突破二 追及与相遇问题的求解方法讨论追及、相遇问题的实质，就是分析两物体在相同时间内能否到达相同的空间位置。 1.抓住一个条件，两个关系
(1)一个条件：二者速度相等。它往往是能否追上或距离最大、最小的临界条件，也是分析判断的切入点。
(2)两个关系：即时间关系和位移关系。可通过画草图找出两物体的位移关系，也是解题的突破口。 2.能否追上的判断方法
常见情形：物体A追物体B，开始二者相距x0，则 (1)A追上B时，必有xA－xB＝x0，且vA≥vB。
(2)要使两物体恰不相撞，必有xA－xB＝x0，且vA≤vB。
3.若被追赶的物体做匀减速直线运动，一定要注意判断追上前该物体是否已经停止运动。
【典例解析】例5 一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以3 m/s2的加速度开始加速行驶，恰在这时一辆自行车以v＝6 m/s的速度匀速驶来，从后边超过汽车。则汽车从路口启动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时两车的距离是多少？
【拓展延伸】
在【例5】中(条件不变)什么时候汽车能追上自行车？此时汽车的速度是多少？
方法提炼
1.牢记“一个思维流程”
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2.掌握“三种分析方法” (1)分析法
应用运动学公式，抓住一个条件、两个关系，列出两物体运动的时间、位移、速度及其关系方程，再求解。 (2)极值法
设相遇时间为t，根据条件列出方程，得到关于t的一元二次方程，再利用数学求极值的方法求解。在这里，常用到配方法、判别式法、重要不等式法等。 (3)图象法
在同一坐标系中画出两物体的运动图线。位移图线的交点表示相遇，速度图线抓住速度相等时的“面积”关系找位移关系。
【针对练习】6.汽车A以vA＝4 m/s的速度向右做匀速直线运动，在其前方相距x0＝7 m处以vB＝10 m/s的速度同向运动的汽车B正开始刹车做匀减速直线运动，加速度大小a＝2 m/s2。从此刻开始计时。求：
(1)A追上B前，A、B间的最远距离是多少？ (2)经过多长时间A才能追上B?
【课堂检测】1．.如图8所示是甲、乙两物体从同一点出发的位移－时间(x－t)图象，由图象可以看出在0～4 s这段时间内( ) A.甲、乙两物体始终同向运动 B.4 s时甲、乙两物体之间的距离最大 C.甲的平均速度大于乙的平均速度 D.甲、乙两物体之间的最大距离为3 m
2.(多选)甲、乙两质点在同一直线上做匀加速直线运动，v－t图象如图9所示，3 s末两质点相遇，由图象可知( )
A.甲的加速度等于乙的加速度 B.出发前甲在乙之前6 m处 C.出发前乙在甲前6 m处
D.相遇前甲、乙两质点的最远距离为6 m
3.甲、乙同时从A处由静止出发，沿直线AB运动，甲先以加
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速度a1做匀加速运
动，经一段时间后，改以加速度a2做匀加速运动，到达B的速度为v0，乙一直以加速度a做匀加速运动，到达B的速度也为v0。已知a1＞a，则( ) A.a2＝a B.a2＞a
C.经过AB间任一点时甲的速度一定大于乙的速度 D.经过AB间某一点时，甲的速度可能小于乙的速度
4.(2015·福建理综，20)一摩托车由静止开始在平直的公路上行驶，其运动过程的v－t图象如图10所示。求：
(1)摩托车在0～20 s这段时间的加速度大小a； (2)摩托车在0～75 s这段时间的平均速度大小－v。
5.A、B两车在同一直线上，同向做匀速运动，A在前，速度为vA＝8 m/s，B在后，速度为vB＝16 m/s，当A、B两车相距x＝20 m时，B车开始刹车做匀减速运动，为避免两车相撞，刹车后B车的加速度至少应为多大？
【学生作业】一、单项选择题
1.一个做直线运动的物体的v－t图象如图1所示，由图象可知( ) A.0～1.5 s内物体的加速度为－4 m/s2，1.5～3 s内物体的加速度为4 m/s2 B.0～4 s内物体的位移为12 m
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C.3 s末物体的运动方向发生变化 D.3 s末物体回到出发点
2.如图2所示是某质点做直线运动的v－t图象，由图可知这个质点的运动情况是( ) A.前5 s质点静止
B.5～15 s内质点做匀加速运动，加速度为1 m/s2 C.15～20 s内质点做匀减速运动，加速度为－3.2 m/s2 D.15 s末质点离出发点最远，20 s末质点回到出发点
3.(2014·新课标全国卷Ⅱ，14)甲、乙两汽车在一平直公路上同向行驶。在t＝0到t＝t1的时间内，它们的v－t图象如图3所示。在这段时间内( ) A.汽车甲的平均速度比乙的大 B.汽车乙的平均速度等于
v1＋v2
2 C.甲、乙两汽车的位移相同
D.汽车甲的加速度大小逐渐减小，汽车乙的加速度大小逐渐增大
4.一个物体由静止开始沿一条直线运动，其加速度随时间的倒数的变化规律图线如图4所示，a0和t0已知，则下列判断正确的是( ) A.物体在t0前做加速度增大的加速运动 B.物体在t0时刻的速度为a0t0 1
C.物体在t0时间内速度增加量为2a0t0 D.以上判断均错
5.甲、乙两车从同一地点沿同一方向做直线运动，其中甲车初速度为零，最大速度为4 m/s，乙车初速度为1.5 m/s，最大速度为3.5 m/s，其v－t图象如图5所示。关于两车的运动情况，下列说法正确的是( )
A.在t＝4 s时，甲、乙相遇 B.甲的加速度一直小于乙的加速度 C.在t＝1 s时，两车速度相等，加速度相等 D.甲车运动的总位移大于乙车运动的总位移
6.入冬以来，全国多地多次发生雾霾天气，能见度不足100 m。在这样的恶劣天气中，甲、乙两汽车在一条平直的单行道上，乙在前，甲在后同向行驶。某时刻两车司机同时听到前方有事故发生的警笛提示，同时开始刹车，结果两辆车发生了碰撞。如图6所示为两辆车刹车后若恰好不相撞的v－t图象，由此可知( )
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A.两辆车刹车时相距的距离一定等于112.5 m B.两辆车刹车时相距的距离一定小于90 m
C.两辆车一定是在刹车后的20 s之内的某时刻发生相撞的 D.两辆车一定是在刹车后的20 s以后的某时刻发生相撞的 二、多项选择题
7.(2015·辽宁沈阳市郊联体二模)某时刻，两车从同一地点、沿同一方向做直线运动，下列关于两车的位移x、速度v随时间t变化的图象中，能反映t1时刻两车相遇的是( )
8.如图7所示，直线a和曲线b分别是在平直公路上行驶的汽车a和b的位移－时间(x－t)图线，由图可知( )
A.在时刻t1，a车追上b车
B.在时刻t2，a、b两车运动方向相反
C.在t1到t2这段时间内，b车的速率先减小后增大 D.在t1到t2这段时间内，b车的速率一直比a车的大
9.将甲、乙两小球先后以同样的速度在距地面不同高度处竖直向上抛出，抛出时间相隔2 s，它们运动的v－t图象分别如图8直线甲、乙所示。则( ) A.t＝2 s时，两球高度相差一定为40 m B.t＝4 s时，两球相对于各自抛出点的位移相等 C.两球从抛出至落到地面所用的时间间隔相等 D.甲球从抛出至达到最高点的时间间隔与乙球的相等
10.甲、乙两车在一平直公路上从同一地点沿同一方向做直线运动，它们的v－t图象如图9所示。下列判断正确的是( )
A.乙车启动时，甲车在其前方50 m处
B.运动过程中，乙车落后甲车的最大距离为75 m C.乙车启动10 s后正好追上甲车 D.乙车超过甲车后，两车不会再相遇 三、非选择题
11.(2015·高考信息卷)甲、乙两辆车在同一直轨道上向右匀速行驶，甲车的速度为v1＝16 m/s，乙车的速度为v2＝12 m/s，乙车在甲车的前面。当两车相距L＝6 m时，两车同时开始刹车，从此时开始计时，甲车以a1＝2 m/s2的加速度刹车，6 s后立即改做匀速运动，乙车刹车的加速度为a2＝1 m/s2。
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求：
(1)从两车刹车开始计时，甲车第一次追上乙车的时间； (2)两车相遇的次数； (3)两车速度相等的时间。
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