7.4 二项分布与超几何分布(精讲)高二数学(人教A版2019选择性必修第三册)

思维导图

常见考法 1 / 14

考法一 二项分布

【例1】（2020·全国高二课时练习）高尔顿(钉)板是在一块竖起的木板上钉上一排排互相平行､水平间隔相等的圆柱形铁钉(如图)，并且每一排铁钉数目都比上一排多一个，一排中各个铁钉恰好对准上面一排两相邻铁钉的正.从入口处放入一个直径略小于两颗铁钉间隔的小球，当小球从两钉之间的间隙下落时，由于碰到下一排铁钉，它将以相等的可能性向左或向右落下，接着小球再通过两铁钉的间隙，又碰到下一排铁钉.如此继续下去，在最底层的5个出口处各放置一个容器接住小球.

（1）理论上，小球落入4号容器的概率是多少？

（2）一数学兴趣小组取3个小球进行试验，设其中落入4号容器的小球的个数为X，求X的分布列. 【答案】（1）

1；（2）分布列答案见解析. 4【解析】（1）记“小球落入4号容器”为事件A，

若要小球落入4号容器，则需要在通过的四层中有三层向右，一层向左，

11. ∴理论上，小球落入4号容器的概率P(A)C3424（2）落入4号容器的小球的个数X的所有可能取值为0，1，2，3，

41270， P(X0)C3141127， P(X1)C11344 2 / 14

23

9121， P(X2)C314411， P(X3)C433321X的分布列为

X P 0 1 2 3 27 27 9 1 【一隅三反】

1．（2020·重庆市第七中学校高二月考）若随机变量X～B4,，则E2X1（ ） A．2 【答案】D

【解析】因为X～B4,，所以EX4B．3

C．4

D．5

121212，所以E2X12EX15.故选：D. 21B20,，若使P(Xk)的值最大，则k等于

32．（多选）（2020·全国高二单元测试）已知随机变量X（ ） A．5 【答案】BC

B．6

C．7

D．8

12CPXk133【解析】令k20kPXk12kC2033k120k120k120k1，得k6，

2k2即当k6时，P(Xk1)P(Xk)； 当k6时，P(X7)P(X6)； 当k6时，P(Xk1)P(Xk)， 所以P(X6)和P(X7)的值最大. 故选：BC.

3 / 14

3．（2020·江苏淮安市·淮阴中学高二期末）江苏实行的“新高考方案：312”模式，其中统考科目：“3”指语文、数学、外语三门，不分文理：学生根据高校的要求，结合自身特长兴趣，“1”指首先在在物理、历史2门科目中选择一门；“2”指再从思想政治、地理、化学、生物4门科目中选择2门某校，根据统计选物理的学生占整个学生的

32；并且在选物理的条件下，选择地理的概率为；在选历史的条件下，

43选地理的概率为

45． （1）求该校最终选地理的学生概率；

（2）该校甲、乙、丙三人选地理的人数设为随机变量X． ①求随机变量X2的概率； ②求X的概率分布列以及数学期望． 【答案】（1）

710；（2）①441211000；②分布列见解析，EX10. 【解析】（1）该校最终选地理的学生为事件A，PA34214734510； 因此，该校最终选地理的学生为710； （2）①由题意可知，XB3,7，所以，PX2C272344110310101000； 3②由于XB3,710，则PX0310271000， PX1C1371321210，101000PX2C273441310101000， 3PX3C373433， 101000所以，随机变量X的分布列如下表所示：

X 0 1 2 3 P 2714413431000 1000 1000 1000 EX37102110．

4 / 14

4．（2020·陕西渭南市）已知某植物种子每粒成功发芽的概率都为

1，某植物研究所分三个小组分别3进行该种子的发芽试验，每次试验种一粒种子，每次试验结果相互.假设某次试验种子发芽，则称该次试验是成功的，如果种子没有发芽，则称该次试验是失败的. （1）第一小组做了四次试验，求该小组恰有两次失败的概率；

（2）第二小组做了四次试验，设试验成功与失败的次数的差的绝对值为X，求X的分布列及数学期望. 【答案】（1）

8148；（2）答案见解析；. 2781【解析】（1）记“该小组有两次失败”为事件A，

248212P(A)C4. 338127（2）由题意可知X的可能取值为0，2，4.

22812， P(X0)C33272411P(X2)C43122328402312C， 48181333433116117241P(X4)CC4. 818133044故X的分布列为：

X P 0 2 4 8 2740 8117 81E(X)08401714824. 27818181考点二 超几何分布

【例2】（2020·全国高二单元测试）现对某高校16名篮球运动员在多次训练比赛中的得分进行统计，将每位运动员的平均成绩所得数据用频率分布直方图表示如下．(如：落在区间[10，15)内的频率/组距为0.0125)规定分数在[10，20)，[20，30)，[30，40)上的运动员分别为三级篮球运动员、二级篮球运动员、一级篮球运动员，现从这批篮球运动员中利用分层抽样的方法选出16名运动员作为该高校的篮球运动员代表．

5 / 14

（1）求a的值和选出篮球运动员代表中一级运动员的人数；

（2）若从篮球运动员代表中选出三人，求其中含有一级运动员人数X的分布列； （3）若从该校篮球运动员中有放回地选三人，求其中含有一级运动员人数Y的期望． 【答案】（1）a＝0.0250，4人；（2）答案见解析；（3）

3. 4【解析】（1）由频率分布直方图知：(0.0625＋0.0500＋0.0375＋a＋2×0.0125)×5＝1，∴a＝0.0250. 其中为一级运动员的概率为(0.012 5＋0.037 5)×5＝0.25， ∴选出篮球运动员代表中一级运动员为0.25×16＝4人． （2）由已知可得X的可能取值分别为0，1，2，3，

3C1211P(X＝0)＝3＝，

C162821C12C433P(X＝1)＝＝， 3C167012C192C4P(X＝2)＝＝， 3C16703C41P(X＝3)＝3＝，

C16140∴X的分布列为

X 0 1 2 3 P 191133 70140287014 （3）由已知得Y～B(3,)，

∴E(Y)＝np＝3×

13＝， 44 6 / 14

∴含有一级运动员人数Y的期望为【一隅三反】

3. 41．（2020·全国高二课时练习）新冠肺炎疫情期间，为了更有效地进行防控，各地学校都发出延期开学的通知.很多学校及老师为响应各地教育行政部门实行“停课不停学”的号召，让学生们在家通过收看网络直播的方式进行学习，已知高一某班共有学生21人，其中男生12人，女生9人.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，测试他们对网络课程学习的效果，效果分为优秀和不优秀两种，优秀得2分，不优秀得1分. （1）应抽取男生､女生各多少人？

（2）若抽取的7人中，4人的测试效果为优秀，3人为不优秀，现从这7人中随机抽取3人. （i）用X表示抽取的3人的得分之和，求随机变量x的分布列及数学期望；

（ii）设事件A为“抽取的3人中，既有测试效果为优秀的，也有为不优秀的”，求事件A发生的概率. 【答案】（1）4人；（2）（i）分布列答案见解析，数学期望：

633；（ii）.

77【解析】（1）因为采用分层抽样的方法进行抽样，所以应抽取女生7（2）（i）随机变量X的所有可能取值为3，4，5，6.

0312C4C3C4C3121P(X3)P(X4)， ， 33C735C7352130C4C318C4C34P(X5)3，P(X6)， 3C735C7359123人，抽取男生74人. 2121所以随机变量X的分布列为

X P 3 4 5 6 1 3512 3518 354 35数学期望E(X)311218416533456. 3535353535712186， 35357（ii）由（i）知P(A)P(X4)P(X5)故事件A发生的概率为

6. 72．（2020·绵阳市·四川省绵阳江油中学）某校五四青年艺术节选拔主持人，现有来自高一年级参赛选手4名，其中男生2名;高二年级参赛选手4名，其中男生3名.从这8名参赛选手中随机选择4人组成搭档参

7 / 14

赛.

（Ⅰ）设A为事件“选出的4人中恰有2名男生，且这2名男生来自同一个年级”，求事件A发生的概率; （Ⅱ）设X为选出的4人中男生的人数，求随机变量X的分布列和数学期望. 【答案】（Ⅰ）

65（Ⅱ）分布列见解析，数学期望

23522C2C3C32C3266【解析】（Ⅰ）由已知有PA，所以事件A发生的概率为.

C843535C5kC34k（Ⅱ）随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4，PXkk1,2,3,4 4C8所以随机变量X的分布列为

X P 1 1 142 3 73 3 74 1 14所以随机变量X的数学期望EX113315234. 14771423．（2021·北京东城区）为了解学生自主学习期间完成数学套卷的情况，一名教师对某班级的所有学生进行了调查，调查结果如下表.

（1）从这班学生中任选一名男生，一名女生，求这两名学生完成套卷数之和为4的概率？

（2）若从完成套卷数不少于4套的学生中任选4人，设选到的男学生人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望；

（3）试判断男学生完成套卷数的方差s1与女学生完成套卷数的方差s2的大小（只需写出结论）. 【答案】（1）

22722（2）详见解析（3）s1s2 96【解析】（1）设事件A：从这个班级的学生中随机选取一名男生,一名女生,这两名学生完成套卷数之和为4,

8 / 14

由题意可知,PA13417.

126（2）完成套卷数不少于4本的学生共8人,其中男学生人数为4人,故X的取值为0,1,2,3,4.

4C41由题意可得PX04；

C87013C4C168PX144；

C8703522C4C43618PX2；

C84703531C4C168PX344；

C870354C41PX44.

C870所以随机变量X的分布列为

X 0 1 2 3 4 P 1 708 3518 358 351 70随机变量X的均值EX0(3)s1s2.

221163616112342. 7070707070考点三 二项分布与超几何分布综合运用

【例3】（2020·浙江台州市·高二期中）2020年五一期间，银泰百货举办了一次有奖促销活动，消费每超过600元(含600元)，均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种.方案一：从装有10个形状､大小完全相同的小球(其中红球2个，白球1个，黑球7个)的抽奖盒中，一次性摸出3个球其中奖规则为：若摸到2个红球和1个白球，享受免单优惠；若摸出2个红球和1个黑球则打5折；若摸出1个白球2个黑球，则打7折；其余情况不打折.方案二：从装有10个形状､大小完全相同的小球(其中红球3个，黑球7个)的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减200元.

（1）若两个顾客均分别消费了600元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率； （2）若某顾客消费恰好满1000元，试从概率角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？

9 / 14

【答案】（1）

1；（2）选择第二种方案更合算.

14400【解析】（1）选择方案一若享受到免单优惠，则需要摸出三个红球，

21C2C11设顾客享受到免单优惠为事件A，则PA， 3C10120所以两位顾客均享受到免单的概率为PPAPA1；

14400（2）若选择方案一，设付款金额为X元，则X可能的取值为0、500、700、1000.

2121C2C7C2C117PX03，PX500， 3C10120C1012012C1C717791PX70037，PX10001.

C104012012040120故X的分布列为，

X 0 500 7 120700 7 401000 91 120P 1 120所以EX0177915007001000910（元）. 12012040120若选择方案二，设摸到红球的个数为Y，付款金额为Z，则Z1000200Y， 由已知可得Y~B3,393EY3，故， 101010所以EZE1000200Y1000200EY820（元）. 因为EXEZ，所以该顾客选择第二种抽奖方案更合算.

【一隅三反】

1．（2020·辽宁大连市）学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．（每次游戏结束后将球放回原箱） （1）求在1次游戏中，①摸出3个白球的概率；②获奖的概率；

10 / 14

（2）求在4次游戏中获奖次数X的分布列及数学期望E(X). 【答案】（1）①

15，②710；（2）分布列见解析，145. 【解析】（1）设“在1次游戏中摸出i个白球”为事件Ai(i0,1,2,3),

①P(AC2C13213)C2·2. 5C35②设“在1次游戏中获奖”为事件B，则BA2A3，

又P(AC2211132)C2·C2C3C2·C2122C2,且A2，A3互斥， 5C3C532所以P(B)P(A2)P(A173)12510.

（2）由题意可知X的所有可能取值为0，1，2，3，4， 由（1）P(B)7310，P(B)1P(B)10， P(X0)P(B)44381， 1010000P(X1)C1373314P(B)P(B)410， 10250022P(X2)C2P(B)224P(B)6731323 101050003P(X3)C3P(B)37310294P(B)4

101025004P(X4)P(B)472401 1010000所以X的分布列是

X 0 1 2 3 4 P 81113231029240110000 2500 5000 2500 10000

11 / 14

显然X~B4， ，所以X的数学期望E(X)=4710714． 1052．（2020·广东云浮市）甲、乙去某公司应聘面试.该公司的面试方案为:应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照答对题目的个数为标准进行筛选.已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是

2，且每题正确完成与否互不影响. 3(1)分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列，并计算其数学期望; (2)请分析比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性较大?

【答案】(1) 甲、乙的分布列见解析；甲的数学期望2、乙的数学期望2； (2)甲通过面试的概率较大． 【解析】（1）设X为甲正确完成面试题的数量，Y为乙正确完成面试题的数量， 依题意可得：X~H(6,3,4)，

122130C4C21C4C23C4C21P(X2)P(X3)∴P(X1)，，， 333C65C65C65∴X的分布列为：

X P ∴EX11 2 3 1 5131232． 5553 51 52Y~B3,，

3102112∴P(Y0)C3，P(Y1)C3332732123031621， 2793302821124，321， P(Y2)CP(Y3)C3273327933∴Y的分布列为：

Y P ∴EY00 1 2 92 3 1 274 98 2712481232． 279927 12 / 14

（2）DX1312(12)2(22)2(32)2， 5555212DYnp(1p)3，

333∵DXDY，

∴甲发挥的稳定性更强，则甲通过面试的概率较大．

3．（2021·哈尔滨市）一批产品共10件，其中3件是不合格品，用下列两种不同方式从中随机抽取2件产品检验：

方法一：一次性随机抽取2件；

方法二：先随机抽取1件，放回后再随机抽取1件.

记方法一抽取的不合格产品数为1.记方法二抽取的不合格产品数为2. （1）求两种抽取方式下1，2的概率分布列；

（2）比较两种抽取方式抽到的不合格品平均数的大小？并说明理由. 【答案】（1）1，2的分布列见解析；（2）平均数相等，理由见解析.

【解析】（1）方法一中随机变量1可取的值为0，1，2，且1服从超几何分布，

0211C3C7C3C777P1于是P10；； 122C1015C10150C32C71P12； 2C1015因此1的频率分布可表示为下表：

1 P 0 1 2 7 157 151 15方法二中随机变量2可取的值为0，1，2，且2服从二项分布，

3于是P20C100223P22C2102072149713；P21C2； 10105010100027； 10 13 / 14

因此2的频率分布可表示为下表：

2 0 1 2 P 49219100 50 100 （2）由（1）知，方法一中71的数学期望为E10151713152155， 方法二中32的数学期望为E221035， 所以两种方式抽到的不合格品平均数相等.

14 / 14