浙江省宁波市镇海区2015-2016学年八年级(上)期末数学试卷(解析版)

一、仔细选一选（本题有12个小题，每小题4分，共48分） 1．下列四组线段中，能组成三角形的是（ ） A．2cm，3cm，4cm 2cm

2．下列图案是轴对称图形的是（ ） A．

B．

C．

D．

B．3cm，4cm，7cm C．4cm，6cm，2cm D．7cm，10cm，

3．下列各式计算正确的是（ ） A．

B．

C．

D．

4．若x＞y，则下列式子中错误的是（ ） A．x﹣3＞y﹣3 B．＞ C．x+3＞y+3

D．﹣3x＞﹣3y

5．在平面直角坐标系中，已知点A（2，3），则点A关于x轴的对称点的坐标为（ ）

A．（3，2） B．（2，﹣3） C．（﹣2，3） D．（﹣2，﹣3）

6．对于命题“如果∠1+∠2=90°，那么∠1≠∠2”，能说明它是假命题的反例是（ ）

A．∠1=50°，∠2=40° B．∠1=50°，∠2=50° C．∠1=∠2=45° D．∠1=40°，∠2=40°

7．已知点M（1，a）和点N（2，b）是一次函数y=﹣2x+n图象上的两点，则a与b的大小关系是（ ） A．a≤b

B．a＜b

C．a≥b

D．a＞b

8．直角三角形的两条边长分别是5和12，则斜边上的中线长是（ ） A．6

B．6.5 C．6或 6.5 D．6或 2.5

9．直线l1：y=k1x+b与直线l2：y=k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式k2x＞k1x+b的解集为（ ）

A．x＜﹣1 B．x＜3 C．x＞﹣1 D．x＞3 10．关于x的不等式组A．﹣

＜a≤﹣ B．﹣

有四个整数解，则a的取值范围是（ ）

≤a＜﹣ C．﹣≤a≤﹣ D．﹣＜a＜﹣

11．C为线段AE上一动点E重合）如图，（不与点A，，在AE同侧分别作正△ABC和正△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下五个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°．一定成立的结论有（ ）

A．①②③ B．①②③⑤ C．②③④ D．③④⑤

12．如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线一点，当PA=CQ时，连结PQ交AC于D，则DE的长为（ ）

A． B． C． D．

二、认真填一填（本题有6个小题，每小题4分，共24分） 13．若代数式

有意义，则a的取值范围为 ．

14．命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是 ．

15．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，CD=4，则点D到AB的距离为 ．

16．如图，在边长为2的等边△ABC中，D为BC的中点，E是AC边上一点，则BE+DE的最小值为 ．

17．阅读理解：我们把对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为《x》，即当n为非负整数时，若n﹣≤x＜n+，则《x》=n．例如：《0.67》=1，《2.49》=2，…．给出下列关于《x》的问题：①《

》=2；②《2x》=2《x》；③当m为非负整数时，

≤x＜

；⑤

《m+2x》=m+《2x》；④若《2x﹣1》=5，则实数x的取值范围是

满足《x》=x的非负实数x有三个．其中正确结论的个数是 个．

18．A2、A3、…、An、An+1是x轴上的点，如图，已知A1、且OA1=A1A2=A2A3=…=AnAn+1=1，分别过点A1、A2、A3、…、An、An+1作x轴的垂线交直线y=2x于点B1、B2、B3、…、Bn、Bn+1，连接A1B2、B1A2、B2A3、…、AnBn+1、BnAn+1，依次相交于点P1、P2、P3、…、

Pn．S2、S3、…、Sn，△A1B1P1、△A2B2P2、△AnBnPn的面积依次记为S1、则S2016= ．

三、解答题（本题有8个小题，共78分，解答需写出必要的文字说明、验算步骤或证明过程） 19．计算或化简： （1）（2（2）

﹣﹣3

）2+（2+﹣2）0+

）（2﹣

） ．

把不等式组的解集在数轴上表示出来，并写出

+（

20．解不等式组．不等式组的非负整数解．

21．“综合与实践”学习活动准备制作一组三角形，记这些三角形的三边分别为a，b，c，并且这些三角形三边的长度为大于1且小于5的整数个单位长度． （1）用记号（a，b，c）（a≤b≤c）表示一个满足条件的三角形，如（2，3，3）表示边长分别为2，3，3个单位长度的一个三角形．请列举出所有满足条件的三角形．

（2）用直尺和圆规作出三边满足a＜b＜c的三角形（用给定的单位长度，不写作法，保留作图痕迹）．

22．如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC垂足为点D，CE⊥AB垂足为点E，AE=CE．

求证：（1）△AEF≌△CEB； （2）AF=2CD．

23．2010年6月5日是第38个世界环境日，世界环境日的主题为“多个物种、一颗星球、一个未来”．为了响应节能减排的号召，某品牌汽车4S店准备购进A型（电动汽车）和B型（太阳能汽车）两种不同型号的汽车共16辆，以满足广大支持环保的购车者的需求．市场营销人员经过市场调查得到如下信息：

成本价（万元/辆） 售价（万元/辆） 30 42 32 45 A型 B型 （1）若经营者的购买资金不少于576万元且不多于600万元，则有哪几种进车方案？

（2）在（1）的前提下，如果你是经营者，并且所进的汽车能全部售出，你会选择哪种进车方案才能使获得的利润最大？最大利润是多少？

（3）假设每台电动汽车每公里的用电费用为0.65元，且两种汽车最大行驶里程均为30万公里，那么从节约资金的角度，你做为一名购车者，将会选购哪一种型号的汽车？并说明理由．

24．在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，0），B（2，0），若在坐标轴上存在点C，使得AC+BC=m，则称点C为点A，B的“m和点”．如C坐标为（0，0）时，AC+BC=4，则称C（0，0）为点A，B的“4和点”．

（1）若点C为点A，B的“m和点”，且△ABC为等边三角形，求m的值； （2）A，B的“5和点”有几个，请分别求出坐标；

（3）直接指出点A，B的“m和点”的个数情况和相应的m取值条件．

25．方成同学看到一则材料：甲开汽车，乙骑自行车从M地出发沿一条公路匀速前往N地．设乙行驶的时间为t（h），甲乙两人之间的距离为y（km），y与t的函数关系如图1所示．

方成思考后发现了如图1的部分正确信息：乙先出发1h；甲出发0.5小时与乙相遇．

请你帮助方成同学解决以下问题：

（1）分别求出线段BC，CD所在直线的函数表达式； （2）当20＜y＜30时，求t的取值范围；

（3）分别求出甲，乙行驶的路程S甲，S乙与时间t的函数表达式，并在图2所给的直角坐标系中分别画出它们的图象；

（4）丙骑摩托车与乙同时出发，从N地沿同一公路匀速前往M地，若丙经过h与乙相遇，问丙出发后多少时间与甲相遇？

26．如图，直线l1：y1=﹣x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，点P（m，3）为直线l1上一点，另一直线l2：y2=x+b过点P． （1）求点P坐标和b的值；

（2）若点C是直线l2与x轴的交点，动点Q从点C开始以每秒1个单位的速度向x轴正方向移动．设点Q的运动时间为t秒．

①请写出当点Q在运动过程中，△APQ的面积S与t的函数关系式； ②求出t为多少时，△APQ的面积小于3；

③是否存在t的值，使△APQ为等腰三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

2015-2016学年浙江省宁波市镇海区八年级（上）期末数

学试卷

参与试题解析

一、仔细选一选（本题有12个小题，每小题4分，共48分） 1．下列四组线段中，能组成三角形的是（ ） A．2cm，3cm，4cm 2cm

【考点】三角形三边关系．

【分析】根据三角形的三边关系定理：如果a、b、c是三角形的三边，且同时满

足a+b＞c，b+c＞a，a+c＞b，则以a、b、c为边能组成三角形，根据判断即可．

B．3cm，4cm，7cm C．4cm，6cm，2cm D．7cm，10cm，

【解答】解：A、∵3+2＞4，∴2，3，4能组成三角形，故本选项正确； C、∵4+3=7，∴3，4，7不能组成三角形，故本选项错误； D、∵2+4=6，∴2，4，6不能组成三角形，故本选项错误； B、∵7+2＜10，∴1，2，3不能组成三角形，故本选项错误； 故选A．

2．下列图案是轴对称图形的是（ ） A．

B．

C．

D．

【考点】轴对称图形．

【分析】根据轴对称图形的概念求解． 【解答】解：D图形是轴对称图形， 故选：D．

3．下列各式计算正确的是（ ） A．

B．

C．

D．

【考点】二次根式的混合运算．

【分析】根据二次根式的加减运算对A、B进行判断；根据二次根式的乘法法则对C进行判断；根据二次根式的乘法法则对D进行判断． 【解答】解：A、原式=6B、5

与5

，所以A选项的计算错误；

不能合并，所以B选项的计算错误； =8

，所以C选项的计算正确；

C、原式=8

D、原式=2，所以D选项的计算错误． 故选C．

4．若x＞y，则下列式子中错误的是（ ） A．x﹣3＞y﹣3 B．＞ C．x+3＞y+3 【考点】不等式的性质．

【分析】根据不等式的基本性质，进行判断即可．

【解答】解：A、根据不等式的性质1，可得x﹣3＞y﹣3，故A选项正确； B、根据不等式的性质2，可得＞，故B选项正确； C、根据不等式的性质1，可得x+3＞y+3，故C选项正确； D、根据不等式的性质3，可得﹣3x＜﹣3y，故D选项错误； 故选：D．

5．在平面直角坐标系中，已知点A（2，3），则点A关于x轴的对称点的坐标为（ ）

A．（3，2） B．（2，﹣3） C．（﹣2，3） D．（﹣2，﹣3） 【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．

【分析】根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y），进而得出答案． 【解答】解：∵点A（2，3），

∴点A关于x轴的对称点的坐标为：（2，﹣3）． 故选：B．

D．﹣3x＞﹣3y

6．对于命题“如果∠1+∠2=90°，那么∠1≠∠2”，能说明它是假命题的反例是（ ）

A．∠1=50°，∠2=40° B．∠1=50°，∠2=50° C．∠1=∠2=45° D．∠1=40°，∠2=40° 【考点】命题与定理．

【分析】能说明是假命题的反例就是能满足已知条件，但不满足结论的例子．

【解答】解：A、满足条件∠1+∠2=90°，也满足结论∠1≠∠2，故A选项错误；

B、不满足条件，故B选项错误；

C、满足条件，不满足结论，故C选项正确； D、不满足条件，也不满足结论，故D选项错误． 故选：C．

7．已知点M（1，a）和点N（2，b）是一次函数y=﹣2x+n图象上的两点，则a与b的大小关系是（ ） A．a≤b

B．a＜b

C．a≥b

D．a＞b

【考点】一次函数图象上点的坐标特征．

【分析】把点M和点N的坐标代入一次函数的解析式，求出a、b的值，比较即可．

【解答】解：∵点M（1，a）和点N（2，b）是一次函数y=﹣2x+n图象上的两点，

∴a=﹣2+n，b=﹣4+n，

∴a﹣b=（﹣2+n）﹣（﹣4+n）=2＞0， ∴a＞b， 故选：D．

8．直角三角形的两条边长分别是5和12，则斜边上的中线长是（ ） A．6

B．6.5 C．6或 6.5 D．6或 2.5

【考点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线．

【分析】分①12是直角边时，利用勾股定理列式求出斜边，根据直角三角形斜

边上的中线等于斜边的一半解答，②12是斜边，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．

【解答】解：①12是直角边时，斜边=第三边上的中线长=×13=6.5， ②12是斜边时，第三边上的中线长=故选：C．

9．直线l1：y=k1x+b与直线l2：y=k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式k2x＞k1x+b的解集为（ ）

12=6，

=13，

A．x＜﹣1 B．x＜3 C．x＞﹣1 D．x＞3 【考点】一次函数与一元一次不等式．

【分析】观察函数图象，写出直线l1在直线l2上方所对应的自变量的范围即可．

【解答】解：不等式k2x＞k1x+b的解集为x＜﹣1． 故选A．

10．关于x的不等式组A．﹣

＜a≤﹣ B．﹣

有四个整数解，则a的取值范围是（ ）

≤a＜﹣ C．﹣≤a≤﹣ D．﹣＜a＜﹣

【考点】一元一次不等式组的整数解．

【分析】先求出不等式组中每个不等式的解集，然后求出其公共解集，最后求a的取值范围即可．

【解答】解：由（1）得x＞8； 由（2）得x＜2﹣4a；

其解集为8＜x＜2﹣4a，

因不等式组有四个整数解，为9，10，11，12，则解得﹣故选B．

11．C为线段AE上一动点E重合）如图，（不与点A，，在AE同侧分别作正△ABC和正△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下五个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°．一定成立的结论有（ ）

≤a＜﹣．

，

A．①②③ B．①②③⑤ C．②③④ D．③④⑤

【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．

【分析】①由于△ABC和△CDE是等边三角形，可知AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，从而证出△ACD≌△BCE，可推知AD=BE；

AC=BC，②由△ACD≌△BCE得∠CBE=∠DAC，加之∠ACB=∠DCE=60°，得到△CQB≌△CPA（ASA），再根据∠PCQ=60°推出△PCQ为等边三角形，又由∠PQC=∠DCE，根据内错角相等，两直线平行，可知②正确； ③同②得：△ACP≌△BCQ，即可得出结论；

④根据∠DQE=∠ECQ+∠CEQ=60°+∠CEQ，∠CDE=60°，可知∠DQE≠∠CDE，可知④错误；

⑤利用等边三角形的性质，BC∥DE，再根据平行线的性质得到∠CBE=∠DEO，于是∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，可知⑤正确． 【解答】解：①∵△ABC和△CDE为等边三角形， ∴AC=BC，CD=CE，∠BCA=∠DCE=60°， ∴∠ACD=∠BCE，

在△ACD和△BCE中，∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴AD=BE，∠ADC=∠BEC，①正确； ②∠DCP=180°﹣2×60°=60°=∠ECQ， 在△CDP和△CEQ中，∴△CDP≌△CEQ（ASA）． ∴CP=CQ，

∴∠CPQ=∠CQP=60°， ∴∠QPC=∠BCA， ∴PQ∥AE，②正确； ③同②得：△ACP≌△BCQ， ∴AP=BQ， ③正确；

④∵DE＞QE，且DP=QE， ∴DE＞DP，故④错误； ⑤∵∠ACB=∠DCE=60°， ∴∠BCD=60°，

∵△DCE是等边三角形， ∠EDC=60°=∠BCD， ∴BC∥DE， ∴∠CBE=∠DEO，

，

，

∴∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°， ∴⑤正确； 故选：B．

12．如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线一点，当PA=CQ时，连结PQ交AC于D，则DE的长为（ ）

A． B． C． D． 【考点】等边三角形的性质．

【分析】过P作PF∥BC交AC于F，得出等边三角形APF，推出AP=PF=QC，根据等腰三角形性质求出EF=AE，证△PFD≌△QCD，推出FD=CD，推出DE=AC即可．

【解答】解：过P作PF∥BC交AC于F．如图所示： ∵PF∥BC，△ABC是等边三角形， ∴∠PFD=∠QCD，△APF是等边三角形， ∴AP=PF=AF， ∵PE⊥AC， ∴AE=EF，

∵AP=PF，AP=CQ， ∴PF=CQ．

∵在△PFD和△QCD中，∴△PFD≌△QCD（AAS）， ∴FD=CD， ∵AE=EF， ∴EF+FD=AE+CD， ∴AE+CD=DE=AC， ∵AC=1， ∴DE=． 故选：A．

，

二、认真填一填（本题有6个小题，每小题4分，共24分） 13．若代数式

有意义，则a的取值范围为 a≥2016 ．

【考点】二次根式有意义的条件．

【分析】根据被开方数是非负数，可得答案． 【解答】解：由题意，得 a﹣2016≥0， 解得a≥2016， 故答案为：a≥2016．

14．命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是 两个角相等三角形是等腰三角形 ．

【考点】命题与定理．

【分析】先找到原命题的题设和结论，再将题设和结论互换，即可而得到原命题的逆命题．

【解答】解：因为原命题的题设是：“一个三角形是等腰三角形”，结论是“这个三角形两底角相等”，

所以命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“两个角相等三角形是等腰三角形”．

15．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，CD=4，则点D到AB的距离为 4 ．

【考点】角平分线的性质．

【分析】直接根据角平分线的性质可得出结论．

【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，CD=4， ∴点D到AB的距离为4． 故答案为：4．

16．如图，在边长为2的等边△ABC中，D为BC的中点，E是AC边上一点，则BE+DE的最小值为 ．

【考点】轴对称﹣最短路线问题；等边三角形的性质．

【分析】作B关于AC的对称点B′，连接BB′、B′D，交AC于E，此时BE+ED=B′E+ED=B′D，根据两点之间线段最短可知B′D就是BE+ED的最小值，故E即为所求的点．

【解答】解：作B关于AC的对称点B′，连接BB′、B′D，交AC于E，此时BE+ED=B′E+ED=B′D，根据两点之间线段最短可知B′D就是BE+ED的最小值， ∵B、B′关于AC的对称， ∴AC、BB′互相垂直平分， ∴四边形ABCB′是平行四边形， ∵三角形ABC是边长为2， ∵D为BC的中点， ∴AD⊥BC，

∴AD=，BD=CD=1，BB′=2AD=2，

作B′G⊥BC的延长线于G， ∴B′G=AD=

，

在Rt△B′BG中， BG=

=

=3，

∴DG=BG﹣BD=3﹣1=2， 在Rt△B′DG中，B′D=故BE+ED的最小值为故答案为：

．

．

=

=

．

17．阅读理解：我们把对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为《x》，即当n为非负整数时，若n﹣≤x＜n+，则《x》=n．例如：《0.67》=1，《2.49》=2，…．给出下列关于《x》的问题：①《

》=2；②《2x》=2《x》；③当m为非负整数时，

≤x＜

；⑤

《m+2x》=m+《2x》；④若《2x﹣1》=5，则实数x的取值范围是

满足《x》=x的非负实数x有三个．其中正确结论的个数是 2 个． 【考点】一元一次不等式组的应用．

【分析】根据题意可以判断题目中各个结论是否正确，从而可以解答本题． 【解答】解：由题意可得， 《

》=1，故①错误；

当x=1.4时，《2x》=《2×1.8》=3，2《x》=2《1.4》=2，则《2x》≠2《x》，故②错误；

当m为非负整数时，《m+2x》=m+《2x》，故③正确； 若《2x﹣1》=5，则4.5≤2x﹣1＜5.5，解得

≤x＜

，故④正确；

满足《x》=x的非负实数x的值是x=0，故⑤错误； 由上可得，题目中正确的结论有2个， 故答案为：2．

18．A2、A3、…、An、An+1是x轴上的点，如图，已知A1、且OA1=A1A2=A2A3=…=AnAn+1=1，分别过点A1、A2、A3、…、An、An+1作x轴的垂线交直线y=2x于点B1、B2、B3、…、Bn、Bn+1，连接A1B2、B1A2、B2A3、…、AnBn+1、BnAn+1，依次相交于点P1、P2、P3、…、Pn．△A1B1P1、△A2B2P2、△AnBnPn的面积依次记为S1、S2、S3、…、Sn，则S2016=

．

【考点】一次函数图象上点的坐标特征．

【分析】根据图象上点的坐标性质得出点B1、B2、B3、…、Bn、Bn+1各点坐标，进而利用相似三角形的判定与性质得出S1、S2、S3、…、Sn，进而得出答案．

A2、A3、…、An、An+1是x轴上的点，【解答】解：∵A1、且OA1=A1A2=A2A3=…=AnAn+1=1，

分别过点A1、A2、A3、…、An、An+1作x轴的垂线交直线y=2x于点B1、B2、B3、…、Bn、Bn+1，

∴B1的横坐标为：1，纵坐标为：2， ∴B1（1，2），

同理可得：B2的横坐标为：2，纵坐标为：4， 则B2（2，4）， B3（3，6）… ∵A1B1∥A2B2，

∴△A1B1P1∽△A2B2P1， ∴

=，

∴△A1B1C1与△A2B2C2对应高的比为1：2， ∴A1B1边上的高为：， ∴S△A1B1P1=××2=，

同理可得出：S△A2B2P2=，S△A3B3P3=， ∴Sn=∴S2016=故答案为：

，

=．

，

三、解答题（本题有8个小题，共78分，解答需写出必要的文字说明、验算步骤或证明过程） 19．计算或化简： （1）（2（2）

﹣﹣3

）2+（2+﹣2）0+

）（2﹣

） ．

+（

【考点】二次根式的混合运算；零指数幂．

【分析】（1）利用完全平方公式和平方差公式计算；

（2）先把各二次根式化简为最简二次根式，再利用二次根式的性质和零指数幂的意义化简，然后合并即可．

【解答】解：（1）原式=12﹣12=31﹣12

；

﹣

+1+

﹣1

+18+4﹣3

（2）原式=2=

．

20．解不等式组．不等式组的非负整数解．

把不等式组的解集在数轴上表示出来，并写出

【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集；一元一次不等式组的整数解．

【分析】分别计算出两个不等式的解集，再根据大小小大中间找确定不等式组的解集即可，再找出解集范围内的非负整数即可． 【解答】解：由①得：x≥﹣1， 由②得：x＜3，

不等式组的解集为：﹣1≤x＜3． 在数轴上表示为：

不等式组的非负整数解为2，1，0．

21．“综合与实践”学习活动准备制作一组三角形，记这些三角形的三边分别为a，b，c，并且这些三角形三边的长度为大于1且小于5的整数个单位长度． （1）用记号（a，b，c）（a≤b≤c）表示一个满足条件的三角形，如（2，3，3）表示边长分别为2，3，3个单位长度的一个三角形．请列举出所有满足条件的三角形．

（2）用直尺和圆规作出三边满足a＜b＜c的三角形（用给定的单位长度，不写作法，保留作图痕迹）．

，

．

【考点】作图—应用与设计作图；三角形三边关系．

【分析】（1）应用列举法，根据三角形三边关系列举出所有满足条件的三角形．

（2）首先判断满足条件的三角形只有一个：a=2，b=3，c=4，再作图： ①作射线AB，且取AB=4；

②以点A为圆心，3为半径画弧；以点B为圆心，2为半径画弧，两弧交于点C；③连接AC、BC．则△ABC即为满足条件的三角形．

【解答】解：（1）共9种：（2，2，2），（2，2，3），（2，3，3），（2，3，4），（2，4，4），（3，3，3），（3，3，4），（3，4，4），（4，4，4）．

（2）由（1）可知，只有（2，3，4），即a=2，b=3，c=4时满足a＜b＜c． 如答图的△ABC即为满足条件的三角形．

22．如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC垂足为点D，CE⊥AB垂足为点E，AE=CE．

求证：（1）△AEF≌△CEB； （2）AF=2CD．

【考点】全等三角形的判定与性质．

【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质和已知条件易证△AEF≌△CEB； （2）由（1）可知AF=BC，BC=2CD，所以AF=2CD，问题得证． 【解答】解：

（1）证明：∵AD⊥BC， ∴∠B+∠BAD=90°．

∵CE⊥AB， ∴∠B+∠BCE=90°． ∴∠EAF=∠ECB， 在△AEF和△CEB中，

，

∴△AEF≌△CEB； （2）∵△AEF≌△CEB． ∴AF=BC．

∵AB=AC，AD⊥BC． ∴CD=BD，BC=2CD ∴AF=2CD．

23．2010年6月5日是第38个世界环境日，世界环境日的主题为“多个物种、一颗星球、一个未来”．为了响应节能减排的号召，某品牌汽车4S店准备购进A型（电动汽车）和B型（太阳能汽车）两种不同型号的汽车共16辆，以满足广大支持环保的购车者的需求．市场营销人员经过市场调查得到如下信息：

成本价（万元/辆） 售价（万元/辆） 30 42 32 45 A型 B型 （1）若经营者的购买资金不少于576万元且不多于600万元，则有哪几种进车方案？

（2）在（1）的前提下，如果你是经营者，并且所进的汽车能全部售出，你会选择哪种进车方案才能使获得的利润最大？最大利润是多少？

（3）假设每台电动汽车每公里的用电费用为0.65元，且两种汽车最大行驶里程均为30万公里，那么从节约资金的角度，你做为一名购车者，将会选购哪一种型号的汽车？并说明理由． 【考点】一次函数的应用．

【分析】（1）根据已知信息和若经营者的购买资金不少于576万元且不多于600

万元，列出不等式组，求解得出进车方案．

（2）根据已知列出利润函数式，求最值，选择方案． （3）根据已知通过计算分析得出答案．

【解答】解：（1）设A型汽车购进x辆，则B型汽车购进（16﹣x）辆． 根据题意得：解得：6≤x≤8． ∵x为整数， ∴x取6、7、8． ∴有三种购进方案： A型 6辆 7辆 9辆 8辆 8辆 ，

B型 10辆 （2）设总利润为w万元．

根据题意得：W=（32﹣30）x+（45﹣42）（16﹣x） W=﹣x+48． ∵k=﹣1＜0，

∴w随x的增大而减小，

∴当x=6时，w有最大值，W最大=﹣6+48=42（万元）

∴当购进A型车6辆，B型车10辆时，可获得最大利润，最大利润是42万元．（3）设电动汽车行驶的里程为a万公里． 当32+0.65a=45时，解得：a=20＜30． ∴选购太阳能汽车比较合算．

24．在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，0），B（2，0），若在坐标轴上存在点C，使得AC+BC=m，则称点C为点A，B的“m和点”．如C坐标为（0，0）时，AC+BC=4，则称C（0，0）为点A，B的“4和点”．

（1）若点C为点A，B的“m和点”，且△ABC为等边三角形，求m的值； （2）A，B的“5和点”有几个，请分别求出坐标；

（3）直接指出点A，B的“m和点”的个数情况和相应的m取值条件． 【考点】勾股定理；坐标与图形性质．

【分析】（1）先由A、B两点的坐标求出AB=4，再根据等边三角形的定义得到AC=BC=AB=4，然后根据“m和点”的定义即可求出m=8；

（2）设点C为点A，B的“5和点”．根据“m和点”的定义可知点C在坐标轴上，0）再分两种情况进行讨论：①如果点C在x轴上，设C点坐标为（x，，根据AC+BC=5列出方程|x+2|+|x﹣2|=5，解方程求出x的值，即可得到C点坐标；②如果点C在y轴上，设C点坐标为（0，y），根据AC+BC=5列出方程解方程求出y的值，即可得到C点坐标；

（3）由AB=4，可知点A，B的“m和点”的个数情况分三种情况进行讨论：①当m＜4时，根据两点之间线段最短可知A，B的“m和点”没有；②当m=4时，x轴上﹣2与2之间的任意一个数所对应的点都是A，B的“m和点”，所以有无数个；③当m＞4时，A，B的“m和点”x轴上有2个，y轴上也有2个，一共有4个．

【解答】解：（1）∵A（﹣2，0），B（2，0）， ∴AB=2﹣（﹣2）=4． ∵△ABC为等边三角形， ∴AC=BC=AB=4，

∴AC+BC=4+4=8，即m=8；

+=5，

（2）设点C为点A，B的“5和点”．分两种情况： ①如果点C在x轴上，设C点坐标为（x，0）． ∵AC+BC=5， ∴|x+2|+|x﹣2|=5，

当x≤﹣2时，﹣（x+2）﹣（x﹣2）=5，解得x=﹣2.5，所以C点坐标为（﹣2.5，0）；

当﹣2＜x≤2时，（x+2）﹣（x﹣2）=5，x无解；

当x＞2时，（x+2）+（x﹣2）=5，解得x=2.5，所以C点坐标为（2.5，0）； ②如果点C在y轴上，设C点坐标为（0，y）． ∵AC+BC=5， ∴

+

=5，

∴=2.5，

两边平方，得4+y2=6.25， 解得y=±1.5．

经经验，y=±1.5都是原方程的根， 所以C点坐标为（0，1.5），（0，﹣1.5）；

综上所述，A，B的“5和点”有4个，坐标为（﹣2.5，0），（2.5，0），（0，1.5），（0，﹣1.5）；

（3）∵AB=4，

∴点A，B的“m和点”的个数情况分三种情况： ①当m＜4时，A，B的“m和点”没有； ②当m=4时，A，B的“m和点”有无数个； ③当m＞4时，A，B的“m和点”有4个．

25．方成同学看到一则材料：甲开汽车，乙骑自行车从M地出发沿一条公路匀速前往N地．设乙行驶的时间为t（h），甲乙两人之间的距离为y（km），y与t的函数关系如图1所示．

方成思考后发现了如图1的部分正确信息：乙先出发1h；甲出发0.5小时与乙相遇．

请你帮助方成同学解决以下问题：

（1）分别求出线段BC，CD所在直线的函数表达式； （2）当20＜y＜30时，求t的取值范围；

（3）分别求出甲，乙行驶的路程S甲，S乙与时间t的函数表达式，并在图2所给的直角坐标系中分别画出它们的图象；

（4）丙骑摩托车与乙同时出发，从N地沿同一公路匀速前往M地，若丙经过h与乙相遇，问丙出发后多少时间与甲相遇？

【考点】一次函数的应用．

【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式，即可解答；

（2）先求出甲、乙的速度、所以OA的函数解析式为：y=20t（0≤t≤1），所以点A的纵坐标为20，根据当20＜y＜30时，得到20＜40t﹣60＜30，或20＜﹣20t+80＜30，解不等式组即可； （3）得到S甲=60t﹣60（

），S乙=20t（0≤t≤4），画出函数图象即可；

S丙=﹣40t+80（4）确定丙距M地的路程S丙与时间t的函数表达式为：（0≤t≤2），根据S丙=﹣40t+80与S甲=60t﹣60的图象交点的横坐标为，所以丙出发h与甲相遇．

【解答】解：（1）直线BC的函数解析式为y=kt+b， 把（1.5，0），（解得：

，

）代入得：

∴直线BC的解析式为：y=40t﹣60； 设直线CD的函数解析式为y1=k1t+b1， 把（

），（4，0）代入得：

，

解得：，

∴直线CD的函数解析式为：y=﹣20t+80．

（2）设甲的速度为akm/h，乙的速度为bkm/h，根据题意得；

，

解得：

，

∴甲的速度为60km/h，乙的速度为20km/h，

∴OA的函数解析式为：y=20t（0≤t≤1），所以点A的纵坐标为20， 当20＜y＜30时，

即20＜40t﹣60＜30，或20＜﹣20t+80＜30， 解得：

或

．

）

（3）根据题意得：S甲=60t﹣60（S乙=20t（0≤t≤4）， 所画图象如图2所示：

（4）当t=时，，丙距M地的路程S丙与时间t的函数表达式为：

S丙=﹣40t+80（0≤t≤2）， 如图3，

S丙=﹣40t+80与S甲=60t﹣60的图象交点的横坐标为， 所以丙出发h与甲相遇．

26．如图，直线l1：y1=﹣x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，点P（m，3）为直线l1上一点，另一直线l2：y2=x+b过点P． （1）求点P坐标和b的值；

（2）若点C是直线l2与x轴的交点，动点Q从点C开始以每秒1个单位的速度向x轴正方向移动．设点Q的运动时间为t秒．

①请写出当点Q在运动过程中，△APQ的面积S与t的函数关系式； ②求出t为多少时，△APQ的面积小于3；

③是否存在t的值，使△APQ为等腰三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

【考点】一次函数综合题．

【分析】（1）把P（m，3）的坐标代入直线l1上的解析式即可求得P的坐标，然后根据待定系数法即可求得b；

（2）根据直线l2的解析式得出C的坐标，①根据题意得出AQ=9﹣t，然后根据S=AQ•|yP|即可求得△APQ的面积S与t的函数关系式；②通过解不等式﹣t+

＜3，即可求得t＞7时，△APQ的面积小于3；③分三种情况：当PQ=PA时，

则（t﹣7+1）2+（0﹣3）2=（2+1）2+（0﹣3）2，当AQ=PA时，则（t﹣7﹣2）2=（2+1）2+（0﹣3）2，当PQ=AQ时，则（t﹣7+1）2+（0﹣3）2=（t﹣7﹣2）2，即可求得．

【解答】解；（1）∵点P（m，3）为直线l1上一点， ∴3=﹣m+2，解得m=﹣1，

∴点P的坐标为（﹣1，3），

把点P的坐标代入y2=x+b得，3=×（﹣1）+b， 解得b=；

（2）∵b=，

∴直线l2的解析式为y=x+， ∴C点的坐标为（﹣7，0），

①由直线l1：y1=﹣x+2可知A（2，0）， ∴当Q在A、C之间时，AQ=2+7﹣t=9﹣t， ∴S=AQ•|yP|=×（9﹣t）×3=当Q在A的右边时，AQ=t﹣9， ∴S=AQ•|yP|=×（t﹣9）×3=t﹣

；

或S=t﹣

；

﹣t；

即△APQ的面积S与t的函数关系式为S=﹣t+②∵S＜3， ∴﹣t+

＜3或t﹣

＜3

解得7＜t＜9或9＜t＜11． ③存在；

设Q（t﹣7，0），

当PQ=PA时，则（t﹣7+1）2+（0﹣3）2=（2+1）2+（0﹣3）2 ∴（t﹣6）2=32，解得t=3或t=9（舍去），

当AQ=PA时，则（t﹣7﹣2）2=（2+1）2+（0﹣3）2 ∴（t﹣9）2=18，解得t=9+3

或t=9﹣3

；

当PQ=AQ时，则（t﹣7+1）2+（0﹣3）2=（t﹣7﹣2）2， ∴（t﹣6）2+9=（t﹣9）2，解得t=6． 故当t的值为3或9+3

或9﹣3

或6时，△APQ为等腰三角形．

2017年3月17日