江苏省南通市崇川区2019-2020年八一中学九年级(上)第一次月考数学试卷 解析版

2019-2020学年江苏省南通市崇川区八一中学九年级（上）第一

次月考数学试卷

一、选择题（每题3分，共30分）

1．（3分）（2017•襄阳）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是(

)

A．

B．

C．

D．

2．（3分）（2016秋•乌海期末）已知O的直径为8cm，P为直线l上一点，OP4cm，那么直线l与O的公共点有( ) A．0个

B．1个

C．2个

D．1个或2个

3．（3分）（2017•宁夏）在平面直角坐标系中，点(3,2)关于原点对称的点是( ) A．(3,2)

B．(3,2)

C．(3,2)

D．(3,2)

4．（3分）（2014秋•东阳市期中）如图，点D在以AC为直径的O上，若

BDC35，那么ACB的度数是( )

A．35 B．55 C．70 D．110

5．（3分）（2016秋•东丽区期末）下列判断中正确的是( ) A．长度相等的弧是等弧

B．平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧

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C．弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧 D．平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦

6．（3分）（2015•合肥校级模拟）如图，将ABC绕点A逆时针旋转一定角度，得到ADE，若CAE65，E70，且ADBC，则BAC的度数为( )

A．60

B．85

C．75

D．90

7．（3分）（2017•日照）如图，AB是O的直径，PA切O于点A，连结PO并延长交O于点C，连结AC，AB10，P30，则AC的长度是( )

A．53 B．52 C．5

D．

5 28．（3分）（2018•青岛）如图，将线段AB绕点P按顺时针方向旋转90，得到线段AB，其中点A、B的对应点分别是点A、B，则点A的坐标是( )

A．(1,3)

B．(4,0)

C．(3,3)

D．(5,1)

9．（3分）（2019秋•崇川区校级月考）如图，在ABC中，ACB90，点O在AC上，

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以O为圆心，OC为半径作O，过点A作ADBO交BO的延长线于点D．则下列结论中：①点A、B、C、D在同一个圆上；②ABC2CAD；③若BOCBAD，则AB与O相切，正确的结论是( )

A．①②③

B．①②

C．②③

D．①③

10．（3分）（2014•武汉模拟）已知ABC和ADE都是等腰直角三角形，ACBADE90，AC22，AD1，F是BE的中点．若将ADE绕点A旋转一

周，则线段AF长度的取值范围是( )

A．

4242 剟AF22AF3 B．2剟2222 剟AF22C．42剟AF32D．

二、填空题（每题3分，共24分）

11．（3分）（2016秋•澧县期末）如图，已知圆周角ACB130，则圆心角AOB ．

12．（3分）（2016秋•西城区期末）如图，在ABC中，BAC65，将ABC绕点A逆时针旋转，得到△ABC，连接CC．若CC//AB，则BAB ．

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13．（3分）（2011秋•海安县校级期中）如图，已知O是ABC的内切圆，切点为D、E、

F，如果AE2，CD1，BF3，则内切圆的半径r ．

14．（3分）（2017•张店区一模）如图，BD为正方形ABCD的对角线，BE平分DBC，交DC与点E，将BCE绕点C按顺时针旋转90得到DCF，若CE3cm，则FB

cm．

15．（3分）（2017秋•薛城区期末）如图，点A、B、C是圆O上的三点，且四边形ABCO是平行四边形，OFOC交圆O于点F，则BAF ．

16．（3分）（2018•潍坊）如图，正方形ABCD的边长为1，点A与原点重合，点B在y轴的正半轴上，点D在x轴的负半轴上，将正方形ABCD绕点A逆时针旋转30至正方形ABCD的位置，BC与CD相交于点M，则点M的坐标为 ．

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17．（3分）（2017•衢州）如图，在直角坐标系中，A的圆心A的坐标为(1,0)，半径为1，3点P为直线yx3上的动点，过点P作A的切线，切点为Q，则切线长PQ的最

4小值是 ．

18．（3分）（2018•宁波）如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连结PM，以点P为圆心，PM长为半径作P．当P与正方形ABCD的边相切时，BP的长为 ．

三、解答题

19．（8分）（2016秋•宣化县期末）ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位长度．按要求作图： ①画出ABC关于原点O的中心对称图形△A1B1C1； ②画出将ABC绕点A逆时针旋转90得到△AB2C2， ③△A1B1C1中顶点A1坐标为 ．

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20．（8分）（2017秋•平谷区期末）如图，AB是O的直径，弦CDAB于E，A15，

AB4．求弦CD的长．

21．（8分）（2016春•郓城县期中）如图所示，已知P为正方形ABCD外的一点．PA1，

的PB2．将ABP绕点B顺时针旋转90，使点P旋转至点P，且AP3，求BPC度数．

22．（12分）（2017•河南）如图，在ABC中，ABAC，以AB为直径的O交AC边于点D，过点C作CF//AB，与过点B的切线交于点F，连接BD． （1）求证：BDBF；

（2）若AB10，CD4，求BC的长．

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23．（12分）（2018•怀柔区二模）如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，E，F分别是AB，

AD的中点，连接EF，EC，将FAE绕点F旋转180得到FDM．

（1）补全图形并证明：EFAC； （2）若B60，求EMC的面积．

24．（14分）（2019•深圳模拟）如图，AB是O的直径，M是OA的中点，弦CDAB于点M，过点D作DECA交CA的延长线于点E． （1）连接AD，则OAD ； （2）求证：DE与O相切；

（3）点F在BC上，CDF45，DF交AB于点N．若DE3，求FN的长．

25．（16分）（2015秋•鲁山县校级期末）将两块斜边长相等的等腰直角三角形按如图A摆放，斜边AB分别交CD、CE于M、N点，

（1）如果把图A中的BCN绕点C逆时针旋转90得到ACF，连接FM，如图B，求证：CMFCMN:

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（2）将CED绕点C旋转：

①当点M、N在AB上（不与A、B重合）时，线段AM、MN、NB之间有一个不变的关系式，请你写出这个关系式，并说明理由；

②当点M在AB上，点N在AB的延长线上（如图C)时，①中的关系式是否仍然成立？请说明理由．

26．（18分）（2012•河北）如图，A(5,0)，B(3,0)，点C在y轴的正半轴上，CBO45，CD//AB．CDA90．点P从点Q(4,0)出发，沿x轴向左以每秒1个单位长度的速度

运动，运动时时间t秒． （1）求点C的坐标；

（2）当BCP15时，求t的值；

（3）以点P为圆心，PC为半径的P随点P的运动而变化，当P与四边形ABCD的边（或边所在的直线）相切时，求t的值．

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（上）第一次月考数学试卷

参与试题解析

一、选择题（每题3分，共30分）

1．（3分）（2017•襄阳）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是(

)

A．

B．

C．

D．

【考点】P3：轴对称图形；R5：中心对称图形

【分析】根据中心对称图形和轴对称图形对各选项分析判断即可得解． 【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；

B、是中心对称图，不是轴对称图形，故本选项错误；

C、既是中心对称图又是轴对称图形，故本选项正确；

D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误．

故选：C．

【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．

2．（3分）（2016秋•乌海期末）已知O的直径为8cm，P为直线l上一点，OP4cm，那么直线l与O的公共点有( ) A．0个

B．1个

C．2个

D．1个或2个

【考点】MB：直线与圆的位置关系

【分析】根据垂线段最短，得圆心到直线的距离小于或等于4cm，再根据数量关系进行判

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断．若dr，则直线与圆相交；若dr，则直线与圆相切；若dr，则直线与圆相离；即可得出公共点的个数．

【解答】解：根据题意可知，圆的半径r4cm． OP4cm，

当OPl时，直线和圆是相切的位置关系，公共点有1个；

当OP与直线l不垂直时，则圆心到直线的距离小于4cm，所以是相交的位置关系，公共点有2个．

直线L与

O的公共点有1个或2个，

故选：D．

【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系．特别注意OP不一定是圆心到直线的距离． 3．（3分）（2017•宁夏）在平面直角坐标系中，点(3,2)关于原点对称的点是( ) A．(3,2)

B．(3,2)

C．(3,2)

D．(3,2)

【考点】R6：关于原点对称的点的坐标

【分析】根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答． 【解答】解：点(3,2)关于原点对称的点的坐标是(3,2)， 故选：A．

【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，熟记关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数是解题的关键．

4．（3分）（2014秋•东阳市期中）如图，点D在以AC为直径的O上，若

BDC35，那么ACB的度数是( )

A．35 B．55 C．70 D．110

【考点】M5：圆周角定理 【分析】由AC为

O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可求得ABC的度数，然后由圆周角定理，求得A的度数，继而求得答案．

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【解答】解：AC为O的直径，

ABAC90， ABDC35， ACB90A55． 故选：B．

【点评】此题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．

5．（3分）（2016秋•东丽区期末）下列判断中正确的是( ) A．长度相等的弧是等弧

B．平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧 C．弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧 D．平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦 【考点】M1：圆的认识；M2：垂径定理

【分析】利用等弧的定义以及垂径定理和垂径定理的推论即可作出判断．

【解答】解：A、等弧是能重合的两弧，长度相等的弧不一定是等弧，故选项错误；

B、平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧，注意被平分的弦不是直径，故选项错误；

C、弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧，正确，故选项正确；

D、平分一条弧的直径必平分这条弧所对的弦，故选项错误．

故选：C．

【点评】本题考查了等弧的概念和垂径定理的推论，理解垂径定理的内容是关键． 6．（3分）（2015•合肥校级模拟）如图，将ABC绕点A逆时针旋转一定角度，得到ADE，若CAE65，E70，且ADBC，则BAC的度数为( )

A．60

B．85

C．75

D．90

【考点】R2：旋转的性质 【专题】11：计算题

【分析】先根据旋转的性质得CE70，BACDAE，再根据垂直的定义得

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AFC90，则利用互余计算出CAF90C20，所以DAECAFEAC85，于是得到BAC85．

【解答】解：ABC绕点A逆时针旋转得到ADE， CE70，BACDAE， ADBC， AFC90，

CAF90C907020， DAECAFEAC206585， BACDAE85．

故选：B．

【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．

7．（3分）（2017•日照）如图，AB是O的直径，PA切O于点A，连结PO并延长交O于点C，连结AC，AB10，P30，则AC的长度是( )

A．53 B．52 C．5

D．

5 2【考点】MC：切线的性质

【分析】方法1、过点D作ODAC于点D，由已知条件和圆的性质易求OD的长，再根据勾股定理即可求出AD的长，进而可求出AC的长．

方法2、先求出AOP60，进而求出ACPP，即可得出ACAP，求出AC即可．

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【解答】解：

方法1、过点D作ODAC于点D，

AB是O的直径，PA切O于点A， ABAP，

BAP90，

P30， AOP60， AOC120，

OAOC， OAD30， AB10，

OA5， OD12AO2.5， ADAO2OD2532， AC2AD53，

故选A，

方法2、如图， 连接BC，

AP是O的切线，

BAP90，

P30， AOP60， BOC60，

ACPBAC12BOC30P，APAC，

AB是O直径，

ACB90，

在RtABC中，BAC30，AB10，

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AC53，

故选：A．

【点评】本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质以及勾股定理的运用，熟记切线的性质定理是解题的关键．

8．（3分）（2018•青岛）如图，将线段AB绕点P按顺时针方向旋转90，得到线段AB，其中点A、B的对应点分别是点A、B，则点A的坐标是( )

A．(1,3)

B．(4,0)

C．(3,3)

D．(5,1)

【考点】R7：坐标与图形变化旋转 【专题】13：作图题 【分析】画图可得结论． 【解答】解：画图如下：

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则A(5,1)， 故选：D．

【点评】本题考查了旋转的性质，熟练掌握顺时针或逆时针旋转是解决问题的关键． 9．（3分）（2019秋•崇川区校级月考）如图，在ABC中，ACB90，点O在AC上，以O为圆心，OC为半径作O，过点A作ADBO交BO的延长线于点D．则下列结论中：①点A、B、C、D在同一个圆上；②ABC2CAD；③若BOCBAD，则AB与O相切，正确的结论是( )

A．①②③

B．①②

C．②③

D．①③

【考点】M5：圆周角定理；MD：切线的判定；M8：点与圆的位置关系；S9：相似三角形的判定与性质

【专题】554：等腰三角形与直角三角形；55A：与圆有关的位置关系

【分析】由D90ACB，得出点A、B、C、D在同一个圆上，①正确；证出当BD是ABC平分线时，ABC2CAD，②错误；若BOCBAD，OBCCAD，

则OBCABD，作OEAB③正确；即可得出结论．

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于E，由角平分线性质得出OEOC，得出AB与O相切，

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【解答】解：ADBO，

D90ACB，

点A、B、C、D在同一个圆上，①正确；

ACBD90，BOCAOD， OBCCAD，

当BD是ABC平分线时，ABC2CAD，②错误； 若BOCBAD， ACBD90， OBCABD，

作OEAB于E，如图所示： 则OEOC，

AB与O相切，③正确；

故选：D．

【点评】本题考查了切线的判定、点与圆的位置关系、直角三角形的性质、角平分线的性质等知识；掌握直角三角形的性质和切线的判定是解题的关键．

10．（3分）（2014•武汉模拟）已知ABC和ADE都是等腰直角三角形，ACBADE90，AC22，AD1，F是BE的中点．若将ADE绕点A旋转一

周，则线段AF长度的取值范围是( )

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A．

4242 剟AF22B．2剟AF3

2222 剟AF22C．42剟AF32D．【考点】R2：旋转的性质

【分析】过点A以AE长为半径作圆，可知当AF最大与最小时，E点与AB共线，由此可得出AF的范围．

【解答】解：根据旋转的特性，画出E点旋转一圈的轨迹，如图．

结合图形可知：

①当E落在E位置时，AF最大，

ABC和ADE都是等腰直角三角形，ACBADE90，AC22，AD1，

ABAC2BC24，AEAD2DE22，BEABAE42，

F是BE的中点，

BF1424242，AFABBF4； BE2222②当E落在E位置时，AF最小，

BEABAE42，且F是BE的中点，

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BF142， BE224242． 22AFABBF4综合①②可知：故选：A．

4242． 剟AF22【点评】本题考查了旋转的性质，解题的关键是：明白“过点A以AE长为半径作圆，当AF最大与最小时，E点与AB共线”． 二、填空题（每题3分，共24分）

11．（3分）（2016秋•澧县期末）如图，已知圆周角ACB130，则圆心角AOB 100 ．

【考点】M5：圆周角定理

【分析】根据圆周角定理即可得出结论． 【解答】解：2ACB260， AOB360260100．

故答案为100．

【点评】本题考查了圆周角定理．在同圆或等圆中，同弧和等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．

12．（3分）（2016秋•西城区期末）如图，在ABC中，BAC65，将ABC绕点A逆时针旋转，得到△ABC，连接CC．若CC//AB，则BAB 50 ．

【考点】JA：平行线的性质；R2：旋转的性质

【分析】根据旋转的性质得ACAC，BABCAC，再根据等腰三角形的性质得ACCACC，然后根据平行线的性质由CC//AB得ACCCAB65，则ACCACC65，再根据三角形内角和计算出CAC50，所以BAB50．

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【解答】解：ABC绕点A逆时针旋转到△ABC的位置， ACAC，BABCAC， ACCACC， CC//AB，

ACCCAB65， ACCACC65， CAC18026550， BAB50，

故答案为50．

【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了平行线的性质．

13．（3分）（2011秋•海安县校级期中）如图，已知O是ABC的内切圆，切点为D、E、

F，如果AE2，CD1，BF3，则内切圆的半径r 1 ．

【考点】MG：切线长定理；MI：三角形的内切圆与内心

【分析】根据切线长定理得出AFAE，ECCD，DBBF，进而得出ABC是直角三角形，再利用直角三角形内切圆半径求法得出内切圆半径即可． 【解答】解：

O是ABC的内切圆，切点为D、E、F，

AFAE，ECCD，DBBF， AE2，CD1，BF3，

AF2，EC1，BD3，

ABBFAF325，BCBDDC4，ACAEEC3， ABC是直角三角形，

内切圆的半径r3451， 2故答案为：1．

【点评】此题主要考查了切线长定理以及直角三角形内切圆半径求法，根据切线长定理得出

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ABC是直角三角形是解题关键．

14．（3分）（2017•张店区一模）如图，BD为正方形ABCD的对角线，BE平分DBC，交DC与点E，将BCE绕点C按顺时针旋转90得到DCF，若CE3cm，则FB (632) cm．

【考点】KF：角平分线的性质；LE：正方形的性质；R2：旋转的性质

【分析】过点E作EMBD于点M，则DEM为等腰直角三角形，根据角平分线以及等腰直角三角形的性质即可得出DE的长度，再根据正方形以及旋转的性质，即可得出线段BF的长．

【解答】解：如图所示，过点E作EMBD于点M． 四边形ABCD为正方形， BDC45，BCD90，

DEM为等腰直角三角形．

BE平分DBC，EMBD，ECBC，

EMEC3， DE2EM32， BCCD323．

由旋转的性质可知：CFCE3， BFBCCF3233632．

故答案为：632．

【点评】本题考查了旋转的性质、正方形的性质以及角平分线的性质，解题的关键是结合角

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平分线以及等腰直角三角形的性质，求出线段BC以及CF的长度．

15．（3分）（2017秋•薛城区期末）如图，点A、B、C是圆O上的三点，且四边形ABCO是平行四边形，OFOC交圆O于点F，则BAF 15 ．

【考点】L5：平行四边形的性质；M2：垂径定理；M5：圆周角定理

【分析】根据平行四边形的性质和圆的半径相等得到AOB为等边三角形，根据等腰三角形的三线合一得到BOFAOF30，根据圆周角定理计算即可． 【解答】解：连接OB， 四边形ABCO是平行四边形， OCAB，又OAOBOC， OAOBAB， AOB为等边三角形， OFOC，OC//AB， OFAB，

BOFAOF30，

1由圆周角定理得BAFBOF15，

2故答案为：15．

【点评】本题考查的是圆周角定理、平行四边形的性质定理、等边三角形的性质的综合运用，掌握同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半、等腰三角形的三线合一是解题的关键．

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16．（3分）（2018•潍坊）如图，正方形ABCD的边长为1，点A与原点重合，点B在y轴的正半轴上，点D在x轴的负半轴上，将正方形ABCD绕点A逆时针旋转30至正方形ABCD的位置，BC与CD相交于点M，则点M的坐标为 (1,3) ． 3

【考点】LE：正方形的性质；R7：坐标与图形变化旋转

【专题】1：常规题型；556：矩形 菱形 正方形；558：平移、旋转与对称

【分析】连接AM，由旋转性质知ADAB1、BAB30、BAD60，证RtADM1△ABM得DAMBAD30，由DMADtanDAM可得答案． Rt2【解答】解：如图，连接AM，

将边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30得到正方形ABCD，

ADAB1，BAB30，

BAD60，

在RtADM和Rt△ABM中， ADAB， AMAMRtADMRt△ABM(HL)，

1DAMBAMBAD30，

2DMADtanDAM1点M的坐标为(1,33， 333)， 322 / 49

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故答案为：(1,3)． 3【点评】本题主要考查旋转的性质、正方形的性质，解题的关键是掌握旋转变换的不变性与正方形的性质、全等三角形的判定与性质及三角函数的应用．

17．（3分）（2017•衢州）如图，在直角坐标系中，A的圆心A的坐标为(1,0)，半径为1，3点P为直线yx3上的动点，过点P作A的切线，切点为Q，则切线长PQ的最

4小值是 22 ．

【考点】F5：一次函数的性质；MC：切线的性质 【专题】14：证明题

3【分析】连接AP，PQ，当AP最小时，PQ最小，当AP直线yx3时，PQ最小，

4根据全等三角形的性质得到AP3，根据勾股定理即可得到结论．

3【解答】解：如图，作AP直线yx3，垂足为P，作A的切线PQ，切点为Q，

4此时切线长PQ最小，

A的坐标为(1,0)，

设直线与x轴，y轴分别交于C，B， B(0,3)，C(4,0)， OB3，AC5，

BCOB2OC25， ACBC，

APCOBC90在APC与BOC中，ACBBCO，

ACBCAPCBOC，

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APOB3， PQ321222．

PQ2PA21，此时PA最小，所以此时切线长PQ也最小，最小值为22．

【点评】本题主要考查切线的性质，掌握过切点的半径与切线垂直是解题的关键，用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．

18．（3分）（2018•宁波）如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连结PM，以点P为圆心，PM长为半径作P．当P与正方形ABCD的边相切时，BP的长为 3或43 ．

【考点】LE：正方形的性质；MC：切线的性质 【专题】559：圆的有关概念及性质

【分析】分两种情形分别求解：如图1中，当P与直线CD相切时；如图2中当P与直线AD相切时．设切点为K，连接PK，则PKAD，四边形PKDC是矩形； 【解答】解：如图1中，当P与直线CD相切时，设PCPMx．

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在RtPBM中，PM2BM2PB2，

x242(8x)2， x5，

PC5，BPBCPC853．

如图2中当P与直线AD相切时．设切点为K，连接PK，则PKAD，四边形PKDC是矩形．

PMPKCD2BM，

BM4，PM8，

在RtPBM中，PB824243． 综上所述，BP的长为3或43．

【点评】本题考查切线的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题． 三、解答题

19．（8分）（2016秋•宣化县期末）ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个

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小正方形的边长为1个单位长度．按要求作图： ①画出ABC关于原点O的中心对称图形△A1B1C1； ②画出将ABC绕点A逆时针旋转90得到△AB2C2， ③△A1B1C1中顶点A1坐标为 (1,2) ．

【考点】R4：中心对称；R8：作图旋转变换

【分析】①把ABC绕着点O旋转180，得到△A1B1C1，那么这两个三角形关于这个点成中心对称；

②按照旋转角度、旋转方向、旋转中心进行作图即可；

③在直角坐标系中，点A1在第四象限，距离x轴2个单位，距离y轴1个单位，据此求得其坐标．

【解答】解：①如图，ABC与△A1B1C1关于原点O的中心对称； ②如图，△AB2C2是由ABC绕点A逆时针旋转90得到的三角形； ③由图可得，△A1B1C1中顶点A1坐标为(1,2)．

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【点评】本题主要考查了利用旋转变换进行作图，旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素有旋转角度、旋转方向、旋转中心，得到的图形与原图形全等．

20．（8分）（2017秋•平谷区期末）如图，AB是O的直径，弦CDAB于E，A15，

AB4．求弦CD的长．

【考点】M2：垂径定理；M5：圆周角定理 【专题】55：几何图形

【分析】根据A15，求出COB的度数，再求出CE的长．根据垂径定理即可求出CD的长．

【解答】解：A15， COB30．

AB4，

OC2．

弦CDAB于E， 1CECD．

2在RtOCE中，CEO90，COB30，OC2， CE1． CD2．

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【点评】此题考查了垂径定理和圆周角定，熟练掌握垂径定理和圆周角定理是本题的关键． 21．（8分）（2016春•郓城县期中）如图所示，已知P为正方形ABCD外的一点．PA1，

的PB2．将ABP绕点B顺时针旋转90，使点P旋转至点P，且AP3，求BPC度数．

【考点】KS：勾股定理的逆定理；LE：正方形的性质；R2：旋转的性质

【分析】首先连接PP，由旋转的性质，可求得PP的长，BPP45，然后由勾股定理的逆定理，证得APP90，继而求得答案． 【解答】解：连接PP，

ABP绕点B顺时针旋转90，使点P旋转至点P， PBPB2，PBP90，

PPPB2PB222，BPP45，

PA1，AP3， PA2PP2AP2，

APP90，

APBAPPBPP135， BPCAPB135．

【点评】此题考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理的逆定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握旋转前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用．

22．（12分）（2017•河南）如图，在ABC中，ABAC，以AB为直径的O交AC边于点D，过点C作CF//AB，与过点B的切线交于点F，连接BD．

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（1）求证：BDBF；

（2）若AB10，CD4，求BC的长．

【考点】KH：等腰三角形的性质；MC：切线的性质

【分析】（1）根据圆周角定理求出BDAC，BDC90，根据切线的性质得出ABBF，求出ACBFCB，根据角平分线性质得出即可；

（2）求出AC10，AD6，根据勾股定理求出BD，再根据勾股定理求出BC即可． 【解答】（1）证明：BDA90，

BDAC，BDC90，

AB是O的直径，

BF切O于B， ABBF，

CF//AB，

CFBF，FCBABC， ABAC， ACBABC， ACBFCB， BDAC，BFCF，

BDBF；

（2）解：

AB10，ABAC，

AC10， CD4， AD1046，

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在RtADB中，由勾股定理得：BD102628， 在RtBDC中，由勾股定理得：BC824245．

【点评】本题考查了切线的性质，勾股定理，角平分线性质，等腰三角形的判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．

23．（12分）（2018•怀柔区二模）如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，E，F分别是AB，

AD的中点，连接EF，EC，将FAE绕点F旋转180得到FDM．

（1）补全图形并证明：EFAC； （2）若B60，求EMC的面积．

【考点】KX：三角形中位线定理；L8：菱形的性质；R8：作图旋转变换 【专题】1：常规题型

【分析】（1）根据旋转的性质得出对应点位置进而得出答案，再利用菱形的性质得出

EFAC；

（2）首先得出ABC是等边三角形，进而求出CE的长，进而得出MD以及MC的长求出答案．

【解答】（1）补全图形如图所示： 证明：连接DB， 四边形ABCD是菱形， DBAC，

E，F分别是AB，AD的中点，

EF//BD． EFAC；

（2）解：四边形ABCD是菱形， ABBC． B60，

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ABC是等边三角形，

E是AB的中点，

CEAB，CEMC．

即EMC是直角三角形，且CEBCsin603． 由（1）得MDAE1AB1． 2MCMDDC3．

SEMC133． MCCE22

【点评】此题主要考查了菱形的性质以及旋转变换，正确应用菱形的性质得出EMC是直角三角形是解题关键．

24．（14分）（2019•深圳模拟）如图，AB是O的直径，M是OA的中点，弦CDAB于点M，过点D作DECA交CA的延长线于点E． （1）连接AD，则OAD 60 ； （2）求证：DE与O相切；

（3）点F在BC上，CDF45，DF交AB于点N．若DE3，求FN的长．

【考点】M2：垂径定理；M5：圆周角定理；ME：切线的判定与性质 【专题】15：综合题；31：数形结合；552：三角形；55C：与圆有关的计算

【分析】（1）由CDAB和M是OA的中点，利用三角函数可以得到DOM60，进而得到OAD是等边三角形，OAD60．

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（2）只需证明DEOD．便可以得到DE与O相切．

（3）利用圆的综合知识，可以证明，CND90，CFN60，根据特殊角的三角函数值可以得到FN的数值．

【解答】解：（1）如图1，连接OD，AD

AB是O的直径，CDAB AB垂直平分CD M是OA的中点，

OM112OA2OD

cosDOMOM1OD2 DOM60

又：OAOD OAD是等边三角形 OAD60

故答案为：60

（2）CDAB，AB是O的直径，CMMD．

M是OA的中点，

AMMO．

又AMCDMO， AMCOMD． ACMODM． CA//OD．

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DECA， E90．

ODE180E90． DEOD．

DE与O相切．

（3）如图2，连接CF，CN，

OACD于M，

M是CD中点．

NCND． CDF45， NCDNDC45． CND90． CNF90．

由（1）可知AOD60．

ACD1AOD30． 2在RtCDE中，E90，ECD30，DE3，

CDDE6．

sin30在RtCND中，CND90，CDN45，CD6，

CNCDsin4532．

由（1）知CAD2OAD120， CFD180CAD60．

在RtCNF中，CNF90，CFN60，CN32，

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FNCN6．

tan60【点评】本题考查圆的综合运用，特别是垂径定理、切线的判定要求较高，同时对于特殊角的三角函数值的运用有所考察，需要学生能具有较强的推理和运算能力．

25．（16分）（2015秋•鲁山县校级期末）将两块斜边长相等的等腰直角三角形按如图A摆放，斜边AB分别交CD、CE于M、N点，

（1）如果把图A中的BCN绕点C逆时针旋转90得到ACF，连接FM，如图B，求证：CMFCMN:

（2）将CED绕点C旋转：

①当点M、N在AB上（不与A、B重合）时，线段AM、MN、NB之间有一个不变的关系式，请你写出这个关系式，并说明理由；

②当点M在AB上，点N在AB的延长线上（如图C)时，①中的关系式是否仍然成立？请说明理由．

【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KW：等腰直角三角形；R2：旋转的性质 【分析】（1）根据旋转的性质可得CFCN，再求出ACMBCN45，ACFBCN，从而求出MCF45，然后利用“边角边”证明CMF和CMN全等即可； （2）①根据全等三角形对应边相等可得FMMN，再根据旋转的性质可得AFBN，CAFB45，从而求出BAF90，再利用勾股定理列式即可得解；

②把BCN绕点C逆时针旋转90得到ACF，根据旋转的性质可得AFBN，CFCN，BCNACF，再求出MCFMCN，然后利用“边角边”证明CMF和CMN全

等，根据全等三角形对应边相等可得MFMN，然后利用勾股定理列式即可得解． 【解答】解：（1）BCN绕点C逆时针旋转90得到ACF， CFCN，ACFBCN， DCE45， ACMBCN45，

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ACMACF45，

即MCF45， MCFMCN，

CFCN在CMF和CMN中，MCFMCN，

CMCMCMFCMN(SAS)；

（2）①CMFCMN， FMMN，

又CAFB45，

FAMCAFBAC454590，

AM2AF2FM2，

AM2BN2MN2；

②如图，把BCN绕点C逆时针旋转90得到ACF， 则AFBN，CFCN，BCNACF，

MCFACBMCBACF90(45BCN)ACF45BCNACF45，

MCFMCN，

CFCN在CMF和CMN中，MCFMCN，

CMCMCMFCMN(SAS)， FMMN， ABC45，

CAFCBN135，

又BAC45，

FAMCAFBAC1354590，

AM2AF2FM2，

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AM2BN2MN2．

【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，此类题目根据相同的思路确定出全等的三角形，然后找出条件是解题的关键．

26．（18分）（2012•河北）如图，A(5,0)，B(3,0)，点C在y轴的正半轴上，CBO45，CD//AB．CDA90．点P从点Q(4,0)出发，沿x轴向左以每秒1个单位长度的速度

运动，运动时时间t秒． （1）求点C的坐标；

（2）当BCP15时，求t的值；

（3）以点P为圆心，PC为半径的P随点P的运动而变化，当P与四边形ABCD的边（或边所在的直线）相切时，求t的值．

【考点】D5：坐标与图形性质；KQ：勾股定理；MC：切线的性质；T7：解直角三角形 【专题】152：几何综合题；16：压轴题

【分析】（1）由CBO45，BOC为直角，得到BOC为等腰直角三角形，又OB3，利用等腰直角三角形AOB的性质知OCOB3，然后由点C在y轴的正半轴可以确定点C的坐标；

（2）需要对点P的位置进行分类讨论：①当点P在点B右侧时，如图2所示，由BCO45，用BCOBCP求出PCO为30，又OC3，在RtPOC中，利用锐角三角函数定义及特殊角的三角函数值求出OP的长，由PQOQOP求出运动的总路程，由速度为1个单位/秒，即可求出此时的时间t；②当点P在点B左侧时，如图3所示，用

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BCOBCP求出PCO为60，又OC3，在RtPOC中，利用锐角三角函数定义

及特殊角的三角函数值求出OP的长，由PQOQOP求出运动的总路程，由速度为1个单位/秒，即可求出此时的时间t；

（3）当P与四边形ABCD的边（或边所在的直线）相切时，分三种情况考虑： ①当P与BC边相切时，利用切线的性质得到BC垂直于CP，可得出BCP90，由BCO45，得到OCP45，即此时COP为等腰直角三角形，可得出OPOC，

由OC3，得到OP3，用OQOP求出P运动的路程，即可得出此时的时间t； ②当P与CD相切于点C时，P与O重合，可得出P运动的路程为OQ的长，求出此时的时间t；

③当P与AD相切时，利用切线的性质得到DAO90，得到此时A为切点，由PCPA，且PA9t，POt4，在RtOCP中，利用勾股定理列出关于t的方程，求出方程的解得到此时的时间t．

综上，得到所有满足题意的时间t的值． 【解答】解：（1）BCOCBO45， OCOB3，

又点C在y轴的正半轴上，

点C的坐标为(0,3)；

（2）分两种情况考虑：

①当点P在点B右侧时，如图2， 若BCP15，得PCO30， 故POCOtan303，此时t43； ②当点P在点B左侧时，如图3， 由BCP15，得PCO60， 故OPCOtan6033， 此时，t433，

t的值为43或433；

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（3）由题意知，若P与四边形ABCD的边相切时，有以下三种情况： ①当P与BC相切于点C时，有BCP90，

从而OCP45，得到OP3，此时t1；

②当P与CD相切于点C时，有PCCD，即点P与点O重合，此时t4；

③当P与AD相切时，由题意，得DAO90，

点A为切点，如图4，PC2PA2(9t)2，PO2(t4)2，

于是(9t)2(t4)232，即8118tt2t28t169， 解得：t5.6，

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t的值为1或4或5.6．

【点评】此题考查了切线的性质，坐标与图形性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，锐角三角函数定义，利用了数形结合及分类讨论的思想，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．

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考点卡片

1．坐标与图形性质

1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．

2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．

3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题． 2．一次函数的性质 一次函数的性质：

k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．

由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． 3．平行线的性质 1、平行线性质定理

定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等． 简单说成：两直线平行，同位角相等．

定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．

定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等． 简单说成：两直线平行，内错角相等．

2、两条平行线之间的距离处处相等． 4．全等三角形的判定与性质

（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．

（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅

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助线构造三角形． 5．角平分线的性质

角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．

注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE

6．等腰三角形的性质 （1）等腰三角形的概念

有两条边相等的三角形叫做等腰三角形． （2）等腰三角形的性质 ①等腰三角形的两腰相等

②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】

③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】 （3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论． 7．勾股定理

（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．

如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a+b＝c． （2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中． （3）勾股定理公式a+b＝c 的变形有：a，b及c．

（4）由于a+b＝c＞a，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边． 8．勾股定理的逆定理

（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a+b＝c，那么这个三角形就是直角三角形．

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说明：

①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．

②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．

（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．

注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是． 9．等腰直角三角形

（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．

（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；

（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R1，所以r：R＝1：1． 10．三角形中位线定理 （1）三角形中位线定理：

三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． （2）几何语言：

如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点 ∴DE∥BC，DEBC．

11．平行四边形的性质

（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． （2）平行四边形的性质： ①边：平行四边形的对边相等． ②角：平行四边形的对角相等．

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③对角线：平行四边形的对角线互相平分． （3）平行线间的距离处处相等． （4）平行四边形的面积：

①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积． ②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等． 12．菱形的性质

（1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． （2）菱形的性质

①菱形具有平行四边形的一切性质； ②菱形的四条边都相等；

③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角； ④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线． （3）菱形的面积计算

①利用平行四边形的面积公式．

②菱形面积ab．（a、b是两条对角线的长度） 13．正方形的性质

（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． （2）正方形的性质

①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；

②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角； ③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．

④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴． 14．圆的认识 （1）圆的定义

定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．

定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合． （2）与圆有关的概念

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弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等．

连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．

（3）圆的基本性质：①轴对称性．②中心对称性． 15．垂径定理 （1）垂径定理

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理的推论

推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．

推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 16．圆周角定理

（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．

注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．

（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．

推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．

（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．

（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角． 17．点与圆的位置关系

（1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有： ①点P在圆外⇔d＞r ②点P在圆上⇔d＝r ①点P在圆内⇔d＜r

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（2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．

（3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端．

18．直线与圆的位置关系 （1）直线和圆的三种位置关系： ①相离：一条直线和圆没有公共点．

②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点．

③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线． （2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d． ①直线l和⊙O相交⇔d＜r ②直线l和⊙O相切⇔d＝r ③直线l和⊙O相离⇔d＞r． 19．切线的性质 （1）切线的性质

①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的性质可总结如下：

如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直． （3）切线性质的运用

由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直． 20．切线的判定

（1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． （2）在应用判定定理时注意：

①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线．

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②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的．

③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”． 21．切线的判定与性质 （1）切线的性质

①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．

（2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． （3）常见的辅助线的：

①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”； ②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”． 22．切线长定理

（1）圆的切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．

（2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角．

（3）注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量． （4）切线长定理包含着一些隐含结论： ①垂直关系三处； ②全等关系三对；

③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到． 23．三角形的内切圆与内心 （1）内切圆的有关概念：

与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．

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（2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形． （3）三角形内心的性质：

三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．

24．轴对称图形

（1）轴对称图形的概念：

如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称． （2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．

（3）常见的轴对称图形：

等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等． 25．旋转的性质 （1）旋转的性质：

①对应点到旋转中心的距离相等． ②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角． ③旋转前、后的图形全等． （2）旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度． 注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样． 26．中心对称 （1）中心对称的定义

把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．． （2）中心对称的性质

①关于中心对称的两个图形能够完全重合；

②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分． 27．中心对称图形 （1）定义

把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．

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注意：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同． （2）常见的中心对称图形

平行四边形、圆形、正方形、长方形等等． 28．关于原点对称的点的坐标 关于原点对称的点的坐标特点

（1）两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y）．

（2）关于原点对称的点或图形属于中心对称，它是中心对称在平面直角坐标系中的应用，它具有中心对称的所有性质．但它主要是用坐标变化确定图形．

注意：运用时要熟练掌握，可以不用图画和结合坐标系，只根据符号变化直接写出对应点的坐标．

29．坐标与图形变化-旋转 （1）关于原点对称的点的坐标 P（x，y）⇒P（﹣x，﹣y） （2）旋转图形的坐标

图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°． 30．作图-旋转变换 （1）旋转图形的作法：

根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形． （2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角度、旋转方向、旋转中心，任意不同，位置就不同，但得到的图形全等． 31．相似三角形的判定与性质

（1）相似三角形相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等． （2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作

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辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可． 32．解直角三角形 （1）解直角三角形的定义

在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形． （2）解直角三角形要用到的关系 ①锐角直角的关系：∠A+∠B＝90°； ②三边之间的关系：a+b＝c； ③边角之间的关系：

sinA＝∠A的对边斜边＝ac，cosA＝∠A的邻边斜边＝bc，tanA＝∠A的对边∠A的邻边＝ab． （a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）

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