数值分析答案第八章

用梯形公式和simpson公式计算下列定积分并使用误差公式求其误差界。

1.

1(1)exdx0

解：

T(f)101ee0.68393972,211E1(f)e,[0,1]121211012S(f)e4ee,0.632333686

(10)5411E2(f)f()e3.4722222104,[0,1]288028802880(2)x2lnxdx11.5

解：

T(f)1.5121ln11.52ln1.50.228074,20.53E1(f)f()0.0396972,[1,1.5]12S(f)1.512

1ln141.252ln1.251.52ln1.50.192245,6(1.51)54E2(f)f()2.17014105,[1,1.5]28802试确定下列求积公式的代数精度

132(1)1f(x)dx≈f(0)+f() 0443(2)11f(x)dx≈2f(0)

(1)解：令f(x)=1左0f(x)dx=1右=1，左=右

1令f(x)=x左0xdx=右=x0+x=，左=右 令f(x)=x2左0令f(x)=x3左0111121434231211321右=x0+x()2=，左=右 3443311322x3dx=右=x0+x()3=，左右

44439x2dx=

所以代数精度为2。

（2）解：令f(x)=1左1f(x)dx=2右=2，左=右 令f(x)=x左1x dx=0右=0，左=右 令f(x)=x2左1111x2dx=

23右=0，左右

所以代数精度为1。

3确定公式中的待定系数，使其代数精度尽可能高，并指出求积公式的代数精度。

（1） 0f(x)dxC0f(0)C1f(1)C2f(2); （2） 0f(x)dxC0f(0)C1f(x1). 解：（1） 令f(x)1,x,x2 得

2c0c1c2 2c12c2

843c1c212解得 c0,c1,c2

令f(x)x3 左=0x3dx4 ， 右=0313234，左=右 令 f(x)x4 左=0x4dx所以代数精度为3

（2） 令f(x)1,x,x2 使上述求积公式精确成立

213431321343833214820， 右=041424，左右 533331C041c0c113  xC11c142212Cxx11133

当 f(x)x3 左=0x3dx，右=所以代数精度为2

5.用n=2,4,8的复合梯形公式和n=2,4的复合Simpson公式计算定积分 edx。

0.2 解： n=2时 h=

1.50.20.65 x10.20.650.85 21.5x2114392713，左右c0,c1 4254

0.650.22(1.5)2T2(f)e2f(x1)e20.32e0.042f(0.85)e2.25

0.32[e0.042e0.852e2.25]0.66211 n=4时 h1.50.20.325

4x00.2x10.20.3250.525 x20.5250.3250.85

x30.850.3251.175x41.1750.3251.50.3250.04(1.5)2T4(f)[e2f(0.525)2f(0.85)2f(1.175)e]20.3250.04(0.525)2(0.85)2(1.175)2(1.5)2[e2e2e2e2e]20.65947

n=8时 h=0.1625

x00.2x10.20.16250.3625x20.525x30.6875 x40.85x51.0125x61.175x71.3375x81.5

0.16250.04T8(f)[e2f(0.3625)2f(0.525)2f(0.6875)22f(0.85)2f(1.0125)2f(1.175)2f(1.3375)2f(1.5)]复合公式0.65760.658Simpson公式 n=2时 h=

1.30.65 2x10.85x121(x0x1)0.5252 1(x1x2)1.1752x320.650.04S2(f)[e4f(x1)4f(x3)2f(x1)f(b)]622220.650.042.25[ee4e(0.525)4e(1.175)2f(0.85)] 60.65859490.65860

n=4时 h=0.325

x00.2x10.20.3250.525x20.85x31.175x41.5

x121(0.20.325)0.262521(0.5250.85)0.687521 (0.851.175)1.01252x32x52x71.33752S4(f)0.3250.04[e4f(x1)4f(x3)4f(x5)4f(x7)622222f(x1)2f(x2)2f(x3)e2.25]2220.3250.042.25[ee4e(0.2625)4e(0.6875)4e(1.0125) 64e(1.3375)22f(0.525)2f(0.85)2f(1.175)]

0.65881

6.计算定积分1xlnxdx,若用复合梯公式要使误差不超过105，问区间[1,2]要分为多少等份；若改用复合Simpson公式，要达到同样的精度，区间[1,2]应分为多少等份。 解：复合梯形公式余项

21,x(ba)2(21)11En(f)hf()f(),[1,2]221212n12n1105n105/12n92 12nf(x)xlnx,f(x)lnx1,f(x)复合Simpson公式余项

112,f(x)2,f(4)(x)3xxxba4(4)(21)1(4)1En(f)hf()f(),[1,2]288012n41440n41105n4105/1440n341440n f(x)xlnx,f(x)lnx1,f(x)