【zl】通信处理答案926

1-1画出下列序列的示意图

(1)(2)

(3)

(1)

(2)

1 /

数字信号处理答案

(3)

1-2已知序列x(n)的图形如图1.41，试画出下列序列的示意图。

图1.41信号x(n)的波形

(1)

(2)

2 /

数字信号处理答案

(3)

(4)

(5)

(6)

(修正：n=4处的值为0，不是3） （修正：应该再向右移4个采样点）

1-3判断下列序列是否满足周期性，若满足求其基本周期

(1)解：

非周期序列;

(2)

解：为周期序列，基本周期N=5;

(3)

3 /

数字信号处理答案

解：，，取

为周期序列，基本周期。

(4)

解：

其中，为常数

，取

则

为周期序列，基本周期N=40。

，，取

1-4判断下列系统是否为线性的？是否为移不变的？ (1)

非线性移不变系统

(2)(3)

非线性移变系统 （修正：线性移变系统） 非线性移不变系统

(4)(5)

线性移不变系统

线性移不变系统 （修正：线性移变系统）

1-5判断下列系统是否为因果的？是否为稳定的？ (1)

，其中

因果非稳定系统

(2)(3)

非因果稳定系统 非因果稳定系统

(4)(5)

非因果非稳定系统 因果稳定系统

4 /

数字信号处理答案

1-6已知线性移不变系统的输入为x(n)，系统的单位脉冲响应为h(n)，试求系统的输出y(n)及其示意图. (1)(2)(3)解：（1）

（2）

（

3

）

5 /

数字信号处理答案

1-7若采样信号m(t)的采样频率fs=1500Hz，下列信号经m(t)采样后哪些信号不失真？ (1)(2)(3)解： (1)(2)(3)

，

1-8已知(1)(2)将

的截止模拟角频率进行A/D采样后，

,采样信号是多少？

的数字角频率

与

的模拟角频率

的关系如何？

的采样周期为

。

采样失真

采样不失真 采样不失真

(3)若解： (1)(2)(3)

，求的数字截止角频率。

1-9计算下列序列的Z变换，并标明收敛域。

6 /

数字信号处理答案

(1)(3)(5)解： (1)(2)(3)(4)(5)

(2)(4)

，

，收敛域不存在

1-10利用Z变换性质求下列序列的Z变换。 (1)(2)

(3)(4)解：(1)

,

(2)(3)

,

,

(4),

1-11利用Z变换性质求下列序列的卷积和。

(1)

7 /

数字信号处理答案

(2)

(3)(4)

(5)

(6)解：

(1)，,，

,

(2),，

,

(3), ，

,

8 /

数字信号处理答案

(4)，

,

(5),，

，

(6)，，

，

1-12利用的自相关序列定义为，试用的Z变换来表示

的Z变换。

解：

1-13求序列的单边Z变换X(Z).

解：

9 /

数字信号处理答案

所以：

1-14试求下列函数的逆Z变换

(1)

(2)

(3)(4)

，整个Z平面（除z=0点）

(5)

(6)解：

(1)

(2)，

(3)

(4)

10 /

数字信号处理答案

(5)

(6)

1-15已知因果序列

的Z变换如下，试求该序列的初值

及终值。

(1)

(2)

(3)解：

(1)

,

(2)

，

(3)

，

1-16若存在一离散进度系统的系统函数冲响应

，并判断系统是否因果？是否稳定？. ，根据下面的收敛域，求系统的单位脉

11 /

数字信号处理答案

(1) 解：

，(2) ， (3)

(1) ，，因果不稳定系统

(2) ，，非因果稳定系统

(3) ，，非因果非稳定系统

1-17一个因果系统由下面的差分方程描述

(1)求系统函数

及其收敛域。

。

(2)求系统的单位脉冲响应解：

(1)，

(2)

1-18若当

时

。

时

,其中N为整数。试证明：

12 /

数字信号处理答案

(1)，其中，

(2)证明： (1) 令

，则

，收敛域

其中,

(2) ,

1-19一系统的系统方程及初时条件分别如下：

，

(1)试求零输入响应(2)画出系统的模拟框图 解：

(1)零输入响应

，零状态响应，全响应。

13 /

数字信号处理答案

，

，得

零状态响应

，则

，

，

则

(2)系统模拟框图

1-20若线性移不变离散系统的单位阶跃响应(1)求系统函数

和单位脉冲响应

。

,

(2)使系统的零状态，求输入序列。

(3)若已知激励解：

，求系统的稳态响应。

14 /

数字信号处理答案

(1)

激励信号为阶跃信号，

，

(2)若系统零状态响应

则

(3)若，则从可以判断出稳定分量为：

1-21设连续进度函数

，试证明

的拉普拉斯变换为的Z变换

满足：

，现对

以周期T进行抽样得到离散进度函数

证明：，则

当

时

1-22设序列的自相关序列定义为，设

15 /

数字信号处理答案

。试证明：当为的一个极点时，是的极点。

证明：

，故当为的一个极点时，也是为常数。

的极点。

1-23研究一个具有如下系统函数的线性移不变因果系统，其中

(1)求使系统稳定的解：

的取值范围。

(2)在Z平面上用图解法证明系统是一个全通系统。

(1) ，若系统稳定则，极点，零点

(2) ，

系统为全通系统 1-24一离散系统如图，其中

为单位延时单位，

为激励，

为响应。

(1)求系统的差分方程。 (2)写出系统转移函数(3)求系统单位脉冲响应

并画出

平面极点分布图。

16 /

数字信号处理答案

(4)保持解：(1)

不变，画出节省了一个延时单元的系统模拟图。

(2) 0.5j

（修正：此题有错，两个极点位于

(3)系统的单位脉冲响应和） (4)

（修正： 随上小题答案而改变，是两个复序列信号之

（修正：此图不对，乘系数应该为0.5，输出端y(n)应该在两个延迟器D之间）

1-25线性移不变离散进度系统的差分方程为

(1)求系统函数

。

(2)画出系统的一种模拟框图。 (3)求使系统稳定的A的取值范围。 解：(1)

系统函数(2)

17 /

数字信号处理答案

（此图非直接形式，是转置形式）

(3)若使系统稳定，系统极点

分别考虑，非因果系统下极点应该位于单位圆外）. ,则（修正：要根据系统是否为因果系统

2-1解:

,

2-2证明:根据线性移不变系统的频率响应特性:当一个LSI系统的输入信号

是一个复正弦信号时,该

系统的输出也是一个复正弦信号,与输入信号相比多了系数 .. 信号=

=

2-3解: (1)

18 /

数字信号处理答案

令

(2)图见电子版

(3)当系统是线性移不变系统时,若输入信号为实正弦信号,输出信号也是一个具有相同频

率的正弦信号,但该信号的幅度和相位都发生了变化.表达式如下:. 系统函数为,输入信号,输出信号

当时,

2-4解: (1) 零点极点

(2)

19 /

数字信号处理答案

(4)图见电子版

2-5解:

系统是LSI系统,

,

其中

2-6证明:

(1) ,

(1的离散进度傅立叶变换为则

)即,

(2)令

(3) ,当且仅当时有值

20 /

数字信号处理答案

(4)

2-7解:

2-8 解:

,

21 /

数字信号处理答案

,

,

区间的幅度谱:

区间内三种采样频率下的幅度谱

22 /

数字信号处理答案

2-9解：

23 /

数字信号处理答案

2-10解：第一步观察四种情况都满足Nyquist采样定理，因此，采样后的信号的频谱将是原连续信号频

谱以为周期的延拓。

. （1）

（2）

24 /

数字信号处理答案

（3）

（4）

22-11证明：

25 /

数字信号处理答案

2-12解：（1）对差分方程求Z变换得：

（即为矩形窗的幅度谱）

（2）图见电子版

（3）

2-15（1）载波信号为

1处信号

26 /

数字信号处理答案

（2）

2-13证明：（1）

设（2）

（3）

由式（1）（2）（3），

27 /

数字信号处理答案

令上式中

原题得证。

2-14证明：

2-18解：对差分方程求Z变换

28 /

数字信号处理答案

全通系统为常数，即也为常数。可对

求导，其导数应为0。

即：

或

题中要求

取

2-19 解：（1）

（2）

29 /

数字信号处理答案

（3）当输入信号是实正弦信号，为

系统输出

（5）

当

时，

。

不是因果系统

30 /

数字信号处理答案

（6）

2-20解：

设取样器的输出为

设压缩器的输出为

由b图中两系统等效可列出如下等式：

等式两边约简可得：

2-1解:

,

31 /

数字信号处理答案

2-2证明:根据线性移不变系统的频率响应特性:当一个LSI系统的输入信号

是一个复正弦信号时,该

系统的输出也是一个复正弦信号,与输入信号相比多了系数 .. 信号=

=

2-3解: (1)

令

(2)图见电子版

(3)当系统是线性移不变系统时,若输入信号为实正弦信号,输出信号也是一个具有相同频

率的正弦信号,但该信号的幅度和相位都发生了变化.表达式如下:. 系统函数为,输入信号,输出信号

当时,

32 /

数字信号处理答案

2-4解: (1) 零点极点

(2)

(4)图见电子版

2-5解:

系统是LSI系统,

,

其中

2-6证明:

(1) ,

33 /

数字信号处理答案

(1的离散进度傅立叶变换为则

)即,

(2)令

(3) ,当且仅当时有值

(4)

2-7解:

34 /

数字信号处理答案

2-8 解:

,

,

,

35 /

数字信号处理答案

区间的幅度谱:

区间内三种采样频率下的幅度谱

2-9解：

36 /

数字信号处理答案

37 /

数字信号处理答案

2-10解：第一步观察四种情况都满足Nyquist采样定理，因此，采样后的信号的频谱将是原连续信号频

谱以为周期的延拓。

. （1）

（2）

（3）

38 /

数字信号处理答案

（4）

22-11证明：

39 /

数字信号处理答案

2-12解：（1）对差分方程求Z变换得：

（即为矩形窗的幅度谱）

（2）图见电子版

（3）

2-15（1）载波信号为

1处信号

40 /

数字信号处理答案

（2）

2-13证明：（1）

设（2）

（3）

由式（1）（2）（3），

41 /

数字信号处理答案

令上式中

原题得证。

2-14证明：

2-18解：对差分方程求Z变换

全通系统为常数，即也为常数。可对

求导，其导数应为0。

42 /

数字信号处理答案

即：

或

题中要求

取

2-19 解：（1）

（2）

43 /

数字信号处理答案

（3）当输入信号是实正弦信号，为

系统输出

（5）

当

时，

。

不是因果系统

44 /

数字信号处理答案

（6）

2-20解：

设取样器的输出为

设压缩器的输出为

由b图中两系统等效可列出如下等式：

等式两边约简可得：

3-1解：

（1）

（2）

45 /

数字信号处理答案

（3）补零后：（4）不能

3-2解：

（1）令循环卷积

不变。变化，变的更加逼近

其余

（2）

其余

其余

（3）

其余

46 /

数字信号处理答案

（4）补一个零后的循环卷积

其余

3-3解：

，即可分辨出两个频率分量

本题中的两个频率分量不能分辨

3-4解：

对它取共轭：

与

可知：1，只须将 2，将

比较， 的DFT变换

求共轭变换得

。

，即可求出IFFT变换的

的值。

。

直接fft程序的输入信号值，得到

3，最后再对输出结果取一次共轭变换，并乘以常数3-5解：可以。

证明：设

其中是在单位圆上的Z变换，与的关系如

47 /

数字信号处理答案

下：

是

在频域上的

N

点的采样，与

的关系如下：

相当于是

3-6解：

在单位圆上的Z变换的N点采样。

,,

图见电子版

3-7解：

48 /

数字信号处理答案

，

，，，

图见电子版

3-8解：

，，，

同理：

图见电子版

49 /

数字信号处理答案

3-9解：

系统为单位脉冲响应

设加矩形窗

后得到的信号为

，

对应的短时离散频谱：

，

，

，

，

电子图

50 /

数字信号处理答案

3-10解：

（1）考虑对称位置取

（2）考虑对称位置取

（3）考虑对称位置取

3-11 解：

（1）

（2）

（3）

（4）

3-12

51 /

数字信号处理答案

镜像为

镜像为

镜像为

镜像为

3-13解：

（1）离散信号值：

（2）

3-14 解：

至少需要2000点个信号值

3-15解：

52 /

数字信号处理答案

，

3-1解：

，

，

（1）

（2）

（3）补零后：（4）不能

3-2解：

（1）令循环卷积

不变。变化，变的更加逼近

其余

（2）

其余

53 /

数字信号处理答案

其余

（3）

其余

（4）补一个零后的循环卷积

其余

3-3解：

，即可分辨出两个频率分量

本题中的两个频率分量不能分辨

3-4解：

对它取共轭：

54 /

数字信号处理答案

与

可知：1，只须将 2，将

比较， 的DFT变换

求共轭变换得

。

，即可求出IFFT变换的

的值。

。

直接fft程序的输入信号值，得到

3，最后再对输出结果取一次共轭变换，并乘以常数3-5解：可以。

证明：设

其中

下：

是在单位圆上的Z变换，与的关系如

是

在频域上的

N

点的采样，与

的关系如下：

相当于是

3-6解：

在单位圆上的Z变换的N点采样。

55 /

数字信号处理答案

,,

图见电子版

3-7解：

，

，，，

图见电子版

3-8解：

56 /

数字信号处理答案

，，，

同理：

图见电子版

3-9解：

系统为单位脉冲响应

57 /

数字信号处理答案

设加矩形窗后得到的信号为，

对应的短时离散频谱：

，

，

，

，

电子图

3-10解：

（1）考虑对称位置取

（2）考虑对称位置取

（3）考虑对称位置取

3-11 解：

（1）

（2）

58 /

数字信号处理答案

（3）

（4）

3-12

镜像为

镜像为

镜像为

镜像为

3-13解：

（1）离散信号值：

（2）

59 /

数字信号处理答案

3-14 解：

至少需要2000点个信号值

3-15解：

，

，

，

4-1对于系统函数图。 解：

，试用一阶系统的级联形式，画出该系统可能实现的流

4-2一线性时不变因果系统，其系统函数为

对应每种形式画出系统实现的信号流图。 （1）直接Ⅰ型。

60 /

数字信号处理答案

（2）直接Ⅱ型。

（3）用一阶和二阶直接Ⅱ型的级联型。 （4）用一阶和二阶直接Ⅱ型的并联型。 解：

直接Ⅰ型

直接Ⅱ型

用一阶和二阶直接Ⅱ型的级联型

用一阶和二阶直接Ⅱ型的并联型

61 /

数字信号处理答案

4-3已知模拟滤波器的传输函数输函数解：

。（设采样周期T＝0.5）

，试用脉冲响应不变法将转换成数字传

4-4若模拟滤波器的传输函数为成数字传输函数解：

。（设采样周期T＝1）

，试用脉冲响应不变法将转换

4-5用双线性变换法设计一个三阶的巴特沃滋数字低通滤波器，采样频率

。

解：

，截至频率

62 /

数字信号处理答案

,

4-6用双线性变换法设计一个三阶的巴特沃滋数字高通滤波器，采样频率

。

解：

，截至频率

，，归一化，

4-7用双线性变换法设计一个三阶的巴特沃滋数字带通滤波器，采样频率频率分别为解：

，

。

，上下边带截至

，

，，

4-8设计一个一阶数字低通滤波器，3dB截至频率为波器。 解：

，将双线性变换应用于模拟巴特沃滋滤

63 /

数字信号处理答案

一阶巴特沃滋，

4-9试用双线性变换法设计一低通数字滤波器，并满足：通带和阻带都是频率的单调下降函数，而且无起伏。频率在解：

处的衰减为－3.01dB。在

处的幅度衰减至少为15dB。. 设通带：阻带：

,则：

,即，即

，

阶数：

，

查表得二阶巴特沃滋滤波器得系统函数为

双线性变换实现数字低通滤波器4-10一个数字系统的采样频率

，已知该系统收到频率为100Hz的噪声干扰，试设计一个

陷波滤波器去除该噪声，要求3dB的边带频率为95Hz和105Hz,阻带衰减不小于14dB。. 解：

，

/

数字信号处理答案

令

，，，

，设N=2，则

4-1对于系统函数图。 解：

，试用一阶系统的级联形式，画出该系统可能实现的流

4-2一线性时不变因果系统，其系统函数为

对应每种形式画出系统实现的信号流图。

65 /

数字信号处理答案

（1）直接Ⅰ型。 （2）直接Ⅱ型。

（3）用一阶和二阶直接Ⅱ型的级联型。 （4）用一阶和二阶直接Ⅱ型的并联型。 解：

直接Ⅰ型

直接Ⅱ型

用一阶和二阶直接Ⅱ型的级联型

用一阶和二阶直接Ⅱ型的并联型

66 /

数字信号处理答案

4-3已知模拟滤波器的传输函数输函数解：

。（设采样周期T＝0.5）

，试用脉冲响应不变法将转换成数字传

4-4若模拟滤波器的传输函数为成数字传输函数解：

。（设采样周期T＝1）

，试用脉冲响应不变法将转换

4-5用双线性变换法设计一个三阶的巴特沃滋数字低通滤波器，采样频率

。

解：

，截至频率

67 /

数字信号处理答案

,

4-6用双线性变换法设计一个三阶的巴特沃滋数字高通滤波器，采样频率

。

解：

，截至频率

，，归一化，

4-7用双线性变换法设计一个三阶的巴特沃滋数字带通滤波器，采样频率频率分别为解：

，

。

，上下边带截至

，

，，

4-8设计一个一阶数字低通滤波器，3dB截至频率为波器。 解：

，将双线性变换应用于模拟巴特沃滋滤

68 /

数字信号处理答案

一阶巴特沃滋，

4-9试用双线性变换法设计一低通数字滤波器，并满足：通带和阻带都是频率的单调下降函数，而且无起伏。频率在解：

处的衰减为－3.01dB。在

处的幅度衰减至少为15dB。. 设通带：阻带：

,则：

,即，即

，

阶数：

，

查表得二阶巴特沃滋滤波器得系统函数为

双线性变换实现数字低通滤波器4-10一个数字系统的采样频率

，已知该系统收到频率为100Hz的噪声干扰，试设计一个

陷波滤波器去除该噪声，要求3dB的边带频率为95Hz和105Hz,阻带衰减不小于14dB。. 解：

，

69 /

数字信号处理答案

令

，，，

，设N=2，则

5-1:

对照以上两公式可知：

因此：

n<0

n>4

70 /

数字信号处理答案

n=0

n=1 n=2 n=3

n=4

5-2梦想低通滤波器的h(n)如下：

,h(n)如图5-2所示：

图5-2

若要使h(n)变成因果系统，则可将h(n)向右移3，使h(n)=h(n-3). 系统的幅频响应如下：

71 /

数字信号处理答案

5-3 (1)这是一个低通滤波器，通带和阻带各有三个波峰。 （2）因为

以下的依据3dB下降作为通带边界频率，可计算得到：

（3）最小阻带衰减5-4

由分式（5.39）根据A计算

，如下：

由表5.1根据过度带宽度

计算窗口：

单位脉冲响应如下：

单位脉冲响应如下：

72 /

数字信号处理答案

其中为凯泽窗。

5-5答：减小窗口的长度N，则滤波器的过度带增加，但最小阻带衰减保持不变。

5-6：图5.30中的滤波器包括了三类梦想滤波器，包括了低通，带通和高通，其响应的单位脉冲响应如

下：

设窗函数长度为N，则满足线性相位条件的h(n)为起右移下：

，对h(n)加长度为N的矩形窗，如

，0≤n≤N-1

由于5-7

时，

不能为零，故N应取奇数。

由公式（5-39）得出窗函数参数如下：

由表（5-1）根据过度带宽度

得窗长N如下：

，

单位脉冲响应如下：

滤波器频幅响应如下：

73 /

数字信号处理答案

5-8：

由公式（5.39）,根据最小阻带衰减A=40dB得参数

由表5.1，根据过度带

计算窗长N，

线性FIR高通滤波器单位脉冲响应如下：

5-9

74 /

数字信号处理答案

由公式（5-39），根据阻带衰减A=60dB计算

由表（5-1），根据过渡带宽

得：

：

单位脉冲响应如下：

5-10:

采用频率取样设计法设计高通线性相位FIR滤波器，可利用与LPF相同的方法，由于最小阻带衰减为40dB,可在过渡带内设置两个采样点。.

采样点：

截止频率对应的点 （）

75 /

数字信号处理答案

由IDFT公式，根据H(k)得：

5-11

（1）由公式（5.68）求滤波器脉冲响应长度N如下：

（2）

76 /

数字信号处理答案

（3）

（4）增加或减少长度N，将使滤波器的过度带变窄或增宽。

（5）

5-12

(1) 由公式（5-68）计算脉冲响应长度：

(2)

77 /

数字信号处理答案

(3)

(4)增加N，过渡带变窄，反之变宽。

(5)

5-13

由于中点对称，FIR具有线性相位。

量化值： 误差：

当8比特时，

, 16比特时，

78 /

数字信号处理答案

显然16比特量化时，可以比8比特量化的有更多的精度（小数位

数），因此与实际设计精度更加接近，相应的幅度响应5-14：

可直接根据公式(5.75)计算得归一化因子：

也更符合幅度指标。.

5-15

根据对称性，上式为：

显然，上式括号中的两个余弦函数之和计算为零，因此

但

5-1:

对照以上两公式可知：

79 /

数字信号处理答案

因此：

n<0

n>4 n=0

n=1 n=2 n=3

n=4

5-2梦想低通滤波器的h(n)如下：

,h(n)如图5-2所示：

图5-2

若要使h(n)变成因果系统，则可将h(n)向右移3，使h(n)=h(n-3). 系统的幅频响应如下：

80 /

数字信号处理答案

5-3 (1)这是一个低通滤波器，通带和阻带各有三个波峰。 （2）因为

以下的依据3dB下降作为通带边界频率，可计算得到：

（3）最小阻带衰减5-4

由分式（5.39）根据A计算

，如下：

由表5.1根据过度带宽度

计算窗口：

单位脉冲响应如下：

81 /

数字信号处理答案

单位脉冲响应如下：

其中

为凯泽窗。

5-5答：减小窗口的长度N，则滤波器的过度带增加，但最小阻带衰减保持不变。

5-6：图5.30中的滤波器包括了三类梦想滤波器，包括了低通，带通和高通，其响应的单位脉冲响应如

下：

设窗函数长度为N，则满足线性相位条件的h(n)为起右移下：

，对h(n)加长度为N的矩形窗，如

，0≤n≤N-1

由于5-7

时，

不能为零，故N应取奇数。

82 /

数字信号处理答案

由公式（5-39）得出窗函数参数如下：

由表（5-1）根据过度带宽度

得窗长N如下：

，

单位脉冲响应如下：

滤波器频幅响应如下：

5-8：

由公式（5.39）,根据最小阻带衰减A=40dB得参数

由表5.1，根据过度带

计算窗长N，

线性FIR高通滤波器单位脉冲响应如下：

83 /

数字信号处理答案

5-9

由公式（5-39），根据阻带衰减A=60dB计算

由表（5-1），根据过渡带宽

得：

：

单位脉冲响应如下：

84 /

数字信号处理答案

5-10:

采用频率取样设计法设计高通线性相位FIR滤波器，可利用与LPF相同的方法，由于最小阻带衰减为40dB,可在过渡带内设置两个采样点。.

采样点：

截止频率对应的点 （）

由IDFT公式，根据H(k)得：

85 /

数字信号处理答案

5-11

（1）由公式（5.68）求滤波器脉冲响应长度N如下：

（2）

（3）

（4）增加或减少长度N，将使滤波器的过度带变窄或增宽。

（5）

86 /

数字信号处理答案

5-12

(1) 由公式（5-68）计算脉冲响应长度：

(2)

(3)

(4)增加N，过渡带变窄，反之变宽。

(5)

87 /

数字信号处理答案

5-13

由于中点对称，FIR具有线性相位。

量化值： 误差：

当8比特时，

, 16比特时，

显然16比特量化时，可以比8比特量化的有更多的精度（小数位

数），因此与实际设计精度更加接近，相应的幅度响应5-14：

可直接根据公式(5.75)计算得归一化因子：

也更符合幅度指标。. 88 /

数字信号处理答案

5-15

根据对称性，上式为：

显然，上式括号中的两个余弦函数之和计算为零，因此

但

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