第１６卷第１期 太原师范学院学报（自然科学版） ＪＯＵＲＮＡＩ ＯＦ ＴＡＩＹＵＡＮ ＮＯＲＭＡＩ ＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｅｄｉｔｉｏｎ） Ｖｏ１．１６ Ｎｏ．１ Ｍａｒ．２０ １ ７ ２０ １ ７年３月 Ｌ 范数下恢复稀疏信号的鲁棒性优化分析 宋儒瑛，孙转转 （太原师范－９院数学系，山西晋中０３０６１９） （摘要］ 通过实例分析，说明在某些测量矩阵下，ｌＩ ｅ ｌ 是Ｌ 范数下恢复稀疏信号时误差 ｌ估计的最优控制．同时为保证稀疏信号恢复的鲁棒性，提出误差估计式所需满足的条件，并据此 改进和完善Ｌ 范数下恢复稀疏信号算法的理论步骤． ［关键词］ Ｌ 范数；信号恢复；鲁棒性；测量矩阵 （文章编－Ｎ－Ｊ １６７２—２０２７（２０１７）Ｏ１—００１２—０３ ［中图分类号］ Ｏ１７４ ［文献标识码］ Ａ ０ 引言 在压缩感知领域中，Ｌ 范数最小化恢复稀疏信号的理论及算法 有着十分广泛的应用．并且在实际信 号恢复时，测量过程可能会产生噪声扰动，因此在有噪测量 下对信号恢复问题的研究是目前的热门课 题． 假设稀疏信号ｘＥＲ ，Ｎ￣ｌａ］ｌｉｔ ｙＥＲ ，测量矩阵ＡＥＲ ”（ 《 ），那么在有噪测量下，通过最小Ｌ 范 数进行信号重构的模型 如下： 一ａｒｇｍｉｎ ｌ ｌｚ ｌ ｌｌ，其中 ｚ Ｅ Ｂ（ ）一｛ｚ ｌ ｌ 一Ｙ ｌＩ ｌ２≤￡）． 文献［３］中对于有噪情况下，通过Ｌ 范数最小化恢复稀疏信号的误差估计有如下结论： 定理１ 假设矩阵ＡＥＲ ”满足常数 ＜ －－１的ＲＩＰ（２ｋ， ）＿１． 条件，且Ａ对应的变换是满射的对于 ．固定的忌和矩阵 ，ｙ∈Ｒ ，定义 ＩＩ Ｉ Ｍ—ｍａｘ（Ｉ ｔＩｌ ｚ １ ｉｎ ｛Ｉ ＩＩＩ ｛ ＝＝＝ｊ，｝）． 那么对于任意ｚＥＲ”和任意ｅＥＲ 有 ＩＩ．ｔ－ｘ Ｉ Ｉｚ≤ｃ（Ｉ ＩＩＩ＋ ）． 为保证信号恢复的鲁棒性 引，定理１中的误差估计结论最优控制应为 Ｉｔ．ｔ－ｘ Ｉ Ｉ≤ｃ（ＩＩ ＩＩ＋ ）． （１） 显然当ｌ ｌｅ ＩＩ Ｍ—ＩＩ Ｐ ＩＩ ｚ时结论（１）成立．而当Ｉ ＩＰ ＩＩ Ｍ一 ｉｎｆ｛ＩＩ ＩＩ ｌ ｚ—ｅ）时，如果ｃｏｎｖ｛± ｝ 。包 含欧几里得球Ｂ（０’去），那么Ｉ ＩＰ Ｉ ＩＭ≤ｃ ＩＩ ｅ Ｉ ｚ成立，此时也可得到（１）式，实现信号的鲁棒恢复．本文 通过实例分析讨论了当测量矩阵不能使得Ｉ ｊＰ ＩｌＭ≤ｃ ｌ ｌｅ ｌ『。成立时，定理１的结论是译码恢复的最优误 差估计，但它并不能保证恢复的鲁棒性．因此为保证信号的鲁棒恢复，本文提出了误差估计式所需满足的 条件，并据此改进和完善了Ｌ 范数下恢复稀疏信号算ＮｇＪＮｆ￣Ｎ－Ｎ． 收稿日期：２Ｏｌ６－１１ ２３ 基金项目：山西省高等学校科技项目（２ｏ１２１１ｏ９）． 作者简介：宋儒瑛（１９６４一），男，山西孝义人，博士，太原师范学院数学系教授，主要从事逼近论及压缩感知研究 第１期 宋儒瑛，等：Ｌ 范数下恢复稀疏信号的鲁棒性优化分析 １３ １实例及分析 针对Ｉ ｌＰ Ｉｌ Ｍ一￣ｉｎｆ／Ｉｌ ｚ ｌ ｌ ｚ— ），即 的线性组合所表示噪声Ｐ的系数的Ｌ 范数大于ｌＩ Ｐ ｌ 时，Ｉ 如果ｃ。ｎｖ｛± ） 包含欧几里得球Ｂ（ｏ，去），那么ｌ ｌｅ＿ ｌＭ≤ｃ一 Ｉ ｌｅ ｌＩ ｚ成立．因此可举一满足（１）式成立 的测量矩阵实例为 一（ ） ＥＲ 满足： Ｉ）矩阵 满足ＲＩＰ（２ｋ， ），ｋ， ＞０ ２） 上Ｊｄ ｃｃｏｎｖ｛±仍） ＋ ，特别地 是满射的． 下面是通过具体的实例来分析讨论定理１结论中ｌ Ｊ ｅ Ｊ Ｊ Ｍ是译码误差的最优控制． 令 ＞ｏ， ＋ ＜ ～１，定义测量矩阵 ∈Ｒ（ｄ＋ｋ）ＸＮ的列 』如下： ｆ 一移 （ —ｋ＋１，ｋ＋２，…，Ｎ） 【 ，一仍＋ 抖， （１一 （ 一１，…，忌） 将向量（口 一，口 ） ＥＲ 扩充为（口 ，…，ａ ，０，…，０） ∈Ｒ抖 ．则对于任意集合Ａ（＃Ａ≤２忌），有 ＾ Ｖ ｆ ｆ。≤ｆｉ∑ｎ ≤ 下 Ｊ∈Ａ Ｊ∈Ａ Ｖ Ｊ∈Ａ Ｉ口 因此 满足ＲＩＰ（２ｋ， ＋ ）． 令Ｐ一去 １Ｒ’一ｄ＋ ，因此Ｉｌ Ｐ ｌＩ ｚ—ａ・如果 ｚ—Ｐ，那么ｚ 一 （Ｒ ＝１，…，愚）推出： ＩＩ ｚ Ｉｌ ≥ＩＩ ｚ Ｉ｛１，…，忌｝Ｉ 一 ｌ； ． ｌ ｌｚ Ｉ ≥ｌｌ ｌｚ ｌ｛１，…，ｋ｝ｌ 一导．ｌ 因此Ｉ ｌｅ Ｉｌ Ｍ≥詈，∑Ｎ Ｎ —一∑ｋ ．因为Ｉｌ∑ｋ 仍ｌＩ ≤ ，从假设中可知存在这样的 ．综上即 （ｚ蚪 … 满足， ≤ ，故得出Ｉ Ｉｅ ｌｌＭ≤ 导≤ ｌ Ｍ≤ ． 这样在测量矩阵 和噪声ｅ下通过Ｌ 范数最小化恢复稀疏信号的误差如下： 取任意是稀疏信号ｚ，Ｉ￣［ｓｕｐ户 Ｃ｛ｋ＋ｌ， …， Ｎ），令ｙ一 ・对于ｚＥＲ 使得ｚ 一 （ 一１，…， 足）．这推得ｌ ｌｚ【ｌ。≥ ｚ ｌ｛１，…，愚｝ｌｌ。一 ．因此ｌ 一 ｌＩＩ。≥詈． 因为 （ｚ）一０，有 Ｍ≤ 一 ＩＩ ｚ≤Ｃ Ｍ－ 通过在所举的测量矩阵和测量误差下对稀疏信号进行Ｌ 范数最小化恢复的结果分析可看出，ｌＩ ｅ Ｉ ＩＭ 是译码误差的最优控制，但这未保证信号恢复的鲁棒性． ２算法理论优化 在通过Ｌ 范数最小化恢复稀疏信号时，要保证恢复鲁棒性的实现，即需（１）式成立，则要求对于Ｙ∈ Ｒ ，能有ＩＩ Ｙ ｌ ｌＭ≤ｃ Ｉ ｌｙ ｌＩ２． １４ 太原师范学院学报（自然科学版） 第１６卷 设矩阵 ∈Ｒ × 满足ＲＩＰ（２ｋ， ）有 ＜ 一１．若能找到向量组 ， …， ∈Ｒ ，使得矩阵Ａ一 （ ， …， ， ， …， ）ＥＲ ，且满足ＲＩＰ（２ｋ， ），其中 ＜√２—１时，对于 ∈Ｒ ，ｌ ｌＹ ｌ ＩＭ ≤ｃ ｌ １ｙ １１ 成立．则稀疏信号通过Ｌ 范数最小化就能实现鲁棒恢复．因此基于Ｌ 范数最小化的恢复稀疏 信号的算法理论优化步骤如下： １）用ＲⅣ＋ 上的向量确定Ｒ 上的信号Ｘ． ２）对于测量向量 ＝＝＝啦＋ｅＥＲ ，用Ｌ 范数最小化恢复稀疏信号的译码定义矩阵Ａ，即 ＃一ａｒｇｍｉｎ｛ｌ ｌｚ＿ ｌｌ Ｉ Ａｚ—Ｙ，ｚ Ｅ Ｒ叶 ｝． ３）定义ｘ ｌ｛１，…，Ｎ｝∈Ｒ 作为算法的输出． 注意到￣ｘ＝Ａｘ，因此从定理１和矩阵Ａ的假设可得 Ｉｌ Ｉ｛ｌ，…，Ｎ｝一ｘ ｉＩ：≤ｌ ｌ＃一 ｌ ｌ≤Ｃｆ ｌ Ｐ ｌ ｌｚ＋堕 １． ＼ ／ 通过如上算法步骤，即实现稀疏信号的鲁棒恢复． ３ 总结 本文在实例分析的基础上，得到通过Ｌ 范数最小化实现信号鲁棒恢复所需满足的条件．进而对Ｌ 范 数最小化恢复稀疏信号的算法理论进行了完善．其中对测量矩阵的列扩充技巧仍需进一步进行研究，从而 保证算法的实用性． 参考文献： ＲＩＣＨＡＲＤ Ｂａｒａｎｉｕｋ，ＪＡＳＯＮ Ｌａｓｋａ．Ａｎ ｉｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎ ｔｏ ｃｏｍｐｒｅｓｓｉｖｅ ｓｅｎｓｉｎｇ［ＥＢ／０Ｌ］．ｈｏｕｓｔｏｎ：ｒｉｃｅ ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，２０１１．ｈｔｔｐ：／／ ｃｎｘ．ｏｒｇ／ｃｏｎｔｅｎｔｓ／９ｗｔｒｏＬｎｗ＠５．１２：ｌｈ４６５ｈＷｌ＠７／Ｉｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎ—ｔｏ—ｃｏｍｐｒｅｓｓｉｖｅ—ｓｅ．２０１６－０９—２９ ［２］ 闫敬文，刘蕾，屈小波．压缩感知及应用ＥＭ］．北京：国防工业出版社，２０１５：３０—４０ ［３］ 孙转转，宋儒瑛．Ｌ１范数下有噪信号恢复的误差估计［Ｊ］．成都大学学报（自然科学版），２Ｏ１６，０４ Ｋ，ＴＡＯ Ｔ．Ｓｔａｂｌｅ ｓｉｇｎａｌ ｒｅｃｏｖｅｒｙ ｆｒｏｍ ｉｎｃｏｍｐｌｅｔｅ ａｎｄ ｉｎａｃｃｕｒａｔｅ ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔｓ［Ｊ］．Ｃｏｍｍｕｎｉｃａ— ［４］ ＣＡＮＤＥＳ Ｅ Ｊ，ＲＯＭＢＥＲＧ Ｊｔｉｏｎｓ ｏｎ Ｐｕｒｅ ８Ｌ Ａｐｐｌｉｅｄ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，２００５，５９（８）：４１０ ４１２ 胡嘉俊．基于鲁棒的图像压缩感知处理方法研究ＥＤ］．长沙：湖南大学，２０１３ Ｔｈｅ Ｒｏｂｕｓｔｎｅｓｓ ｏｆ Ｒｅｃｏｖｅｒｉｎｇ Ｓｐａｒｓｅ Ｓｉｇｎａｌ ｂｙ Ｌ１一Ｎｏｒｍ ＳＯＮＧ Ｒｕｙｉｎｇ，ＳＵＮ Ｚｈｕａｎｚｈｕａｎ （Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｔａｉｙｕａｎ Ｎｏｒｍａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｊｉｎｚｈｏｎｇ ０３０６１９，Ｃｈｉｎａ） ＣＡｂｓｔｒａｃｔ￣ Ａｎ ｅｘａｍｐｌｅ ｉｓ ｇｉｖｅｎ ｔｏ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｌｌ ｅ ｌｌ Ｍ ｉｓ ｔｈｅ ｏｐｔｉｍａｌ ｃｏｎｔｒｏｌ ｏｆ ｅｒｒｏｒ ｅｓｔｉｍａ— ｔｉｏｎ ｗｈｅｎ ｔｈｅ ｓｐａｒｓｅ ｓｉｇｎａｌ ｉｓ ｒｅｃｏｖｅｒｅｄ ｂｙ Ｌ１一ｎｏｒｍ．Ａｎｄ ｉｎ ｏｒｄｅｒ ｔｏ ｇｕａｒａｎｔｅｅ ｔｈｅ ｒｏｂｕｓｔｎｅｓｓ ｏｆ ｔｈｅ ｓｐａｒｓｅ ｓｉｇｎａｌ ｒｅｃｏｖｅｒｙ，ｔｈｅ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｅｒｒｏｒ ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ ｓｈｏｕｌｄ ｂｅ ｓａｔｉｓｆｉｅｄ ｉｓ ｐｒｏｐｏｓｅｄ， ａｎｄ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ ｏｆ ｔｈｅ ｓｐａｒｓｅ ｓｉｇｎａｌ ｒｅｃｏｖｅｒｙ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｂｙ Ｌｌ—ｎｏｒｍ ｉｓ ｉｍｐｒｏｖｅｄ ａｎｄ ｐｅｒｆｅｃｔｅｄ ａｃ— ｃｏｒｄｉｎｇｌｙ． ＥＫｅｙ ｗｏｒｄｓ￣Ｌ１一ｎｏｒｍ；ｓｉｇｎａｌ ｒｅｃｏｖｅｒｙ；ｒｏｂｕｓｔｎｅｓｓ；ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔ ｍａｔｒｉｘ
