贝塞尔曲线公式

贝塞尔曲线（Bézier Curve）是由法国数学家皮埃尔·贝塞尔提出的，其应用非常广泛，如CAD系统，图片处理，几何图案绘制等。贝塞尔曲线具有很强的平滑性，可以用来描述任意曲线，可以更加精确地描述几何形状。

贝塞尔曲线公式是一种用于绘制贝塞尔曲线的方法，它可以用来描述任意曲线。贝塞尔曲线公式也称为递推公式，它将多项式拆分为多边形，并用相应的贝塞尔曲线来表示这些多项式。这种方法实现了在任意两个点之间平滑多边形的曲线，给我们一个非常高效地，强大而精确绘图方法。

贝塞尔曲线的通用公式为：

B(t)=sum(k=0,n)PkCn,k(t)

其中，Pk是贝塞尔曲线的控制点，t是参数，Cn,k（t）是贝塞尔基函数：

C0,0(t)=1,Cn,0(t)=0,Cn,k(t)=Cn-1,k-1(t)+(n-k+1)Cn-1,k(t)

而B（t）是控制点的一个线性函数，t的数值在[0,1]之间。当t=0的时候，B(t)=P0，t=1的时候，B(t)=Pn， 其间的某一点Q，

坐标则有如下形式：

Q(x,y)=B(t)=sum(k=0,n)PkCn,k(t)=(P0(t),Pn(t))Cn,k(t)

由于贝塞尔曲线是一种几何数学概念，它还有基于几何理论的定义及绘图方法，如：

1.控制点的定义：在二维空间内，贝塞尔曲线是由“控制点A”和“控制点B”两个点构成曲线。

2.贝塞尔曲线定义：采用参数t做函数变换后，以控制点A和控制点B为两个顶点，完成三次曲线的定义。即所谓的B-Spline曲线（B样条曲线）。

3.贝塞尔曲线定向：从起点开始，控制点A和控制点B所代表的线条向曲线的延长方向，可以使到达终点的曲线更平滑，更优美。

4.贝塞尔曲线的绘制：一般来说，贝塞尔曲线的绘制可以分成三步：

（1）通过各个控制点求得控制点对应的点对；

（2）将此点对组合起来即可绘出相应的贝塞尔曲线；

（3）根据公式依次计算出整条曲线上的点，最后完成贝塞尔曲线的精确绘制。

贝塞尔曲线的绘制精度和可控性，是比较常见的绘图手段，它解决了多边形图形无法平滑的主要原因，在实际应用中也被证明是一种非常有效的绘图技术。贝塞尔曲线的应用范围及形式非常广泛，满足了绘图设计行业和实时计算机图形以及各种图形技术研究的需求。