平面桁架分析
平面桁架分析
摘要：桁架是我们日常生活中经常见到的一种结构形式，通过对平面
桁架的内力分析，来达到对桁架受力形式的理解。主要采用结点法，截面法，结点法与界面法的混合运用，矩形位移法。
关键词：平面桁架 内力 受力分析
前言：桁架是由杆件组成的格构体系，当荷载只作用在节点上时，各
杆的内力主要为轴力，截面上的应力基本上分布均匀，可以充分发挥材料的作用。桁架是我们日常生活中经常见到的一种结构形式。对于桁架内力的分析，也是应运而生。主要运用结点法，截面法，和矩形位移法进行求解。
结点法，截面法，联合法：
1基本假设： ○
实际的桁架结构形式和各杆件图时，作如下三个方面的假定： 之间的联结以及所用的材料是多（1） 桁架的结点都是光滑的铰种多样的，实际受力情况复杂，结点。 要对它们进行精确的分析是困难（2） 各杆的轴线都是直线并通的。但根据对桁架的实际工作情过铰的中心。 况和对桁架进行结构实验的结果（3） 荷载和支座反力都作用在表明，由于大多数的常用桁架是铰结点上。 由比较细长的杆件所组成，而且 桁架中各杆件都是二力杆，杆件承受的荷载大多数都是通过其它的内力都是轴力。
杆件传到结点上，这就使得桁架
结点的刚性对杆件内力的影响可
2方法简介： ○
以大大的减小，接近于铰的作用，
结构中所有的杆件在荷载作用下， 1.节点法：假想地截取平衡桁架主要承受轴向力，而弯矩和剪力的一部分为分离体，若分离体只包含很小，可以忽略不计。因此，为一个节点，称为节点法。节点处的平了简化计算，在取桁架的计算简 衡力系为平面汇交力系。
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2.截面法：若分离体包含两个以上的节点，称为截面法，为平面任意力系的平衡。
3.节点法和截面法的混合应用。 结点法――适用于计算简单桁架。
截面法――适用于计算联合桁架、简单桁架中少数杆件的计算。 联合法――在解决一些复杂的桁架时，单独应用结点法或截面法往往不能够求解结 构的内力，这时需要将这两种方法进行联合应用，从而进行解题。
解题的关键是从几何构造分析着手，利用结点单杆、截面单杆的特点，使问题可解。
4举例说明： ○
3基本要求： ○
在具体计算时，规定内力符号以
杆件受拉为正，受压为负。结点隔离体上拉力的指向是离开结点，压力指向是指向结点。对于方向已知的内力应该按照实际方向画出，对于方向未知的内力，通常假设为拉力，如果计算结果为负值，则说明此内力为压力。
解：由几何组成分析可知，图示桁架为简单桁架。可采用结点法进行计算。 图示结构为对称结构，承受对称荷载，则对称杆件的轴力相等。在计算时只需计算半边结构即可。 （1）、求支座反力。
根据对称性，支座A、B的竖向支反力为：
（ ）
（2）、求各杆件内力。
由结点A开始，（在该结点上只有两个未知内力）隔离体如图3-17b所示。 由平衡条件：
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结点C：隔离体如图所示由平衡条件：
结点D：隔离体如图所示
由平衡条件：为避免求解联立方程，以杆件DA、DE所在直线为投影轴。
结点E：隔离体如图所示，根据对称性可知EC与ED杆内力相同。 由平衡条件：
举例2：求出图所示桁架所有杆件的轴力。
解:由于图示桁架可以按照依次拆除二元体的方法将整个桁架拆完，因此可应用结点法进行计算。
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（1）计算支座反力：
（2）计算各杆内力 方法一：
应用结点法，可从结点A开始，依次计算结点（A、B），1，（2、6），（3、4），5。
结点A，隔离体如图3-16c:
结点A，隔离体如图 （压力）
（拉力）
结点B，隔离体如图（压力）
（拉力）
同理依次计算1，（2、6），（3、4），5各结点，就可以
求得全部杆件轴力，杆件内力可在桁架结构上直接注明
位移法：
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○
1位移法基本简介 位移法：是以的结点位移（结点角位移与结点线位移）为基本未知量，基本未知量的数目与超静定的次数无关。位移法的可以为后面的计算机计算作为基础，也就是矩阵位移法。
位移法是计算超静定结构的
另一种基本的、也是有效的方法，不仅如此，对于静定结构，位移法也是一种计算方法。 力法从未知力/缀余力入手，力法的基本原理，是对于超静定结构中任意两点的相对变形都是0，也就说所有的力在该位置上产生的变形之和为0，因此力法可以称之为位移协调法。位移法与之相对应，即对于处于平衡状态下的结构体系来讲，结构中的任意一点或任意组成部分也是处于平衡状态的，因此该点或部分必然存在内力的平衡，以内力平衡为基础所构建的线性方程组来求解结构内力，也是一种极佳的方法。因为结构的内力与变形之间存在着必然的、确定的联系，因此结构的内力平衡一般从位移为未知量来入手，最终求得结构内力。这种以位移为初始未知数求解结构内力的方法称为位移法。
位移法的基本原理，是以在
小变形的基础的结构体系中，内力是可以叠加的，位移也是可以叠加的。结构中的受力、变形是可以分阶段、分次发生的，分阶段、分次发生的受力、变形是可以线性叠加的，叠加的结果与这些力、变形同时发生的结构所产生的内力、变形是相同的。
位移法可按两种思路求解结点位移和杆端弯矩：典型方程法和平衡方程法。下面给出典型方程法的解题思路和解题步骤。
1、截面直杆的转角位移方程 各种因素共同作用下杆端弯矩的表达式称为转角位移方程。
①两端固定梁转角位移方程： ②一端固定一端铰支梁转角位移方程：
③ 一端固定一端定向支承梁转角位移方程：
④已知杆端弯矩，可由杆件的矩平衡方程求出剪力：
其中 是相应的简支梁在荷载作用下的杆端剪力；MAB，MBA的正负按位移法规定。
2、直接列平衡方程法：
位移法方程实质上是静力平衡方程。对于结点角位移，相应的是结点的力矩平衡方程；对于结点线位移，相应的是截面的投影平衡方程。用基本体系方法计算时，是借助于基本体系这个工具，以达到分步、分项写出平衡方程的目的。
也可以不用基本体系，直接由转角位移方程，写出各杆件的杆端力表达式，在有结点角位移处，建立结点的力矩平衡方程；在有结点线位移处，建立截面的投影平衡方程。这些方程也就是位移法的基本方程。
正负号的规定
结点转角、杆转角、杆端弯矩和剪力一律以顺时针为正。
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○
2举例说明 关于位移法的简例（《结构力学Ⅰ》【第二版】包世华p274）
先举一个简单的桁架例子，以便于具体地了解位移法的基本思路。 图7-1a为一个对称结构，承受对称荷载Fp。结点B只发生竖向位移⊿，水平位移为零。在位移法中，把此竖向位移⊿选作基本未知量。这是因为：如果能设法把位移⊿求出，那么各杆的伸长变形即可求出，从而各杆的内力就可求出，整个问题也就迎刃而解了。由此看出，位移⊿确是一个关键的未知量。
现在进一步讨论如何求基本未知量⊿的问题。计算分为两步：
第一步，从结构中选取一个杆件进行分析。
图7-2a中杆AB，如已知杆端B沿杆轴向的位移ui（即杆的伸长），
则杆端力FNi应为 FEAiNilui （7-1）
i式中E、Ai、li分别为杆件的弹性模量、截面面积和长度。
系数EAi/ li是使杆端产生单位位移时所需施加的杆端力，称为杆件的刚度系数。式（7-1）表明杆件的杆端力FNi与杆端位移ui之间的关系，称为杆件的刚度方程。
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图 7 - 1 第二步，把各杆件综合成结构。综合时各杆在B端的位移是相同的，即都由B改变到B’，此为变形协调条件，各杆端位移ui与基本未知量⊿间的关系为（图7-2b） uisinai（a） 再考虑结点B的平衡条件∑Fy=0，
得（图7-1b） 5FNsinaiFpi1（b） 其中各杆的轴力FNi可由（7-1）表示，再利用式（a）可用基本未知量⊿表示，代入式（b），既得
图 7 - 2
5EAisin2aiFpi1li（c） 这就是位移法的基本方程，它代表平
衡方程，是用位移表示的平衡方程。
由此可求出基本未知量 ⊿=
Fp5EA （d） isin2aii1li 至此，完成了位移法计算中的关键一 步。
基本未知量⊿求出以后，其余为题就迎刃而解了。例如，为了求各杆的轴力，可将式（d）代入（a），再代入式（7-1），可得
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EAisinai 总结：通过几种方法的对比，掌握平 liFNi2面桁架的内力的分析 5EA(e) isinai
i1li将图7-1a的尺寸代入式（d）和（e），设各杆EA相同，得
0.637FpaEA
FN1=FN5=0.159Fp
FN2=FN4=0.255Fp FN3=0.319Fp
在图7-1a中，如只有2根杆，结构是静定的；当杆数大于（或等于）3时，结构是超静定的，均可用上述方法计算。
可见，用位移法计算时，计算方法并不因结构的静定或超静定而有所不同。
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