第19卷第4期2010年8月
测绘工程
ENGINEERINGOFSURVEYINGANDMAPPING
Vol.19l.4Aug.,2010
坐标系转换参数初值快速计算的新方法
许文学1,王保丰2,羊远新1,李
锋1
(1.空军工程设计研究局,北京100068;2.北京航天飞行控制中心,北京100094)
摘
要:在已知不共线3点在两坐标系下坐标的条件下,提出一种快速计算两坐标系间转换参数概略值的方法。通
过已知的3点构造出一个新的坐标系,根据该坐标系可计算出待求的两坐标系分别与它的旋转参数,从而求得待求两坐标系间的旋转参数。再根据旋转参数计算出平移参数的概略值。通过实验验证方法的正确性。关键词:坐标系;公共点转换;平移参数;旋转参数中图分类号:P22
文献标志码:A
文章编号:100627949(2010)0420004204
Anewarithmeticforthetransformation
approximationofcoordinatesystems
XUWen2xue1,WANGBao2feng2,YANGYuan2xin1,LIfeng1
(1.AirForceEngineeringDesign&ResearchInstitute,Beijing100068,China;2.BeijingAerospaceControlCenter,Beijing100094,China)
Abstract:Inthispaper,onemethodwasproposedtocalculatetransformationparameter.sapproximationoftwoco2ordinatesystemsundertheconditionofthatthreepointswereoffered.Firstly,itconstructsonenewcoordinatesystemwiththethreepoints,whichisusedtocalculatetherotationparametersbetweenthenewandthetwoknowncoordinatesystemsrespectively.Wecangaintheapproximationofrotationparametersbetweentwoknowncoordinatesystems.Thenwecancalculatetranslationparametersbetweentwoknowncoordinatesystemsbyrota2tionparameters.Finallywemakeanexperimenttotestifytheveracityofthemethodinthepaper.
Keywords:coordinatesystem;commonpointtransformation;translationparameter;rotationparameter
在测量过程中,通常存在多个坐标系,为了研究被测物的形状、大小、位置、姿态、变形等等,往往需要将测量数据转换到同一坐标系下进行分析,因此,精确求取坐标系间转换参数十分重要。在转换参数求解方法中,公共点转换法是其中较常用的方法。公共点转换法求解转换参数的过程是一个非线性方程线性化迭代求解的过程。计算时需要对转换参数赋初值,转换参数初值的好坏直接影响迭代计算是否收敛,以及计算结果的精度。基于此,本文对公共点转换法转换参数的求解展开研究,提出了一种利用已知不共线的3点在两坐标系下的坐标求解转换参数概略值的方法,试验证明该方法速度快、精度高。
因此,有
x
y=z
r11r21r31
r12r22r32
r13r23r33
xcyc或zc
标系平移和缩放实现的。如图1所示,OXYZ和OXcYcZc为两个坐标原点相同的右手坐标系,任意一点P在这两个坐标系的坐标分别为(x,y,z)、(xc,yc,zc)。设Xc、Yc、Zc轴在OXYZ坐标系中的方向余弦为[1]
Xc:r11,r21,r31Yc:r12,r22,r32Zc:r13,r23,r33
显然,X、Y、Z轴在OXcYcZc坐标系中的方向余弦为
X:r11,r12,r13
Y:r21,r22,r23Z:r31,r32,r33
1
1.1
原理
空间坐标转换
空间坐标转换实际上是通过3个基本旋转、坐
收稿日期:2009209216
作者简介:许文学(1980-),男,工程师,硕士.
第4期许文学,等:坐标系转换参数初值快速计算的新方法
#5#
坐标系进行平移和缩放形成新的坐标系OcXcYcZc,它的原点在OXYZ坐标系中的坐标为(X0,Y0,Z0),任意一点P在坐标系OcXcYcZc坐标为(Xd,Yd,Zd),则
x-X0y-Y0z-Z0xd
图1
坐标系统转换示意图
xd
=k@R@yd或
zdx-X0
(3)
xcyc=zc
写成矩阵形式为
x
xc
r11r12r13
r21r22r23
r31r32r33xc
xy.z
x
T
yd
zd
(1)
T
=1/k@R@y-Y0.
z-Z0
式中k为两坐标系间的尺度因子。
式(3)是同时考虑两坐标系间进行平移、旋转和缩放情况下的关系式。由Kardan旋转可知,坐标系OcXcYcZc可以由坐标系OXYZ平移到(X0,Y0,
y=Ryc
zzc
或
yc=R
zcy.z
(2)
Z0),然后将其依次绕X、Y、Z轴旋转X、J、U角度而得到,旋转矩阵
[224]
R称为旋转矩阵,很显然Rcos为正交阵。将JcosUOXcYcZccosJsinU-sinJ
R=-sinXsinJcosU-cosXsinU-sinXsinJsinU+cosXcosU-sinXcosJ.
cosAsinJcosU-sinXsinU
cosAsinJsinU+sinXcosU
表示形式为
向量P1P4为
1/SP1P2@[(x2-x1)i+(y2-y1)j+(z2-z1)k].
记作
a1i+b1j+c1k.
其中:SP1P2为P1到P2的距离。
cosXcosJ
两坐标系间的转换参数求解就是计算3个旋转
参数X、J、U,3个平移参数(X0,Y0,Z0)和尺度因子k。转换参数概略值的计算也就是解算X、J、U、X0、Y0、Z0和k七个参数的概略值。1.2
间接计算法
已知3点P1、P2、P3在坐标系OXYZ和OcXc
(4)
(6)
i,yi,zi),i=1,2,YcZc的坐标分别为(xi,yi,zi)、(xddd3。
1.2.1尺度因子k的概略值计算
尺度因子主要是由于两坐标系采用不同的长度基准造成的,或者被测物体热胀冷缩等因素引起的。如果两坐标系的长度基准相同,通常将尺度因子k固定为1,否则可由下式计算得到k的概略值。
12+Sd13+Sd23)k=(S12+S13+S23)/(Sd
Sij=Sdij=
(xi-xj)+(yi-yj)+(zi-zj)
2
2
222
.
2
图2构造坐标系
(xdi-xdj)+(ydi-ydj)+(zdi-zdj)
[5]
由P1P2与矢量P1P3叉乘得到与P1P6向量同方向的一个矢量
y2-y1y3-y1
z2-z1z3-z1
i+
z2-z1z3-z1y2-y1y3-y1
k.x2-x1x3-x1
j+
(5)
1.2.2旋转参数计算
由点P1、P2、P33点构造出1个新的坐标系P1XdYdZd,如图2所示,P1为坐标系原点,P1指向P2为Xd轴正方向,由矢量P1P2与矢量P1P3叉乘得到Zd轴正方向,由Xd轴和Zd轴正方向矢量叉乘得到Yd轴正方向。在P1XdYdZd的Xd、Yd和Zd轴上选取3点P4、P5、P6,使得P1到3点的距离均为1。向量P1P4、P1P5和P1P6在OXYZ坐标系中的矢量
x2-x1x3-x1
记作
a2i+b2j+c2k.
a2
i+22
a22+b2+c2
b2
j+22
a22+b2+c2
单位化得到向量P1P6的表达式为
#6#
c2
k,222
a2+b2+c2
记作
2j+c2k.ac2i+bcc
测绘工程第19卷
2
(7)
实验
为了验证上述算法的正确性,编制了程序并在实验室进行了一组实验。如图3所示,在实验室的控制架上布设了36个标志,利用两台T3000构成
的经纬仪测量系统和V-Stars数字摄影测量系统,分别对控制架上36个点进行了坐标测量,得到了在经纬仪测量系统坐标系和摄影测量坐标系下两组坐标,点位中误差均小于0.1mm。利用Axyz商用软件对36个点进行公共点转换,尺度因子固定为1,精确计算出两坐标系的转换参数,将其作为真值,结果如表1所示。然后,选取36个点中不共线的3点,共计6组,利用本文所提出的算法对转换参数进行了概算,并与精确计算出的结果进行比较,比较结果如表2所示。
[4,8]
由单位向量P1P6与矢量P1P4叉乘得到P1P5向量,表达式为
bc2b1
记作形式分别为
i+0j+0k,0i+j+0k,
0i+0j+k.
3轴在OXYZ坐标系中的方向余弦为
Xda1b1c1
Ydac2Zda3
a1
ROP1=
b1c1
bc2b3
ac2bc2cc2
cc2c3
a3b3.c3
(11)(10)(9)
cc2c1
i+
cc2c1
ac2a1
j+
ac2a1
bc2b1
k.
(8)
a3i+b3j+c3k.
向量P1P4、P1P5和P1P6在P1XdYdZd中的矢量表示
由式(6)、(7)、(8)和(9)可知,坐标系P1XdYdZd
坐标系P1XdYdZd与OXYZ坐标系间的旋转矩阵
同理,将P1、P2、P33点在OcXcYcZc坐标系下的逐步带入式(10)可以得到OcXcYcZc与OXYZ坐标系间的旋转矩阵ROcP1。由ROP1和ROcP1可计算出
OXYZ和OcXcYcZc坐标系间转换矩阵R,表达式为
1
R=ROP1@R-OcP.1
[4]
(12)
图3表1
X0/mm1313.74
Y0/mm295.00
实验示意
由式(4)可以计算得到旋转参数X、J、<。1.2.3确定平移量(X0,Y0,Z0)的初值
在已知旋转矩阵的条件下,可以很方便地确定
平移参数,采用任一控制点Pi的坐标,对式(3)进行变换得到平移参数初值,表达式为
X0Y0=Z0
XiZi
Xdi
(13)
Zdi
由表2可以看出,本文所采用方法计算的概略值中平移参数误差小于0.5mm,旋转参数的概略值与精确值的差值小于0.1b,该方法能够为公共点
转换参数概略值与精确值的比较结果
转换参数
X0/mm
123456
0.091-0.0460.2830.0030.0120.070
Y0/mm-0.026-0.004-0.033-0.007-0.023-0.002
Z0/mm-0.0480.029-0.156-0.003-0.011-0.038
w/(b)-0.023-0.016-0.034-0.018-0.019-0.023
k/(b)-0.018-0.018-0.018-0.018-0.018-0.018
7/(b)0.0010.005-0.0070.0050.0050.001
转换参数精确值
Z0/mm
w/(b)158.45
k/(b)-57.97
7/(b)253.99
-606.87
Yi-k@R@Ydi.
转换提供很好的初值。
表2
差值
摄
站
第4期许文学,等:坐标系转换参数初值快速计算的新方法
技大学出版社,1996:96297.
#7#
3结论
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本文推导了一种算法来计算两坐标系间转换参数的概略值,该方法只需已知不共线3点的坐标,所需条件简单,易于满足。本文算法具有简单、直观、
易理解和初值求解准确、快速等优点,并通过实验验证了该算法的正确性。
参考文献
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[责任编辑:刘文霞]
(上接第3页)
表1
信息集Xa
具有i特征的广西县市及相关信息集
具有i特征的县市
性,本文的论述具有理论上的价值和实用上的意义。
参考文献
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南宁、钟山、陆川、兴业、北海、合浦、桂林、柳州、贵港、梧州、钦州、玉林
南宁、钟山、陆川、兴业、北海、桂林、柳州、贵港、梧州、钦州、玉林、防城、北流
南宁、钟山、陆川、兴业、北海、桂林、柳州、贵港、梧州、钦州、玉林合浦防城、北流
南宁、钟山、陆川、兴业、北海、桂林、柳州、贵港、梧州、钦州、玉林、防城、北流
Xb
QeiDeiZeiNei
4结束语
地物在时空中的演化是不可抗拒的自然规律,
这种变化体现为以地物位置e和属性i的变化为特征的状态变化。据此给出了现势地物、消失地物和新生地物的定义。地图数据库是自动化制图的物质基础,为了确保数据的现势性,必须及时地经常更新地图数据库。本文推出了数据库在t2时刻检测得到的现势信息集Qei,删除信息集Dei和增补信息集Zecic的定义,给出了地图数据更新的数学模型,并以广西具有i特征的县市在t1和t2时刻的变化为例来说明。由于地物演化和地图数据库更新的普遍
[责任编辑:张德福]
