃｏｎｅｓ ｌ Ｊ １．Ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ ｅｑｕａｌｉｔｙ ｃｏｎｓｔｒａｉｎｅｄ ｌｅａｓｔ ｓｑｕａｒｅｓ ｐｒｏｂｌｅｍ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ Ｍｅｔｈｏｄｓ ａｎｄ Ｓｏｆｔｗａｒｅ，１９９９，１１（１）：６２５—６５３． ｏｆ Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌ ａｎｄ Ａｐｐｌｉｅｄ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，２００８，２１６ ［１６］Ｃａｎｄ￣ｓ Ｅ，Ｒｅｃｈｔ Ｂ．Ｅｘａｃｔ ｍａｔｒｉｘ ｃｏｍｐｌｅｔｉｏｎ ｖｉａ ｃｏｎｖｅｘ （２）：５０９—５１３． ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ［Ｊ］．Ｆｏｕｎｄａｔｉｏｎｓ ｏｆ Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌ Ｍａｔｈｅ— ［１１］Ｖｉａ Ｊ，Ｐａｌｏｍａｒ Ｄ Ｐ，Ｖｉｅｌｖａ Ｌ，ｅｔ ａ１．Ｑｕａｔｅｒｎｉｏｎ ＩＣＡ ｍａｔｉｃｓ，２００９，９（６）：７１７—７７２． ｆｒｏｍ ｓｅｃｏｎｄ—ｏｒｄｅｒ ｓｔａｔｉｓｔｉｃｓ［Ｊ］．１ＥＥＥ Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ ｏｎ ［１７］Ｃａｎｄ￣ｓ Ｅ，Ｌｉ Ｘ，Ｍａ Ｙ，ｅｔ ａ１．Ｒｏｂｕｓｔ ｐｒｉｎｃｉｐａｌ ｃｏｍｐｏ— Ｓｉｇｎａｌ Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ，２０１Ｉ，５９（４）：１５８６—１６００． ｎｅｎｔ ａｎａｌｙｓｉｓ？［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆＡＣＭ，２０１１，５８（３）：１— ［１２］Ｊａｖｉｄｉ Ｓ，Ｔｏｏｋ Ｃ Ｃ，Ｍａｎｄｉｃ Ｄ Ｐ．Ａ ｆｓａｔ ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ ３７． 基于Ｌ 范数正则化的四元数信号重建 张旭 伍家松 ’。 杨冠羽 ＇ Ｌｏｔｉｆ Ｓｅｎａｈｄｊｉ ’ 舒华忠 ， （。东南大学影像科学与技术实验室，南京２１００９６） （ ＬＴＳＩ，ＩＮＳＥＲＭ Ｕ １０９９，Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔ６ ｄｅ Ｒｅｎｎｅｓ １，Ｒｅｎｎｅｓ ３５０００，Ｆｒｎａｃｅ） （ 中法生物医学信息研究中心，南京２１００９６） 摘要：提出了一种通过求解Ｌ 范数最小化问题来重建四元数信号的算法，并且同时考虑了有噪声和没有噪 声２种应用场景．该算法首先将四元数域的Ｌ 范数最小化问题转化为实数域的二次锥规划问题，然后通过 工具包如ＳｅＤｕＭｉ来解决这个二次锥规划问题．为了验证所提出算法的正确性和有效性，进行了相关的数值 试验．试验结果表明：在没有噪声的情况下，在某些实际可接受的条件下原始信号的精确重建是可以实现 的；在有噪声的情况下，所提出的算法对于测量中的加性噪声具有鲁棒性．该算法可以被应用于四元数域基 于压缩感知理论的信号重建中． 关键词：四元数；信号重建；压缩感知 中图分类号：ＴＰ３９１
