第１２期 机械设计与制造 ２０１６年ｌ２月 Ｍａｃｈｉｎｅｒｙ Ｄｅｓｉｇｎ＆Ｍａｎｕｆａｃｔｕｒｅ ２１ 航空发动机质量特性参数建模与分析 田大可 ，金路 ，张德志 ，刘旭阳 （１．中航工业沈阳发动机设计研究所，辽宁沈阳１１００１５； ２．沈阳建筑大学土木工程学院，辽宁沈阳１１０１６８） 摘要：为准确掌握航空发动机整机质量特性，基于齐次坐标变换方法，建立了一种发动机整机质量特性参数的数学模 型。根据合力之矩定理，建立了发动机整机质量特性参数的基础理论模型，分析了影响整机质心计算精度的特征参数；采 用机器人学中的齐次坐标变换方法，建立了任意局部坐标系下零部件质心的空间几何模型，建立了局部坐标系相对于主 坐标系的变换矩阵，从而建立了精确的零部件质心数学模型。采用算例对模型进行了验证与分析，分析结果表明：该数学 模型能够精确的计算发动机各零部件质心参数，模型简单，计算精度高。 关键词：航空发动机；质量特性；质量；质心；齐次坐标变换 中图分类号：ＴＨ１６；Ｖ２３１．３ 文献标识码：Ａ 文章编号：１００１—３９９７（２０１６）１２—００２１—０３ Ｍｏｄｅｌｉｎｇ ａｎｄ Ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ Ｍａｓｓ Ｐｒｏｐｅｒｔｙ Ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ ｆｏｒ Ａｅｒｏ－Ｅｎｇｉｎｅ ＴＩＡＮ Ｄａ－ｋｅ ，ＪＩＮ Ｌｕ ，ＺＨＡＮＧ Ｄｅ－ｚｈｉ’，ＬＩＵ Ｘｕ－ｙａｎｇ （１．ＡＶＩＣ Ｓｈｅｎｙａｎｇ Ｅｎｇｉｎｅ Ｄｅｓｉｇｎ ａｎｄ Ｒｅｓｅａｒｃｈ Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ，Ｌｉａｏｎｉｎｇ Ｓｈｅｎｙａｎｇ １１００１５，Ｃｈｉｎａ； ２．Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｃｉｖｉｌ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｓｈｅｎｙａｎｇ Ｊｉａｎｚｈｕ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｌｉａｏｎｉｎｇ Ｓｈｅｎｙａｎｇ １ １０１６８，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｏ ｍａｓｔｅｒ ｔｈｅ ｉｎ＇ｚｌａｓ ｐｒｏｐｅａｙ ｏｆ伽ｒ０－ｅｎｇｉｎｅ ｅｘａｃｔｌｙ．ｂａｓｅｄ Ｏｎ ｔｈｅ ｍｅｔｈｏｄ ｏｆ ｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓ ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ，ｎ ｍｏｄｅｌ ｆｏｍｇｌｓｓ ｐｒｏｐｅｒｔｙｐａｒａｍｅｔｅｒｓｆｏｒ ａｅｒｏ－ｅｎｇｉｎｅ ｉｓ ｅｓｔａｂｌｓｉｈｅｄ．Ａｃｃｏｒｄｉｎｇｔｏ ｔｈｅ ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ ｏｆｍｏｍｅｎｔｓ，口 ｂａｓｉｃ ｔｈｅｏｒｙ ｏｍｄｅｌ ｆｏｌｌ＇ｔＯ．ＳＳ ｐｒｏｐｅａｙｐａｒａｍｅｔｅｒｓｆｏｒ ａｅｌ＇ｏ－ｅｎｇｉｅｎ ｓｉ ｅｓｔｂａｌｓｉｈｅｄ．Ｐｒｏｐｅｒｔｙｐａｒａｍｅｔｅｒｓ ｒａｅ ａｎａｌｙｚｅｄ．Ｂｙ ｕｓｉｎｇｔｈｅ ｍｅｔｈｏｄ ｏｆ ｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓ ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ，ｓｐａｃｅ ｇｅｏｍｅｔｙｒ ｍｏｄｅｌ ｏｆ ｐａｒｔ ｃｅｎｔｒｏｉｄ ｉｓ ｅｓｔｂａｌｓｉｈｅｄ ａｔ ａｎｙ ｌｏｃａｌ ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅ ｓｙｓｔｅｍ．Ｉｎ ａｄｄｉｔｉｏｎ，ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｍａｔｒｉｘ ｏｆ ｌｏｃａｌ ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅ ｓｙｓｔｅｍ ｒｅｌｔａｉｖｅ ｔｏ ｈｏｍｅ ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅ ｓｙｓｔｅｍ ｉｓ ｐｒｏｐｏｓｅｄ．Ｔｈｅｎ，ｏ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ ｍｏｄｅｌ ｐａ ｃｅｎｔｒｏｉｄ ｉｓ ｅｓｔａｂｌｉｓｈｅｄ ｅｘａｃｔｌｙ．Ｍｏｄｅｌ ｉｓ ｖａｌｉｄａｔｅｄ ａｎｄ ａｎａｌｙｚｅｄ ｂｙ ａｎ ｅｘａｍｐｌｅ， ａｎｄｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔｓ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｔｈｉｓ ｏｍｄｅｌ Ｃａｎ ｃａｌｃｕｌｔａｅ ｔｈｅ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ ｆｏａｎｙｐａｒｔ ｃｅｎｔｒｏｉｄ ｅｘａｃｔｌｙ．Ｔｈｅ ｏｍｄｅｌ ｈａｓ ｓｏｍｅ ａｄｖａｎｔａｇｅｓ ｓｕｃｈ ｓａ ｓｉｍｐｌｅ ｍｏｄｅｌ ａｎｄ＾劬ｃａｌｃｕｌｔａｉｏｎｐｒｅｃｉｓｉｏｎ． Ｋｅｙ Ｗｏｒｄｓ：Ａｅｒｏ－Ｅｎｇｉｎｅ；Ｍａｓｓ Ｐｒｏｐｅｒｔｙ；Ｍａｓｓ；Ｃｅｎｔｒｏｉｄ；Ｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓ Ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅ Ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ １引言 机部件归为一类；将滑油箱、燃滑油散热器、转接齿轮箱等具有 航空发动机质量特性是发动机的固有属性，是进行发动机 非轴对称特征且角向位置不固定的附件归为另一类。对于主机 技术水平评定、飞机质量特ｆ生估算和吊装运装设备设计等工作的 部件，可以借助ＵＧ，Ｐｒｏ／Ｅ等三维软件直接读出质量特性数据， 一项重要技术指标ｌｌＪ。质量特性通常包括质量、质心和转动陨量三 计算精度较高；对于附件，由于附件数量多、结构复杂，承制厂只 个特征参数，在发动机预先研究阶段，设计和试验单位主要通过 提供一个简化的附件模型和一个包含局部坐标系的质量特性文 开展地面台架试车来研究发动机的性能，发动机对飞机飞行品质 件，因此单纯依靠三维软件是无法读取的。对于此类问题，目前 的影响暂不作为研究的重点，因此掌握准确的发动机质量和质心 采取的措施是首先将结构进行简化处理，将整个附件作为一个 信息显得尤为重要而关键。 质点进行分析，而质点位置的选取随机性较强，人为误差较大。 目前发动机整机质量特性的计算首先根据零部件的结构 尽管单个附件的质量和体积都比较小，但由于发动机包含数十 特点及安装的角向位置进行分类：将风扇、中介机匣、压气机、燃 个附件，由附件带来的累积误差对发动机整机的影响不可忽视， 烧室、涡轮等具有轴对称特征且回转轴与发动机轴线重合的主 目前尚缺少一种准确的发动机整机质量特性参数计算方法。由 来稿日期：２０１６－０６—０５ 基金项目：国家自然科学基金资助项目（５１２０８３１４）；辽宁省教育厅科学研究一般项目（Ｌ２０１３２３４） 作者简介：田大可，（１９８１一），男，辽宁西丰人，博士研究生，高级工程师，主要研究方向：航空发动机总体结构设计与研究 ２２ 田大可等：航空发动机质量特性参数建模与分析 第１２期 于附件不具有对称特征且角向位置不固定，因此附件代表了发动 机零部件最一般的情况，解决了附件质量特性的计算问题，即解 决了发动机整机质量特性的计算问题。 为了给发动机地面台架试车等科研工作提供可靠数据，重 点研究质量和质心的计算方法，将具有普适性的附件作为分析对 象，基于齐次坐标变换方法，建立了任意坐标系下零部件质心的 数学模型，并采用算例对模型进行了验证与分析，分析结果表明： 图１零部件坐标变换几何模型 质心数学模型能够较好的分析发动机的质量特性。 ２基础理论 ２．１整机质量 发动机整机质量 为各零部件质量ｍｉ，ｉ＝ｌ，２，…，ｎ，的代数 和，对于确定结构的零部件，设计单位可以根据自身设计零部件 的三维模型及承制厂提供的说明文件直接获得该项参数，因此发 动机整机质量为： ｍｉ （１） ｉ＝ｌ ２．２整机质心 根据合力之矩定理及多体系统质心求解方程［２－３１，发动机整 机的质心坐标（ 、ｙ、ｚ）为各零部件质心相对于主坐标系，即整机 坐标系的坐标（％Ｙｌ， ）与其质量ｍｉ的乘积之和，再与整机质量肘 求商。 ∑ ＝上Ｉ＿一 ∑ｍｉ ｉｉｆｌ ∑ｍ ・Ｙｌ ｙ＝ （２） ∑ｍ ｉ＝１ ∑鸭・ ｚ＿』＿上—一 ∑ ｉ＝１ 式中： 、ｙ、ｚ—整机质心在主坐标系中的三个坐标分量；矩，Ｙｌ， ｉ＝ｌ，２，…，，ｔ—零部件质心在主坐标系中的三个坐标分量。 ３零部件质心坐标数学模型 由基础理论可知，影响零部件质量特性参数的几个特征 参数分别为质量 零部件质心在主坐标系中的坐标（孙Ｙｌ， ）。 质量ｍｌ是一个易得到且确定的值，重点分析如何计算另一个参 数。 在发动机主安装节位置，建立发动机主坐标系 。＝［Ｑ 。， ｙｔ，ｚ ］，根据承制厂提供的质量特性文件，可以得到零部件的质量 ｍｌ，局部坐标系 ＝［Ｑ： ，Ｙ２， ：】，及该零部件在局部坐标系中的 质心坐标（ ， ， 。过坐标系０＂２的原点０ 建立与主坐标系各轴 同方向的坐标系ｔｒ３＝［Ｑ， ，Ｙ３，ｚ，］，坐标系ｃｒ２与ｃｒ３对应各轴的夹 角分别为口 、 ，如图１所示。 Ｆｉｇ．１ Ｇｅｏｍｅｔｒｙ Ｍｏｄｅｌ ｏｆ Ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅ Ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｆｏｒ Ｐａｒｔ 质心 在坐标系 ：中的齐次坐标为Ｈ＿Ｉｑ： ＝ Ｙｉ １］ （３） 坐标系０＂２相对于０＂３的变换矩阵为： 瑚。ｔ（ｘ，ａ）尺。ｔ（），，卢）Ｒ。￡（ｚ，ｙ） （４） 其中， ｌ Ｏ ０ ０ ０ ＣＯＳＯｆ－ｓｉｎａ ０ Ｒｏｔ（ｘ。 ）＝ ０ ｓｉｎａ ＣＯＳａ ０ ０ Ｏ Ｏ ｌ ｃｏ ０ ｓｉ ０ ０ １ Ｏ ０ Ｒｏｔ（ｙ，ＪＢ）＝ －ｓｉｎｆｌ ０ ｃ０ ０ Ｏ ０ Ｏ １ ｃｏｓ，／－ｓｉｎ，／０ ０ ｓｉｎ，／ｃｏｓ，／０ ０ Ｒｏｔ（ｚ， ）＝ Ｏ Ｏ １ Ｏ ０ ０ ０ ｌ 坐标系ｃｒ３与 各坐标轴方向相同，为单一的平移变换，根 据零部件在发动机中的安装位置，可以确定坐标系（ｒ３的原点０， 在坐标系 。中的坐标，设该坐标为： Ｐ０Ｉ＝［ Ｙｏ，＇ｇＯ３ １］ （５） 即坐标系０＂３相对于 。的变换矩阵为： １ ０ ０ ０ １ ０ ｙｏ： ， （６） ０ ０ Ｉ ０ ０ ０ １ 那么，坐标系ｏｒ：相对于 的变换矩阵为： ｉ （７） 由此可以得到零部件质心在坐标系 中的坐标： １ ： Ｉ （８） Ｎｏ．１２ Ｄｅｃ．２０ｌ６ 机械设计与制造 （２）算例分析表明建立的模型能够准确的估算零部件的质 机其它特性参数的计算提供了较为可靠的数据保证。 由式（８）可见，零部件厨 在主坐标系中的坐标包含（ａ 、 ）、 （ ｚｑ）和ｘ 有效的减小了传统计算方法引入的误差，为发动机及飞 ）三组参数，通过质量特性文件和三维软件 心坐标，可以方便的得到这些参数，由此也就能够得到该质心坐标值。 ４应用举例 应用一个典型的算例，说明如何使用建立的模型进行零部 参考文献 ［１］罗志宇．飞机质量特性计算与数据库管理技术研究［Ｄ］．西安：西北工 业大学，２００３：１－２６． （Ｌｕｏ Ｚｈｉ－ｙｎ．Ｒｅｓｅａｒｃｈ ｏｎ ｍａｓｓ ｐｒｏｐｅｒｔｙ ａｎｄ ｄａｔａｂａｓｅ ｍａｎａｇｅｍｅｎｔ 件质心坐标求解。 建立某一机匣的质心坐标变换模型，如图２所示。假设该 机匣为均质圆柱形回转体结构，其长度ｌ＝１０００ｍｍ，回转直径Ｄ＝ ｏｆ ａｉｒｃｒａｆｔ［Ｄ］．Ｘｉ’ｎ：ａＮｏｔｒｈｗｅｓｔｅｒｎ Ｐｏｌｙｔｅｃｈｎｉｃａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，２００３：１— ２６．） １０００ｍｍ，回转轴与发动机轴线同轴，其局部坐标系 建立在机 匣的前端面上，坐标系的原点Ｄ２在发动机轴线上，三个坐标轴的 方向与发动机坐标轴相同，坐标系原点Ｏ 距主坐标系原点的距 离为１０００ｒａｍ，部件质心在局部坐标系中的坐标为（－５００，０，０）。 机匣 Ｊ ． ／ Ｉ 一 一 Ｄｌ ： 》＇ｌＩ质心 ／ ｚ Ｉ 图２机匣质心坐标变换模型 Ｆｉｇ．２ Ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅ Ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｍｏｄｅｌ ｏｆ Ｃｅｎｔｏｒｉｄ ｆｏｒ Ｃａｓｉｎｇ 由此可知，坐标系０＂２坐标轴的转角ｏｔ 、 均为０。。则由式 （３）一式（６）可知： 一５００ ０ ０ １］ １ ０ Ｏ Ｏ ￣ｉｒ：Ｒ。￡（ ，０）Ｒ。ｔ（，，，０）Ｒ。￡（ ，ｏ）＝ ０ １ ０ Ｏ Ｏ ０ １ ０ ０ ０ ０ ｌ ｔｏ：，［一１５００ ０ ０ １ ３ ｌ Ｏ Ｏ—ｌＯ００ ： ０ ｌ Ｏ ０ Ｏ ０ １ ０ ０ Ｏ ０ １ 那么，该机匣质心在主坐标系 中的坐标为： ０．ｎ 一 一ｒ 丁 【一ｌ５０ｏ ０ ０ １ｊ 由于本算例模型比较简单，通过简单的计算便可以很容易 的得到该机匣质心在主坐标系 中的坐标为（一１５００，０，０）。通过 该算例也证明了建立的模型是正确的。 ５结论 ，基于齐次坐标变换方法，建立了一种发动机整机质量特性 参数的数学模型，分析了影响整机质心计算精度的特征参数，采 用算例介绍了数学模型的应用，并对模型进行了验证，得到如下 主要结论： （１）由合力之矩定理及多体系统质心求解方程可知，影响零 部件质量特性参数的重要特征参数为零部件质心在主坐标系中 的坐标。 ［２］哈尔滨工业大学理论力学教研组．理论力学（下册）［Ｍ］ Ｅ京：高等教 育出版社。２００２：１４４－１８６． （ＨＩＴ Ｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌ Ｍｅｃｈａｎｉｃｓ Ｐｒｏｊｅｃｔ Ｇｒｏｕｐ．Ｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌ Ｍｅｃｈａｎｉｃｓ［Ｍ］． Ｂｅｉｊｉｎｇ：Ｈｉｇｈ Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ Ｐｒｅｓｓ，２００２：１４４－１８６．） ［３］赵强，吴洪涛多节臂举升机器人重心推算的研究［Ｊ］．机器人，２００６，２８ （１）：５０－５３． （Ｚｈａｏ Ｑｉａｎｇ，Ｗｕ Ｈｏｎｇ－ｔａｏ．Ｓｔｕｄｙ ｏｎ ｔｈｅ ｒｅｃｕｒｓｉｖｅ ａｌｇｏｒｉｔｈｍｓ ｏｆ ｍｇｓｓ ｃｅｎｔｅｒｆｏｒｔｈｅｍｕｌｔｉ－ｊｏｉｎｔ ａｒｍ ｂｏｏｍｌｉｆｔｒｏｂｏｔ［Ｊ］．Ｒｏｂｏｔ，２００６，２８（Ｉ）：５０— ５３．） ［４］闫国荣，高学山．一种基于基本坐标变换的运动学方程建立方法［Ｊ］． 哈尔滨工业大学学报，２００１，３３（Ｉ）：１２０－－１２３． （Ｙａｎ Ｇｕｏ－ｒｏｎｇ．Ｇａｏ Ｘｕｅ－ｓｈａｎＡ ｂａｓｉｃ ｃｅｏｒｄｉｎａｔｅ ｔｒａｎｓｆｏｒｍ ｂａｓｅｄ ｍｅｔ— ｈｏｄ ｏｆｒ ｅｓｔｂａｌｉｓｈｍｅｎｔ ｏｆ ｋｉｎｅｍａｔｉｃｓ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ［Ｊ］Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｈａｒｂｉｎ Ｉｎｓｔ－ ｉｔｕｔｅ ｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，２００１，３３（１）：１２０－１２３．） ［５］田大可，刘荣强．多模块构架式空间可展开天线背架的几何建模［Ｊ］． 西安交通大学学报。２０１１，４５（１）：１１１－１１６． （Ｔｉａｎ Ｄａ－ｋｅ，Ｌｉｕ Ｒｏｎｇ－ｑｉａｎｇ．Ｇｅｏｍｅｔｒｙ ｍｏｄｅｌｉｎｇ ｏｆ ｔｒｕｓｓ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｆｏｒ ｓｐａｃｅ ｄｅｐｌｏｙａｂｌｅ ｔｒｕｓｓ ｎａｔｅｎｎａ ｗｉｔｈ ｍｕｌｔｉ－ｍｏｄｕｌｅ［Ｊ］Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｘｉ’ａＩＩ Ｊｉａｏｔｏｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ。２０１ １，４５（１）：１ １ １－１ １６．） ［６］蔡自兴．机器人学［Ｍ］．北京：清华大学出版社，２０００：２９－４３． （Ｃａｉ Ｚｉ－ｘｉｎ＆Ｒｏｂｏｔｉｃｓ［Ｍ］．Ｂｅｉｊｉｎｇ：Ｔｓｉｎｇｈｕａ Ｕｎｉｖｅｓｒｉｔｙ Ｐｒｅｓｓ，２０００：２９— ４３．） ［７］李月晶，初少刚．坐标变换方法在高副机构分析中的应用［Ｊ］．机械设 计与制造，２００６（３）：３３—３４． （Ｌｉ Ｙｕｅ－ｊｉｎｇ，Ｃｈｕ Ｓｈａｏ－ｇａｎｇ．ｈＴｅ ａｎａｌｙｓｉｓ ａｎｄ ｓｙｎｔｈｅｓｉｓ ｏｆ ｈｉｇｈｅｒ ｐａｉｒ ｍｅｃｈａｎｉｓｍｓ ｂｙ ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅ ｔｒｎａｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｔｈｅｏｒｙ［Ｊ］．Ｍａｃｈｉｎｅｒｙ Ｄｅｓｉｇｎ＆ Ｍａｎｕｆａｃｔｕｒｅ。２０ｏ６（３）：３３—３４．） ［８］Ｔｉａｎ Ｄａ－ｋｅ，“ｕ Ｒｏｎｇ－ｑｉｎａｇ，Ｄｅｎｇ Ｚｏｎｇ－ｑｕａｎ．Ｓｐａｔｉａｌ ｇｅｏｍｅｔｙｒ ｍｏｄｅｌｉｎｇ ｏｆ ｔｒｕｓｓ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ａｎｄ ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ ｄｅｖｉａｔｉｏｎ ｏｆｒ ｄｅｐｌｏｙａｂｌｅ ｔｒ－ ＵＳ８ ａｎｔｅｎｎａ［Ｃ］．２０１０ ＩＥＥＥ Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ Ｃｏｎｆｅｒｅｎｃｅ ｏｎ Ｍｅａｓｕｒｉｎｇ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ ａｎｄ Ｍｅｃｈａｔｏｒｎｉｃｓ Ａｕｔｏｍａｔｉｏｎ，２０１０（３）：４２７－４３２． ［９］Ｌｉｕ Ｒｏｎｇ－ｑｉｎａｇ，Ｔｉｎａ Ｄａ－ｋｅ，Ｄｅｎｇ Ｚｏｎｇ－ｑｕａｎ．Ｄｅｓｉｎｇ ｍｅｔｈｏｄ ｏｆ ｔｒｕｓｓ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｓａｎｌｅ ｓｉｚｅ ｍｏｄｕｌｅ ｆｏｒ ｄｅｐｌｏｙａｂｌｅ ｔｒｕｓｓ ａｎｔｅｎｎａ［Ｃ］． Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ Ｃｏｎｆｅｒｅｎｃｅ ｏｎ Ａｄｖａｎｃｅｄ Ｍｅｃｈａｔｏｒｎｉｃｓ ２０１０，Ｊａｐａｎ：ＪＳＭＥ Ｒｏｂｏｔｉｃｓ ａｎｄ Ｍｅｃｈａｔｏｒｎｉｃｓ Ｄｉｖｉｓｉｏｎ．２０１０（３５）． ［１０］徐旭松，杨将新．基于齐次坐标 ［Ｊ］．浙江大 学学报：工学版，２００８，４２（６）：１０２１—１０２６． （Ｘｕ Ｘｕ－ｓｏｎｇ，Ｙａｎｇ Ｊｉａｎｇ－ｘｉｎ．Ｍａｎｕｆａｃｔｕｒｉｎｇ ｅｒｒｏｒ ｍｏｄｅｌｉｎｇ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｚｈｅｊｉａｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ：Ｅｎｇｌｎ－ ｅｅｒｉｎｇＳｃｉｅｎｃｅ，２００８，４２（６）：１０２１－１０２６．）
