维普资讯 http://www.cqvip.com 第２Ｏ卷第３期 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ 宁德师专学报（自然科学版）Ｎｉｎｇｄｅ Ｔｅａｃｈｅｒｓ ＣｏＵｅｇｅ（Ｎａｔｕｒａ ２００８年８月 ｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ） Ｖ０１．２Ｏ Ｎ０．３ Ａｕｇ．２００８ 巧用变换法解题 陈峰梅 （南平市农业学校，福建建阳３５４２００） 摘要： 中的一个重要Ｉ均思维方法，巧用变换法解题，提高思维素质，培养创新能力． 关键词：数学；变换；解题 中图分类号：Ｇ ７１８．３ 文献标识码：Ａ 文章编号：１００４—２９１１（２００８）０３—０２９０—０３ 同一数学题，往往有多种的解法，而解题的关键在于力求选择能够最快达到解题目标的方法和途 径，这就需要解题者有一定的技巧和能力．如何提高解题者的技巧和能力是师生共同关心的问题．“变 换法”就是一个重要的数学思维方法，人们遇到数学问题时，采用迂回的方式和“改头换面”的手段来解 决复杂的问题，通过适当的变换转化成简单的数学问题，将繁琐的问题通过适当的变换转化成容易的问 题，从而达到解决问题的目的．“变换法”是一种灵活、多样的思维方法，它能使数学趣味无穷，充分体现 了数学的魅力．本文想通过以下几个例题来谈谈自己的体会． 例１ 已 、ｃ为任意实数，求证： ＋ ＋ ： 。 ‘ ｌ＋ ａＤ ｌ十ＤＣ ｌ十Ｃ ａｌ＋ ａＯｌ十 Ｏｃｌ十 ｃａ 分析如果直接利用代数的恒等变形来证明，将是十分繁杂的，但如果仔细观察原式，不难发现 与公式ｔａｎ（Ｏｔ－－卢）＝ （若ｔａｎ ＝口，ｔａｌ ＝６）的形式一致，因而问题就转化为三角问题了・可 设ｔａｎ ＝口，ｔ邶＝６，ｔａｎｙ＝ｃ，则ｔａｎ（ 一卢）＝ ，ｔａｎ（ｆｌ—ｙ）＝ ，ｔａｎ（ — ）＝ ，在三角公式 中有 ＋ ＋ｙ＝ｋａｒｃ：ｏｔａｎｏ￣＋ｔａｎ＃＋ｔａｎｙ＝ｔａｎｏｔ。ｔａｎＢ・ｔａｎ７（ｋ∈Ｚ），由（ — ）＋（卢一 ）＋（ — ）＝０ 知ｔａｎ（ａ一卢）＋ｔａｎ（ＪＢ—ｙ）＋ｔａｎ（ｙ— ）＝ｔａｎ（ｏｔ一卢）・ｔａｎ（￣一７）・ｔａｎ（ｙ— ），从而原等式得证． 例２求函数Ｙ・＝ 的最大值和最小值． 十ＣＯＳ 分析观察原式，可发现 十ＣＯＳ 与斜率ｋ＝ 戈１一 ， 的形式一致，因而函数可以看成过点Ａ（２，３）与Ｂ （一ｃｏｓ０，ｓｉｎ０）的直线的斜率，动点Ｂ的轨迹是圆 ＋ｙ２＝１．易知当且仅当过点Ａ的直线与圆 ＋ｙ２＝１ 相切时，直线Ａ 斜率才取最大值或最小值．设直线方程为Ｙ＝ｋ（ｘ一２）＋３，并代人 ＋ｙ ＝１得（．ｊ｝ ＋１） Ｘ２＋２ｋ（２ｋ一３） ＋４（ｋ 一３ｋ＋２）：０，由△：０可得 ： ，所以，所求函数的最大值为 ，最 小值为６二 ． ， 例３方程Ａ ＋（２Ａ一１） ＋１＝０的两根是不同的实根，且在一１与１之间，求Ａ的取值范围． 分析如果用方程理论求解就比较繁．根据题设将方程转化为与之等价的方程 ：＋ ＋÷： ０，问题就转化为：二次函数厂（ ）＝ ＋ ＋÷与 轴有两个交点，且交点位于区间（一１，１）内，求Ａ 收稿日期：２００８—０５—２４ 作者简介：陈峰梅（１９７１一），女，讲师，福建南平人，现从事中专数学教学及研究 Ｅ—ｍａｉｌ：ｎｄｚｈｅｎｇｓｙ９９＠ｙａｈｏｏ．ｔｏｍ．ｃｎ 维普资讯 http://www.cqvip.com 第３期 陈峰梅：巧用变换法解题 ・２９１・ 的取值范围．于是我们就可利用二次函数图像的性质得解． － ）一￣＞。 ｌ一 ｌ＜，由此即可求得・＋ ＜ ． １）＞Ｏ 一１）＞０ 例４设ｚｌ、ｚ２是任意两个复数，求证Ｉｚ１ ｌ—Ｉｚ２Ｉ Ｉｚｌ＋ｚ２Ｉ≤Ｉｚｌ ｌ＋Ｉｚ２１ 分析 若令 １＝ １＋Ｙ１ｉ，ｚ２＝ ２＋ｙ２ｉ， １，Ｙ１， ２，Ｙ２∈Ｒ，则要证明： 一 丽≤、／， ≤ ＋ 孺，上述不等式数量关系复杂， 用代数方法证明较为繁难．但从复数的几何意义出发，由向量的加法“三角形法则”可知，ｚ。＋ ：与 、＝： 相应向量是同一三角形中的三边，这样可利用三角形的三边关系证得原不等式成立． 解题的目标，就是为了使条件和结论逐渐靠近，以达到“矛盾的统一”．从以上几个例题看出，变换 思维对于促进“矛盾的统一”能起积极的作用．解题要从不同的侧面去揭示问题的“形”与“式”本质所 在，找出与题目很接近或很相似的原理、方法、结论或命题，适时、适度地使函数与方程、数与形等问题相 互转换，将抽象问题具体化，或将抽象的语言转化为通俗、具体、直观的语言，使许多复杂棘手的问题在 变换中左右逢源，从而化难为易，使解答新颖别致，简捷明快． 例５已知ｓｉｎ 。ｃ。ｓ ＝ ，且，子＜ ＜手，求ｓｉｎ ，ｃ。ｓ 的值． 分析解此题时，直观的想法是由已知条件求出ｓｉｎ２０＝２ｓｉｎ ｃ。ｓ ＝ ，然后根据手＜０＜詈，知詈 ＜２０＜仃，从而求得ｃｏｓ２０＝一 ＝一 ，再利用半角公式求得ｓｉｎＯ和ｃ。ｓ 的值．但这种解法 有些繁琐．如果换一角度来观察理解，便可发现ｓｉｎＯ＋ｃｏｓ０＝￣／， ，ｓｉｎＯ—ｃｏｓ０： 面 ，于是问题就转换这只要求含ｓｉｎＯ和ｃｏｓ０的方程组了．因为手＜０＜詈，所以ｓｉｎＯ． ｃ伽＞０，又ｓｉｎ 。ｃ咖＝ 所以 ｓｉｎＯ＋ｃｏｓＯ＝ （ｓｉｎＯ＋ｃｏｓＯ） ＝，／—１＋２ｓｉ—ｎＯｃｏｓＯ＝百１／ （１） ｓｉｎＯ＿ｃ０ｓ ＝ ＝￣／—１－２ｓｉｎ—ＯｃｏｓＯ＝西７ （２） 由（１）＋（２）得ｓｉｎＯ＝ 由（１）一（２）得ｃｏｓＯ＝ 例６若不等式 ＋ ＞４ｘ＋ｍ一３对一切０≤ｍ≤４均成立，试求实数 的取值范围． 分析此题按常规把它看成 的一元二次不等式，解题时需分三种情况用根的分布来解决，显得比 较繁且容易出错．若把它看成关于ｍ的不等式，则原不等式可化为 ｍ）＝（ 一１）ｍ＋ 一４ｘ＋３＞０，从 而看成一次函数 ｍ），当ｍＥＯ，４］时，均有 ｍ）＞０，即 ０）＞０，且 ４）＞０，由此易得 ＞３或 ＜一１． 例７ 求满足不等式ａ ＋ｂ ＋Ｃ ＋３＜ａｂ＋３ｂ＋２ｃ的整数ａ．ｂ、Ｃ． 分析题设中只有一个不等式，而所求的却是三个未知元，但注意到所求的ａ、ｂ、Ｃ均为整数，则可 把不等式化为口 ＋ｂ ＋ｃ ＋４＜ａｂ＋３ｂ＋２ｃ，即（口一÷） ＋３（睾一１） ＋ｃ一１） ０，从而ｎ一÷： 一１ 维普资讯 http://www.cqvip.com ・２９２・ 宁德师专学报（自然科学版） ２００８年８月 ＝ｃ一１＝Ｏ，所以。＝ １，６＝２，ｃ＝１． 从例５、例６、例７看出，某些问题若从正面思考情况繁杂或者在原条件下久思未果时，不妨变换思 维的角度，例如，可换一角度来观察理解（例５）；也可不失时机地作逆向思维，及时变更主元，反客为主 （例６）；或通过挖掘题设条件的背景，使“等”与“不等”相互转化（例７）．要善于在变化中寻求问题的答 案，提高自身的解决数学问题能力． 此外还看到一些式和常量的等价变换问题，通过变换，往往可以把“形”与“式”凑成解题所需要的 形式，从而使问题变得简单．如对于一个数列， ， ：，… …，它的一般项 可以写成 ： 。． ．鱼 …的形式，这种变换的技巧，对于证明某些不等式或其它有关数学问题会带来很多的方便． Ｘ ｎ －Ｉ例８ 证明不等式丢。 ３… ＜ 分析由于题中含有自然数凡，多数人会采用数学归纳法证明确．若 ＝÷・｝… 斗 ｎ 丽 ｌ、２…）’贝 １－－３２ｎ－３／￣＿１一，—ｚ于是 ＝ 艚＝ ＜１（ 、３ ３２ ｎ－１…），所以 ＝ ｔ‘ ３；２。 ３；３… ３；ｎ＜ ｔ＝ ＜１，因此 １’ …＜ 亓 Ｓ ４例９已知：ＣＯＡＡ ＿＿＿＋。。。耋 ＝ｌ，求证：Ｃ 。ｏｓ４ ：ＢＡ＋ｓ＿ ｉ＿ｎ＿４Ｂ ＢＡ＝１． 分析 本题中，将“１”用ｓｉｎ２ＡＣＯＳ２Ａ代换，从而 ｃｏｓｔＡ＋ ＝ｓｉｎ２Ａ＋ｃ。ｓ Ａ，去分母，有 ＣＯＳ Ａｓｉｎ ＋ｓｉｎ Ａｃｏｓ Ｂ＝ＣＯＳ Ｂｓｉｎ Ｂ（ｓｉｎ Ａ＋ＣＯＳ Ａ），整理得 （ＣＯＳ Ａ—ＣＯＳ ） ＝０，所以ＣＯＳ Ａ＝ＣＯＳ Ｂ， 且ｓｉｎ２Ａ：ｓｉｎ２ ，于是有 ｃｏｓＣＢ＋ｓｉｎ ４Ｂ＿－＿ＣＯＳ２４＋ｓｉｎ２Ａ：１． 例题９是利用数“１”有关的变式，实现问题的转换，寻找出解题的突破口，体现了常数变换在解题 中的魅力．常数变换有时看起来是把问题复杂化，而往往正是这种“复杂化”的方法使问题解决变得更 为简捷明了．解决数学问题通过“变”这一技巧，能避开直接求解所面临的窘境，收到化繁为简，化难为 易的功效．同时，在“变”的思索中，摆脱习惯思维的束缚，从而提高思维素质，培养创新能力． 参考文献： ［１］施金凤．巧妙转换灵活求解［Ｊ］．福建中学数学，２００１（４）：２１—２３． ［２］刘顺林．数学解题策略的几条原则［Ｊ］．福建中学数学，２０００（３）：１６一ｌ８． ［３］郭玲．数学解题中的联想方法［Ｊ］．福建中学数学，２００１（１）：２０－２１． Ｓｋｉｌｌｆｕｌｌｙ ｕｓｉｎｇ ｃｏｎｖｅｒｔｅｒ ｔｅｃｈｎｉｑｕｅ ｔｏ ｓｏｌｖｅ ｐｒｏｂｌｅｍｓ ＣＨＥＮ Ｆｅｎｇ—－ｍｅｉ （Ｎａｎｐｉｎｇ Ａｇｒｉｃｕｌｔｕｒｅ Ｓｃｈｏｏｌ，Ｊｉａｎｙａｎｇ Ｆｕｊｉａｎ ３５４２００，Ｃｈｉｎａ） Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ： ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ；ｃｏｎｖｅｒｔｉｎｇ；ｓｏｌｖｉｎｇ ｐｒｏｂｌｅｍ
