相似三角形详细讲义(最新整理)

教育教学讲义学员姓名：上课时间：课 题年 级：学科教师：课时数：2辅导科目：数学相似三角形 1 通过本章的学习，要熟悉数学中的转化思想，数形结合，分类讨论思想特殊值法。 2转化思想：利用相似性质解决问题时，经常用到转化思想，如在有关面积的问题中，教学目标往往要借助于线段的比，周长的比等进行转化，进而解决问题。3数形结合思想：对于很多几何图形，我们都要善于观察，找出其中的隐含条件，做到数形结合，从而解决问题。4分类讨论思想：在运用相似三角形的对应边成比例的性质时，如果题目的条件中，不能确定如何对应，则应给予讨论。 教学内容课前检测 全等三角形的概念?知识梳理 相似三角形的概念对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∽”表示，读作“相似于” ．相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)．相似三角形对应角相等，对应边成比例．注意：①对应性：即两个三角形相似时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边．②顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的．③两个三角形形状一样，但大小不一定一样．④全等三角形是相似比为1的相似三角形．二者的区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．相似三角形的基本定理定理：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．定理的基本图形：用数学语言表述是： DE//BC，ADE∽ABC．相似三角形的等价关系(1)反身性：对于任一ABC有ABC∽ABC． (2)对称性：若ABC∽A'B'C'，则A'B'C'∽ABC． (3)传递性：若ABC∽A'B'C，且A'B'C∽ABC，则ABC∽ABC．三角形相似的判定方法1、定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似．2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．4、判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．（在遇到两个三角形的三边都知道的情况优先考虑，把边长分别从小到大排列，然后分别计算他们的比值是否相等来判断是否相似）6、判定直角三角形相似的方法：(1)以上各种判定均适用．(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。　　公式 如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：　　（1）（AD）2=BD·DC，　　（2）（AB）2=BD·BC ，　　（3）（AC）2=CD·BC 。　　证明：在 △BAD与△ACD中，∠B+∠C=90°，∠DAC+∠C=90°，∴∠B=∠DAC，又∵∠BDA=∠ADC=90°，∴△BAD∽△ACD相似，∴ AD/BD＝CD/AD，即（AD）2=BD·DC。其余类似可证。　　注：由上述射影定理还可以证明勾股定理。由公式（2）+（3）得：　　（AB）2+（AC）2=BD·BC+CD·BC =（BD+CD)·BC=（BC）2，　　即 （AB）2+（AC）2=（BC）2。　　这就是勾股定理的结论。判断相似三角形的几条思路：1 条件中若有平行线，可采用相似三角形的基本定理 2 条件中如果有一对等角，可再找一对等角（用判定1）或再找夹边成比例。（用判定2）3条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等（直角可以直接得出相似）4条件中若有一对直角，可考虑在找一对等角或证明斜边，直角边对应成比例。5条件中若有 等腰关系，可找顶角相等，也可找一对底角相等，也可找底和腰对应成比例。对应角和对应边关系是 对应角所对的边是对应边，对应边所对的角是对应角。对应角相等一般是公共角，平行时的内错角，同位角相等，对顶角相等，同角的余角或补角相等。大边对大角，大角对大边。温馨提示：在解题中要善于借助于中间量的牵线搭桥，这里的中间量主要指中间比，中间线段，中间角，中间等积式等。灵活的运用等积式与比例式的互化，寻找解题思路，创设条件，善于运用类比的方法分析思考问题。加强运用观察，分析，联想，归纳，探索等方法技巧。相似三角形性质(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例．(2)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．(3)相似三角形周长的比等于相似比．(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方．(5)相似三角形性质可用来证明线段成比例、角相等，也可用来计算周长、边长等相似三角形与全等三角形相关联系：不相似的三角形一定不是全等三角形。（对）相似三角形也可能是全等三角形。（对）全等三角形一定是相似三角形。（对）不全等的三角形一定不是相似三角形（错）相似三角形一定不是全等三角形（错）全等三角形不一定是相似三角形（错） 相似三角形常见的图形 （1）若DE∥BC（A型和X型）则△ADE∽△ABC （2）射影定理 若CD为Rt△ABC斜边上的高（双直角图形） 则Rt△ABC∽Rt△ACD∽Rt△CBD且AC2=AD·AB，CD2=AD·BD，BC2=BD·AB；ADBECEABDC （3）满足1、AC2=AD·AB，2、∠ACD=∠B，3、∠ACB=∠ADC，都可判定△ADC∽△ACB．ADAE（4）当或AD·AB=AC·AE时，△ADE∽△ACB．ACABADDEDCADBAA BC BC BEC（直角梯形）相似三角形的应用1测量物体的高度（宽度，长度）在利用相似三角形的性质解题的过程中要牢记 （1）太阳光线是平行线，易找到相似三角形。 2在某一时刻，某物体的实际高度被测物体的实际高度3台球的入射角和反射角会形成相＝影子的长度被测物体的影子的长度似。镜子的反射，球的反弹等都会形成相似。测量物高的方法有1利用阳光下的影子 原理 旗杆高：人高＝旗杆影长：人影长 缺点 需要阳光，阴天不行2利用标杆 在人和旗杆中间树立一个可以测量长度的标杆，形成两个三角形相似 优点无需阳光，有关数据易测，测量工具简单。缺点增加了标杆的测量，要求观察者的眼睛必须与标杆的顶端和旗杆的顶端对齐，三点共线。如图若AD.AC＝AE.AB,∠DAB＝∠CAE则△ADE与△ABC相似吗？ AEDBC1典型例题1、 已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AC=6，DB=5，求AD的长．CADB分析：由已知AC=6，DB=5，选用ACADAB来解决，考虑△ACD∽△ABC．解：在△ACD和△ABC中，∵∠A=∠A，∠ADC=∠ACB=90°，∴△ACD∽△ABC．∴2ACAD2．∴ACADAB．ABAC2设AD=x，则AB=x+5，又AC=6，∴6x(x5)． 解得：x=4（舍去负值）∴AD=4．针对练习： 如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，底边上的高AD=10cm，腰AC上的高BE=12cm．（1）求证： x25x360AB5；BD3AEBDC2典型例题2 已知：如图，△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于D．求证： BC2＝2CD·AC．思考：欲证 BC2＝2CD·AC，只需证BCAC．但因为结论中有“2”，无法直接找到它们所在的相似三角2CDBC形，该怎么办？ 证法一（构造2CD）：如图，在AC截取DE＝DC，∵BD⊥AC于D，∴BD是线段CE的垂直平分线，∴BC=BE，∴∠C=∠BEC，又∵ AB＝AC，∴∠C=∠ABC．ADBC ∴ △BCE∽△ACB．∴BCACBCAC， ∴CEBC2CDBC∴BC2＝2CD·AC．AEDBC针对练习：证法二（构造2AC）： 1BC）： 2典型例题．如图，AD为ABC的角平分线，BE垂直于AD的延长线于E，CFAD于F，BF，EC的延长线交于点P，求证：CF//AP证明CFAD，BEAD，BEACFA90，CF//BE.CFCPBEPE又BAECAF，ABE∽ACFBEAE，CFAFCFAF即.BEAECPAFPEAECF//AP证法三（构造针对练习如图，：梯形ABCD中，AB//CD，M为AB的中点，分别连结AC，BD，MD，MC，且AC与MD交于E，DB与MC交于F，求证：EF//CD 求相似三角形的周长典型例题例：两相似三角形的对应边的比为4：5，周长和为360cm，这两个三角形的周长分别是多少？如果△ABC∽△A′B′C′，相似比为3：2，若它们的周长的差为40厘米，则△A′B′C′的周长为　　　　厘米。针对练习：如图，D、E分别是AC，AB上的点，∠ADE＝∠B，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F.若AD＝3，AB＝5，求：AG（1）；AFEFA BGDC（2）△ADE与△ABC的周长之比；如图，梯形ABCD中，DC∥AB，DC＝2cm，AB＝3.5cm，且MN∥PQ∥AB，DM＝MP＝PA，则MN＝　　　　，PQ＝　　　　。DMPA求多边形的面积典型例题1．如图，已知：在ABC与CAD中，DA//BC，CD交AB于E，且AE:EB1:2，EF//BC交AC于F，CNQBSADE1。求SBCE和SAEF解答：DA//BC，ADE∽BCESADE:SBCEAE:BE 又AE:BE1:2，SADE:SBCE1:422SADE1，SBCE4EF//BC，AEF∽ABCEF:BCAE:ABAE:EB1:2，EF:BCAE:AB1:3又ADE∽BCE，AD:BC1:2，BC2ADEF:AD2:3AD//EF，ADE与AEF等高2SAEF:SADEEF:AD2:3SAEF3针对练习．如图，已知，在梯形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若COD的面积为a，AOB的面积为b，其中a0，b0. 求：梯形ABCD的面积S典型例题2．已知等腰直角三角形的面积为36cm，它的内接矩形的一边在斜边上，且矩形的两边之比为5：2，求矩形的面积解：如图，ABC中，A90，ABAC，内接矩形DEFG由等腰直角三角形和矩形的性质，得BEDEGFFCEF:DE5:2，222BE:EF:FC2:5:212设AB为x，则SABCx362由勾股定理得BC2x22 BC2144BC12228DEBC129935520EFBC12993820717(cm2)矩形DEFG面积339漏解：如图所示的情况时，DE:EF5:2，同理可得S矩形DEFG10cm2针对练习1：如图所示直角ABC中，两直角边长分别为3和4，它的内接正方形有两种情况：①一边在斜边上；②一边在直角边上。试比较这两种情况中正方形的大小。 针对练习2：AD是ABC的高，E是BC的中点，EFBC交AC于F，若BD15，DC27，AC45，求AF一、如何证明三角形相似ཁ例1、如图：点G在平行四边形ABCD的边DC的延长线上,AG交BC、BD于点E、F，则△AGD∽ ∽ 。例2、已知△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是角平分线，求证：△ABC∽△BCDBཁཁཁཁཁཁཁGཁ例3：已知，如图，D为△ABC内一点连结ED、AD，以BC为边在△ABC外作∠CBE=∠ABD，∠BCE=∠BAD 求证：△DBE∽△ABC ཁ二、如何应用相似三角形证明比例式和乘积式ཁཁ例1、△ABC中，在AC上截取AD，在CB延长线上截取BE，ཁཁཁཁ 使AD=BE，求证：DFAC=BCFE例2：已知：如图，在△ABC中，∠BAC=900，M是BC的中点，DM⊥BC于点E，交BA的延长线于点D。2AEME求证：（1）MA2=MDME；（2）AD2MDDA12BMCE例3：如图△ABC中，AD为中线，CF为任一直线，CF交AD于E，交AB于F，证：AE：ED=2AF：FB。已知：如图，梯形ABCD中，AB∥DC，E是AB的中点，直线ED分别与对角线AC和BC的延长线交于M、N点求证：MD：ME＝ND：NE证明：DMAEBNC三、如何用相似三角形证明两角相等、两线平行和线段相等。AFDEBAF1。例1：已知：如图E、F分别是正方形ABCD的边AB和AD上的点，且ABAD3GEBC求证：∠AEF=∠FBD例2、在平行四边形ABCD内，AR、BR、CP、DP各为四角的平分线， 求证：SQ∥AB，RP∥BCD 例3、直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AGCFBE BCDE是正方形，AE交BC于F，FG∥AC交AB于G，求证：FC=FG测量旗杆的高度例1. AB是斜靠在墙壁上的长梯，梯脚B距墙80cm，梯上点D距墙70cm，BD长55cm，求梯子的长。 2（2009•定西）如图，小东用长为3.2m的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点相距8m，与旗杆相距22m，则旗杆的高为（　　）A．12mB．10mC．8mD．7m （．2011•丹东）某一时刻，身髙1.6m的小明在阳光下的影长是0.4m，同一时刻同一地点测得某旗杆的影长是5m，则该旗杆的高度是（　　）A．1.25mB．10mC．20mD．8m（2008•金华）如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB=1.2米，BP=1.8米，PD=12米，那么该古城墙的高度是（　　）A．6米B．8米C．18米D．24米课堂练习练习题1、如图1,∠ADC=∠ACB=900,∠1=∠B,AC=5,AB=6,则AD=______.2.如图2,AD∥EF∥BC,则图的相似三角形共有_____对.3.如图3,正方形ABCD中,E是AD的中点,BM⊥CE,AB=6,CE=35 ,则BM=______.4.ΔABC的三边长为2,10,2,ΔA'B'C'的两边为1和5,若ΔABC∽ΔA'B'C',则ΔA'B'C'的笫三边长为 ________.已知a,b,c是△ABC的三条边，对应高分别为ha,hb,hc，且a:b:c4:5:6，那么ha:hb:hc等于（　　）A、4：5：6　　　　B、6：5：4　　　　C、15：12：10　　　　D、10：12：155.两个相似三角形的面积之比为1∶5,小三角形的周长为4,则另一个三角形的周长为_____.6.如图4,RtΔABC中,∠C=900,D为AB的中点,DE⊥AB,AB=20,AC=12,则四边形ADEC的面积为__________.7.如图5,RtΔABC中,∠ACB=900,CD⊥AB,AC=8,BC=6,则AD=____,CD=_______.8.如图6,矩形ABCD中,AB=8,AD=6,EF垂直平分BD,则EF=_________.9.如图7,ΔABC中,∠A=∠DBC,BC=,SΔBCD∶SΔABC=2∶3,则CD=______.10.如图8,梯形ABCD中,AD∥BC,两腰BA与CD的延长线相交于P,PF⊥BC,AD=3.6,BC=6,EF=3,则PF=_____.11.如图9,ΔABC中,DE∥BC,AD∶DB=2∶3,则SΔADE∶SΔABE=___________.12.如图10,正方形ABCD内接于等腰ΔPQR,∠P=900,则PA∶AQ=__________.13.如图11,ΔABC中,DE∥FG∥BC,AD∶DF∶FB=1∶2∶3,则S四边形DFGE∶S四边形FBCG=_________.14.如图12,ΔABC中,中线BD与CE相交于O点,SΔADE=1,则S四边形BCDE-=________.15.已知:如图,ΔABC中,CE⊥AB,BF⊥AC.求证:ΔAEF∽ΔACB.16.已知:如图,ΔABC中,∠ABC=2∠C,BD平分∠ABC. 求证:AB·BC=AC·CD. 17.已知：ΔACB为等腰直角三角形，∠ACB=900 延长BA至E，延长AB至F，∠ECF=1350。 求证：ΔEAC∽ΔCBF 18．已知:如图,ΔABC中,AD=DB,∠1=∠2.求证:ΔABC∽ΔEAD. 19．已知:如图,CE是RtΔABC的斜边AB上的高,BG⊥AP。求证:(1)CE2=AE·EB ; (2) AE·EB=ED·EP20已知，如图，在△ABC中，D为BC的中点，且AD=AC，DE⊥BC，DE与AB相交于点E，󰀀EC与AD相交于点F．A （1）求证：△ABC∽△FCD；E（2）若S△FCD=5，BC=10，求DE的长。FBDC