浅谈发散思维在数学教学中的培养

陈明泽

发散思维也称为求异思维，它是指人们解决问题的思路朝各种可能性的方向扩散，使思考者不局限于一个途径，一种方法，而且从各种可能设想出发，求得多种合乎条件的答案的思维活动。在数学教学中如何培养发散思维呢？

一、灵活运用创造探究式教学法

创造探究式教学，有别于传统的填鸭式教学，是以最大限度地调动学生学习的主动性、积极性，发展学生能力为宗旨的一种开放、发散型的教学模式。它是依据教师、教材所提供的材料和问题，通过学生自己积极主动的思维活动，亲自去探究和发现数学概念、定理、公式和解题方法等的一种教学方法。这种方法的主要特点是学生运用创造性思维去学习，去发现事先未知的结果。因此灵活运用创造探究式教学法有利于培养学生的发散思维。这里仅以

n1“求等比数列a1q的前n项和sn”为例加以说明。

分析：等比数列的求和公式及推导方法，是数列中的一个重要内容，我们可以引导学生作如下创造探究式教学：

1、观察：分两种情况

(1) 当q1时，显然snna； (2) 当q1时，有 s1a1，

s2a1a1qa11q， s3a1a1q+a1q2=a11qq2，

… …

sna1a1q+a1q2++a1qn1=a11qq2qn1。

2、直觉分析：

1q21q2 1q s2a1q1

1q1q1q31q3 1qq s3a1q1。

1q1q21qn3、猜想：sna1q1,nN。

1q1qnnn4、验证：要证sna1，须证sn1qa11q，须证snqsna1a1q。

1q容易知该式子有特点：等式左边是sn与qsn的差，右边是a1与a1qn的差。因此，启发学生用q 去乘sn，这就得到了“错项相减法”。

这种教学法，不直接告诉求和公式，而是反复让学生积极思考，积极参与教学活动去探究求和公式及推导方法。发散思维就在这创造探索的过程中充分地进行了训练。

二、多“溯源”

溯源能启迪思维，拓展思路。因此，溯源是训练思维，特别是发散思维的好措施。例如教学二次函数的定义：形如yax+bx+c（a、b、c为常数，a0）的函数叫二次函数。师问：“为什么要叫yax+bx+c这样的函数为二次函数，有依据吗？”。生答：“此函数中有x的二次项”。师问：“yx+x+1是二次函数吗？为什么？”。生答：“不是，因为有x的三次项”。师问：“这时，你是否能给二次函数再下一个定义呢？”。思考后，生答：“最高次数为2的整式函数叫二次函数”。师问：“好。那么你是否注意到括号中a0这一条件？想一想，为什么这样规定？”。一会儿后，生答：“因为a=0时yax+bx+c就成为ybx+c，如果b0就是一次函数。”。这里对二次函数的定义的溯源，让学生逐步批判不规范定义，层层逼近完善的定义，拓宽了概念的内外延，找到了知识的联系，训练了发散思维。

三、例、习题的选配应着眼于发展学生的发散思维

例、习题的选配是培养学生发散思维的重要形式。选配的例、习题不仅要具有典型性、针对性，而且更要具有发散性。在数学教学中常有以下一些训练发散性思维的例、习题：①多种解法题，即用不同方法解同一类或同一个数学问题以熟悉数学方法、开阔思路。②变式题，就是不断变换问题的条件、结论或变换其形式和内容，得到不同水平的问题。在这些问题的发展和深化中，让学生从不同角度、不同侧面来理解问题的实质，以培养学生发散思维。③发展题，也称引伸题，即根据知识的内在联系和规律，抓住问题的本质，把它向纵横方向作尽可能的引伸、发展和推广。

四、教给学生发散思维方法 古人说：“授人以鱼”，不如“授之以渔”。作任何事情都要先找到解决问题的方法，这样才不会走弯路。思维方法对思维有导向作用，而比较、推理、联想等思维方法对发散思维有积极的导向作用。

例如：等差数列AP，等比数列GP的性质比较（见下表）

22232an为AP akarkrd 若lkp=mnr 则alakap=aman+ar bn为GP bkbrqkr 若lkp=mnr 则blbkbp=bmbnbr naa1an i2i1nbbbi1ni1nn2 比较AP、GP的性质，建立知识系统，奠定联想的知识基础。

具有以上的性质，原因是：设等比数列bn中bn1、bn、q都是正数，q为公比。对

bn1q两边取常用对数，得lgbn1lgbnlgq。令lgbn1=an1，lgbnan，lgq=d，bn则an1and，故an为等差数列。因此可以得出：b10，q0，有bn0。也就是等比数列GP的各项的对数成等差数列，其公差是公比q的对数。推想出，等比数列也同等差数列有相应的性质，而且运算高一级。推理，可寻找知识的理论依据，探索知识的来龙去脉，启迪思维。

又

例

如

，

求

证

：

100420072007!。简析：式中的

联想联想联想2007!n!n!123n123nn123n，n即

n1nn1nn!。所以，在n!中n2007时，问题得证。联想，犹如推波助澜，22将知识层层展开，让思维逐步拓宽。

（作者单位：四川省大英县育才中学 邮编：629300）