贝叶斯统计-习题答案)

第一章 先验分布与后验分布

1.1 解：令10.1,20.2

设A为从产品中随机取出8个，有2个不合格，则

P(A1)C820.120.960.1488 P(A2)C820.220.860.2936 从而有

P(A|1)(1)0.14880.70.5418P(A|1)(1)P(A|2)(2)0.14880.70.29360.3(1|A)(2|A)or

P(A|2)(2)0.29360.30.4582P(A|1)(1)P(A|2)(2)0.14880.70.29360.3

(2|A)1(1|A)0.45821.2 解：令11,21.5

设X为一卷磁带上的缺陷数，则XP(X3)P()

3e3!

R语言求：^(3)*exp()/gamma(4)

P(X3)P(X31)(1)P(X32)(2)0.0998 从而有

P(X31)(1)P(X3)P(X3)(1X3)(2X3)0.2457P(X32)(2)

0.75431.3 解：设A为从产品中随机取出8个，有3个不合格，则

33P(A)C8(1)5

（1） 由题意知 ()1,01 从而有

1 / 321 / 32

贝叶斯统计-习题答案)

(|A)P(A|)()10P(A|)()d5C833(1)510C833(1)5dd3(1)5013(1)d3(1)53(1)5B(4,6)

0141(1)61R语言求1：1/beta(4,6)504B(4,6)(|A)5043(1)5,01.（2）

(|A)P(A|)()10P(A|)()dC06C833(1)52(1)1383(1)52(1)d3(1)6013(1)d3(1)63(1)6B(4,7)

0141(1)71dR语言求1：1/beta(4,7)840B(4,7)(|A)8403(1)6,01.1.5 解：（1）由已知可得

112211p(x1|)1，12，即22p(x1|)1，11.512.5p(x1|)1,x1,当x112时，

()1,101020,p(x1|)()20(|x1)10p(x1|)()d1/101,12.5111.510d11.512.5.（2）由已知可得

2 / 322 / 32

贝叶斯统计-习题答案)

1122当x112.0,x211.5,x311.7,x411.1,x511.4,x611.9时，p(x1,x2,x6|)1,xi,i1,2,6,111112，11.52222111111.7,11.1,2222111111.4,11.9,即2222p(x1,x2,x6|)1，11.511.6p(x1,x2,x6|)1，

()1,101020,p(x1,x2,x6|)()20(|x1,x2,x6)

10p(x1,x2,x6|)()d1/1010,11.6111.510d11.511.6.【原答案：由已知可得 P(x)1,0.5x0.5

1,1020 1011.61m(x)d0.01

11.510从而有

()(x)P(x)()10,11.511.6 】

m(x)1.6 证明：设随机变量XniP()，的先验分布为Ga(,)，其中,为已知，则

p(x1,x2,xn|)i1xexi!xii1nenix!i1n,1()e,0,() (|x1,x2,xn)p(x1,x2,xn|)•()xi1(n)i1en(|x1,x2,xn)~Ga(xi,n)i1n即得证！【原答案： P(x)xex!,0

3 / 323 / 32

贝叶斯统计-习题答案)

1e,0 ()()因此 (x)P(x)•()xe1ex1e(1) 所以 xGa(x,1)】 1.7 解：（1）由题意可知

np(x1,x2,xn|)i12xi2nxi12nni2,0xi1,i1,2,n,()1,01,(|x1,x2,xn)2np(x1,x2,xn|)()10p(x1,x2,xn|)()d

xi12nni12nxind1/(2n)1max{x1,xn}i12nmax{x1,xn}1/()d2n12n,max{x1,xn}1.【原答案：由题意可知 ()1,01 因此

m(x)12xx2•1d2(1x)

P(x)()x1,x1 因此 (x)m(x)1x2（实质是新解当n=1的情形）】

（2） 由题意可知

4 / 324 / 32

贝叶斯统计-习题答案)

np(x1,x2,xn|)i12xi2nxi12nni2,0xi1,i1,2,n,()32,01,(|x1,x2,xn)2np(x1,x2,xn|)()10p(x1,x2,xn|)()d

xi12nni323d21/(2n-2)12nxin1max{x1,xn}i12nmax{x1,xn}1/(2n-2)d12n-2,max{x1,xn}1.【原答案：由题意可知 m(x)因此 (x)12x02•32d6x

P(x)()1,01】

m(x)1.8 解：设A为100个产品中3个不合格，则

3P(A)C1003(1)97

由题意可知 ()(202)(1)199,01 (200)因此 (A)P(A)•()3(1)97(1)1994(1)296 由上可知(|A)~Be(5,297)

1.9 解：设X为某集团中人的高度，则XXN(,52)

N(,52) 10(176.53)25p(x)1e5

2(172.72)1由题意可知 ()e5.08

5.08又由于X是的充分统计量，从而有

(x)(x)p(x)•()

e(176.53)25•e(172.72)25.08e(174.)221.26

5 / 325 / 32

贝叶斯统计-习题答案)

因此 xN(174.,1.26)

N(u,2),其中u,2为已知

1.10 证明：设又由于X是的充分统计量，从而有

(x)(x)p(x)•()

(x)1225211225125xu(2 e因此 xN(25xu2511 25e(u)2222512)2e

2,21251)

2又由于

125121所以 的后验标准差一定小于

51.11 解：设X为某人每天早上在车站等候公共汽车的时间，则XU(0,)

p(x1,x2,x3|)131,0xi,i1,2,3.当x15,x28,x38时，p(x1,x2,x3|)3，8.()1924,4,192p(x1,x2,x3|)()

(|x1,x2,x3)4p(x1,x2,x3|)()d192787d1/(7)6867,8.1d78【原答案：设X为某人每天早上在车站等候公共汽车的时间，则Xp(x)U(0,)

1,0x

1当8时，p(x)m(x)3

192184d31 81926 / 326 / 32

贝叶斯统计-习题答案)

从而有 (x)p(x)()3, 计算错误】

m(x)12871.12 证明：由题意可知 p(x)1n,0xi,i1,2,...,n

从而有 (x)(x)p(x)•()

00nn•1n1 1因此 的后验分布仍是Pareto分布。

1.13 解：由题意可知

133 1621451.15 解：

（1）设的先验分布为Ga(,)，其中,为已知 由题意可知

p(x1,x2,xn|)p(xi|)exinei1i1nnxii1n,xi0,i1,2,n.1 ()()e,0.(|x1,x2,xn)p(x1,x2,xn|)•()n1e(

xi)i1n,0.所以Ga(,)是参数的共轭先验分布。

【原答案：设的先验分布为Ga(,)，其中,为已知 由题意可知

p(x)p(xi)eni1nxii1n,xi0,i1,2,...,n

从而有 (x)p(x)•() ne因此 xxii1n•1en1en(xi)i1n

Ga(n,xi)

i17 / 327 / 32

贝叶斯统计-习题答案)

所以 Ga(,)是参数的共轭先验分布】 （3） 由题意可知

0.00020.0004 0.0001221.16 解：设XN(1,2)N(1,1)，则 22p(x1,2)12e2(x1)

2p(x1,2)2en22(xi1)2i1n

1) 222Ga(,)

由题意可知 12N(0,1122e从而有 1,2122()2(1)

i1n因此 1,2xp(x1,2)1,221.19 证明：设的先验分布为，Xn12(n1)122112exixi2i1n

P()，则

P(x)xex!,0

p(x1,x2,xn|)p(xi|)i1nxii1nenix!i1n,

从而有

(|x1,x2,xn)p(x1,x2,xn|)•()i1en•() 令Txi，则 T~P(n),

i1nxin8 / 328 / 32

贝叶斯统计-习题答案)

p(xi|)i1n(n)i1en(xi)!i1nnxin

(|xi)p(xi|)•()i1i1nnxii1nen•()n所以，(|xi)(|x1,x2,xn), 故xi是的充分统计量。

i1i1第二章 贝叶斯推断

2.1 解：由题意可知 1,01

设x1,x2,,xn 是从随机变量X中抽取的随机样本，则

p(x1,x2,xn|)p(xi|)(1)i1i1nnxi1n(1)i1xin

n从而有

(|x1,x2,xn)p(x1,x2,xn|)•() 所以

(1)nxini1n,01n

(|x1,x2,xn)~Be(n1,xin1)i1

（1）由题意可知 n1,x13,

(|x1)~Be(2,3)ˆE22235

(2) 由题意可知 n3,x13,x22,x35

(|x1,x2,x3)~Be(4,8)41ˆE483

9 / 329 / 32

贝叶斯统计-习题答案)

【原答案: 由题意可知 1,01

设x1,x2,,xn 是从随机变量X中抽取的随机样本，则

p(x)p(xi)n(1)i1

i1nxin从而有 xp(x)•(1)i1,01

nxin所以 xBe(n1,xi1)

i1n（1） 由题意可知 n=1,x=3 xˆEBe(2,4)

21 243（2） 由题意可知 n3,x13,x22,x35

xBe(4,11)

44 ， 由于原题几何分布分布律出错，导致结果出错】 411152.2 解：设X为银行为顾客服务的时间，则 ˆEp(x)ex

p(x1,x2,xn|)p(xi|)exinei1i1nnxii1n

设的先验分布为Ga(,)，则

0.20.04 0.212由题意可知 x3.8

从而有

(|x1,x2,xn)p(x1,x2,xn|)•()

n exii1n•1enxin1i1en1enx

10 / 3210 / 32

贝叶斯统计-习题答案)

因此有

(|x1,x2,xn)~Ga(n,nx)Ga(20.04,76.2)

所以有

20.04ˆEE(|x1,x2,xn)0.26 76.2nx1nxn1nxˆE(1x)•ed4.002 0nn1n2.3 解：设X为磁带的缺陷数，则Xp()

p(x1,x2,x3|)p(xi|)i1i133exixi!xii13e3

ix!i1312由题意可知 e,0

2从而有

(|x1,x2,x3)p(x1,x2,x3|)•()当x12,x20,x36时，xii13e32e(|x1,x2,x3)10e4即：(|x1,x2,x3)~Ga(11,4),ˆE

2.4 解：设X为n个产品中不合格数，则X由题意可知 4(1)9,01 （1） 由题意可知Xp(x)3(1)17

111111,Var(|x1,x2,x3)2.4416bin(n,)

bin(20,)

(x)p(x)•3(1)17•4(1)97(1)26

因此 xBe(8,27)

11 / 3211 / 32

贝叶斯统计-习题答案)

又(x)76(1)26267(1)25ˆ7 所以 MD330

（2） 由题意可知Xp(x)(1)20

bin(20,)且7(1)26

(x)p(x)•7(1)26•(1)207(1)46

因此 xBe(8,47)

ˆ7,ˆ8 所以 MDE53552.5 解:设X2令0N(,22)，则222

2n4n

设N(u,1)，则1，且xN(u1,12)

022x22u 其中 u122001

2110212

42ˆMSE(E)Var(x)10.1 n42.6 解：设X为1000名成年人中投赞成票的人数，则X710710（1）由题意可知 p(710)C1000(1)290,01

bin(1000,)

a.710p(710)•A710(1)290•711(1)290

710Be(712,291)

b.710p(710)•B710(1)290•3713(1)290

710Be(714,291)

7120.7098

71229112 / 3212 / 32

ˆE(710)（2）a.E贝叶斯统计-习题答案)

ˆE(710) b. E7140.7104

714291x（3）由题意可知p(x)C1000x(1)1000x,01

a.xp(x)•Ax(1)1000x•x1(1)1000x

xBe(x2,1001x)

ˆE(x)x2 EA1003b.xp(x)•Bx(1)1000x•3x3(1)1000x

xBe(x4,1001x)

x)x4 1005ˆEA-ˆEB=x2-x4=

10031005ˆEBE(2.7 解：由题意可知 p(x)p(x)11,0x

n,0xi,i1,2,...,n

令1max0,x1,x2,...,xn，则

m(x)10 p(x)•dn(n)1p(x)(n)1n,1 从而有 xm(x)n1ˆE(x)E1(n)1nn1d1 n1(n1)1E(x)122(n)1nn1d1

(n2)1n211

(n2)1n2(n1)212(n1)ˆ)Var(x)E(2x)E2(x)MSE(E2.8 解：

xn1212(1)（1）由题意可知 p(x)xe e

2n21因此 xx2n2xn122e(1)exn2(1)2e

13 / 3213 / 32

贝叶斯统计-习题答案)

所以 xnxIGa(,)

222x2（2）Var(x) 2nn1222x2 E(x)n121（3） 由题意可知 p(x)exn2nxIGa(,)

22n22nx2 xn2(1)2enx2

ˆMDnxnx2 2 ˆ2E2nn1122

第三章 先验分布的确定

3.1 大学生中戴眼镜的比例是0.7 3.6 （1）由题意可知

1,1x1p(x)20 其他因此，该密度既不是位置密度也不是尺度密度。 （2）由题意可知

x1

1xx11令     2 ，则 p(x)x1

因此，该密度是尺度密度。 （3）由题意可知

p(x)1x221112a1xxx令   a ，则 p(x)1,xx0x0x0x0x0

axp(x)x0x0a1,xx014 / 3214 / 32

贝叶斯统计-习题答案)

因此，该密度是尺度密度。 3.8 解：（1）由题意可知 p(x)xex!X,X,...,X设12n是来自X的简单随机样本，则

lxlnp(xi)lni1nxii1nenxi!i1nxilnnlnxi!i1i1nn对上式分别求一阶导、二阶导得

 l 1 n n  2 l 1  I()

xnii122xi1iEx2lxE21nn2xii1 n 

p(x)Cnxx(1)nxnxinn2n（2）由题意可知

n 设X1,X2,...,Xn是来自X的简单随机样本，则

i1i1i1lxlnp(xi)lnCxiln(nxi)ln(1)

i1对上式分别求一阶导、二阶导得

2 n  x i 2

l1xi

i1 I()E

xni1n1l122xii1nnxi2i1n2lxE2n2 (1)n2nxi1nn2i12xi2i11(1)12（3）由题意可知 p(x)Cxxm1m(1)x 设X1,X2,...,Xn是来自X的简单随机样本，则

lxlnp(xi)lnCi1i1nnxixim1nnmlnxiln(1)

i1n对上式分别求一阶导、二阶导得

xi2lnm1nlnmxi 2i1221i1115 / 3215 / 32

贝叶斯统计-习题答案)

xI()E

2lxE2nm2(1)nxinmnmi12212(1)1x（4）由题意可知 p(x)xe,x0n设X1,X2,...,Xn是来自X的简单随机样本，则

lxlnp(xi)nlnnln1lnxixi

i1i1i1nn对上式分别关于求一阶导、二阶导得

n2l()lnlnnlnxi n()i122

2lxxI()EEnn222 

n 21x(5) 由题意可知 p(x)xe,x0设X1,X2,...,Xn是来自X的简单随机样本，则

lxlnp(xi)nlnnln1lnxixi

i1i1i1nnn对上式分别关于求一阶导、二阶导得 lnn2lnxi i122

2lnxxnI()EE2 22 n1xxe,x0（6）由题意可知 p(x,)设X1,X2,...,Xn是来自X的简单随机样本，则

l,xlnp(xi)nlnnln1lnxixi

i1i1i1nnn2对上式分别关于求导得

22lnlnl   n2222

2l E2Enn2216 / 3216 / 32

贝叶斯统计-习题答案)

2llnnn E EE()222

令,，则

detI

2n 122

nn2nn2212n23.9 证明：由题意可知 lixilnpixii

2lixiIiE2i iiIi 由于各Xi，因此有

l(x1,x2,...,xk)lnpixiilnpixii

kki1i1由上式可得出  l  x i   2l   i x i   lxi022ijii

22因此有 detIIi

i1k所以

detI3.10 解: 由题意可知 0.01e因此有 所以有

3.11解：由题意可知

i10.012IIiiiii1i1kkk,0

0.012x0.01h(x,)p(x)e1x0.01e0.01e3,x0m(x)0.01e0x3x0.010.0111xdex0.01x0x0.011xe0x0.01p(x1,x2,...,xn1,2,...,n)p(xii)i1i1nnnnixeiixi!n1,2,...,n(i)i1i117 / 3217 / 32

i1eiini1n1eii1n贝叶斯统计-习题答案)

所以有 h(x,)p(x) 进而有 4.1 解：

令1:畅销，2:一般，3:滞销；a1:大批生产，a2:中批生产，a3:小批生产

a3a2a110050101（1）Q(,a)304092

602063m(x)(0,)p(x1,x2,...,xn1,2,...,n)1,2,...,nd1d2...dn第四章 决策者的收益、损失与效用

60,j1minQ(,a)20,j2 ij（2）

i1,2,36,j3maxminQ(i,aj)6

j1,2,3i1,2,3因此，在悲观准则下，最优行动为

a3

100,j1maxQ(,a)50,j2 （3）iji1,2,310,j3maxmaxQ(i,aj)100

j1,2,3i1,2,3因此，在乐观准则下，最优行动为

a1

（4）H(a1)0.81000.2(60)68

H(a2)0.8500.2(20)36H(a3)0.8100.269.2

因此，在乐观系数为0.8时，最优行动为

a1

18 / 3218 / 32

贝叶斯统计-习题答案)

35,j14.2（1）maxQ(i,aj)

30,j2i1,2,3maxmaxQ(i,aj)35

j1,2i1,2,3因此，在乐观准则下，最优行动为a1

17,j1（2）minQ(i,aj)

13,j2i1,2,3maxminQ(i,aj)17

j1,2i1,2,3因此，在悲观准则下，最优行动为a1 （3）H(a1)0.7350.31729.6 H(a2)0.7300.31324.9 因此，在乐观系数为0.7时，最优行动为a1 4.3解：由题可知

Qa11000.6300.3(60)0.163 Qa2500.6400.3(20)0.140Qa3100.690.360.19.3因此，在先验期望准则下，最优行动为a1 4.4解;(1)

:510

5a,a(2)Q(,a)

5a,aa12525Q25252525201262323 384303540454453035404550624303030232935352228344021273339a2a3a4a5a619 / 3219 / 32

贝叶斯统计-习题答案)

25,j124,j223,j3(3) minQ(i,aj)

i1,2,...,622,j421,j520,j6maxminQ(i,aj)20

j1,2,...,6i1,2,...,6因此，在悲观准则下，最优行动为a6 (4) H(a1)2512525 H(a2)30124246 H(a3)351232312 H(a4)401222218 H(a5)451212124 H(a6)501202030

a1a2a3a401235012解：L10501151050201510525201510a54.5

432105a65142 33241506La1EL(,a1)50.09100.15150.4200.2250.114.45 La2EL(,a2)10.0650.15100.4150.2200.19.81 同理可得

La35.71,La42.51,La51.71,La62.11 因此，在该先验分布之下a5为最优行动。

a3a2a10302560501150530102 4.6解：L018369180320 / 3220 / 32

贝叶斯统计-习题答案)

a3a2a11505010014.7解：Q1002002002

5010003250a,a4.8解：（1）W,a

750500a,a250a,a（2）L,a

500a,a4.9解：令1为010%时的状态，2为10%20%时的状态，3为20%时的状态，

a1为第一种支付办法，a2为第二种支付办法，则

a2a1100401Q30402

50403因此有

Qa1EQ,a10100Be(2,4)d10%30Be(2,4)d20%50Be(2,4)d47.9 Qa2EQ,a2040Be(2,4)d40

110%20%1所以该厂决策者应采取第一种支付办法。

0,.10解：由题意知L,a1

530,6305,6 L,a2

0,61,010 1061101因此有 La1EL(,a1)0d530d4

01061061 La2EL(,a2)305d9

010 在先验期望损失最小的原则下最优行动为a1

2a22aEE2 L,aEa4.11证明：LaE4.12证明：设m是先验分布的中位数，a是任一不同于m的行动，且a>m,则

21 / 3221 / 32

贝叶斯统计-习题答案)

ma,mL(,m)L,a2(ma),ma

am,a其中ma时，2(ma)am

ma,m因此L(,m)L,a

am,m所以LmLaEL(,m)L,amaPmamPm0

a1a214.15 由题意可知 Q510

512（1）Qa1EQ,a15 Qa2EQ,a24.5 因此，期望收益决策为a1

a1a21（2）U210

212Ua1EU,a12 Ua2EU,a25.5 因此，期望效用决策为a2

a1a21（3）U1252

1272Ua1EU,a112 Ua2EU,a229.5 因此，新期望效用决策仍为a2

a2a11399400 4.16解: 由题意可知 Q39902(1) Qa1EQ,a1399 Qa2EQ,a2399.2

因此，按直线效用曲线决策，他应该不参加保险。

22 / 3222 / 32

贝叶斯统计-习题答案)

a2a118.266598.28427 （2）U8.2665902Ua1EU,a18.26659 Ua2EU,a28.2677

因此，在该效用曲线下，不应该参加保险。

第五章 貝葉斯決策

1,00.120.12 設X為三件中的不合格品數，則Xb(3,)

5.1解：由題意可知 從而有 p(x)C3xx1因此有

h(x,)p(x)3x,x0,1,2,3

13xC3xx1,x0,1,2,3,00.120.12繼而有 m(0)0.12h(0,)d0.12113d0.83000.12

0.120.1212m(1)h(1,)d31d0.15249600 0.12

m(2)0

0.12h(2,)d0.1201321d0.0131050.12 m(3)0.12h(3,)d0.1213d0.000432000.12 131h(0,)0.12310.040161,00.12所以  0m(0)0.83

1231h(1,)0.122

1163.93831,00.12m(1)0.152496

1321h(2,)0.1221907.66721,00.12 m(2)0.01310513 h(3,)30.12192903,00.12 m(3)0.000432

（2）由題意可知0,1,2,3,a1,a2

x 0 1 2 3 23 / 3223 / 32

贝叶斯统计-习题答案) 1(x) a1 a1 a1 a1 a1 a1 a1 a2 a1 a1 a2 a1 a1 a2 a1 a1 2(x) 3(x) 4(x) 5(x) 6(x) 7(x) 8(x) 9(x) a2 a1 a1 a1 a1 a1 a2 a2 a1 a2 a2 a1 a2 a2 a1 a1 a2 a2 a2 a2 a2 a2 a2 a1 a2 a2 a1 a2 a2 a1 a2 a2 a1 a2 a2 a2 10(x) 11(x) 12(x) 13(x) 14(x) 15(x) 16(x) (3)

a2 a2 a1 a1 a2 a1 a1 a2 a1 a2 a1 a2 80,aa1W,a

2.41250,aa2令2.4125080，則0.062080 所以有

77.61250,0L,a10,00,0L,a2125077.6,03因此有

100Ra10EL,a1077.612500.830.12d22.72847

1 Ra11EL,a1077.61250163.93831d7.67352920 Ra12E22L,a1077.612501907.6671d2.8415330 Ra3E3L,a077.61250192903d1.111657110

Ra20E0L,a200.123224 77.6125024 / / 32 d15.32150.830.1213贝叶斯统计-习题答案)

Ra21EL,a2010.12125077.6163.93831d27.882722 Ra2E2L,a0.12125077.61907.66721d36.99713220 Ra3E3L,a0.12125077.6192903d43.5113922（4）由（3）的計算可知後驗風險最小的決策函數為

0a2,x0a,x1(x)1a1.x2a1,x3cx5.2 解：（1）令xd，則 l(x)ecx1對上式關於x求一階導得 l(x)cecxccecx1 若x0,c0，則l(x)0，因此l(x)l(0)0 若x0,c0，則l(x)0 若x0,c0，則l(x)0 若x0,c0，則l(x)0

（3） ExL,Exec()c1ecEecxcExc1對上式關於求一階導、二階導得

L,cecEec

x2EL,c2ecEec 2

ˆ1lnEecx因此， Bcnn（4）由題意可知

p(x)p(xi)i1i1

Exxcx001e2xi222en21nxi2x22i12nenx22因此有

xp(x)e1Nx,nnx22所以 x

1c從而 Eecxee12

n1cˆlnEecxxBc2nnx22decxc22n25 / 3225 / 32

贝叶斯统计-习题答案)

5.3證明：

3322 ExL,Ex2cEc2

223322x2EcxEc2x22對上式關於求一階導、二階導得

33L,2Ec2x2Ec2x 2x32EL, 2Ec2x0223因此

Ec2x ˆB232Ec2x



Ex220由题意可知 x2x222x11p(x)e2e2e2 22 因此有 所以

21e222xp(x)exx1N,222x21222x331222Ecxced 1x2212)5.4证明：由题意可知 p(xe22 xa21p(xa)e2 22因此 p(x)a22ax2lnp(xa)2 所以

p(xa)ep(x)Le,aExa22ax24p(x)xlnEp(xa)a22ax2a22a2a26 / 3226 / 32 2222贝叶斯统计-习题答案)

2 p(xa)1x1xp(xa)xLH(,a)E1E2E 22p(x)p(x)22axa222axa2 1xx24Ee2Ee12 p(xa)1p(x) 2ax2a212ee21ex222a2dx2e4axe21ex22dx1 222 a22a22a222 12e2ea222e4e421

(a)2

1e8

5.5解:由题意可知 p(x)12x2 2e2 p(xa)1ex2a

2a因此 p(x)1ax2ln

p(xa)2ln211a p(xa)x21e21ap(x)a 所以

Le,aExlnp(x)Ex1ap(xa)x2111a112ln2a2ln2a

L1xp(xa)21xp(xa)x H(,a)2E1p(xa)p(x)2E2Ep(x))1 211x11x2p(xExe2a2Ex114e4a 2aa11 1x21e21a1ex22dx24x2114a1x22e2 e2dx1a2a 1

1a422aa211a1127 / 3227 / 32

42a1a贝叶斯统计-习题答案)

5.6解: 由题意可知

a1axp(xa)xe,x0

因此 p(xa)aaxep(x)

2p(xa)11xx LH(,a)E1E22p(x)

1xE2aaxxe2E1xp(x)xe,x0p(xa)x2Ep(x)p(xa)1p(x)ax2ae211a2eaxx1xea2dx2axe21xxedx1a21 a由题意可知 1ex

20因此 xex1ex01exx0

xGa,xx0 5.8解：由题意可知 因此

xp(x)1e2102x2001e2225215x2xeN(21002225e2x200e9x400139002133ˆ为后验分布的 由定理5.5可知 分位数。 B411x1xp5.9解:由题意可知 p(x)222e2

9x400900,)1313 2p2A12e1uA1u2

1其中 MA因此有 xe1111x1x21e1uA1u2e11MW1M2xA1u，A11A

28 / 3228 / 32

贝叶斯统计-习题答案)

MxA(ux) ˆExM 所以 B5.11解：由题意可知 p(x)Cnxx1nx1

11 1,01因此

x xp(x)1nx111x11nx1xBex,nx

1ExEx1ˆBEx1Ex1由定理5.2得

1n1n211E 1x01Bex,nxdx1nx1 111n1ExBex,nxd011nx1 所以

ˆBExExx1n25x5.13 解：由题意可知p(x)C5xx1 因此



1011918191,01915x813x1x1x xp(x)1xBex1,14x

Be1,14

1111415所以 0ˆE0（1） 由定理5.1可知 Bˆ为 Be1,14的中位数 （2） B（3） 由定理5.2

111511413 E0(1)d1011413 1151113 E0(1)d10114ˆ为Be1,14的 1分位数。 （4） 由定理5.5可得 B35.14解：（1）由题意可知

0,00.15L(,a0)29 / 3229 / 32

1,0.151ExEx1可知 ˆBEx1Ex1贝叶斯统计-习题答案)

1,00.15L(,a1) 0,0.15Ra0xE

xL(,a0)0.1514113d0.102770.1501x Ra1xEL(,a1)141d0.72313（2）

Ra0xEL(,a0)0.10277xRa1xEL(,a1)0.72321.79446x（3）Ra0xExL(,a0)0.10277

RaxExL(,a)0.150.1514113d110

5.15解：由题意可知 x

1002xx900EL(,)Ee

100,aa1W(,a)5.18解：（1）由题意可知 1500,aa2 10,15L(,a1)

1001500,115

2N(u1,1)，其中 u14009x2,169.238.3213

aa211500100,15L(,a2)10,15aa21250因此 LW10075120501001502

La1EL(,a1)250.717.5La2EL(,a2)500.315

先验EVPIEL(,a2)15

因此，在先验期望准则下最优行动为a2 （2）参照5.1

（3）设X为两件中的不合格品数，则Xb2,

30 / 3230 / 32

贝叶斯统计-习题答案)

pxC2xx12i122x,x0,1,2

因此 m(0)p0ii0.87475

m(1)p1ii0.1205i12m(2)p2ii0.00475i1所以 p011100.7222m0

p111 110.551867m1

12202122p211m2p022m0p122m1m20.3684210.2777940.44813280.6315790p222因而有 Ra10E0L,a1250.722218.055 同理可得

Ra1113.796675,Ra129.21052625

Ra2013.8683,Ra2122.406639

Ra2231.57475a2,x0 xa1,x1a,x2因此 在后验风险准则下最优决策函数为 1后验EVPIRa20m0Ra11m(1)Ra11m(2)13.85625 （4）EVSI=先验EVPI-后验EVPI1.14375

ENGS=EVSI-C=1.14375-0.2=0.94375

5.20 解：令a1:购买,a2:不购买,X:每棵桔子树的产量，则X由题意可知 N,2

N3.9,0.82

Q,a11000010400000

Q,a20（1） 令Q,a1Q,a2，则04E3.9 由定理5.6可知 公司不应该购买这片桔林的桔子。

31 / 3231 / 32

贝叶斯统计-习题答案)

0,4L(,a)（2）由题意可知 21000004,4由定理5.6可知 先验EVPIEL(,a2)1000000.8LND027168 （3）由题可知 x1N(u1,1)

241其中 4.13.9121000.8u14.1,0.19411212 41411000.81000.8

由定理5.6可知 后验EVPI1000000.1940.19313746.14 因此 EVSI=23421.86，ENGS=20921.86

a1为后验下的最优

（5） 由题意可知 ENGS=24135 24135-20921.86=3213.14

5.21解：由题意可知 m125m220,D01

（1）由定理5.6可知 先验EVPI54LND01.66

4（2）由题意可知 3,LN0.04243 由定理5.6可知 先验EVPI530.04240.636 同理 2,先验EVPI0.084911,先验EVPI3.5725105

32 / 3232 / 32