2018-2019学年贵州省毕节市黔西县高一（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共60分）
1．设集合A＝{1，2，3}，B＝{2，5}，则A∩B＝（ ） A．{2}
B．{2，3}
C．{3}
D．{1，3}
2．下列函数中，在区间（﹣1，1）上为减函数的是（ ） A．y＝
B．y＝cosx
C．y＝ln（x+1）
D．y＝2x
﹣
3．函数f（x）＝的定义域为（ ）
A．（0，2） B．（0，2] C．（2，+∞） D．[2，+∞）
4．已知函数f（x）满足f（﹣x）＝﹣f（x），且f（x+2）＝f（x），当0≤x≤1时，f（x）＝2x（1﹣x），则f（﹣）＝（ ） A．﹣
B．﹣
C．
D．
5．函数f（x）＝x2+2（a﹣1）x+2在区间（﹣∞，4]上是单调递减的，则实数a的取值范围是（ ） A．a≤﹣3
B．a≥﹣3
C．a≤5
D．a≥5
6．sin1、cos1、tan1的大小关系为（ ） A．sin1＞cos1＞tan1 C．tan1＞sin1＞cos1
B．sin1＞tan1＞cos1 D．tan1＞cos1＞sin1
7．已知sinα＝，且α为第二象限角，则tan（π﹣α）＝（ ） A．﹣
B．
C．±
•
D．﹣2
8．已知边长为2的正方形ABCD中，E为AD中点，连BE，则A．﹣2
B．﹣1
C．1
＝（ ） D．2
9．已知向量＝（1，2），＝（3，﹣4），则在上的投影为（ ） A．
B．﹣
C．1
D．﹣1
10．要得到函数y＝sin（3x﹣A．向右平移
个单位
）的图象，只需将函数y＝cos3x的图象（ ）
B．向左平移
个单位
C．向右平移个单位 D．向左平移个单位
11．若a＞1，b＞1，且lg（a+b）＝lga+lgb，则lg（a﹣1）+lg（b﹣1）的值（ ） A．等于1
B．等于lg2
C．等于0
D．不是常数
12．函数y＝ln|x﹣1|的图象与函数y＝﹣cosπx（﹣2≤x≤4）的图象所有交点的横坐标之和等于（ ） A．6
B．5
C．4
D．3
二、填空题（本大题共4小题，共20分） 13．已知2x＝7y＝196，则+＝ ．
14．已知三点A（1﹣a，﹣5），B（a，2a），C（0，﹣a）共线，则a＝ ． 15．某扇形的圆心角为2弧度，周长为4cm，则该扇形面积为 cm2． 16．已知
，且
，则sinxcosx＝ ．
三、解答题（本大题共6小题，共70分） 17．已知集合A＝{x|f（x）＝lg（x﹣1）+（1）若a＝，求A∪B；
（2）若A∩B＝∅，求实数a的取值范围． 18．若
．求：
}，集合B＝{y|y＝2x+a，x≤0}．
（1）的值；
（2）1﹣2sinαcosα+cos2α的值． 19．函数f（x）＝Asin（ωx﹣轴之间的距离为
．
）+1（A＞0，ω＞0）的最大值为3，其图象相邻两条对称
（1）求函数f（x）的解析式； （2）求函数y＝f（x）的单调增区间； （3）设α∈（0，
），则f（
）＝2，求α的值．
．
20．已知，，是同一平面内的三个向量，其中（1）若
，且
，求的坐标；
（2）若＝（1，m）（m＜0）且+2与﹣2垂直，求与的夹角θ． 21．已知f（x）＝sin（2x+
）．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）的最大值，并写出取最大值时自变量x的集合； （3）求函数f（x）在x∈[0，
]上的最值．
22．设函数f（x）＝ln（ax2+x+6）．
（1）若a＝﹣1，求f（x）的定义域，并讨论f（x）的单调性； （2）若函数f（x）的定义域为R，求a的取值范围．
参
一、选择题（本大题共12小题，共60分）
1．设集合A＝{1，2，3}，B＝{2，5}，则A∩B＝（ ） A．{2}
B．{2，3}
C．{3}
D．{1，3}
【分析】由A与B，找出两集合的交集即可． 【解答】解：∵A＝{1，2，3}，B＝{2，5}， ∴A∩B＝{2}． 故选：A．
2．下列函数中，在区间（﹣1，1）上为减函数的是（ ） A．y＝
B．y＝cosx
C．y＝ln（x+1）
D．y＝2x
﹣
【分析】根据函数单调性的定义，余弦函数单调性，以及指数函数的单调性便可判断每个选项函数在（﹣1，1）上的单调性，从而找出正确选项． 【解答】解：A．x增大时，﹣x减小，1﹣x减小，∴∴函数
增大；
在（﹣1，1）上为增函数，即该选项错误；
B．y＝cosx在（﹣1，1）上没有单调性，∴该选项错误；
C．x增大时，x+1增大，ln（x+1）增大，∴y＝ln（x+1）在（﹣1，1）上为增函数，即该选项错误； D.
；
∴根据指数函数单调性知，该函数在（﹣1，1）上为减函数，∴该选项正确． 故选：D． 3．函数f（x）＝
的定义域为（ ）
A．（0，2） 【分析】分析可知，
B．（0，2] C．（2，+∞）
，解出x即可．
D．[2，+∞）
【解答】解：由题意可得，，
解得，即x＞2．
∴所求定义域为（2，+∞）． 故选：C．
4．已知函数f（x）满足f（﹣x）＝﹣f（x），且f（x+2）＝f（x），当0≤x≤1时，f（x）＝2x（1﹣x），则f（﹣）＝（ ） A．﹣
B．﹣
C．
D．
【分析】根据题意，求出f（﹣）＝﹣f（）＝﹣f（）＝﹣．
【解答】解：∵函数f（x）满足f（﹣x）＝﹣f（x），∴f（﹣）＝﹣f（）； 又f（x+2）＝f（x），∴f（）＝f（）； 当0≤x≤1时，f（x）＝2x（1﹣x）， ∴f（）＝2×（1﹣）＝；
∴f（﹣）＝﹣f（）＝﹣f（）＝﹣． 故选：A．
5．函数f（x）＝x2+2（a﹣1）x+2在区间（﹣∞，4]上是单调递减的，则实数a的取值范围是（ ） A．a≤﹣3
B．a≥﹣3
C．a≤5
D．a≥5
【分析】若y＝x2+2（a﹣1）x+2在区间（﹣∞，4]上单调递减，则1﹣a≥4，解得答案． 【解答】解：函数y＝x2+2（a﹣1）x+2的图象是开口朝上，且以直线x＝1﹣a为对称轴的抛物线，
若y＝x2+2（a﹣1）x+2在区间（﹣∞，4]上单调递减， 则1﹣a≥4， 解得：a≤﹣3， 故选：A．
6．sin1、cos1、tan1的大小关系为（ ） A．sin1＞cos1＞tan1 C．tan1＞sin1＞cos1
B．sin1＞tan1＞cos1 D．tan1＞cos1＞sin1
【分析】在单位圆中，做出锐角1的正切线、正弦线、余弦线，观察他们的长度，可得sin1、cos1、tan1的大小关系．
【解答】解：在单位圆中，做出锐角1的正切线、正弦线、余弦线，观察他们的长度，发现正切线最长，余弦线最短， 故有 tan1＞sin1＞cos1＞0， 故选：C．
7．已知sinα＝，且α为第二象限角，则tan（π﹣α）＝（ ） A．﹣
B．
C．±
D．﹣2
【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系、诱导公式求得cosα和tanα的值，可得tan（π﹣α）的值．
【解答】解：∵sinα＝，且α为第二象限角，∴cosα＝﹣＝
＝﹣
，
）＝
，
＝﹣
，∴tanα
则tan（π﹣α）＝﹣tanα＝﹣（﹣故选：B．
8．已知边长为2的正方形ABCD中，E为AD中点，连BE，则A．﹣2
B．﹣1
C．1 ，从而便得到
•＝（ ） D．2
，这
【分析】可画出图形，据图可得出样进行数量积的运算即可． 【解答】解：如图，
＝
∴＝
；
＝0﹣1 ＝﹣1． 故选：B．
9．已知向量＝（1，2），＝（3，﹣4），则在上的投影为（ ） A．
B．﹣
C．1
D．﹣1
【分析】直接利用向量的数量积公式求解即可．
【解答】解：向量＝（1，2），＝（3，﹣4），则在上的投影为：1， 故选：D．
10．要得到函数y＝sin（3x﹣A．向右平移C．向右平移
个单位 个单位
）的图象，只需将函数y＝cos3x的图象（ ）
B．向左平移D．向左平移
个单位 个单位
＝
＝﹣
【分析】利用诱导公式，函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论． 【解答】解：函数y＝sin（3x﹣故将函数y＝cos3x的图象向右平移的图象， 故选：A．
11．若a＞1，b＞1，且lg（a+b）＝lga+lgb，则lg（a﹣1）+lg（b﹣1）的值（ ） A．等于1
B．等于lg2
C．等于0
D．不是常数
）＝cos[
﹣（3x﹣
）]＝cos（3x﹣
），
）
个单位，可得y＝cos（3x﹣）＝sin（3x﹣
【分析】由lg（a+b）＝lga+lgb，知lg（a+b）＝lg（ab）＝lga+lgb，所以a+b＝ab，由此能求出lg（a﹣1）+lg（b﹣1）的值． 【解答】解：∵lg（a+b）＝lga+lgb， ∴lg（a+b）＝lg（ab）＝lga+lgb， ∴a+b＝ab，∴lg（a﹣1）+lg（b﹣1） ＝lg[（a﹣1）×（b﹣1）] ＝lg（ab﹣a﹣b+1）
＝lg[ab﹣（a+b）+1]＝lg（ab﹣ab+1）
＝lg1 ＝0． 故选：C．
12．函数y＝ln|x﹣1|的图象与函数y＝﹣cosπx（﹣2≤x≤4）的图象所有交点的横坐标之和等于（ ） A．6
B．5
C．4
D．3
【分析】根据函数的性质对称函数y＝ln|x﹣1|的图象与函数y＝﹣cosπx（﹣2≤x≤4）的图象关于x＝1对称，
画出图象判断交点个数，利用对称性整体求解即可． 【解答】解：∵y＝ln|x|是偶函数，对称轴x＝0， ∴函数y＝ln|x﹣1|的图象的对称轴x＝1， ∵函数y＝﹣cosπx， ∴对称轴x＝k，k∈z，
∴函数y＝ln|x﹣1|的图象与函数y＝﹣cosπx（﹣2≤x≤4）的图象关于x＝1对称，
由图知，两个函数图象恰有6个交点，其横坐标分别为x1，x2，x3，与x1′，x2′，x3′， 可知：x1+x1′＝2，x2
＝2，x3
＝2，
∴所有交点的横坐标之和等于6 故选：A．
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
13．已知2x＝7y＝196，则+＝
．
【分析】化指数式为对数式，代入+后由对数的运算性质化简求值． 【解答】解：由2x＝7y＝196， 得x＝log2196，y＝log7196． ∴+＝
＝
故答案为：．
．
14．已知三点A（1﹣a，﹣5），B（a，2a），C（0，﹣a）共线，则a＝ 2 ． 【分析】根据题意，由点的坐标可得KAB、KBC的值，又由三点共线可得KAB＝KBC，即＝3，解可得a的值，即可得答案
【解答】解：根据题意，A（1﹣a，﹣5），B（a，2a），C（0，﹣a），则KAB＝＝
，KBC＝
＝3，
又由三点A（1﹣a，﹣5），B（a，2a），C（0，﹣a）共线， 则有KAB＝KBC，即故答案为：2．
15．某扇形的圆心角为2弧度，周长为4cm，则该扇形面积为 1 cm2． 【分析】g根据扇形的周长求出半径r，再根据扇形的面积公式计算即可． 【解答】解：设该扇形的半径为r， 根据题意，有l＝αr+2r 4＝2r+2r r＝1
S扇形＝αr2＝×2×12＝1． 故答案为：1． 16．已知
，且
，则sinxcosx＝
．
＝3，解可得a＝2；
【分析】利用已知条件，结合同角三角函数的平方关系式，即可得解．
【解答】解：∵，且
， ．
，
∴两边平方可得：1﹣2sinxcosx＝∴解得：sinxcosx＝（1﹣故答案为：
．
）＝
三、解答题（本大题共6小题，共70分） 17．已知集合A＝{x|f（x）＝lg（x﹣1）+（1）若a＝，求A∪B；
（2）若A∩B＝∅，求实数a的取值范围．
【分析】（1）化简集合A，B，再由并集的含义即可得到；
（2）运用指数函数的单调性求出集合B，由A∩B＝∅，可得a 的范围． 【解答】解：（1）由f（x）＝lg（x﹣1）+解得1＜x≤2，故A＝{x|1＜x≤2}；…
若a＝，则y＝2x+，当x≤0时，0＜2x≤1，＜2x+≤，
故B＝{y|＜y≤}； … 所以A∪B＝{x|1＜x≤}． … （2）当x≤0时，0＜2x≤1，a＜2x+a≤a+1，故B＝{y|a＜y≤a+1}，… 因为A∩B＝∅，A＝{x|1＜x≤2}，所以a≥2或a+1≤1，… 即a≥2或a≤0，
所以实数a的取值范围为a≥2或a≤0． … 18．若
．求：
可得，x﹣1＞0且2﹣x≥0， }，集合B＝{y|y＝2x+a，x≤0}．
（1）的值；
（2）1﹣2sinαcosα+cos2α的值．
【分析】由题意利用诱导公式求得tanα的值，再利用同角三角函数的基本关系，求要求式子的值．
【解答】解：∵＝
＝cotα， ∴tanα＝2， ∴（1）
＝
＝
＝﹣，
（2）1﹣2sinαcosα+cos2α＝＝
＝＝．
）+1（A＞0，ω＞0）的最大值为3，其图象相邻两条对称
19．函数f（x）＝Asin（ωx﹣轴之间的距离为
．
（1）求函数f（x）的解析式； （2）求函数y＝f（x）的单调增区间； （3）设α∈（0，
），则f（
）＝2，求α的值．
【分析】（1）通过函数的最大值求出A，通过对称轴求出周期，求出ω，得到函数的解析式； （2）令2kπ﹣（3）通过f（
≤
≤2kπ+
，k∈z，求得x的范围，可得函数的单调增区间；
）＝，通过α的范围，求出α的值．
）＝2，求出sin（α﹣
【解答】解：（1）∵函数f（x）的最大值为3， ∴A+1＝3，即A＝2．…
∵函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为∴最小正周期T＝π，∴ω＝2．… 故函数f（x）的解析式为y＝2sin（2x﹣（2）由∴
．…
k∈Z；…
）+1；… ，…得
，
，
∴函数f（x）的单调增区间：
（3）∵f（∵0＜α＜∴α﹣
＝
）＝2sin（α﹣，∴﹣
＜α﹣
）+1＝2，即sin（α﹣＜
，…
）＝，…
，故α＝．…
．
20．已知，，是同一平面内的三个向量，其中（1）若
，且
，求的坐标；
（2）若＝（1，m）（m＜0）且+2与﹣2垂直，求与的夹角θ． 【分析】（1）设＝（t，2t），则（2）求出
＝（3，2+2m），
＝2
，由此能求出．
＝（﹣1，2﹣2m），由+2与﹣2垂直，求出
＝（1，﹣），由此能求出与的夹角θ． 【解答】解：（1）∵且∥，
∴设＝（t，2t），则
＝2
，解得t＝±2，
是同一平面内的三个向量，其中＝（1，2），||＝2
，
∴＝（2，4）或＝（﹣2，﹣4）． （2）
＝（3，2+2m），
＝（﹣1，2﹣2m），
∵+2与﹣2垂直， ∴（+2）（﹣2）＝•1﹣4m2＝0，
＝5﹣4﹣4m2＝0，
∵m＜0，∴m＝﹣，即＝（1，﹣），cosθ＝＝＝0，
∴与的夹角θ＝．
）．
21．已知f（x）＝sin（2x+
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）的最大值，并写出取最大值时自变量x的集合；
（3）求函数f（x）在x∈[0，【分析】（1）直接求出周期； （2）当2x+（3）把x∈[0，
＝2kπ+
]上的最值．
时，反解出x，取到最大值求出即可；
∈[
]，根据正弦函数的性质f（x）∈[﹣，]，
]时，2x+
得到最大值和最小值． 【解答】解：（1）周期为T＝（2）当2x+（3）x∈[0，当x＝
＝2kπ+]时，2x+
；
，k∈Z}，f（x）取到最大值；
，即x∈{x|x＝kπ+∈[
]，根据正弦函数的性质f（x）∈[﹣，]， ，当x＝
时，f（x）取到最大值．
时，f（x）取到最小值
22．设函数f（x）＝ln（ax2+x+6）．
（1）若a＝﹣1，求f（x）的定义域，并讨论f（x）的单调性； （2）若函数f（x）的定义域为R，求a的取值范围．
【分析】（1）a＝﹣1时函数f（x）是对数函数，其真数大于0，列不等式求出x的取值范围；
再根据复合函数的单调性判断f（x）的单调性；
（2）根据题意得出不等式ax2+x+6＞0恒成立，利用判别式得出a的取值范围． 【解答】解：（1）a＝﹣1时，函数f（x）＝ln（﹣x2+x+6）， 令t＝﹣x2+x+6＞0，解得﹣2＜x＜3， 所以f（x）的定义域是（﹣2，3）；
当﹣2＜x＜时，二次函数t＝﹣x2+x+6单调递增，则f（x）也单调递增； 当≤x＜3时，二次函数t＝﹣x2+x+6单调递减，则f（x）也单调递减； （2）若函数f（x）的定义域为R，则ax2+x+6＞0恒成立， 即
，解得a＞
，
所以a的取值范围是a＞．
