正切和余切

一、

本周教学进度：

6.2 正切和余切

二、 本周教学内容：

１. 正切和余切的有关概念；

２. 解决运用正切和余切的有关问题．

三、 重点、难点剖析

１. 正切、余切与已学过的正弦、余弦是初中阶段必须理解并掌握的锐角三角函数，由于任意一个

锐角都可以看作是直角三角形的一个角（显然这样的直角三角形都是相似的）．因此，我们在直角三角形中，就可以对这个锐角Ａ作出如下的定义：

sinA＝a,

ccosA＝b,

ctgA＝a,

b

ctgA＝b.

a其中a、b分别为∠Ａ的对边和邻边，c为斜边．

学习锐角三角函数时首先要熟知定义，切不可以张冠李戴，只有在理解的基础上熟记，在运用中加深理解．

２. 学习正切和余切时，要充分利用学过的正弦和余弦，经常地把它们加以比较，就会既见到许多

相类似的地方，又重视它们的区别，不至于产生混淆． 如，在Rt△ABC中，∠Ｃ＝９０°．

acbcosB＝sinB＝

catgA＝ctgB＝

bctgA＝tgB＝basinA＝cosB＝; ; ; .

c A b

这种互为余角的三角函数关系，为我们把它化为同角的三角函数创造条件，这在解题中是B a C 经常用到的．

若∠α、∠β都是锐角，且∠α＞∠β． 则 sinα＞sinβ; tgα＞tgβ;

cosα＜cosβ; ctgα＜ctgβ.

可见一个锐角的正弦值（或正切值）随着锐角的增大而增大；余弦值或余切值随着锐角的增大而减小，这就为比较三角函数值的大小提供了依据．

如，比较tg43°与ctg57°的大小

∵ tg43°＝tg(90°－47°)＝ctg47°, 而ctg47°＞ctg57° 即tg43°＞ctg57°

值得一提的事，比较两个三角函数值的大小，通常总是先把它们化为同名三角函数.

３．要熟记特殊角的三角函数值

学习正弦和余弦时已经知道，30°、45°、60°称为特殊角，对于这些角的各个 三角函

数值应用极为广泛，必须熟记． 角度α 45° 60° 函数值 30° 函数 1 名称 正弦 sinα 余弦 cosα 正切 tgα 余切 ctgα

怎样熟记呢？

1 23 23 3 2 22 2 １ １ 3 21 2 3 3 3 3正弦、余弦的30°、45°、60°值的分母都是2，而分子，正弦为1（＝１）、2、3；余弦为3、2、1（＝１），分别读作根号１、２、３；根号３、２、１．

正切、余切的30°、45°、60°值的分母都是３，分子则为（3）1、(3)2、(3)3,即 tg3０°＝

23(3)3(3)＝， tg45°＝＝＝1 33333133(3)tg60°＝＝＝3. 余切则相反．

33 必须告诉大家，0°、90°也是特殊角，且

sin０°＝０， cos0°＝1, tg0°＝0, ctg0°不存在； sin９０°＝１， cos90°＝1, tg90°不存在， ctg0°＝０． 因此，今后我们指的特殊角是：0°、30°、45°、60°、90°． ４．同角三角函数间的关系

同角三角函数间存在以下关系：

２

平方关系： sinα＋cos2α＝1; 商的关系： tgα＝sin, ctgα＝

coscossin;

c A 倒数关系： tgα＝

b 这些关系不仅在学习中，解题时用处很大，而且对这些关系的真正掌握也是有助于对三角函数定义的理解．如，

B ２

sinα＋cos2α C a ２２＝（a）＋（b）

11, ctgα＝. ctgtg＝

ca2+b2cc2＝１ (c＝a＋b); bcba222

cba cos＝ctg＝

a＝ sinα; ctgα·ctgα＝a·b＝1, 即tgα＝ba

1． ctg a 四、 典型例题

例１ 在Rt△ABC中, ∠C＝90°,a:b＝3:1, 求∠Ａ的四个三角函数值． 解 ∵ a:b＝3:1, ∴ a＝3b

由勾股定理，得c＝a2+b2＝10b.

2

则 sinA＝a＝

c33b＝1010b10;

cosA＝b＝

cb＝

10b1010;

tgA＝a＝3b＝3;

bb ctgA＝b＝b＝1.

3ba3 解这道题的关键就是要熟知三角函数的定义, 由于三角函数值是两边之比结果是个数值，因而本

题是通过把Rt△ABC的三条边长用同一条边去表示，以求得任意两边之比值.

例２ 已知α是锐角，且sinα＝3,

5求cosα、tgα、 ctgα的值．

分析 这是已知一个三角函数值，求其余的同角三角函数值的问题，因此可采用同角三角函数关系去解决．

解 ∵ sinα＋cos2α＝1， 且sinα＝

２

3，α是锐角， 5 ∴ cosα＝1sin2＝1()＝ 又 ∵ tgα＝sin=cos ∴ ctgα＝

3545=3， 43524． 51＝4. tg3注意 锐角的各个三角函数值都是正值．

例３ 已知ctgＡ的值小于3，则锐角Ａ的取值范围是（ ）．

A. 0°＜A＜90° B. 30°＜A＜90° C. 0°＜A＜60° D. 60°＜A＜90° 解 ∵ ctg30°＝3,ctgA＜ctg30° ∴ ∠A＞30° 又 ∵ ∠A是锐角， ∴ 30°＜A＜90° 故应选（Ｂ）

例４ 已知α是锐角，tgα＋ctgα＝k－1, tg2α＋ctg2α＝14, 求k的值．

分析 要求k的值，就需要得到一个k的等式，因此如何从已知的两个条件中消去 tgα、ctgα是解题的关键．

解 ∵ tgα＋ctgα＝k－1, ∴ (tgα＋ctgα)2＝(k－1)2 即 tg2α＋ctg2α＋2tgα·ctgα＝(k－1)2 14＋2＝(k－1)2

则 k－1＝±４

k1＝5, k2＝－3,

又 ∵ tgα＋ctgα＝k－1＞０， ∴ k＝－3舍去． 则 k＝5.

注意 当α是锐角时，tgα＞０，ctgα＞０．

例５ 在△ABC中，ctgA＝0, 且tgB、ctgC是关于x的方程x2－23x＋k＝0的两根，求∠A、∠Ｂ、∠Ｃ及k的值．

解 ∵ ctgA＝0, ∴ ∠A＝90° （这是基本的） ∵ ∠Ｂ＋∠Ｃ＝90°，tgB＝ctgC（互余关系） 根据题意，得

tgB＋ctgC＝tgB＋tgB＝２tgB＝２3 ∴tgB＝3， 则∠Ｂ＝60°，∠Ｃ＝30°.

3

又∵tgB·ctgC＝k, ∴k＝tg60°·ctg30°＝3·3＝3(利用特殊角的三角函数值) k＝tgB·ctgC＝tg2B＝tg260°＝(3)2＝3.

练 习 ４

一. 填空：

1．已知Rt△ABC中，∠C＝90°,a＝15， c＝17，则

sinA＝______________, tgA＝______________, ctgA＝_______________, cosB＝______________, tgB＝______________, ctgB＝_______________. 2.根据条件，求出锐角α的度数．

(1)ctgα·tg45°·tg36°＝1, 则α＝_________________; (2)tgα·ctg45°·tg56°＝1, 则α＝_________________;

2tg30° (3)已知tg2α＝, 则α＝_________________;

2°1tg30 (4)已知ctg(90°－α)＝tg25°, 则α＝_________________.

3. 在△ABC中，∠C＝90°, AC＝3BC, 则∠Ａ＝____________°;若BC＝5cm, 则AB＝___________cm.

4.在△ABC中，∠Ａ、∠Ｂ满足｜sinA－1|＋(tgB－1)2＝0, 则∠Ｃ＝__________.

二、解答题

5．计算

(1)sin260°＋

1sin30°－ctg45°·ctg90°; 2tg55°; °ctg35cos60°1 (2)+1+cos30°tg30°

(3)2·cos45°－3tg30°·sin60°.

6.已知方程（x·tgα）2－mx＋ctg2α＝0 (α是锐角)有两个相等的实数根，求 m的值．

7.如图，△ABC中，ＡＤ是商,BC＝a, ∠B＝α, ∠C＝β, 求ＡＤ的长． （用α、a、β表示ＡＤ长）

ABDC答案与提示 【答案】

4

1581581515， ， ，，，；

8151715817 2.36°, 34°, 30°, 25°; 3.30°, 10; 4.45°.

1二. 5. (1) 1, (2) 1, (3) －;

2 6. m＝±2;

一. 1.

7. AD＝

a.

ctg+ctg【提示】

２. (3) tg2α＝７. 21(3332)3＝3, ∴ 2α＝60°, α＝30°. 解 在Rt△ABC中， ctgα＝ABD, ∴ BD＝AD·ctgα ① ADDC, ∴ DC＝AD·ctgβ ② AD在Rt△ABC中， ctgβ＝ B C ①＋ ②, 得 BD＋DC＝AD·(ctgα＋ ctgβ)

a 即 AD＝. ctg+ctg 5