01初三数学自主招生 二次方程的整数根(1)(教师)

【因式分解】

1. 已知k为整数，且关于x的方程(k1)x2(5k1)x240有两个不相等的正

整数根，求k的值。

解：易知k1，原方程可化为k1x4k1x60

2246，x2 k1k1∵两根为正整数，∴k1取4、2、1，k值为5、3、2； k1取6、3、2、1，k值为5、2、1、0； ∴k值为5或2，当k5时，方程两根为等根，舍去；

当k2时，方程有两个不相等的正整数根x14，x22。 ∴k2。

∴x12. 当k取何整数时，方程4k8kx8012kx320的解都是整数？

2解：当k4时，原方程为32x320，解得x1，符合题意；

当k8时，原方程为16x320，解得x2，符合题意； 当k4且k8时，原方程可化为4kx88kx40

84，x2。 4k8k∵k为整数，且x1、x2均为整数根， ∴4k1,2,4,8，得k3， 5，2，6，0，12，4，4（舍） 8k1,2,4，得k7，。 9，6，10，12，8（舍）综上所述，当k值为4、6、8、12时，原方程的根都为整数。

解得 x13. 已知方程ax(3a8a)x2a13a150（a为非负整数）至少有一个整数根，求a的值。

解：①：当a0时，方程变为150，无解。

②：当a0时，方程可化为

2222a2x2(3a28a)x(2a3)(a5)0 即[ax(2a3)][ax(a5)]0。

2a33a552,x21， ∴x1aaaa当x1为整数时，非负整数a1,3 当x2为整数时，非负整数a1,5

∴当a1,3,5时，方程至少有一个整数根。

【韦达定理】

4. 已知方程x(a6)xa0(a0)的两根都是整数，试求a的值。 解：设两整数根为,，且，则有26a，所以有6，

a111708 117，则或，解得或。

621711∴a0（舍）或a16。

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5. 已知方程xmxm10(m是整数）有两个不等正整数根，求m的值。 解：设两整数根为,，且则有∴2。

m，所以有1，即(1)(1)2。

m111,221，解得：或（舍去）

12,130故m()5。

26. 已知方程2m1x(2m2)x20的两根都是整数，试求m的值。 解：设两整数根为,，且，则有

2m2121，

2m12m12m1所以有222， 226，

则21222623或，或或，

212226238510舍或或或 413411311代入方程得，m，m，m。

42420解得【判别式】

7. 已知方程x6x4n32n0的根都是整数，求整数n的值。

解：因二次方程的根都是整数，故4(4n32n9)应为完全平方数。设

224n232n9k2（k0,k为整数），即(2n8)k55，

222所以(2n8k)(2n8k)55。因2n8k2n8k，故可得如下4个方程组：

2n8k552n8k11 2n8k12n8k52n8k1 2n8k552n8k5 2n8k11分别解得n10，n0，n18，n8。

8. 关于x的方程kxk1x10有有理根，求整数k的值。

2解：①当k0时，x1，方程有有理根；

2②当k0时，∵方程有有理根，∴k14kk6k1为完全平方

2数，设k6k1m，∵k为整数，∴m为整数，

222 k6k9m8，k3m8，即

222k3mk3m8，这里k3m大于k3m，且奇偶相同

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k3m4k3m2∴或

k3m2k3m4解得k6或k0（舍）

综合以上，方程有有理根时k0或k6。

29. （2013年交大附中自主招生）已知p、q为整数，px3xq0有两个同号有理

根，求所有满足条件的p、q的值与所有的根。

2解：∵px3xq0有两个根，所以p0，设两根分别为x1,x2

q由韦达定理，得：x1x2，∵x1，x2同号，所以x1x20。

p∴ p、q同号。∵一元二次方程的两根为有理根，∴94pq为完全平方数。 ∵pq0，∴pq2，

∴p1p2p1p2

或或或

q2q1q2q1

1x11x11x1x11解出根为或或2 2或x2x22x21x21210. （2013年华师一附中自主招生）已知p为质数，使二次方程

x22pxp25p10的两根都是整数，求出所有可能的p的值。

解：由于这个整系数的一元二次方程有整数根，

∴4p4(p5p1)4(5p1)是完全平方数，从而5p1是完全平方数，令5p1n，n是正整数，则5p(n1)(n1)， ∵p是质数，∴5p的因数有1,5,p,5p。 ∵(n1)(n1)2，且5p12

222n1pn15或，

n15n1p解得p3或p7

综上所述，所求的质数p为3或7。

∴

【备用】

1． 求满足条件的正整数m，使得关于x的方程4x4mxmm100有两整数

根。

解：由方程有整数解

∴16m44mm101610m为完全平方数，

2222又∵m为正整数，∴10m可取0、1、4、9， ∴满足条件的m值为10、9、6、1。

2． 已知pq16，且二次方程xpxq0的根是整数，求最大根。

解：设方程两整数根为x1、x2，则x1x2p，x1x2q

∵pq16，∴x1x2x1x2pq16

x11x2117，显然，当x1117或x2117时， 最大根为18。

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23． m是什么整数时，方程m1x63m1x720有两个不相等的正整数根？

22

4． k为什么整数时，方程6k9kx11715kx540的解都是整数？

2 5． 试确定一切有理数r，使得关于x的方程rx(r2)x3r20有且只有整数根。

2解：①：当r0时，方程化为2x20，方程有整数根x1，

②：当r0时，设两整数根为,，且。则

r221rr，两式相减得4，即(1)(1)5 3r223rr11,524∴，解得：或。

15,10622∴r或r

932226． 综上所述：r0,,。设方程x(m6)xm30有两个不同的奇数根，

39求整数m的值。

7． 已知a、b、c都是整数(bc)，且对一切实数

x,都有

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(xa)(x2014)2(xb)(xc)成立，求所有这样的有序数组(a,b,c)。

解：∵(xa)(x2014)2(xb)(xc)对一切实数x都成立，

∴x(2014a)x2014a2x(bc)xbc为恒等式,

22∴bc2014a

bc2014a22消去a得：bc2014(bc)22014 ∴bc2014(bc)20142 ∴(b2014)(c2104)2 ∵bc，∴b2014c2104。 ∴

2b20141,2 c20142,1b2015b2016或，分别求出a2013或a2015

c2012c20132∴∴有序数组(a,b,c)有：(2013,2015,2012)或(2015,2016,2013)。

8． 当k取何整数时，关于x的二次方程xx10kk1有整数根？并求方程的根。

解：原方程可化为：xx10kk0，

2∵方程有整数根，∴1410kk2k140为完全平方数

22设2k140m（m为正整数），则2k1m2k1m40

222明显，2k1m与2k1m奇偶相同，且2k1m2k1m ∴2k1m22k1m202k1m4 ，，，

2k1m202k1m22k1m102k1m10 2k1m4 两式分别相加得4k222,22,14,14，k6,5,4,3。

2 当k6或k5时，原方程都为xx200，方程解为x14，x25；

2 当k4或k3时，原方程都为xx20，方程解为x11，x22；

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