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2.4 等腰三角形的判定定理
A组
1．在△ABC中，AB＝c，BC＝a，AC＝b，下列条件不能判定△ABC是等腰三角形的是(D) A． ∠A∶∠B∶∠C＝1∶1∶3 B． a∶b∶c＝2∶2∶3 C． ∠B＝50°，∠C＝80° D． 2∠A＝∠B＋∠C
2．给出下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角(每个顶点处各取一个外角)都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的是(D)
A．①②③ B．①②④ C．①③ D．①②③④
(第3题)
3．如图，在△ABC中，AB＝7，AC＝5，BC＝6，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点D，过点D作BC的平行线交AB于点E，交AC于点F，则△AEF的周长为(C)
A． 9 B． 11 C． 12 D． 13 4．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，请你再添加一个条件，确定△ABC是等腰三角形．你添加的条件是BD＝CD(答案不唯一)．
,(第4题)) ,(第5题))
5．如图，已知OA＝5，P是射线ON上的一个动点，∠AON＝60°．当OP＝__5__时，△AOP为等边三角形．
(第6题)
6．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，EG∥AD，找出图中的等腰三角形，并给出证明． 【解】 △AEF是等腰三角形．证明如下： ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD． ∵EG∥AD，
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∴∠E＝∠CAD，∠EFA＝∠BAD， ∴∠E＝∠EFA，
∴△AEF是等腰三角形．
(第7题)
7．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°， AD⊥BC，BE平分∠ABC．求证： △AEF是等腰三角形．
【解】 ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE．
∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°．
∵∠ADB＋∠CBE＋∠BFD＝180°， ∠BAC＋∠ABE＋∠BEA＝180°， ∴∠BFD＝∠BEA．
∵∠BFD＝∠AFE，∴∠BEA＝∠AFE． ∴△AEF是等腰三角形．
8．如图，已知AB＝AD，∠ABC＝∠ADC, 则BC＝CD，请说明理由．
(第8题)
【解】 如解图，连结BD． ∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB． ∵∠ABC＝∠ADC，
∴∠ABD－∠ABC＝∠ADB－∠ADC， 即∠CBD＝∠CDB，∴BC＝CD．
B组
(第8题解)
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(第9题)
9．如图，E是等边三角形ABC中AC边上的点，∠1＝∠2，BE＝CD，则△ADE的形状是(B)
A．一般等腰三角形 B．等边三角形 C．不等边三角形 D．不能确定形状
【解】 ∵△ABC为等边三角形， ∴AB＝AC，∠BAC＝60°． 又∵∠1＝∠2，BE＝CD， ∴△ABE≌△ACD(SAS)．
∴AE＝AD，∠CAD＝∠BAE＝60°． ∴△ADE是等边三角形．
(第10题)
10．如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．
(1)求∠F的度数．
(2)若CD＝2，求DF的长．
【解】 (1)∵△ABC为等边三角形， ∴∠B＝∠ACB＝60°． ∵DE∥AB，
∴∠EDF＝∠B＝60°． ∵EF⊥DE，
∴∠DEF＝90°，
∴∠F＝180°－∠DEF－∠EDF＝30°． (2)∵∠ACB＝60°，∠F＝30°， ∴∠CEF＝∠ACB－∠F＝30°＝∠F， ∴CE＝CF．
∵∠EDF＝∠ACB＝60°， ∴△CDE为等边三角形， ∴CD＝CE，
∴DF＝DC＋CF＝DC＋CE＝2CD＝4．
11．如图①，A是线段BC上一点，△ABD和△ACE都是等边三角形． (1)连结BE，DC，求证：BE＝DC．
(2)如图②，将△ABD绕点A顺时针旋转得到△AB′D′． ①当旋转角为__60__度时，边AD′落在AE上．
②在①的条件下，延长DD′交CE于点P，连结BD′，CD′．当线段AB，AC满足什么数量关系时，△BDD′与△CPD′全等？并给予证明．
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(第11题)
【解】 (1)∵△ABD和△ACE都是等边三角形． ∴AB＝AD，AE＝AC，∠BAD＝∠CAE＝60°， ∴∠BAD＋∠DAE＝∠CAE＋∠DAE， 即∠BAE＝∠DAC．
AB＝AD，
在△BAE和△DAC中，∵∠BAE＝∠DAC，
AE＝AC，∴△BAE≌△DAC(SAS)，∴BE＝DC．
(2)①∵∠BAD＝∠CAE＝60°， ∴∠DAE＝180°－60°×2＝60°． ∵边AD′落在AE上， ∴旋转角＝∠DAE＝60°．
②当AC＝2AB时，△BDD′与△CPD′全等． 证明如下：
由旋转可知，AB′与AD重合， ∴AB＝DB＝DD′＝AD′．
又∵BD′＝BD′，∴△ABD′≌△DBD′(SSS)． 11
∴∠ABD′＝∠DBD′＝∠ABD＝×60°＝30°．
22同理，∠AD′B＝∠DD′B＝30°，∴DP∥BC．
∵△ACE是等边三角形，
∴AC＝AE＝CE，∠ACE＝60°． ∵AC＝2AB，∴AE＝2AD′．
11
∴∠PCD′＝∠ACD′＝∠ACE＝×60°＝30°．
22∴∠ABD′＝∠ACD′．∴BD′＝CD′．
∵DP∥BC，∴∠PD′C＝∠ACD′＝30°．
∴∠DBD′＝∠DD′B＝∠PCD′＝∠PD′C＝30°． ∠DBD′＝∠PCD′，
在△BDD′与△CPD′中，∵BD′＝CD′，
∠DD′B＝∠PD′C，∴△BDD′≌△CPD′(ASA)．
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(第12题)
12．如图，△ABC和△ADC都是等边三角形，点E，F同时分别从点B，A出发，以相同的速度各自沿BA，AD的方向运动到点A，D停止，连结EC，FC．
(1)在点E，F运动的过程中，∠ECF的度数是否随之变化？请说明理由．
(2)在点E，F运动的过程中，以A，E，C，F为顶点的四边形的面积变化了吗？请说明理由．
(3)连结EF，在图中找出所有和∠ACE相等的角，并说明理由．
(4)若点E，F在射线BA，射线AD上继续运动下去，(1)中的结论还成立吗？直接写出结论，不必说明理由．导学号：91354011
【解】 (1)没有变化．理由如下： ∵点E，F的速度相同，且同时运动， ∴BE＝AF．
∵△ABC和△ADC都是等边三角形，
∴BC＝AC，∠B＝∠ACB＝∠CAF＝60°．
BE＝AF，
在△BCE和△ACF中，∵∠B＝∠CAF＝60°，
BC＝AC，
∴△BCE≌△ACF(SAS)，∴∠BCE＝∠ACF，
∴∠ECF＝∠ACF＋∠ACE＝∠BCE＋∠ACE＝∠ACB＝60°． (2)没有变化．理由如下：
由(1)知，△BCE与△ACF的面积相等，
∴S四边形AECF＝S△ACF＋S△ACE＝S△BCE＋S△ACE＝S△ABC． ∴四边形AECF的面积没有变化．
(3)∠AFE＝∠DCF＝∠ACE．理由如下： ∵△ABC和△ADC都是等边三角形，
∴∠EAC＝∠FDC＝60°，AB＝AC＝DC＝AD． ∵BE＝AF，∴AB－BE＝AD－AF，即AE＝DF， ∴△ACE≌△DCF(SAS)， ∴∠ACE＝∠DCF，EC＝FC． 又∵∠ECF＝60°，
∴△ECF是等边三角形，∴∠EFC＝60°， ∴∠AFE＋∠DFC＝120°．
∵∠D＝60°，∴∠DCF＋∠DFC＝120°， ∴∠AFE＝∠DCF＝∠ACE． (4)(1)中的结论仍成立．
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