第一章 量子力学基础 例题与习题

一、练习题

1．立方势箱中的粒子，具有 的状态量子数， 是

A． 211 B． 231 C． 222 D． 213。

解：(C)。

2．处于状态 的一维势箱中的粒子，出现在 处的概率是多少？

A．

B．

C．

D．

E． 题目提法不妥，以上四个答案都不对。 解：(E)。

3．计算能量为100eV光子、自由电子、质量为300g小球的波长。

( )

解： 光子波长

自由电子

300g小球 。

4．根据测不准关系说明束缚在0到a范围内活动的一维势箱中粒子的零点能效应。

解：。

5．链状共轭分子

按一维势箱模型估计该分子的长度。

在波长方向460nm处出现第一个强吸收峰，试

解：

6．设体系处于状态 均值。

中，角动量 和 有无定值。其值是多少？若无，求其平

解：角动量 角动量平均值

7．函数 是不是一维势箱中粒子的一种可能的状态？如果是，其能

量有没有确定值？如有，其值是多少？如果没有确定值，其平均值是多少？

解：可能存在状态，能量没有确定值，

8．求下列体系基态的多重性。(2s+1) (1)二维方势箱中的9个电子。(2)箱中的10个电子。(3)三维方势箱中的11个电子。

解：(1)2，(2)3，(3)4。

二维势

9．在0－a间运动的一维势箱中粒子，证明它在 当

，几率P怎样变？

区域内出现的几率 。

解：

10．在长度l的一维势箱中运动的粒子，处于量子数n的状态。求 (1)在箱的左端1/4区域内找到粒子的几率？(2)n为何值，上述的几率最大？(3)

，此几率的极限是多少？(4)(3)中说明什么？

解：

11．一含K个碳原子的直链共轭烯烃，相邻两碳原子的距离为a，其中大π键上的电子可视为位于两端碳原子间的一维箱中运动。取l＝(K－1)a，若处于基组态中一个π电子跃迁到高能级，求伴随这一跃迁所吸收到光子的最长波长是多少？

解：

12．写出一个被束缚在半径为a的圆周上运动的质量为m的粒子的薛定锷方程，求其解。

解：

13．在什么条件下 ?

解：

14．已知一维运动的薛定锷方程为： 。 和 是属于同一本征

值得本征函数，证明 常数。

解：

15．对立方箱中的粒子，考虑 范围有多少个能级？

解： (1) 17 (2) 6。

的能量范围。(1)在此范围有多少个态？(2)在此

例题与习题

二、思考题

1.微观粒子运动服从Schrödinger方程，宏观物体可用牛顿定律描述它们的运动规律，请问如何界定微观粒子与宏观物体的界限?

答：我们可用Heisenberg测不准关系来区分，即坐标与动量不确定量的乘积要大于普朗克常数的数量级△x·△p≥h

例如质量为0.008kg子弹，运动速度为500ms，若速度不确定度为1％，则位置的不确定度为

－1

子弹弹孔10子质量为9.1×10

－32

数量级的偏差对任何靶场来说，都是测不出来的，可以忽略。而对原子、分子中的电

－1

－31

kg运动速度取2000ms，速度不确定度也是1％，则位置不确定度

原子间距在10m数量级，所以10m数量级说明电子根本无法测定。

－10

－5

2.量子力学中如何描述微观粒子的运动状态

答：由于微观粒子的波粒二象性，量子力学中用状态波函数ψ来描述粒子的运动状态，在原子、分子体系中ψ就是我们常说的电子的原子轨道或分子轨道，ψ*ψ称为几率密度，也是通常说的电子云。ψ*ψdτ是电子在空间某微体积元dτ出现的几率。

3.试从势箱中自由粒子的Schrödinger方程求解归纳一下简单体系的Schrödinger方程解法。

答：Schrödinger方程是一个本征方程。势箱中粒子的方程是二阶常系数微分方程。求解具体步骤如下：

① 写出 的具体形式（ ）

② 写出微分方程的通解

③ 根据边界条件，得到能量本征值E

④ 能量E代入ψ，再用ψ的正交归一性，求出ψ的具体形式。