增城市2015届高中毕业班调研测试理科数学试题(含标准答案)

增城市2015届高中毕业班调研测试理科试题

数 学

试题分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。

共150分，考试时间120分钟。

注意事项：

1．第I卷（选择题）每小题选出答案后，用铅笔把答卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题上； 2．第II卷（非选择题）答案写在答卷上。

2参考公式：S球4R,V柱Sh,V锥114Sh,V台(SSSS)h,V球R3 333如果事件A、B互斥，那么P(AB)P(A)P(B). 如果事件A、B相互，那么P(AB)P(A)P(B).

第I卷（选择题，共40分）

一、选择题：本大题共有8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1i 1i （A） i （B） i （C） 2i （D） 2i

1.计算

2.设集合A{x2x4},B{x3x782x},则AB （A） [3,4) (B) (3,4) (C) [2,3] (D) [2,4) 3.下列等式中错误的是

(A) sin()sin (B) cos()cos （C） cos(2)cos (D) sin(2)sin 4.化简4x(3xy)(6x1313

14141312y)

123(A) 2xy (B) -2xy (C) 2y (D) 2y 5.若直线a不平行于平面，则下列结论成立的是 （A）平面内的所有直线都与直线a异面. （B）平面内存在与a平行的直线. （C）平面内的直线都与直线a相交. （D）直线a与平面有公共点.

6.如图1是一个圆锥的三视图，则其侧面积 是

俯视图 （A） （B） 2 （C） 3 （D） 4

7.已知loga2 图1

正视图

侧视图

3 11(a0,a1)，则实数a的取值范围是 3第 1 页 共 10 页

1113338.已知圆C：(x1)2(y2)225,直线l：(2m1)x(m1)y7m40,mR，当直线l被

(A) (1,) (B) (,1) (C) (0,)(D) (0,)(1,) 圆C截得的弦最短时的m的值是 （A）1334 （B）  （C）  （D）

3443

第II卷（非选择题，共110分）

二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共30分.其中14～15题是选做题，只能做一题，两题全

答的，只计算前一题得分.

（一）必做题（9～13题）

9.已知a(n,1),b(4,n)共线且方向相同，则n . 10. 二项式(x)9的展开式中x的项的系数是 . 11.如果函数f(x)1x32a是奇函数，则a的值是 . 2x1开始 i1 12. 如图2，是一个问题的程序框图，输出的结果 是1717，则设定循环控制条件(整数)是 . 13.已知实数x,y满足1xy3，则

1xy14x2y的取值范围是 .

（二）选做题（14、15题）

14（几何证明选讲选做题）已知圆o内的 两条弦AB,CD相交于圆内一点P，且

S=0 ii3 SSi 是 i? 否 输出S 结束 PAPB4,PC1PD, 则CD . 4

15（坐标系与参数方程选做题）曲线

2cos23sin(02)与

极轴交点的极坐标为 .

图2

三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16（12分）一个箱子里装有5个大小相同的球，有3个白球，2个红球，从中摸出2个球.

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（1）求摸出的两个球中有1个白球和1个红球的概率； （2）用表示摸出的两个球中的白球个数，求的分布列及数学期望.

17（12分）已知函数f(x)2sinx(cosxsinx)1

（1）求f(x)的最小正周期和最大值； （2）若为三角形的内角且f(2，求f()的值 )283

18（14分）如图3，在三棱锥VABC中，VO平面ABC,

V OCD,VAVB32,ADBD3,BC5.

（1)求证：VCAB;

（2）当二面角VABC的平面角为60时，求三棱锥

A

D B 图3

C O VABC的体积.

19（14分）设f(x)131x(b1)x2bx,xR 32（1）当b1时,求f(x)的单调区间；

（2）当f(x)在R上有且仅有一个零点时,求b的取值范围.

20（14分）已知椭圆的中心在坐标原点,一个焦点坐标是F1(0,1),离心率为（1）求椭圆的标准方程；

（2）过F1作直线交椭圆于A,B两点，F2是椭圆的另一个焦点,求SABF2的取值范围.

21（14分）在数列{an}中,已知a12,对任意正整数n都有nan12(n1)an.

（1）求{an}的通项公式； （2）求{an}的前n项和Sn;

(3)如果对任意正整数n都有nank(Sn2)(k为实数)恒成立,求k的最大值.

3. 3第 3 页 共 10 页

增城市2015届高中毕业班调研测试 理科数学试题参及评分标准

一、选择题：

AABAD BDA

二、填空题：

9. 2 10. -84 11. -1 12. 100或101或102 13. [2,10]

三、解答题：

16.解：（1）从5个球中摸出2个球有C2510种方法 摸出的2个球中有1个白球和1个红球有C13C126种方法 所以所求的概率是

61035 （2）0,1,2 当0时，摸出的2个球是红球的方法有1种 P1110 当1时，同（1），P325 当2时，摸出的2个球是白球的方法有C233种

P3310 所以的分布列是

 0 1 2 P 1 33105 10 的数学期望是：E()01101352310 65

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14. 10 1分 2分

4分 5分

6分

7分 8分

9分 10分 11分 12分（ 0,0）（，2,0） 15.

17.解：（1）

f(x)2sinxcosx2sin2x1 1分

sin2x1cos2x1 3分

sin2xcos2x 2sin(2x) 4分

4 所以f(x)的最小正周期是，最大值是2 6分 （2）

f()2sin[2()] 7分 28284 2sin(2)2cos 2cos23 cos13且为钝角 sin1cos2223 所以f()2sin(cossin)1

2223(13223)1 7429 18.（1）证明：VAVB,ADBD,VDAB VO平面ABC,VOAB VD与VO相交于V AB平面VCD VCAB （2）解：由（1）知VDC是二面角VABD的平面角 VDC60 在VAB中，VAVB32,ADBD3

VDVA2AD23 在VDO中，VDC60,DOC90

VOVDsin60332 在VDC中，DCBC2BD24 第 5 页 共 10 页

8分

9分 10分 11分 12分 1分 2分 3分 4分 5分 6分 7分 8分 9分 10分

11SABCVO(或SVDCAB) 11分 3311 DCVOAB 12分

32 所以VVABC 133 13分 6462 63 14分 19.解(1)当b1时,f(x)

13xx 1分 3f(x)x21(x1)(x1)0 2分

x11,x21 3分

因为

x -1 0 极大值 1 0 极小值 (,1) + (1,1) - (1,) + f(x) f(x) 5分 所以f(x)的单调区间是(,1),(1,1),(1,) 6分 (2)

f(x)1x[2x23(b1)x6b]0 7分 62 x0或2x3(b1)x6b0 8分 当方程2x3(b1)x6b0无解时 9分 9(b1)48b 10分 3(3b1)(b3) 11分 <0 12分 3b 13分 所以当3b或解:

22131时函数f(x)有且只有一个零点. 14分 3f(x)x2(b1)xb(x1)(xb)0

x11,x2b 7分

2当b1时,f(x)(x1)0,所以f(x)在(,)上单调增

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又

f(x)1x(x23x3)0,x0,x23x30无解 3所以b1时函数f(x)有且只有一个零点. 8分 当b1时,b1,因为

x (,b) b 0 极大值 (b,1) - 1 0 极小值 (1,) + f(x) + f(x) 9分 及f(x)0有一解x0

f(b)0113b， 1b 10分 330f(1) 因为f(x)在(,b)上单调增，在[b,)上恒有f(x)0

13 当b1时，b1，因为

x 所以当1b时，f(x)在(,)上有且只有一个零点 11分

(,1) + 1 0 极大值 (1,b) - b 0 极小值 (b,) + f(x) f(x) 12分 及f(x)0有一解x0 f(b)013b， 3b1 30f(1) 因为f(x)在(,1)上单调增，在[1,)上恒有f(x)0

所以当3b1时，f(x)在(,)上有且只有一个零点 13分 所以f(x)在(,)上有且只有一个零点时,b的取值范围是3b1 14分 3x2y220.解(1)由条件可设椭圆方程为221(ab0),则有 1分

ba第 7 页 共 10 页

c1,e3 3c3a3 2分 a3 ba2c22 3分

x2y21 4分 所以所求椭圆方程是23(2)由条件设直线AB的方程为y1kx,将ykx1代入椭圆方程得: 5分 (2k23)x24kx40 设A(x1,y1),B(x2,y2)

16k216(k223)4k28( 1) 0 x4k1x22k21,xx1242k23

SABF212F1F2x1x2x1x 2 (x1x2)2(x1x2)24x1x2 16k216(2k23)22k23 48(k21)(2k23)2 令tk21,则t1 设g(t)(2t1)t4t1t4

g(t)414t21t2t2

当t1时,g(t)0,g(t)在[1,)上单调增

g(t)g(1) 9 048481g3 6(t)9 0S43ABF23 21.解(1)

naan1n12(n1)an,n12ann 第 8 页 共 10 页

6分 7分 8分 9分 10分

11分 12分 13分 14分 2分

所以数列{an}是以2为公比,首项为2的等比数列 3分 nan22n1 4分 nann2n 5分

或解:

a12

4 2分 24332a4, 4 22 a2822a,3 所以猜想得ann2n 数学归纳法证明 (2)

S2na1a2an1an222323(n1)2n1n2n 2S2n2223324(n1)2nn2n1 Sn222232nn2n1 2(2n 1)21n2n1(n1)n12 Sn1n(n1)22 (3)

nank(Sn2),n22nk(n1)2n1,n22k(n1) 当n1时,k为任意实数 当n1时,k1n2 1n21(n2n12n121)22(n1)1n1 12[(n1)21n1]12(n11n1)222 当且仅当n11n1,即n2时等号成立 所以当n1时,k2,所以当n为任意正整数时k2, 所以当n为任意正整数时k的最大值是2 解(2)

nank(Sn2),n22nk(n1)2n1,n22k(n1) 当k0时,上述不等式显然成立 当k0时,化为

1n1n12kn2n2(11211n2)44 12k140k2,等号(k2)成立时n2,所以k2 第 9 页 共 10 页

3分 5分 6分

7分

8分

9分 10分

11分 12分 13分 14分 10分

11分 分

13

所以当n为任意正整数时k的最大值是2 14分 解(3):

nank(Sn2),n22nk(n1)2n1

(n22kn2k)n2 0 n2kn2k0 令f(n)n22kn2k 10分

2 11分 f(n)n2kn2k(n2k)2k 2 k2 当 k22k0时,f(n)0

0k2 当k22k0时, :

f(1)10,f(n)0在[1,)上无解的条件是

xk1 所以k2

所以当n为任意正整数时k的最大值是2 解(4):

na2nk(Sn2),n2nk(n1)2n1

(n22kn2k)n2 0 n22kn2k0 令f(n)n22kn2k,

4k28k4k(k2)

当0时,0k2,f(n)0,0k2 当0时,k0或k2,f(n)n20,所以k0或k2. 当0时,k0或k2 此时:

f(1)10,f(n)0在[1,)上无解的条件是

xk1 所以k2

所以当n为任意正整数时k的最大值是2 第 10 页 共 10 页

12分 13分

14分 分 11分

12分

13分 14分 10